JP6038971B2 - 調整機能を最適化した投影露光装置 - Google Patents

Description

本願は、２００８年９月２５日に出願したドイツ特許出願第１０２００８０４２３５６．４号の優先権を主張し、２００８年９月２５日に出願した米国仮特許出願第６１／０９９９４８号の米国特許法第１１９条（ｅ）項による利益を主張する。これらの２つの出願の開示内容を参照により本願に援用する。

本発明はマイクロリソグラフィ用の投影装置に関するものである。

本発明は更にマイクロリソグラフィ用の投影露光装置に関するものである。

本発明は更にマイクロリソグラフィ用の投影露光装置の操作方法に関するものである。

マイクロリソグラフィ用の投影露光装置は一般に、光源、該光源から放出される光線を処理する照明系、投影対象となる物体（一般に網線またはマスクと呼ばれる。）、物体視野を像視野上に撮像する投影対物レンズ（以下、「対物レンズ」と略称する。）、および投影先となる別の物体（一般にウェハと呼ばれる。）を備える。網線または網線の少なくとも一部は物体視野内に位置し、ウェハまたはウェハの少なくとも一部は像視野内に位置する。対物レンズは、その対物レンズに関連する光学素子を配置する基準となる光軸を定めることができる。一般に、前記光学素子はそれぞれ前記光軸に対して回転対称であり、前記光軸は物体視野および像視野に対する法線となる。この場合の対物レンズ設計は回転対称であると言われる。

網線が物体視野の領域に完全に入り、且つウェハの露光がウェハと像視野の相対移動なしに行われる場合には、その投影露光装置は一般にウェハステッパと呼ばれる。網線の一部だけが物体視野の領域に入り、且つウェハの露光がウェハと像視野の相対移動中に行われる場合には、その投影露光装置は一般にウェハスキャナと呼ばれる。

ウェハの露光中は、事前に定義された幾何学的開口および照明系によって事前に定義された設定、例えばフルコヒーレント、部分コヒーレント、特に二極または四極設定により投影露光装置の操作が行われる。この場合、幾何学的開口は開口数の指数および基礎をなす媒質の屈折率を意味するものと理解される。したがって、幾何学的開口は対物レンズの片側の開口角のサインと同一である。幾何学的開口は、照明系によって事前に定義され且つ／または対物レンズ内の絞りによって画定される。マイクロリソグラフィ用の対物レンズの通常の像側幾何学的開口は、０．５〜０．６または０．６〜０．７または０．７〜０．８または０．８〜０．９または０．９より大きい値である。設定は一般に、例えばアキシコン、絞り、マイクロミラーアレイ、１つまたは複数の可変ＤＯＥ（回折光学素子）のような照明系の光学素子によって事前定義される。

露光中は、物体視野に関連する各視野点から開口絞りで切り取られた（trimmed）最大の光線が、物体視野から像視野へと通過する。理想的に製造された対物レンズでは、その撮像収差が対物レンズの光学設計のみによって決まり、前記最大の光線によって画定される波面は視野点に関連する像点近傍で像点を中点とする球面波にほぼ対応する。したがって、かかる対物レンズの可能な分解能は幾何学的開口に含まれる回折次数によっても決まる。したがって、かかるタイプの対物レンズは回折限界対物レンズとも呼ばれる。

対物レンズの最後の光学素子とウェハとの間の領域にガスが媒質として充填される場合、その対物レンズの屈折率は通常約１．００となり、幾何学的開口が開口数と一致する。

対物レンズの最後の光学素子とウェハとの間の領域に液体が媒体として充填される場合、その対物レンズは液浸対物レンズと呼ばれる。１つの可能な浸液は水であり、水の屈折率は約１．４３である。したがって、割当てられる像側開口数を決定するために上述の像側幾何学的開口を１．４３倍増加させる必要がある。これにより、液浸対物レンズの像側開口数は約０．７５〜０．９または０．９〜１．０５または１．０５〜１．２または１．２〜１．３５または１．３５より大きくなる。

かかる対物レンズによって達成され得るマイクロリソグラフィの可能な分解能Ｒは、次式のとおり開口数ＮＡに反比例し、対物レンズの動作波長λおよび処理パラメータｋ₁に比例する。

上式で、ｋ₁は常に少なくとも０．２５である。動作波長は一般に３６５ｎｍ、２４８ｎｍ、１９３ｎｍまたは１３ｎｍである。１３ｎｍの場合、対物レンズは反射型対物レンズ、すなわち鏡だけで構成される対物レンズである。これらの反射型対物レンズは光軸を有することも有さないこともある。これらの反射型対物レンズは、幾何学的開口（およびそれに対応する開口数）が０．２〜０．２５または０．２５〜０．３または０．３〜０．４または０．４〜０．４５または０．４５より大きい真空内で操作される。マイクロリソグラフィ用の対物レンズの更なるタイプとしては屈折型対物レンズ、すなわちレンズだけで構成される対物レンズだけでなく、反射屈折型対物レンズ、すなわちレンズと鏡で構成される対物レンズも挙げられる。

回折限界対物レンズ、特にマイクロリソグラフィ用の対物レンズは調整障害に対する感受性が非常に高い。

「調整障害」という用語は、一般に対物レンズの光学素子間の誤った位置合わせ、またはその物体視野および／または像視野に対する誤った位置合わせによって発生する障害を指す。

本願の文脈では、調整障害という用語をより広義に解釈するものとする。すなわち、この用語は対物レンズの製造中、組み立て中およびその後の操作中に使用される材料に起因する障害も包含するものとする。光学素子の上述の誤った位置合わせに加えて、このような障害には光学活性材料の屈折率（略して「率」）のばらつき、対物レンズに関連する光学素子の表面形状の望ましくないばらつき、マウント内で生じる光学素子の相対位置のドリフト、対物レンズの組み立て中の圧力、その結果生じる圧力複屈折効果、およびそれによって対物レンズの光学素子内に誘導される偏光依存率分布が含まれ、また対物レンズの加熱、その結果得られる時間的に可変のスカラー指標分布、およびそれに伴う対物レンズに関連する光学素子の形態変化も含まれる。最後に、周囲空気圧力や周囲温度、特に対物レンズの周囲温度のような様々な周囲影響下で生じる対物レンズの光学素子または対物レンズ全体の変化も調整障害と呼ぶものとする。

対物レンズの撮像性能を決定する個々の像収差は、十分に良好な撮像性能を保証する仕様（specification）を満足する必要がある。像収差に関する仕様は一般に、例えばゼルニケ係数の場合と同様に像収差の絶対値の上界によって規定される。ゼルニケ係数の代わりに、ゼルニケ多項式以外の関数系に由来する他の係数を使用することもできる。

代案として、絶対値に加えてノルムも利用する。ノルムは複数の像収差を機能的に組み合わせ、したがって共通の仕様を満足する必要がある。

それ故、例えば（場合によっては重み付き）ユークリッドノルムを利用してｒｍｓ（root-mean-square：二乗平均平方根）値を像収差と指定する。他のノルムは特に、例えば撮像光学アセンブリの視野中心よりも視野端に高い重みが与えられるようにするために、撮像光学アセンブリの設計に合わせて調整する。

対物レンズの像視野内の視野点および所与の開口を選択するために、それらの視野点に関連する光線の波面を例えば空気圧や温度のような測定変数から測定もしくは計算し、または既知の波面および／もしくは他の測定変数による予測モデルに基づいて時間的に外挿する。波面の測定は一般に干渉法によって実施する。個々の波面、より厳密にはそれらの球面波からの偏差を、通常は直交系、特に正規直交関数系に展開する。例えば、ゼルニケ多項式がこのような直交系を形成する。そこで、ゼルニケ係数とも呼ばれるこの展開の係数をここでは像収差と称する。スケール誤差、テレセントリック誤差、オーバーレイおよび焦点深度、ベストフォーカスのような他の像収差、複数の視野点の統合に由来するｒｍｓ、グループ化ｒｍｓ（grouped rms）、残差ｒｍｓ（residual rms）、フェージングのような像収差または他の像収差は、ゼルニケ係数から特に線形モデルに基づいて導出される。本明細書の文脈または添付図面ではこれらの像収差のうちのいくつかを定義するものとする。

代案として、導出するこれらの像収差は測定値または予測モデルによって直接決定することもできる。測定値と予測モデルの組合せも利用する。これは、例えばモデルベース制御という用語に分類される像収差予測モデルで可能となる。その場合は、例えば空気圧および／または温度、特に対物レンズの周囲温度のような値を像収差予測モデルのパラメータとして使用する。これらのパラメータの測定を行い、測定した値を使用してモデルを較正する。続いて、較正したモデルに基づいて像収差を予測する。この場合、パラメータの決定は時間的に周期的な形で実施することができる。測定不能な像収差を計算するための予測モデルは、直接測定可能な像収差を較正用のパラメータとして調整することができる。モデルおよび測定値による予測は変更することができる。例えば、少なくとも決定すべき像収差の選択、または決定すべき像収差の決定を可能にする他のパラメータを測定することにより、所定の（好ましくは時間的に等距離の）時点で予測モデルを較正する。これらの時点の間に１つまたは複数の異なる予測モデル利用して像収差を決定する。モデルベース制御のより詳細な説明については、Coleman Brosilow / Babu Joseph, Techniques of Model-Based Control, Prentice Hall International Series in Physical and Chemical Engineering Sciences, USA 2002を参照されたい。

分解能が高くなると必然的に動作波長が減少し且つ／または開口数が増加するが、これにより対物レンズの撮像性能の要件がより厳しくなり、したがって個々のまたは複数の像収差に関するより小さい上界が暗黙的に必要となる。

更に、対物レンズの製造エリアで単回調整を行えば、対物レンズの初回作動時に仕様どおりの対物レンズの許容可能な像収差が示され得ると仮定することはできない。なぜならば、そのような対物レンズは通常当初の場所で使用されないからである。

更に、対物レンズの単回調整を行えば、そのような対物レンズがそれ自体の寿命を超えてそれ自体の許容可能な像収差に関して仕様どおり維持され得ると仮定することは必ずしもできない。

更に、これらの仕様が投影露光装置の動作中に必ずしも順守されると仮定することもできない。これらの仕様はあるダイから後続のダイへの移動しつつ露光するような早い段階でも違反が起きる可能性があり、また個々のダイの露光中にも違反が起きる可能性がある。

それ故、動作波長を有する光による投影露光装置の動作中に、投影露光装置の対物レンズに関連する光学素子の変化が生じ、この変化によって対物レンズの光学特性に部分的に不可逆な変化が生じる。ここでは例として、光学素子の可能なコーティングの圧縮、希薄化および化学的に調整された変化が挙げられる。更に、不可逆的な変化は装置のマウント内の光学素子のドリフトによって生じる。このドリフトは時間の経過と共に発生する。他の変化は性質上不可逆であり、例えば形態変化を生じさせレンズの屈折率分布を変化させるレンズ加熱等がある。このような変化は対物レンズの光学特性を経時的に変化させる。

したがって、マイクロリソグラフィ用の対物レンズにはその開発過程で多数の操作機能が追加されてきた。これらの操作機能を使用することにより、対物レンズの光学特性の変化に制御された形で対処することができる。対物レンズに関連するレンズ、鏡、回折光学素子のような１つまたは複数の光学素子のシフト、回転、交換、変形、加熱または冷却にはマニピュレータを利用する。特に、非球面化平面プレートが対物レンズの交換素子として提供される。交換素子はマニピュレータを備えた対物レンズの光学素子である可能性もある。これらの要素は、好ましくは光の伝搬方向に見たときに対物レンズの最初と最後の光学素子のうちのいくつか、または対物レンズの中間像近傍に位置する光学素子のうちのいくつか、または対物レンズの瞳面近傍に位置する光学素子のうちのいくつかである。「近傍（vicinity）」という用語は、本明細書ではいわゆる近軸サブ開口率（paraxial subaperture ratio）によって定義する。この点については、例えば国際公開第２００８／０３４６３６Ａ２号パンフレットを参照されたい。その中でも特に、サブ開口率の定義は例えば第４１〜４２ページに示されている。この国際特許出願の内容を全体的に本願に援用する。近軸サブ開口率の絶対値が１に近い光学素子を、「瞳面近傍（in vicinity of a pupil plane）」または「瞳面付近（near a pupil plane）」と呼ぶ。例えば、０．８より大きい近軸サブ開口率を有するすべての光学素子を「瞳付近（near the pupil）」と呼ぶ。これに対応して、絶対値が０．２未満の近軸サブ開口率を有するすべての光学素子を「視野付近」、または「（中間）像付近」、または同様に「（中間）像面近傍」と表現する。「（中間）像」という用語は「視野」とも呼ぶ。

そこで、例えば国際公開第２００８／０３７４９６Ａ２号パンフレットには、光学素子を収容したマイクロリソグラフィ用の対物レンズが開示されている。この光学素子にはマニピュレータによって多数の力および／またはトルクが印加され、その結果、光学素子の形態に関する局所的変動性が獲得される。

また、例えば国際公開第２００８／０３４６３６Ａ２号パンフレットまたは国際公開第２００９／０２６９７０Ａ１号パンフレットには、マイクロリソグラフィ用の対物レンズにおける平面プレートが開示されている。前記平面プレートの内部または上部には電流を印加することができる導体トラックが位置する。結果的に温度変化が生じた場合は、平面プレートの屈折率に局所的な影響を及ぼすことにより、平面プレートがそれ自体の屈折率に関して局所的変動性を有するようにすることができる。

また、例えば欧州特許第８５１３０５Ｂ１号には、マイクロリソグラフィ用の対物レンズの１対の平面プレート、いわゆるアルバレス（Alvarez）プレートが開示されている。
この１対のアルバレスプレートは、各例において各プレートの対向面上に非球面を有し、該非球面は、各プレートの互いに対する所定の相対的位置決めを行う際に、それらの光学的効果に関して相補的な関係にある。プレートの一方または両方を対物レンズの光軸に対して垂直に移動させたときに、これらのアルバレスプレートの光学的効果が定められる。

また、例えば欧州特許出願公開第１６７００４１Ａ１号公報には、特にダイポール照明の吸収の結果としてマイクロリソグラフィ用の対物レンズに導入される像収差の補償に役立つ装置が開示されている。ダイポール照明の場合、対物レンズの瞳面内に位置する光学素子が回転非対称な加熱に曝される。この光学素子には、好ましくは動作波長と異なる波長の光を放出する第２の光源から、少なくとも近似的に前記加熱に対して相補的となる付加的な光が印加されている。これによって望ましくない像収差が補償され、または少なくとも減少する。

光学素子を変形させるマニピュレータはそれらの特に迅速な応答挙動によって特徴付けられる。望遠鏡技術分野の迅速応答マニピュレータの概要は、R.K. Tyson: Principles of Adaptive Optics, Academic Press, Inc., ISBN 0.12.705900-8に記載されている。

あらゆるマニピュレータは一定の数の自由度を有する。この自由度の数は多種多様であり得る。したがって、例えばレンズを所定の方向に変位させるマニピュレータは、厳密に１つの自由度を有する。対照的に、レンズに熱を印加する導電トラックを備えるマニピュレータは、電圧が異なる形で印加され得る導電トラックの数に対応する自由度を有する。

本願の文脈では、「調整」という用語は、対物レンズの光学素子の相対的な空間的配置の変化だけでなく、上記で列挙したマニピュレータを利用した対物レンズの任意の操作も意味するものと理解されたい。

上記に加えて、「調整」という用語は下記の３つのサブフォームも意味するものと理解されたい。
・対物レンズ組み立て中の初期調整、
・投影露光装置の動作の割り込みを必要とする修理調整、および
・投影露光装置の動作中の微調整。

投影露光装置を使用場所で始めて使用する前に一定の状況下で必要となる調整も同様に修理調整という用語に分類されるものとする。

微調整は、とりわけ対物レンズの加熱によって生じる像収差を修正するために実施される。微調整の場合は実時間調整という表現も利用する。

微調整の実施、すなわち像収差を決定し、マニピュレータの移動距離を計算し（この計算を以下、「逆問題を解く」と言う。）、マニピュレータを移動させるのに要する下記の時間は、対物レンズの所期の用途、スループットおよびタイプ、ならびに対物レンズの利用可能なマニピュレータに依存するものと理解されたい。最大３００００ｍｓ（ミリ秒）、または最大１５０００ｍｓ（長時間挙動）、または最大５０００ｍｓ、または最大１０００ｍｓ、または最大２００ｍｓ、または最大２０ｍｓ、または最大５ｍｓ、または最大１ｍｓ（短時間挙動）。

この微調整を特に下記の３つのサブセクションに細分する。
・像収差の決定
・逆問題の解決
・マニピュレータの移動

上記の３つのサブセクションに関して、それらの実行に要する下記の時間を相対的に推定する。像収差の決定および逆問題の解決に要する時間と、マニピュレータの移動に要する時間の比率は５０％対５０％、逆問題の解決に要する時間と、像収差の決定に要する時間の比率は６０％対４０％である。したがって、通常は最大６０００ｍｓ、または最大３０００ｍｓ、または最大１０００ｍｓ、または最大２００ｍｓ、または最大４０ｍｓ、または最大４ｍｓ、または最大１ｍｓ、または最大０．２ｍｓを微調整中の逆問題の解決に利用することができる。

本発明は、逆問題、したがって主に微調整の問題を迅速に解く必要がある問題領域に関するものである。しかしながら、本発明はその他の２つのサブフォームのいずれか、すなわち初期調整または修理調整にも使用することができる。

調整、特に微調整の作業は、指定された像収差のうちの少なくとも１つが上界のうちの少なくとも１つをオーバーシュートした場合に、その像収差が前記上界を再びアンダーシュートするような手法でマニピュレータを駆動することからなる。

この場合は下記の２つの選択肢が考えられる。
１．上界のオーバーシュートとは無関係に、微調整を一定の時間サイクルで周期的に実行する。この場合は、時間サイクルを上記の時間サイクル、すなわち３００００ｍｓ、または１５０００ｍｓ（長時間挙動）、または５０００ｍｓ、または１０００ｍｓ、または２００ｍｓ、または２０ｍｓ、または５ｍｓ、または１ｍｓに適応させることができる。この目的のために、上述の時間サイクルをタイマーによって事前定義する。
２．上界のうちの１つを超えたときに、オーバーシュートした上界を再びアンダーシュートするような手法でマニピュレータを駆動することができない状況が生じる恐れがある。その場合は、解を保証するために上界を緩和することができる。ここで、すべての上界は比例係数を利用して緩和することが好ましい。

「上界」という表現はここでは純粋に数学的に解釈すべきである。個々の上界は個々の像収差につき１つとすることができる。しかしながら、前記上界は、対物レンズが仕様どおりとなる限界の最大許容像収差の仕様に必ずしも対応する必要はない。例えば、投影露光装置の動作全体にわたって投影露光装置の仕様に関する像収差のオーバーシュートが生じないような上界を選択すべきである。つまり、当然ながら、仕様のオーバーシュートを防止するにはマニピュレータを適時に使用する必要がある。このことは、上界を仕様よりも小さい値、例えば１０％や２０％、更には５０％に固定することによって達成することができる。像収差の絶対値に加えて、上界はそれ自体の勾配の絶対値、すなわち時間に関する一次導関数の絶対値、または両方の値の組合せ、例えば両方の値の和または最大値生成も含むことができる。一方、上界は考慮中の視野点、例えば網線上の撮像が特に困難な構造に依存する可能性がある。

更に、マニピュレータは様々な応答挙動を有する故に、この場合も比較的低速に作用するまたは緩慢に作用するマニピュレータを利用して設定され得る像収差の上界は、比較的高速なマニピュレータを利用して設定され得る像収差の上界よりも小さい値に固定されることになる。「比較的」という用語は、本明細書では定量的尺度として解釈すべきではなく、単に対物レンズ内で使用するマニピュレータを互いに区別する役割しか持たない。例えば、光学素子の位置を変更するマニピュレータは、光学素子に熱を印加するマニピュレータよりも反応挙動が速い。更なる例は、光学素子の形態を変更するマニピュレータである。これらのマニピュレータは、比較的高速なマニピュレータのクラス、および光学素子を交換することによって作用する例えば非球面化平面プレートのようなマニピュレータのクラスに含まれる。後者のマニピュレータは比較的低速なマニピュレータのクラスに含まれる。そのため、制御間隔はマニピュレータの応答挙動に適合させる必要がある。

更に、個々のマニピュレータ毎の制御間隔は、各マニピュレータがそれぞれの各自由度において次の制御間隔の開始前に当該自由度の最大可動範囲に実際に到達することができるように確実に設計しなければならない。制御間隔の終了時点で移動が達成されるようにするために、いかなるマニピュレータも静止することは許されない。移動とは、光学素子の位置を変更するマニピュレータの場合は文字どおりの意味で理解すべきである。光学素子を変形させるマニピュレータの場合、光学素子は調節間隔に到達した時点で固定形態をとらなければならない。熱または冷気を光学素子に印加するマニピュレータは、その静止状態において光学素子の形態および（透過性光学素子の場合は）光学素子の屈折率分布が時間的観点から見て静止状態となるように熱および／または冷気が設計されることを保証する必要がある。

解決すべき更なる課題は、設定変更の場合、例えばバッチの新しい開始点に関する網線を変更する場合に、新しいマニピュレータ設定を事実上不連続的に変更する必要があることである。すなわち、マニピュレータはそれぞれの現在位置からかなり離れていることもある新しい位置に、極めて短い時間で移動する必要がある。この問題は、特に前述の比較的緩慢なマニピュレータの場合に発生する。

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Coleman Brosilow / Babu Joseph, Techniques of Model-Based Control, Prentice Hall International Series in Physical and Chemical Engineering Sciences, USA 2002 R.K. Tyson: Principles of Adaptive Optics, Academic Press, Inc., ISBN 0.12.705900-8 Generalized Inverses: Theory and Applications, Adi Ben-Israel, et. al. Springer, New York, 2003 Andreas Rieder, Keine Probleme mit Inversen Problemen, Vieweg, 2003 Angelika Bunse-Gerstner, Wolfgang Bunse, Numerische Lineare Algebra, Teubner Studienbucher, 1985 Handbook of Optical Systems, Herbert Gross, ed., Vol. 1: Fundamentals of Technical Optics "Handbook of optical systems", vol. 2, W. Singer, M. Totzeck, H. Gross, pp. 257 Bunse-Gerstner, Wolfgang Bunse, Numerische Lineare Algebra, Teubner Studienbucher, 1985 "Analysis of discrete ill-posed problems by means of the L-curve", P.C. Hansen, SIAMReview, 34, 4, 1992 Jarre, F., Stoer, J., "Optimierung", Springer, 2004 Fiacco, A.V., McCormick, G. P., "Nonlinear Programming: Sequential Unconstrained Minimization Techniques", John Wiley & Sons, 1968 Karmarkar, N., "A new polynomial-time algorithm for linear programming", Combinatorica 4 1984), No. 4, 373 - 395 Mehrotra, S., "On the implementation of primal-dual interior point method", SIAM J. Optim. 2 1992), No. 4, 575-601 C. Hildreth, A quadratic programming procedure, Naval Res. Logistics Quart. 4 1957) 79-85 (Erratum, ibid., p. 361) D.A. D'Esopo, A convex programming procedure, Naval Res. Logistics Quart. 6 1959) 33-42 The Simplex Method for Quadratic Programming Philip Wolfe Econometrica, Vol. 27, No. 3 (Jul., 1959), pp. 382-398 Gill, P. E. and W. Murray, and M.H. Wright, Practical Optimization, Academic Press, London, UK, 1981 Nelder, J.A., R. Mead, "A Simplex Method for Function Minimization", Computer J. 7 1965), pp 308-313 Dueck et. al., "Threshold Accepting: A General Purpose Optimization Algorithm Appearing superior to Simulated Annealing", Journal of Comp. Physics, Vol. 9, pp. 161-165, 199 Gembicki, F.W., "Vector Optimization for Control with Performance and Parameter Sensitivity Indices", Ph.D. Thesis, Case Western Reserve Univ., Cleveland, Ohio, 1974 Gill, P.E., W. Murray, M.H. Wright, "Numerical Linear Algebra and Optimization", Vol. 1, Addison Wesley, 1991 K. Schittkowski (1981): The nonlinear programming method of Wilson, Han and Powell. Part 1: Convergence analysis, Numerische Mathematik, Vol. 38, 83-114, Part 2: An efficient implementation with linear least squares subproblems, Numerische Mathematik, Vol. 38, 115-127 W. Alt, "Nichtlineare Optimierung", Vieweg 2002 Volker Strassen: Gaussian Elimination is not Optimal, Numer. Math. 13, pp. 354-356, 1969

本発明の目的は、測定値または予測モデルから利用可能な像収差データに基づいて、マニピュレータの移動後に所定の仕様が像収差によって満足されるようなマニピュレータの移動量を決定することである。微調整にあたって、特にこれらの移動量を実時間決定することが企図される。この場合、実時間決定とは、いずれの場合も演繹的に事前定義される最大期間内、特に３００００ｍｓ、または１５０００ｍｓ、または５０００ｍｓ、または１０００ｍｓ、または２００ｍｓ、または２０ｍｓ、または５ｍｓ、または１ｍｓ以内に保証される決定を意味することを理解されたい。

マニピュレータの制御のために、一般にはマニピュレータの個々の移動量を決定するにあたって逆問題を数値的に解く必要がある。これは、一般に調整すべき像収差ｂが事前定義されることに起因する。更に、標準移動量ｘ_i0に関するマニピュレータの効果ａ_iは
既知である。これらの効果は個々のマニピュレータの感度としても定義される。静的感度、走査統合（scan-integrated）感度およびフェージング感度を区別するが、これらについては添付図面の説明の文脈で定義する。像収差ｂを共に調整する各マニピュレータの移動量ｘ_iを求める。すなわち、解が存在するならば、下記の問題をマニピュレータの作動距離ｘ_iに従って解決する必要がある。

一般に、同時に最適化することが企図された複数の像収差ｂ_j（ｊ＝１，．．．，ｎ）を含む像収差分布が存在する。この場合、ｂはベクトル（ｂ_j）であり、感度ａ_iは行列
（ａ_ij）を形成する。

１つまたは複数のマニピュレータの制御とは下記を意味するものと理解されたい。
（Ｉ）補正すべき像収差、すなわち右辺ｂの決定、
（ＩＩ）１つまたは複数のマニピュレータの移動量ｘ_i、すなわち上記の行列（ａ_ij
）の逆行列の決定、および
（ＩＩＩ）その結果得られるマニピュレータ自体の移動の実行。

本発明は主に上記の問題（ＩＩ）を解くものである。

（ＩＩ）と同様の逆問題を解くための既知の従来技術としては、ガウスアルゴリズム、ムーア‐ペンローズ逆行列（例えばGeneralized Inverses: Theory and Applications, Adi Ben-Israel, et. al. Springer, New York, 2003、またはAndreas Rieder, Keine Probleme mit Inversen Problemen (No problems with inverse problems；逆問題は問題ない), Vieweg, 2003, Definition 2.1.5, p. 22、またはAngelika Bunse-Gerstner, Wolfgang Bunse, Numerische Lineare Algebra (Numerical linear algebra；数値線形代数）, Teubner Studienbucher, 1985, Definition 1.5,1, p. 17, principle 1.5.6, p.20, section "Singularwertzerlegung und Pseudoinverse" ("Singular value decomposition and pseudo-inverses"；「特異値分解と擬似逆行列」), pp. 27-28を参照。）、および行列反転のための反復法が挙げられる。

数値的に問題となるのは解決すべき逆問題の悪条件である。前記悪条件は、マニピュレータの高い数の自由度を組み合わせた場合に、前記自由度のうちの個々の自由度が部分的に類似した光学的効果を有するときに生じる。

前記自由度の数が増加するにつれて、前記自由度は対物レンズのマニピュレータ毎に個別に考慮されず相互に作用するようになり、逆問題の悪条件が益々悪化し、正則化の作業が発生する。

正則化方法としては、例えばRieder, A., "Keine Probleme mit inversen Problemen", Vieweg, 2003に記載されるチホノフ（Tikhonov）正則化のような明示的な正則化が挙げられ、この正則化の重みは、好ましくは毎回の反復ステップ後、または１回置きの反復ステップ後、または他の何らかの所定回数の反復ステップ後に適合される。チホノフ正則化の場合、逆問題を解くのに要する計算時間は、非正則化問題に関しては増加し、使用するマニピュレータシステムによっては最大数分間続く可能性がある。そのような計算時間は初期調整および修理調整では許容できるが、対物レンズの動作中の微調整では許容できない。一定の状況下では、ここで逆問題を解くのに要する計算時間、したがってサブ秒範囲のマニピュレータシステムの可制御性が実時間で予想される。すなわち、逆問題の解はサブ秒範囲で保証する必要がある。また、チホノフ正則化の重みはマニピュレータの移動量に間接的な影響しか及ぼさず、特に、使用するマニピュレータの最大限の可能な移動量が完全に利用されるわけではない。

逆問題を解く他の方法としては、適切な線形計画法、二次計画法またはこれらの２つの組合せによる暗黙的な正則化が挙げられる。例えば、Rieder, A., "Keine Probleme mit inversen Problemen", Vieweg, 2003（特にexample 3.3.11, pp. 70-71, example 3.5.3, p. 80, chapter 4 "Tikhonov-Phillips Regularisierung" ("Tikhonov-Phillips regularization"；「フィリップス‐チホノフ正則化」), pp. 93-105、特にfigures 4.1 and 4.2 (pp.102, 103)）を参照されたい。この文献の開示内容を全体的に本願に援用する。

最後に、米国特許出願公開第２００５０２３１７００号公報に記載されているミニマックス最適化のような非線形最適化戦略も挙げられる。この米国特許出願の開示内容を全体的に本願に援用する。

投影露光装置のオペレータに対するチップ製造時のスループット要件は益々厳しくなっており、今後逆問題を解く上で確保できる時間は更に短くなるだろう。過度に長い時間を確保すると、通常はそれに付随して像収差が上界のうちの１つをオーバーシュートする時間が長くなる。そのような場合は、投影露光装置の動作を停止させる必要が生じ、またはスループットを減少させる必要が生じ、または不合格品の発生が必然的に予想される。一般に、微調整の全体的な調整時間は、像収差の決定および逆問題の解決に５０％（内訳：約６０％対４０％）、マニピュレータの移動に５０％配分される。緩慢なマニピュレータ、例えば熱および／または冷気を光学素子に印加するマニピュレータ、または光学素子を交換するマニピュレータ、例えば平面プレートは、更なる実施形態では別々に取り扱われる。したがって、逆問題を解くのに利用できる時間は全調整時間のたった２０％となる。絶対値にすると、これに利用できる時間は一般に最大４０ｍｓ、または最大４ｍｓ、または最大１ｍｓ、または最大０．２ｍｓしかない。

同時に、像収差によって定義されず、使用されるマニピュレータシステムに由来する付加的な仕様では、そのマニピュレータ数および自由度が増加する故に、逆問題の解によって満足する必要がある境界条件を更に増加させることが要求される。したがって、例えば上述の導電トラックが最大の電力消費量を有するのと同様に、上述のレンズの変位は最大の移動量を有する。マニピュレータの仕様は最大または最小の操作移動量、操作速度、操作加速度とすることができる。同様に、操作移動量、操作速度、操作加速度の和、特に平方和、または最大値および／もしくは最小値生成、または平均値生成も使用される。これらの境界条件は、同義的に範囲または移動範囲とも呼ぶが、マニピュレータの自由度の数が増加するにつれて制約がより厳しくなる。その結果、例えばチホノフ正則化のような単純な正則化技術を制約された範囲でしか利用することができなくなる。

したがって、本発明は、最大許容像収差に関する仕様を順守するだけでなく、マニピュレータの最大許容範囲を仕様の形で定式化し順守することを目的とするという点で、拡大する。

マニピュレータの各自由度は数学的に像収差の１次元空間として解釈することができる。合計ｎ個の自由度を有するマニピュレータの移動量が理論上任意であるとすれば、像収差の組合せのｎ次元空間をマニピュレータによって設定することができる。設計によってまたは構造空間によって支配される各範囲に対するこれらの自由度の制約は、マニピュレータの可能な移動距離のｎ次元多面体を構成し、以下ではこれを調整多面体と呼ぶ。例えば、多面体の１つの辺（edge）を最小可能電流から最大可能電流までの間隔に対応させることができる。最小電流はこの場合ゼロとすることができる。別法として、多面体の１つの辺を、例えば光学素子の構造空間によって支配される最小空間移動距離から構造空間によって支配される最大空間移動距離までの間隔に対応させることができる。この場合、最小移動距離は負となる可能性がある。

最後に、逆問題の単一解が一義的に定められない場合は、その単一解の質に関する質問に答えることが益々必要になる。質とは、ここでは例えば下記のような一連の基準に関する一般用語として理解するものとする。
・単一解とは、マニピュレータの様々な可制御性をもたらし、そのうちのいくつかは好ましい解である複数の可能な解のうちの１つである。例えば、最小数の可能なマニピュレータを駆動することが選好（preference）される可能性がある。別の選好は、調整が可能な限り迅速に達成できるように、駆動すべきマニピュレータの最大移動量を最小限に抑えることである。この場合、最大移動量は空間的に理解することも時間的に理解することも可能である。
・単一解とは、マニピュレータの駆動後に他の可能な解に起因する像収差分布よりも良好なリソグラフィ装置の性能をもたらす像収差分布を示し、したがってそのような解が選好される複数の可能な解のうちの１つである。
・単一解とは、像収差に安定的に依存する複数の解のうちの１つ、すなわちマニピュレータの設定確度に応じて、計算上のマニピュレータ移動量から常に少しずれることになる実際のマニピュレータ移動量が計算上の像収差レベルに匹敵する実際の像収差レベルを達成すると仮定し得る場合にそのような解が選好される解のうちの１つである。
・単一解とは、長期的に予測された像収差レベルを補正する移動方向に対応する方向へとマニピュレータを移動させる複数の解のうちの１つ、すなわち予想される方向にマニピュレータの移動量のばらつきがある場合にそのような解が選好される解のうちの１つである。

最後に、原則として逆問題の解決可能性を保証しなければならないので、やはり像収差の適切な上界を選択する必要がある。

マニピュレータを有する対物レンズ、それらの制御部、可能なセンサ、メモリ、および／またはマニピュレータシステムの正則化技術、ならびに対物レンズの像収差に関する可能な測定技術を以下ではまとめて投影装置と呼ぶ。

本発明が解決する課題の説明の背景となる上記の要件は、下記の定式化（formulation）による本発明によるマイクロリソグラフィ用の投影装置、本発明によるマイクロリソグラフィ用の投影露光装置、およびマイクロリソグラフィ用の投影露光装置を操作する本発明による方法を利用することによって保証される。

下記の定式化は本発明の各実施形態の説明であり、説明を分かりやすくするために番号を付してある。

１．マイクロリソグラフィ用の投影装置であり、
・物体視野を撮像する対物レンズと、
・前記対物レンズの少なくとも１つまたは複数の光学素子を操作する１つまたは複数のマニピュレータと、
・少なくとも１つまたは複数のマニピュレータを制御するための制御装置、
・前記対物レンズの少なくとも１つの像収差を決定する決定デバイスと、
・前記少なくとも１つの像収差および／または前記少なくとも１つまたは複数のマニピュレータの移動量に関する上界を含む、前記対物レンズの１つまたは複数の仕様に関する上界を収容したメモリとを備え、
・前記像収差のうちの１つが前記上界のうちの１つをオーバーシュートしたこと、および／または前記マニピュレータ移動量のうちの１つが前記上界のうちの１つをオーバーシュートしたことが判定されたときに、
・前記１つまたは複数のマニピュレータの制御により、
・遅くとも３００００ｍｓ、または１００００ｍｓ、または５０００ｍｓ、または１０００ｍｓ、または２００ｍｓ、または２０ｍｓ、または５ｍｓ、または１ｍｓ以内に
・前記上界のアンダーシュートを達成することができる
ことを特徴とする投影装置。

２．マイクロリソグラフィ用の投影装置であり、
・物体視野を撮像する対物レンズと、
・前記対物レンズの少なくとも１つまたは複数の光学素子を操作する１つまたは複数のマニピュレータと、
・前記少なくとも１つまたは複数のマニピュレータを制御する制御ユニットとを備え、 前記制御ユニットは、
・前記少なくとも１つまたは複数のマニピュレータの移動量を逆問題を解くことによって決定する第１のデバイスを収容し、
・特に前記逆問題の数値的安定化のための第２のデバイスを収容し、
・前記数値的安定化は、特にＳＶＤ安定化および／または重みγによるチホノフ安定化、特にＬ曲線法、および／またはＣＧ安定化および／または前処理である
ことを特徴とする投影装置。

３．マイクロリソグラフィ用の投影装置であり、
・物体視野を撮像するための対物レンズと、
・前記対物レンズの少なくとも１つまたは複数の光学素子を操作する少なくとも１または複数のマニピュレータと、
・前記少なくとも１つまたは複数のマニピュレータを制御する制御ユニットと、
・前記少なくとも１つの像収差および／または前記少なくとも１つまたは複数のマニピュレータの移動量に関する上界を含む、前記対物レンズの１つまたは複数の仕様に関する上界を収容したメモリとを備え、
前記制御ユニットは、
・前記逆問題を最小化問題に変換する第３のデバイスを収容し、
・前記上界を前記最小化問題の境界条件に変換する第４のデバイスを収容し、
・特に線形計画法、とりわけシンプレックス法、および／または二次計画法、および／または準ニュートン法、および／またはＣＧ法、および／または内点法、および／または有効制約法、および／またはシミュレーテッドアニーリング、および／または逐次二次計画法、および／または遺伝的アルゴリズム、および／またはルインアンドリクリエイト法（ruin and recreate method）を利用して、または上記のうちの２つまたは有限集合をトグルすることによって前記最小化問題を解く第５のデバイスを収容する
ことを特徴とする投影装置。

４．定式化２および３、または定式化１および２、または定式化１および３に記載の投影装置。

５．像視野の２対以上、好ましくは１０対以上、非常に好ましくは３０対以上、極めて好ましくは８１対以上の異なる視野点における前記像収差を前記決定デバイスによって決定することができ、前記視野点は好ましくは矩形格子または偏菱形格子またはスポーク状格子の形に配置される
ことを特徴とする、定式化１、または定式化１および４に記載の投影装置。

６．少なくとも３つの光学素子を操作する少なくとも３つのマニピュレータを収容し、前記光学素子のうち、少なくとも１つは瞳付近、１つは視野付近、１つは視野付近でも瞳付近でもない
ことを特徴とする、定式化１〜５のいずれかに記載の投影装置。

７．前記制御ユニットは前記少なくとも１つまたは複数のマニピュレータの制御を遅くとも１５０００ｍｓ、または遅くとも５０００ｍｓ、または遅くとも２０００ｍｓ、または遅くとも５００ｍｓ、または遅くとも１００ｍｓ、または遅くとも１０ｍｓ、または遅くとも２ｍｓ、または０．５ｍｓ以内に達成することができる
ことを特徴とする、定式化１〜６のいずれかに記載の投影装置。

８．前記投影装置は複数のマニピュレータを備え、特に第１のクラスおよび第２のクラスのマニピュレータを備え、前記第１のクラスのマニピュレータの可制御性は、前記第２のクラスのマニピュレータの可制御性よりも１倍超、または２倍超、または５倍超、または１０倍超、または１００倍超、または１０００倍超迅速に達成することができる
ことを特徴とする、定式化１〜７のいずれかに記載の投影装置。

９．前記第２のクラスのマニピュレータは、それぞれの設計によってまたは前記対物レンズの範囲内の構造空間によって支配される最大可能移動距離について好ましくは８０％、または５０％、または２０％、または１０％、または１％の制約を課すことができる
ことを特徴とする、定式化８に記載の投影装置。

１０．前記像収差の仕様の選択に関して、６００００ｍｓ、または２００００ｍｓ、または１００００ｍｓ、または５０００ｍｓ、または１０００ｍｓ、または２００ｍｓ、または２０ｍｓの短期間の間に５０％、または２０％、または１５％、または１０％、または５％、または２％、または１％のオーバーシュートを伴う許容範囲、特に６００００ｍｓの期間では５０％、または２００００ｍｓの期間では２０％、または１００００ｍｓの期間では１５％、または５０００ｍｓの期間では１０％、または１０００ｍｓの期間では５％、または２００ｍｓの期間では２％、または２０ｍｓの期間では１％のオーバーシュートを伴う許容範囲をもたらすことができる
ことを特徴とする、定式化１、または定式化１および４〜９のいずれかに記載の投影装置。

１１．前記少なくとも１つまたは複数のマニピュレータは、それぞれ最大可能移動距離を経た後のそれぞれの静止位置に１５０００ｍｓ、または５０００ｍｓ、または２０００ｍｓ、または５００ｍｓ、または１００ｍｓ、または１０ｍｓ、または２ｍｓ、または０．５ｍｓ以内に到達することができる
ことを特徴とする定式化１〜１０のいずれかに記載の投影装置。

１２．前記決定は測定、特に干渉法測定および／または時間外挿および／または空間外挿および／または空間補間および／またはシミュレーションによって達成することができる
ことを特徴とする、定式化１、または定式化１および４〜１１のいずれかに記載の投影装置。

１３．前記少なくとも１つまたは複数のマニピュレータは、前記光学要素を変位および／またはチルトおよび／または回転させ、且つ／または前記光学要素を少なくとも１つの交換素子で置き換え、且つ／または前記光学要素を変形させ、且つ／または前記光学要素に熱および／または冷気を印加することができる
ことを特徴とする、定式化１〜１２のいずれかに記載の投影装置。

１４．前記交換素子は好ましくは非球面化された１枚の平面プレートまたは１対のプレート、特に１対のアルバレスプレートであり、またはフィルタもしくは絞りである
ことを特徴とする、定式化１３に記載の投影装置。

１５．前記少なくとも１つまたは複数のマニピュレータは、好ましくは動作波長と異なる波長の付加的な光を前記光学素子に印加することができ、且つ／または前記付加的な光の印加は、好ましくは前記動作波長を有する光が相補的に印加される領域の部分的領域において実行することができる
ことを特徴とする、定式化１３に記載の投影装置。

１６．前記少なくとも１つの光学素子は、光方向における最初のまたは最後の光学素子である、または前記対物レンズの中間像近傍に位置する、または前記対物レンズの瞳面近傍に位置する
ことを特徴とする、定式化１３〜１５のいずれかに記載の投影装置。

１７．前記少なくとも１つまたは複数のマニピュレータの自由度の総数は１０超、または２０超、または５０超、または１００超、または２００超、または５００超、または１０００超である
ことを特徴とする、定式化１〜１６のいずれかに記載の投影装置。

１８．前記少なくとも１つの像収差は、被加数に密度関数が与えられる走査統合変数を含む
ことを特徴とする、定式化１、または定式化１および４〜１７のいずれかに記載の投影装置。

１９．前記密度関数はランプ関数もしくはガウス関数であり、またはガウス関数もしくはランプ関数に類似する関数である
ことを特徴とする、定式化１８に記載の投影装置。

２０．前記仕様は、最大および／または最小の操作移動量および／もそくは操作速度および／もしくは操作加速度、および／またはそれらの和、特に平方和、または最大値生成、または最小値生成、または平均値生成を含む
ことを特徴とする、定式化１、または定式化１および４〜１９のいずれかに記載の投影装置。

２１．前記少なくとも１つのマニピュレータが前記少なくとも１つの光学素子を変形させること、または前記複数のマニピュレータが前記複数の光学素子を変形させることが可能であり、且つ前記仕様が当該１つまたは複数のマニピュレータの最大および／または最小トルクを含む
ことを特徴とする、定式化１〜２０のいずれかに記載の投影装置。

２２．前記少なくとも１つまたは複数のマニピュレータは前記少なくとも１つまたは複数の光学素子に熱および／または冷気を印加することができ、前記仕様は当該１つまたは複数のマニピュレータの最大および／または最小の電力消費量および／または電力勾配を含む
ことを特徴とする、定式化１３に記載の投影装置。

２３．前記熱の印加は赤外光によってまたはペルチェ素子によって達成することができる
ことを特徴とする、定式化２２に記載の投影装置。

２４．前記冷気の印加はペルチェ素子によって達成することができる
ことを特徴とする、定式化２２または２３に記載の投影装置。

２５．前記少なくとも１つの像収差は、スケール誤差、および／または焦点深度、および／またはテレセントリック誤差、および／またはベストフォーカス、および／またはフェージング、および／またはオーバーレイ誤差、および／または焦点深度、および／またはｒｍｓ、および／またはグループ化ｒｍｓ、および／または残差ｒｍｓ、および／または個々のゼルニケ係数である
ことを特徴とする、定式化１、定式化１および４〜２４のいずれかに記載の投影装置。

２６．前記数値的安定化はチホノフ安定化であり、前記第２のデバイスは前記チホノフ安定化を反復的に実行し、前記チホノフ安定化に関連する前記重みγまたは重み行列Γが毎回の反復ステップ後、または１回置きの反復ステップ後、または所定の有限回の反復ステップ後に適合される
ことを特徴とする、定式化２、または定式化２および４〜２５のいずれかに記載の投影装置。

２７．前記制御ユニットおよび／または前記メモリを利用して、１つまたは複数の仕様および／またはメリット関数がゲンビツキー（Gembicki）変数を用いて、特に多変量ｓｐｅｃを用いて可変的に保持される
ことを特徴とする、定式化１、または定式化１および４〜２６のいずれかに記載の投影装置。

２８．前記制御ユニットは前記逆問題を解くために直接法または反復法を使用する
ことを特徴とする、定式化２、定式化２および４〜２７のいずれかに記載の投影装置。

２９．前記第１のデバイスは前記逆問題を解くためにガウス法またはムーア‐ペンローズ逆行列を使用する
ことを特徴とする、定式化２、または定式化２および４〜２７のいずれかに記載の投影装置。

３０．前記反復法は、事前誤差評価もしくは事後誤差評価に基づいて終了する、または所定回数の最大反復後もしくは所定の有限の時間間隔後に終了する
ことを特徴とする、定式化２８に記載の投影装置。

３１．前記制御ユニットは第６のデバイスを収容し、前記第６のデバイスは選好として、可能な限り少ない数の前記マニピュレータの駆動を選好し、または前記マニピュレータの最大移動量の最小化を選好し、または最も安定な解を選好し、または前記逆問題が２つ以上の解を有する場合に予想される像収差分布の展開に最も良く対応する解を選好する
ことを特徴とする、定式化２、または定式化２および４〜３０のいずれかに記載の投影装置。

３２．前記決定は、予測モデルの決定と測定値の決定の交互計算シーケンスを含む
ことを特徴とする、定式化１、または定式化１および４〜３１のいずれかに記載の投影装置。

３３．前記予測モデルは、空気圧および／または温度、特に前記対物レンズの外部温度を測定し、基礎となるモデルのパラメータとして使用するモデルベース制御に基づく
ことを特徴とする、定式化３２に記載の投影装置。

３４．マイクロリソグラフィ用の投影装置であり、
・合計ｎ＝５超、またはｎ＝１０超、またはｎ＝２０超、またはｎ＝５０超、またはｎ＝１００超、またはｎ＝５００超、またはｎ＝１０００超の自由度を有する１つまたは複数のマニピュレータと、
・前記１つまたは複数のマニピュレータを制御または調節する制御ユニットとを備え、 前記制御ユニットは前記１つまたは複数のマニピュレータの実時間制御、特に１５０００ｍｓ、または５０００ｍｓ、または１０００ｍｓ、または２００ｍｓ、または２０ｍｓ、または５ｍｓ、または１ｍｓの制御を保証する
ことを特徴とする、投影装置。

３５．マイクロリソグラフィ用の投影露光装置であり、定式化１〜３４のいずれかに記載の投影装置を備える
ことを特徴とする投影露光装置。

３６．定式化１〜３５のいずれかに記載の投影装置を有するマイクロリソグラフィ用の投影露光装置の操作方法であり、前記投影装置は前記投影露光装置を備える、方法。

３７．前記マニピュレータの調節または制御は、網線毎、またはバッチ毎、またはウェハ毎、またはダイ毎、または個々のダイの露光中、または初期調整中、または修理調整中に実行される
ことを特徴とする、定式化３６に記載の方法。

３８．前記調節または制御は、長くても３００００ｍｓ、または１００００ｍｓ、または５０００ｍｓ、または１０００ｍｓ、または２００ｍｓ、または２０ｍｓ、または５ｍｓ、または１ｍｓの等距離の時間間隔で達成される
ことを特徴とする、定式化３６または３７に記載の方法。

３９．定式化１３、または定式化２２〜２４のいずれかに記載の投影装置を有するマイクロリソグラフィ用の投影装置の操作方法であり、前記少なくとも１つまたは複数の光学素子に熱および冷気が印加され、これらの印加は、熱と冷気を時間的に交互に順次印加することを含む
ことを特徴とする方法。

４０．定式化１〜３５のいずれかに記載の投影装置を有するマイクロリソグラフィ用の投影露光装置の操作方法であり、前記制御ユニットは前記１つまたは複数のマニピュレータの実時間制御、特に１５０００ｍｓ、または５０００ｍｓ、または１０００ｍｓ、または２００ｍｓ、または２０ｍｓ、または５ｍｓ、または１ｍｓの制御を行う
ことを特徴とする方法。

以下、添付図面に示した例示的な実施形態に基づいて本発明の説明を行う。

対物レンズ、決定ユニット、制御ユニット、メモリおよびマニピュレータシステムを有するマイクロリソグラフィ用の投影装置の基本概略図である。 微調整用の制御ユニットの基本概略図である。 第１のタイプの調整アルゴリズムの基本概略図である。 第２のタイプの調整アルゴリズムの基本概略図である。 逆問題を解くためにトグルを使用した場合の投影露光装置の性能を例示する図である。 チホノフ正則化を例示する図である。 対物レンズおよびマニピュレータシステムを有するマイクロリソグラフィ用の第１のタイプの投影装置を示す図である。 対物レンズおよびマニピュレータシステムを有するマイクロリソグラフィ用の第２のタイプの投影装置を示す図である。 対物レンズおよびマニピュレータシステムを有するマイクロリソグラフィ用の第３のタイプの投影装置を示す図である。 コア構造のｘ方向のフェージングを例示する図である。 コア構造のｘ方向のオーバーレイを例示する図である。 コア構造のベストフォーカスを例示する図である。 本発明による投影装置を備えるマイクロリソグラフィ用の投影露光装置の基本概略図である。

図１は、像視野１０２上に物体視野１０１を撮像するためのマイクロリソグラフィ用の投影装置１００の例示的な一実施形態を示す。投影装置１００は投影対物レンズ１１０を収容する。投影対物レンズ１１０は以下、対物レンズと呼ぶ。物体視野１０１内に位置する２つの視野点１０３および１０４を例として図示している。視野点１０３および１０４は対物レンズ１１０によって像視野１０２に撮像される。

対物レンズ１１０はレンズ１１１、鏡１１２、平面プレート１１３等の光学素子を収容する。マニピュレータ１２１はレンズのうちの１つに作用する。マニピュレータ１２１はレンズを変位させ、傾け、加熱し、且つ／または冷却することができる。第２のマニピュレータ１２２は、マニピュレータ１２１と同じ方法でまたは異なる方法で鏡１１２に作用し、第３のマニピュレータ１２３は、平面プレート１１３を非球面化された別の平面プレート（ここでは図示せず）と交換する役割を果たす。

所定の開口が設けられ、その開口によって境界が画定される最大光線が２つの視野点１０３および１０４から現れる。ここでは前記光線の最も外側の線を破線で示してある。これらの最も外側の線はそれぞれ視野点１０３および１０４に関連する波面の境界を画定する。本発明の例示のために、前記波面は球面であると仮定する。波面センサおよび／または更なるセンサおよび／または予測モデルが決定ユニット１５０を形成する。決定ユニット１５０は、波面が対物レンズ１１０を通過した後に波面の測定値に基づいて像収差に関する情報を供給する。前記更なるセンサは、例えば空気圧センサ、対物レンズ１１０の内側の温度を測定するセンサ、またはレンズ１１１のようなレンズ上または鏡１１２のような鏡の裏面上の温度を測定するセンサである。

マニピュレータ１２１、１２２、１２３は制御ユニット１３０によって制御される。制御ユニットは調節ユニットとして実施することもできる。

制御ユニット１３０は、メモリ１４０から仕様の形で像収差の上界およびマニピュレータ範囲を取得するとともに、決定ユニット１５０から測定された像収差または波面に関する情報を取得する。

制御ユニット１３０は、複数の光学素子１１１、１１２、１１３のうちの１つまたは複数を３００００ｍｓ、または１００００ｍｓ、または５０００ｍｓ、または１０００ｍｓ、または２００ｍｓ、または２０ｍｓ、または５ｍｓ、または１ｍｓ以内に調節および関連操作したことにより、視野点のうちの１つにおける像収差のうちの１つが上界のうちの１つをオーバーシュートしたことが判定されたときに、１つまたは複数の仕様の上界のアンダーシュートを達成する調整アルゴリズムを収容する。上記の異なる時間間隔は、投影露光装置の調整の適用形態が異なることによる。特に、３００００ｍｓまたは１００００ｍｓまたは５０００ｍｓまたは１０００ｍｓの期間は初期調整に有利である。３００００ｍｓまたは１００００ｍｓまたは５０００ｍｓまたは１０００ｍｓまたは２００ｍｓまたは２０ｍｓの期間は修理調整に有利である。最後に、２００ｍｓまたは２０ｍｓまたは５ｍｓまたは１ｍｓの期間は微調整に有利である。

図２は、微調整の場合の制御ユニット１３０を示す。この場合、前記制御ユニットはマニピュレータ監督ユニット１３１を備え、マニピュレータ監督ユニット１３１は、マニピュレータ１２１、１２２、１２３との間のインタフェースを形成し、１つまたは複数のプロセッサ１３３ｉが収容されたコンピュータ１３３に接続されている。タイマー１３２は、上述のサイクル時間２００ｍｓまたは２０ｍｓまたは５ｍｓまたは１ｍｓまたは他の適切な間隔を事前定義する。この間隔中に、コンピュータ１３３が決定ユニット１５０から供給された像収差または波面に関する入力情報およびメモリ１４０から供給されるマニピュレータ仕様に基づいて個々のマニピュレータ１２１、１２２、１２３の移動量を決定する。コンピュータ１３３は、マニピュレータ移動量ｘ_i（ただし、ｘ＝（ｘ_i））を逆問
題Ａｘ＝ｂの解として決定する第１のデバイス１３４と、任意選択で逆問題の数値的安定化のための第２のデバイス１３５と、任意選択で逆問題を最小化問題に変換する第３のデバイス１３６と、任意選択でメモリ１４０からマニピュレータ仕様を最小化問題の境界条件に変換する第４のデバイス１３７と、任意選択で最小化問題を解く第５のデバイス１３８と、任意選択で逆問題と異なる解が存在する場合はそのような異なる解を選好する第６のデバイス１３９とを備える。この点については後でより詳細に観察する。

図３は、本発明による調整アルゴリズムの例示的な一実施形態を一般的な形で示す。対物レンズを動作状態にした後、対物レンズの像収差を規則的なまたは不規則な時間間隔で決定する。この像収差の決定は像収差測定によってまたは像収差予測によって実行される。一般に、この予測の基礎となる個々のデータは、測定の場合は干渉法によって波面の形で決定される。波面を干渉法によって決定する装置は、国際公開第２００１／６３２３３Ａ２号パンフレットに記載されている。この国際特許出願の開示内容を全体的に本願に援用する。

波面および／または空間像を複数の視野点に関して測定する。これらは例えば矩形格子上に配置され、ｍ×ｎの視野点ｐ_ijを有する行列に対応する。視野点の典型的な数は５
×７、３×１３、５×１３または７×１３である。他の可能な形態の格子配置は、曲線視野プロファイルに従う偏菱形格子またはスポーク状格子である。これらの各格子形式の視野点は行列の形に配置することができる。

任意選択で、こうして得られた測定データから数値的ノイズをフィルタリングによって除去する。個々の視野点ｐ_ijに関連する波面ω（ｐ_ij）、したがって収差の波面、す
なわち理想的な球面形状からの偏差は、本願の文脈では、次式のとおりゼルニケ多項式Ｚ_lまたは好ましくは正規直交関数系に所定の次数ｎまで数値的に分解される。

この展開の次数ｎは一般に３６、４９、６４または１００である。ゼルニケ多項式の定義については、例えばドイツ特許出願公開第１０２００４０３５５９５Ａ１号公報、またはHandbook of Optical Systems, Herbert Gross, ed., Vol. 1: Fundamentals of Technical Opticsのtable 11-1を参照されたい。これらの文献に提示されているゼルニケ多項式は下記のフリンジナンバリング（fringe numbering）に従う（ここでは次数ｎ＝９まで列挙する）。

最も高い指数ｒはゼルニケ多項式Ｚのラジアル次数を決定し、最も高い指数φはゼルニケ多項式Ｚのアジムス次数を決定する。このゼルニケ多項式は、次式のとおりスカラー積に対して直交であり、

且つ下記のノルムを有する。

上式で、Ｚのラジアル次数が０より大きい場合はｋ＝２、Ｚのラジアル次数が０である場合はｋ＝１であり、ｑはアジムス次数である。

係数α^ijlｎｉに基づいて、スケール誤差、テレセントリック誤差、オーバーレイお
よび焦点深度、ベストフォーカス、複数の視野点の統合に由来する他の像収差のような像収差が決定される。これらの像収差としては例えばｒｍｓ（二乗平均平方根）が挙げられ、また例えばｒｍｓ_spherical、ｒｍｓ_{coma x}、ｒｍｓ_{coma y}、ｒ
ｍｓ_coma、ｒｍｓ_{ast 90}、ｒｍｓ_{ast 45}、ｒｍｓ_ast、ｒｍｓ_{3fo
il x}、ｒｍｓ_{3foil y}、ｒｍｓ_3foilのようなグループ化ｒｍｓ、残差ｒ
ｍｓ、フェージングも挙げられる。

視野点ｐ_ijにおけるｒｍｓは次式によって与えられる。

上式で、ｎ＝３６またはｎ＝４９またはｎ＝１００が成り立つ。視野点ｐ_ijにおける
中心ｒｍｓ_zは次式によって与えられる。

視野点ｐ_ijにおける残差ｒｍｓ_resは次式によって与えられる。

上式では３７の代わりに５０または１０１の値も使用される。視野点ｐ_ijにおけるグループ化ｒｍｓは次式によって与えられる。

ｘ方向およびｙ方向のフェージングＦＡＤ_xおよびＦＡＤ_yは、それぞれ走査統合像収差および撮像対象構造の視野依存歪みの測定値である。投影露光装置の動作中は、撮像すべき構造の位置がｘ方向およびｙ方向の視野依存歪みによって変化する。したがって、構造を撮像する際は平均位置のコントラストが低下する。フェージング強度は歪みの平均標準偏差によって特徴付けられ、また、後述するように例えばｙ方向を走査する投影光学ユニットのｘ方向で計算される。

まず、いわゆるコア構造と周辺構造を区別する。ｘダイポール照明（例えば"Handbook of optical systems", vol. 2, W. Singer, M. Totzeck, H. Gross, pp. 257参照。この文献の開示内容を全体的に本願に援用する。）を使用するときは、例えば垂直方向の平行線がコア構造となる。というのも、それらはより高い分解能で撮像する必要があるからである。この場合は例えば、水平方向の平行線のような水平方向構造を周辺構造と呼ぶ。

コア構造と周辺構造の区別に加えて、添え字ｉｊの視野点ｘ_ijに関する視野点依存の構造オフセットΔｘ_ijも、一般に撮像すべき構造間の距離に依存し、本明細書ではこれをピッチθ_vと呼ぶ。一般に、構造幅が６０ｎｍ、４５ｎｍ、３２ｎｍまたは僅か２２ｎｍである場合、ピッチの間隔は、θ₁＝２×構造幅〜θ_N＝１０×構造幅と見なされる。
この間隔をΔθ＝１５ｎｍまたは１０ｎｍまたは５ｎｍまたは１ｎｍのように、十分に微細なステップサイズで等距離に細分する。例えば、ｉ＝１，．．．，１３（ｘ方向）、ｊ＝１，．．．，７（ｙ方向）のときの各視野点ｐ_ijおよび各ピッチθ_vに関して、まずｘ方向の一般に視野点依存および構造依存のオフセットΔｘ_ijが決定される。この構造オフセットΔｘ_ijは一般に直接測定することができ、そうでなければ一次因子および関連する波面測定値を利用して導出することができる。測定の代わりにシミュレーションを使用することができ、または測定とシミュレーションで構成されるハイブリッド法を使用することができる。

コア構造および周辺構造に関するｘ方向の構造オフセットの走査加重ピッチ依存平均値（scanner-weighted and pitch-dependent mean value）を、水平方向視野点の添え字ｉに応じてそれぞれの場合で次式のように定義する。

説明を分かりやすくするために、以下ではコア構造のみを考慮する。したがって、すべて式は周辺構造にも適用可能である。更に、ここでは視野点ｐ_ijに関するｙ方向の走査の統合により、ｘ方向の区別のみを行う。ｇ_jは、下方の照明の強度分布に由来するスキャナ重みである。一般に、ｊ＝１，．．．，７の視野点では、ｐ_ijがｙ方向で評価され、ｇ_jは例えばランプ関数、すなわち

に対応する。ｋ、ｋ１およびｋ２は照明強度に従って選択する。別法として、ｇ_jが例えばガウス関数のような他の何らかの密度関数に従うようにすることもできる。この場合、密度関数はそれぞれ１に正規化することができる。ランプ関数またはガウス関数と同様の関数も代替的に利用される。この場合、所定の関数ｆに対する関数ｆ’の類似性は、所定の関数ｆを基準として定量化される偏差を意味するものと理解されたい。この場合、前記偏差は同様に所定のノルム‖‖で測定する。使用するノルムは主に下記の最大ノルムである。

使用する事前定義偏差は下記のパーセンテージ偏差である。

上式で、α＝１．１またはα＝１．５である。

この場合、下方の照明はコヒーレント、部分コヒーレント、ダイポール照明、四極照明、環状照明または他の何らかの自由定義照明設定とすることができる。

フェージングの定義を終えるために、ここでスキャナ加重分散σ² _iを次式のように計算する。

したがって、平均標準偏差は次式のとおりとなる。

次に、視野点およびすべてのピッチθ_vの最大値

をｘフェージングＦＡＤ_xとして指定する。

類似の関係がｙ方向のフェージングＦＡＤ_yに適用可能であるが、その場合はΔｘ_ijではなく、ｙ方向の構造依存オフセットを指定する変数Δｙ_ijを使用する。

引き続き図１０は、ｘダイポール照明において、ｘ＝−１３ｍｍ〜ｘ＝１３の物体視野にわたって測定したピッチθ₁＝２×構造幅〜θ_N＝１０×構造幅のコア構造に関するＭＳＤ_i ^xを示す。構造幅は４５ｎｍである。ＦＡＤ_xは図示の点にあると仮定する。

像収差オーバーレイＯＶＬは同様にコア構造、周辺構造およびピッチに依存し、スキャナ平均歪みの尺度である。先に構造配向毎に別々に定義したように、所定の有限ピッチ列θ_v，ｖ＝１，・・・，Ｎおよびｘ方向の視野点ｘ_i，ｉ＝１，．．．，１３に関して、オフセット、換言すれば重心は次式によって定義される。

このオフセットは期待値を定義する。この場合もやはりコア構造のみを考慮する。各ピッチθ_vを固定とした場合は、厳密に１つの最大オーバーレイ値ＯＶＬ_x,νが存在する。

最後に、すべてのピッチの最大値が、所与の構造配向に関するｘ方向のオーバーレイ誤差ＯＶＬ_xとして指定される。

類似の関係がｙ方向のオーバーレイ誤差ＯＶＬ_yに適用可能であるが、その場合は

の代わりに、スキャナ統合変数

を考慮する。対応する手法で周辺構造に関するオーバーレイ誤差が決定される。

引き続き図１１は、典型的なｘダイポールにおいて、ｘ＝−１３ｍｍ〜ｘ＝１３ｍｍの物体視野にわたって測定したピッチθ₁＝２×構造幅〜θ_N＝１０×構造幅のコア構造に関する値

を示す。構造幅は４５ｎｍである。ＯＶＬ_xは図示の点にあると仮定する。

像収差ベストフォーカスＢＦはスキャナ統合焦点誤差の尺度であり、やはり考慮されるピッチに依存する。まず、オーバーレイ、各視野点および各ピッチに関する上記の定義により、換言すれば構造オフセットのピッチ依存平均値により、構造依存の平均焦点位置を測定またはシミュレーションまたはハイブリッド法によって測定する。この場合もコア構造と周辺構造とを区別する。無論、ｘおよびｙによる区別は行わない。次いで、オーバーレイの定義の場合と同様の手法で、ｘ方向のすべてのピッチおよびすべての視野点における重心、換言すればオフセットを決定する。これによって予想焦点位置を定義する。続いて、この予想焦点位置からスキャナ平均焦点位置の最大偏差をピッチ毎に決定する。最後に、すべてのピッチにおける最大偏差がベストフォーカス誤差として指定される。

引き続き図１２は、典型的なｘダイポールにおいて、ｘ＝−１３ｍｍ〜ｘ＝１３ｍｍの物体視野にわたって測定した、ピッチθ₁＝２×構造幅〜θ_N＝１０×構造幅のコア構造に関する平均焦点位置を示す。構造幅は４５ｎｍである。ベストフォーカス誤差は図示の点「ベストフォーカス」にあると仮定する。

これらの統合収差だけなく、上記で決定した個々の係数自体も像収差として適当である。

すべての像収差、または少なくとも対物レンズの撮像性能に関連する像収差を対象として、現在望まれる撮像性能、例えばオーバーレイ、ベストフォーカス、コア構造と周辺構造の両方に関するフェージングおよび個々のゼルニケ係数や、更にはｒｍｓ、グループ化ｒｍｓ、残差ｒｍｓ等に関する上界をメモリから読み取る。適切な上界としては例えば５ｎｍ、２ｎｍ、１ｎｍ、０．５ｎｍまたは０．１ｎｍが挙げられる。ベストフォーカスは５０ｎｍ、２０ｎｍ、１０ｎｍ、５ｎｍまたは１ｎｍで指定することができる。フェージングに関しては１０ｎｍ、５ｎｍ、２ｎｍまたは１ｎｍが上界を構成し得る。例えば、個々のゼルニケ係数には１．０ｎｍまたは２．０ｎｍが適当である。これらの上界は通常対応する像収差によるオーバーシュートが許容されない。

マニピュレータの設定後にすべての関連像収差がそれぞれの上界を下回ることを保証する目的で、一連の第１の境界条件を生成する。すなわち、下記の上界（以下「ｓｐｅｃ」と総称する。）に従う。
１）ゼルニケｓｐｅｃ：ｓｐｅｃ_M、例えばＺ_i（ｉ≦６）のときは２．０ｎｍ、Ｚ_i（６＜ｉ≦３６）のときは１．５ｎｍ。
ＲＭＳ ｓｐｅｃ：ｓｐｅｃ_R、例えばｒｍｓでは３．０ｎｍ、より詳細に指定したゼルニケ、例えばＺ_i（ｉ＝５，．．．，４９）に関するｒｍｓ_zでは１．０ｎｍ、残差ｒｍｓに関するｒｍｓ_resでは２．０ｎｍ。
２）グループ化ＲＭＳ ｓｐｅｃ：ｓｐｅｃ_G、例えばｒｍｓ_ast、ｒｍｓ_comaおよびｒｍｓ_3foilでは０．８ｎｍ。
３）フェージングｓｐｅｃ：ｓｐｅｃ_F、例えば５．０ｎｍ（コアおよび周辺）。
４）ＯＶＬ ｓｐｅｃ：例えばコアでは２．０ｎｍ、周辺では５．０ｎｍ。
５）ベストフォーカスｓｐｅｃ：例えばコアでは２０．０ｎｍ、周辺では５０．０ｎｍ。

また、少なくともいくつかのマニピュレータの仕様を別のまたは同じメモリ１４０から読み取る。そのような仕様にはマニピュレータの最大移動量が含まれる。例えば、適当な最大移動量としては以下が挙げられる。
１．光軸の方向にレンズを変位させるマニピュレータの最大移動量：１００マイクロメートル、
２．それ自体と直交するようにレンズを変位させるマニピュレータの最大移動量：２０マイクロメートル、および
３．光軸と直交する軸の周りでレンズをチルトさせるマニピュレータの最大移動量：３００マイクロラジアン。

鏡の場合、対応する値はそれぞれ４０マイクロメートル、３５マイクロメートル、および１４０マイクロラジアンである。レンズを屈曲させるマニピュレータは、例えば２つの各レンズ面における各点の位置変更が光軸の方向で長くても１マイクロメートルとなる範囲で最大限移動させることができる。それ故、レンズの形態および変形力の入力および／またはトルクの位置に応じて、前記力および／またはトルクに関する上界が間接的にもたらされる。熱および／または冷気を光学素子に印加するマニピュレータの場合は、例えば以下の上界が適用可能である。
４．最大温度変化：±０．６５Ｋ。また、例えば−０．５Ｋ〜＋０．７５Ｋのようにゼロに対して対称でない最大温度変化も使用される。
５．最大電源入力：±１５０Ｗ／ｍ²。また、例えば−１２０Ｗ／ｍ²〜＋２００Ｗ／ｍ²のようにゼロに対して対称でない最大電源入力も使用される。

次いで、最適なマニピュレータ移動量を計算するタイムクリティカルなステップ（ＩＩ）に進む。その後、更なるステップで、それぞれについて決定した移動量に従ってマニピュレータを設定する。

マニピュレータの個々の自由度における移動量をゼルニケ多項式に展開した結果得られる像収差は、演繹的に決定することができる。この決定は、通常マニピュレータおよびマニピュレータの自由度のうちの１つに標準移動量が割り当てられる場合はシミュレーションまたは測定によって行われる。

以下、対物レンズのレンズを定義済みの方向に変位させるマニピュレータに基づいて上記の決定について説明する。このマニピュレータは１つの自由度を有する。視野点ｐ_ijのうちの所定の選択視野点における個々の波面に対するこの自由度の影響は、マニピュレータの標準移動量ｘ（通常１マイクロメートル）が事前定義されている場合は、対物レンズの波面を測定またはシミュレートし、マニピュレータが移動していない場合は、その結果から対物レンズの波面を減算することによって決定される。この減算は、各波面をそれぞれゼルニケ多項式に展開し、２つの展開式の係数を減算することによって実現される。ゼルニケ多項式への展開は次数ｎまで実行する。

例えば、ｉ＝７、ｊ＝１３、ｎ＝３６または４９という値を使用する。その場合は、すべての所与の視野点ｐ_ijにおける波面の展開に従って合計ｉ・ｊ・ｎ＝７・１３・３６＝３２７６個の像収差が決定される。

ゼルニケ多項式の係数に加えて他の像収差、例えば上記で定義した残差ｒｍｓ_resも
使用される。上述のとおり、これらの像収差は決定された波面を利用して計算すること、測定することまたはシミュレートすることができる。

こうして得られる差をマニピュレータの感度ａと称する。これは標準移動量ｘの場合のマニピュレータの光学的効果を定義する。小さい移動量では、前記光学的効果は感度ａに比例する。

マニピュレータが複数の自由度を有する場合は、マニピュレータの感度が自由度毎に個別に計算され、マニピュレータの標準運動量が自由度毎に事前定義される。このことは投影装置のすべてのマニピュレータに当てはまる。次式の感度行列Ａが得られる。

上式で、ｊは走査方向の視野点の数、ｉは走査方向と直交する視野点の数、ｋは投影装置のすべてのマニピュレータのすべての自由度の合計数、ｌは計算した像収差の数である。

例えば、下記の標準運動量が与えられる。
・マニピュレータがレンズを投影対物レンズの光軸に対して垂直方向に変位させる場合＝１マイクロメートル
・マニピュレータがレンズを投影対物レンズの光軸の方向に変位させる場合＝１マイクロメートル
・加熱マニピュレータの加熱領域毎の電力＝１ワット／ｃｍ²
・レンズ素子を屈曲させる場合の圧力＝１バール（１０００００パスカル）
・１対のアルバレスプレートの相対的変位＝１ミリメートル

線形挙動を示すマニピュレータ、例えば光学素子の位置を僅かにシフトさせるマニピュレータは、それ自体の効果が変位に比例し、それ自体の標準移動時の効果に基づいてすべての移動の効果を計算することができるため、連続可動として使用することができる。線形挙動を示さないマニピュレータ、例えばレンズまたは数ミリメートルもの大きい相対的変位を有するアルバレスプレートに高温の熱を印加するマニピュレータを連続移動させるために、各マニピュレータの異なる移動量における効果が決定され、特に測定またはシミュレートされ、こうして得られるデータを利用して各マニピュレータの効果が補間される。

収差が直線範囲を離れた場合は、上記で指定した方法に従って線形補間が同様に実施される。かかる収差は、例えばオーバーレイコア構造、オーバーレイ周辺構造、ベストフォーカスコア構造、ベストフォーカス周辺構造のようなリソグラフィシステムパラメータであり得る。

感度の総数は、ｎ＝１０超、２０超、５０超、１００超、５００超または１０００超とすることができる。

このように定義される感度Ａは、視野点ｐ_ij毎に個別に決定されることから静的感度とも呼ぶ。投影露光装置を走査動作において操作する場合は、走査統合感度

も利用する。以下この感度について説明する。

上記のランプ関数やガウス関数のような密度関数では、静的感度Ａから、標準移動量の場合に走査統合したゼルニケ多項式の各像収差または係数により、走査統合感度

が得られる。つまり、走査方向すなわち網線の移動方向における所与の密度で重み付けした係数を足し合わせ、その後被加数の数で割る。したがって、走査統合感度では、感度の行列は下記の形式をとる。

すなわち、走査統合感度の行列は静的感度の行列よりも因子ｊの分だけ行数が少なくなる。

定義上、像収差フェージングＦＡＤ_x、ＦＡＤ_yは走査統合済みとする。

像収差に加えて、フェージング感度

も定義する。これらの感度は、次式のとおり静的感度Ａから走査統合感度

を引くことにより、静的感度Ａ：

から得られる。この場合、走査統合感度はスキャン方向において一定であると仮定する。

感度はこれ以降常にＡで指定するが、Ａは静的感度と走査統合感度の両方またはフェージング感度を意味すると解釈されたい。走査感度またはフェージング感度と明言する場合は、同様にそれぞれを

と称する。

投影装置のすべてのマニピュレータの感度は下記のようなベクトル空間を張る。

上記のベクトル空間は（数学的）調整空間とも呼ぶ。

移動距離制約が与えられるので、Ｖは通常ベクトル空間ではなく凸集合、より厳密には多面体、上記で既に定義した（数学的）調整多面体となる。

次に、像収差ｂを対物レンズのマニピュレータによって設定または補償することを企図する場合は、下記の一次方程式系を解く必要がある。

または略して

Ａは各マニピュレータのそれぞれの自由度に関する感度を含む行列であり、ｘは各マニピュレータの未知の移動量を記述するベクトルである。ここで、行列Ａの次元は、走査統合感度が関与する場合は因子ｊ、すなわち走査方向の視野点の数だけ小さくなることを考慮に入れる必要がある。

この場合、像収差ｂは通常Ｖの要素ではなく、したがって上記の方程式は通常解を有さない。同様に、このような解ｘが複数存在する場合もあり得る。

したがって、前記方程式の代わりに下記の最適化問題をユークリッドノルム‖‖₂によって解く。

ユークリッドノルムは下記の正規方程式を解くことによって発見できる。

言うまでもなく、（ａ）のような最小化問題の代わりに、等価な最大化問題をｍａｘ−（Ａｘ−ｂ，Ａｘ−ｂ）で記述することができる。この場合は、ガウス消去法やムーア‐ペンローズ逆行列のような直接法を使用すること、または準ニュートン法やＣＧ法（共役勾配法）のような反復法を使用することもできる。この点については、Bunse-Gerstner, Wolfgang Bunse, Numerische Lineare Algebra, Teubner Studienbucher, 1985（特にalgorithm 3.7.10, pp. 153-156、安定化の目的ではalgorithm 3.7.11, pp. 157-158）を参照されたい。反復法は、事前誤差推定もしくは事後誤差推定に基づいて、または所定の固定回数の反復ステップ後、例えば５００回、２００回、１００回、５０回、２０回、５回または１回の反復ステップ後に終了することができる。

以下ではユークリッドノルム‖‖₂を常に使用するが、これには重みｄ＝（ｄ_i）を与えることもできる。

この実施形態については以下で明示的に言及しないが、例示的な各実施形態では重み付きユークリッドノルムがユークリッドノルムの代替となる。

このようなユークリッドノルムの重みｄは、例えば像収差ｂ_iがゼルニケ多項式の係数に対応するときに利用される。フリンジナンバリング（Handbook of Optical Systems, Herbert Gross, ed., Vol. 1: Fundamentals of Technical Optics参照。）によれば、この場合は次式が定められる。

換言すれば、ゼルニケ係数に対応する像収差を対応するゼルニケのノルムで付加的に重み付けする。

更に、このようなユークリッドノルムの重み付けは、特に像収差が生産規定の（production-dictated）視野プロファイルを示すときに使用される。したがって、視野付近であり且つ非常に顕著な非球面性を有する非球面レンズを使用すると、過度に増加した像収差の効果が物体視野の縁にもたらされる。このような過度の増加の影響があまり大きくなりすぎないようにするために、視野点の重み付けでは、物体視野の縁に視野中心よりも小さい重みが与えられる。例えば、この問題を解決するために下記の手順を採用する。

ｘが走査方向に対して垂直な視野座標を示し、０をこの座標の中心と仮定し、−ｘ_maxおよびｘ_maxをそれぞれこの座標中の最低視野座標および最大視野座標とした場合、走査統合ゼルニケまたは走査統合像収差は、視野の縁−ｘ_maxおよびｘ_maxならびにその近傍に高い値を示す傾向が幾分あることが分かる。例えば、固定ピッチに関する図１２のベストフォーカス、または図１０の像収差ＭＳＤ_i ^xを参照されたい。

しかしながら、走査方向に対して垂直な走査統合像収差の視野プロファイルは可能な限り一定であることが望ましいので、それに対応して、ユークリッドノルムには相対項（relative term）に示すように視野の中心よりも視野の縁に多くの重みを与えることによって重み付けする。このような重み付けとしては、像収差ベストフォーカスＢＦに関して定式化した下記の重み付けが有利であることが判明した。

フェージングＦＡＤ_xおよびＦＡＤ_y、オーバーレイＯＶＬ_xおよびＯＶＬ_y、ｒｍｓ、残差ｒｍｓのような他の走査統合像収差に関しても、対応する重み付けを利用する。

例えば、静的像収差と走査統合像収差に関して共通の最適化を行うような場合は、重み付けの組合せも利用する。

次に、問題（ＩＩ）または（ａ’）を解くための更なる実施形態について説明する。

上記の（ａ’）を解くための反復法、例えば準ニュートン法またはＣＧ法は、演繹的な時間限界（a priori time bound）のオーバーシュートが生じたときに終了させることができ、解が近似的にしか決定されないようにすることが可能である。このことは特に、本明細書に記載するような実時間最適化を行う場合に有利である。また、このような近似解に制限するときは下記のような場合も発生する。
（ｉ）反復法に事前誤差推定または事後誤差推定が存在する場合は、像収差がマニピュレータ移動量に均一且つ連続的に依存するため、近似解が使用できるかどうかを判定することができる。
（ｉｉ）逆問題の解および所定の基準に従って最適とされるマニピュレータ設定を次の調節間隔にシフトできるかどうかを検査する。この検査は、マニピュレータを近似解に従って移動させた場合に結果として得られる像収差を計算またはシミュレートすることによって行う。
（ｉｉｉ）（ｉ）または（ｉｉ）が可能でない場合は、迅速収束法、例えばチホノフ正則化を利用して代替的な逆問題の解を生成する。この代替的な逆問題では、調整の少ない多面体を得るために移動範囲がクリティカルでないマニピュレータだけを考慮に入れる。
これらは例えば移動範囲が通常十分に大きい光学素子の変位である。

一般に問題（ａ’）は悪条件である。すなわち、問題（ａ’）の条件数

は一般に非常に高く、１．０Ｅ６または１．０Ｅ８更には１．０Ｅ１２の値さえオーバーシュートする可能性がある。個々のマニピュレータの条件も最大１．０Ｅ３の値に達する可能性がある。これにより上述の数値法が不安定になる。このため、計算した解が問題に沿わなくなる影響またはアルゴリズムが最適化問題を解決不能と見なす影響が及ぶ可能性がある。このことは従来のシンプレックス法に特に当てはまる。

このような高次元の悪条件（同義的には不良設定）問題を正則化する方法としては、特異値打切り法による特異値分解（ＳＶＤ分解）、更にはチホノフ正則化が挙げられる。ＳＶＤ分解の場合は、行列Ａをそれ自体の固有ベクトルに関して対角化し、その結果得られるマニピュレータシステムの「新しい」自由度をそれぞれの固有値の絶対値に従ってソートする。例えば、１．０Ｅ‐７未満の固有値の絶対値を有する固有ベクトルに対応する自由度は調整で利用しない。この点については、Andreas Rieder, Keine Probleme mit Inversen Problemen, Vieweg, 2003, chapter 2.3 "Spektraltheorie kompakter Operatoren: Die Singularwertzerlegung" ("Spectral theory of compact operators: the singular value decomposition"；「コンパクト作用素のスペクトル理論：特異値分解」), pp. 28-35（特にdefinition 2.3.6）、およびAngelika Bunse-Gerstner, Wolfgang Bunse, Numerische Lineare Algebra, Teubner Studienbucher, 1985, pp. 26-27, formulation 1.6.10（数値計算についてはpp. 288-296、特にalgorithm 4.8.1）を参照されたい。これらの文献の開示内容を全体的に本願に援用する。正則化の更なる可能性は前処理である。例えば、Angelika Bunse-Gerstner, Wolfgang Bunse, Numerische Lineare Algebra, Teubner Studienbucher, 1985（特にsection "Vorkonditionierung" ("preconditioning"；「前処理」), pp. 156-160）を参照されたい。この文献の開示内容を全体的に本願に援用する。

チホノフ正則化は、問題（ａ）の代わりに、適切な行列Ｇを選択して下記の最小化問題を解くものである。

この場合、Ｇの選択肢としては単位行列の倍数が特に適している。その場合、上記の最小化問題は下記のように表される。

行列Ｇでは代替的に相関行列が使用される。相関行列は個々の自由度ｘ_iを確率変数として入力することで形成される。これらの自由度の可能な移動の各間隔にわたる分布が統計的に決定される。この場合は、第１の可能性として初期分布（starting distribution）が基底とされ、前記初期分布のパラメータが投影露光装置の動作中に統計的方法を利用して推定され（帰納）、または第２の可能性としてルックアップテーブルが使用される（演繹）。第１の可能性の場合は、期待値Ｅ（ｘ_i）および分散σ（ｘ_i）を推定すべきパ
ラメータとする初期分布として、特にガウス分布が使用される。

チホノフ正則化は、最小誤差

から妥協点、（ａ’’’）の場合ならマニピュレータの最小移動量‖ｘ‖を見出す。最適なγに関する質問にはＬ曲線法を利用して答えることが好ましい。Ｌ曲線法では、最小化で得られた移動量をγの関数としてプロットする。次いで、最大の絶対値の勾配を有するγを最適なγとして選択する。この点に関する更なる詳細は、"Analysis of discrete ill-posed problems by means of the L-curve", P.C. Hansen, SIAMReview, 34, 4, 1992, pp. 561-580を参照されたい。この文献の開示内容を全体的に本願に援用する。同様に、Andreas Rieder, Keine Probleme mit Inversen Problemen (No problems with inverse problems；逆問題は問題ない), Vieweg, 2003のchapter 3.6 "Heuristic ("epsilon"-free"；「イプシロンフリー」) parameter strategies, pp. 82-90に開示されている一般化も全体的に本願に援用する。

様々なタイプのマニピュレータが存在するため、正則化パラメータγを代替的にベクトル値を利用してγ＝（γ_i）として構成する。ただし、ｉはすべてのマニピュレータの自由度を示す。次に、（ａ’’）中のＧは対角行列であり、下記の形式をとる。

最小化問題（ａ’^v）は、静的感度Ａと走査統合感度

の両方について定式化することができる。走査統合感度の場合、ユークリッドノルムの次元は走査方向における視野点ｐ_ijの数の因子ｊの分だけ少なくなる。これに対応して、
像収差ベクトルｂも走査統合像収差ベクトル

に置き換えられる。

走査統合像収差と静的像収差の間の所定の特定の比を達成することが不可欠となるリソグラフィ用途では、次式のとおり最小化問題の定式化のために走査統合感度と静的感度の組合せも使用される。

必ずしもすべてのゼルニケ係数がフェージングに影響を及ぼすわけではないので、重みｄが０にセットされることもある。特に、球面係数、すなわちゼルニケ多項式が回転対称となる係数は０で重み付けされる。

この場合、像収差ベクトル

は次式で定義される。

上式で、

は走査方向において一定であると仮定し、ｊは走査方向の視野点の数であり、

は、所定の比率および利用されるマニピュレータの自由度に従って選択される重みである。αの基準値はα＝０．５である。

上記のチホノフ正則化の場合に問題となり得るのは、個々のマニピュレータの移動量の平方に影響を及ぼすのは正則化パラメータγのみであり、したがって移動量の符号が無視されることである。その結果、影響を受けたマニピュレータが選好方向においてドリフトを形成する可能性があり、最終的にマニピュレータ範囲のオーバーシュートのリスクを伴う可能性がある。この対処法は２つある。

帰納：（ａ’’’）を下記（ａ^V）に置き換える。

この場合、パラメータγ₁およびγ₂はスカラーであり、γ₃およびγ₄はマニピュレ
ータの自由度に対応する次元を有するベクトルである。ｘ’は個々のマニピュレータの現時点の移動位置である。ｘは評価すべき通知移動量である。γ₁は、マニピュレータの合計移動量ｘをマニピュレータの移動状態ｘ’および移動方向と無関係に重み付けする際に使用する比例定数である。この比例定数は、マニピュレータの過度に高い合計移動量に課されるペナルティ（penalized）の程度を定義する。γ₂は、移動量ｘ’から移動量ｘを
得るのに必要な付加的移動量ｘ−ｘ’をその方向と無関係に重み付けする際に使用する比例定数である。この比例定数は、マニピュレータの瞬間的移動に課されるペナルティの程度を定義する。γ₃はベクトルである。このベクトルの方向は、マニピュレータの合計移動量ｘが好ましくない方向を事前定義し、このベクトルの絶対値は、当該方向におけるマニピュレータの過度に高い合計移動量に課されるペナルティの程度を定義する。γ₄はベクトルである。このベクトルの方向は、マニピュレータの付加的移動量ｘ−ｘ’が好ましくない方向を事前定義し、このベクトルの絶対値は、当該方向におけるマニピュレータの過度に高い付加的移動量に課されるペナルティの程度を定義する。

図６はベクトルγ₃およびγ₄の操作モードを示す。説明上２つの自由度を考慮する。それ故、ｘは二次元ベクトルである。η₁で指定した第１の自由度は光軸上のレンズの変位に対応する。η₁の方向は、レンズに最も近接する光学素子が確認される方向である。当然ながら、この方向の最大可能変位距離は反対方向よりも大きくない。したがって、γ₃がη₁の方向を指す場合、例えばη₃＝（１，０）である場合は、（ａ^v）に従って、評価対象であり且つこの方向におけるレンズの端部位置を与える全体移動量ｘに対して（γ₃，ｘ）のペナルティが演繹的に課される。η₂で指定した第２の自由度はレンズの能動的な加熱に対応する。能動的に引き起こされる加熱は受動的な冷却よりも迅速に達成することができるので、現在温度の増加に対してリワードが与えられ（rewarded）、γ₄はη₂と逆の方向を指す（例えばγ₄＝（０，−１））。通知移動量ｘを達成するには、現在の移動量ｘ’からｘ−ｘ’の分の移動を実施する必要がある。γ₄は冷却の方向を指すので、（ａ^v）によれば、この移動に対しては（γ₄，ｘ−ｘ’）のリワードが帰納的に与えられる。

演繹：（ａ’’’）において、γを適切な関数、例えば下記（ａ^v’）に置き換える。

この場合、各場合の［ｘ_i,min，ｘ_i,max］は、マニピュレータのｉ番目の自由
度の個々の範囲を記述する。以下で詳述する「内点法」も参照されたい。

上記のパラメータγ_iによるチホノフ重み付けに関する欠点は、マニピュレータｘ＝（ｘ_i）の移動量が与えられたときに、残留像収差（residual image aberration）Ａｘ−ｂとマニピュレータ移動量ｘｉが間接的にしか結合しない、すなわちメリット関数（ａ’’’）〜（ａ^v’）を経て結合することである。この場合、結合のタイプは達成可能な像収差レベルと無関係であり、したがって必要なマニピュレータ移動量とも無関係である。

上述したチホノフ正則化の１つの変形として、第１の操作規定（manipulation prescription）ｘ₁を正則化ベクトル値パラメータγ₁によって計算することが挙げられる。次いで、この操作規定ｘ₁＝（ｘ_1i）を検査して、個々の自由度ｉのマニピュレータが殆どまたはまったく移動しない程度を確認する。このような自由度では、マニピュレータの関連する自由度によるメリット関数（ａ’’）〜（ａ^v’）に対する寄与が小さくなるように、関連する正則化パラメータγ_2i＜γ_1iを減少させる。逆に、計算された規定における移動量がそれぞれの範囲限界に近いすべての自由度に対してより高い正則化パラメータγ_2i＞γ_1iを割り当てる。いずれの場合でも、これらの増加および減少は１０％または２０％または５０％または１００％を選択することができる。この新しいパラメータγ₂＝（γ_2i）を用いて第２の操作規定を計算し、ｘ_iと比較する。この操作規定ｘ_1,2は、より小さい残留像収差‖Ａｘ_1,2−ｂ‖を有し、範囲オーバーシュートがなければ他の操作規定より好ましい。一方、前述した選好の他の選好は、実施すべきマニピュレータ規定を選択する際、特に解ｘの安定性を選択する際に適切である。

上記の代案として、本方法を操作規定ｘ_1,2,...,nおよび残留像収差‖Ａｘ_1,2,...,n−ｂ‖によって多段的に実施する。ここでは、範囲オーバーシュートがなく且つ最小の残留像収差を達成する操作規定が最終的に選択される。この場合、「殆ど移動しない」という表現は、関連する自由度の利用可能範囲の１０％未満、または２０％未満、または５０％未満の移動量を意味し、「範囲限界に近い」という表現は、関連する自由度の利用可能範囲の５０％超、または８０％超、または９０％超の移動量を意味するものと理解されたい。また、これらの５０％、２０％、１０％という段階は、この多段的方法の間に変更することもできる。

上記の代案として、個々の像収差の重み付けを多段的に実施することもできる。これは、重み付けｄ＝（ｄ_i）を変更した重み付きユークリッドノルム‖‖_2,dを利用して行うことが好ましい。これにより、（ａ）はｉ番目の方法ステップで下記の形式をとる。

この場合、ｉ＝０であり、開始値としてのｄ₀は１にセットされ、ｄ_i（ｉ≧１）は、個々の像収差ｂ_iの仕様ｓｐｅｃ_iおよび直前の方法段階で達成され得る残留像収差ｂ_i＝Ａｘ_i−ｂに関数的に依存する。下記の関数関係を事前定義することが有用であることが分かった。ｉが偶数であるならば、

ｉが奇数であるならば、

こうして定義した重み付けは像収差の仕様ｓｐｅｃ毎に個別に実行すべきである。この重み付けは、選択された視野点における個々のゼルニケ、フェージングＦＡＤ_xやＦＡＤ_yのような走査統合像収差、ｒｍｓのような完全統合像収差等の重み付けを含む可能性がある。

上記の２つの多段的方法を組み合わせることもできる。

別法として、弱い正則化を暗黙的に実行する方法、例えばＣＧ法（共役勾配法）等が利用される。詳細な情報および他の様々な方法は、例えばRieder, A., "Keine Probleme mit inversen Problemen", Vieweg, 2003から収集することができる。この文献の開示内容を全体的に本願に援用する。

更に、「ルインアンドリクリエイト」タイプの方法も使用される。この場合は、既に決定された逆問題の解ｘ¹ ₁，．．．，ｘ¹ _nを基底とし、この解を改善することを企図する。次いで、マニピュレータの一部分、例えばｉ＝ｍ，（ｍ＋１），．．．，ｎを「シャットダウン」する。すなわち、それらのマニピュレータの自由度は使用しない。マニピュレータ集合をこのように減少させて解ｘ² ₁，．．．，ｘ² _m-1を決定する。当然ながら、こうして決定される解は直前の解よりも悪くなる（ルイン）。次いで、シャットダウンしたマニピュレータを再び「起動」する（リクリエイト）。ただし、ｘ² ₁，．．．，ｘ² _m-1はそれ以上変更しない。これによりｘ_m，ｘ_m+1，．．．，ｘ_nが自由度として利用可能となる。全体として、解ｘ² ₁，．．．，ｘ² _nをこのように生成し、解ｘ¹ ₁，．．．，ｘ¹ _nと比較する。

ルインアンドリクリエイトは、特に反復法で、反復法が次善解で行き詰るのを防止するための中間ステップとして使用される。

しかしながら、通常は特定の像収差をゼロまで減少させることは企図されない。対物レンズはリソグラフィに適した撮像性能さえ保証すればよい。前記撮像性能は、通常対物レンズの撮像性能にとってクリティカルな像収差に関して上界を定めることによって保証される。これらの像収差には、例えばスケール誤差、テレセントリック誤差、オーバーレイおよび焦点深度や、複数の視野点の統合によって生じる像収差、例えばｒｍｓ、グループ化ｒｍｓ、フェージング等が含まれ、リソグラフィ要件や更には波面次元形状（wavefront dimension figure）も含まれる。上記１）〜６）のｓｐｅｃ_M、ｓｐｅｃ_R、ｓｐｅｃ_Gおよびｓｐｅｃ_Fを参照されたい。

更なる説明のために、まずは異なる像収差間の区別は行わず、関連する上界を常にｓｐｅｃで指定する。

ここでは式（ａ）の代わりに不等式

すなわち

の解を求める。この式は、常に適切なｓｐｅｃ事前定義が与えられる解を有する。不等号≦はこの場合ベクトル値によって解釈すべきである。そうすれば不等式（ｂ）を最小化問題

の付帯条件（side condition）と解釈することができる。この場合、当該付帯条件が選択可能な重みベクトルｃを有するとすれば、相対的なマニピュレータ移動量ｘ＝（ｘ₁，．．．，ｘ_n）に影響を及ぼす可能性がある。

線形計画法は（ｂ）、（ｂ’）を解くためのアルゴリズムとして使用される。線形計画法である「シンプレックス法」（Jarre, F., Stoer, J., "Optimierung" ("Optimization"；「最適化」), Springer, 2004参照。）またはより一般的な「有効制約法」に加えて、「内点法」も使用される（Fiacco, A.V., McCormick, G. P., "Nonlinear Programming: Sequential Unconstrained Minimization Techniques", John Wiley & Sons, 1968、Karmarkar, N., "A new polynomial-time algorithm for linear programming", Combinatorica 4 1984), No. 4, 373 - 395、またはMehrotra, S., "On the implementation of primal-dual interior point method", SIAM J. Optim. 2 1992), No. 4, 575-601参照）。内点法はシンプレックス法と対照的に多項式の収束を保証する。これらの出典の開示内容を全体的に本願に援用する。

「内点法」の場合は、付帯条件（ｂ）を維持しながら（ｂ’）を下記（ｃ’）に置き換える。

（ｃ’）はニュートン法を利用して解く。その場合は、ニュートン法の結果に応じて（反復）法の過程でμ→０が成り立つ。

最小化問題（ｂ）および（ｂ’）ならびに前記問題を解くのに使用する線形計画法の別の代案として二次計画法を使用する。二次計画法は（ｂ’）の代わりに問題

を付帯条件

の下で解くものである。この場合も行列Ｈを適切な形式で選択し、例えば単位行列とする。

（ｄ）、（ｄ’）を解くためにＤａｎｔｚｉｇ‐ＷｏｌｆｅまたはＨｉｌｄｒｅｔｈ‐ｄ’Ｅｓｏｐｏの方法すなわちＱｕａｄｐｒｏｇを使用する。例えば、C. Hildreth, A quadratic programming procedure, Naval Res. Logistics Quart. 4 1957) 79-85 (Erratum, ibid., p. 361)、D.A. D'Esopo, A convex programming procedure, Naval Res. Logistics Quart. 6 1959) 33-42、The Simplex Method for Quadratic Programming Philip Wolfe Econometrica, Vol. 27, No. 3 (Jul., 1959), pp. 382-398、Gill, P. E. and W. Murray, and M.H. Wright, Practical Optimization, Academic Press, London, UK, 1981を参照されたい。これらの出典の開示内容を全体的に本願に援用する。

問題（ｂ）、（ｂ’）とは対照的に、問題（ｄ）および（ｄ’）の条件には付帯条件Ａの行列だけでなく行列Ｈの条件も組み込まれる。通常は下記の桁が発見される。
（ｄ）における行列Ｈの条件：３．８Ｅ１２
（ｄ’）における付帯条件全体の条件：３．２Ｅ５

（ｄ）および（ｄ’）を解くために使用する更なる方法は「滑降シンプレックス法」である。例えば、Nelder, J.A., R. Mead, "A Simplex Method for Function Minimization", Computer J. 7 1965), pp 308-313を参照されたい。この文献の開示内容を全体的に本願に援用する。この方法は導関数を使用しない方法であり、一般に線形収束を有し、数値的にロバストである。しかしながら、マニピュレータ制約の故に、調整多面体の事前定義された辺は不十分にしか構築できない。

上述の方法に加えてまた他の方法、例えばシミュレーテッドアニーリング（Dueck et. al., "Threshold Accepting: A General Purpose Optimization Algorithm Appearing superior to Simulated Annealing", Journal of Comp. Physics, Vol. 9, pp. 161-165, 199参照。）や進化（例えば遺伝的）アルゴリズム等も使用される。上記文献の開示内容を全体的に本願に援用する。これらの方法の欠点は、第１にそれらが一般に事実上確率論的であること、第２に大域的最小点に向かう収束が必ずしも得られないことである。

ここまで説明してきたが、逆問題の解を最初から保証できるようにするためにｓｐｅｃ事前定義をどのように選択すべきかという問題領域が未解決のままである。

このため、問題（ｂ）および（ｂ’）を下記のように修正することができる。

したがって、ｓｐｅｃは可変ｓｐｅｃ：ｔ ｓｐｅｃである。この問題は線形計画法を利用して解くことができる。この方法の欠点は、純粋に線形の問題に制約され単純な正則化が許容されないことである（Gembicki, F.W., "Vector Optimization for Control with Performance and Parameter Sensitivity Indices", Ph.D. Thesis, Case Western Reserve Univ., Cleveland, Ohio, 1974、および米国特許第７３０１６１５号参照）。

別法として、問題（ａ）〜（ｅ）を解くために非線形計画法も使用される。この点については、Gill, P.E., W. Murray, M.H. Wright, "Numerical Linear Algebra and Optimization", Vol. 1, Addison Wesley, 1991、およびK. Schittkowski (1981): The nonlinear programming method of Wilson, Han and Powell. Part 1: Convergence analysis, Numerische Mathematik, Vol. 38, 83-114, Part 2: An efficient implementation with linear least squares subproblems, Numerische Mathematik, Vol. 38, 115-127を参照されたい。これらの文献の開示内容を全体的に本願に援用する。

別の変形例として下記の方法（以下、「有効制約法」と呼ぶ。）も使用される。上記の付帯条件の集合から「有効制約」の行列

を反復的に形成する。この処理は下記のように帰納法によって実施する。

帰納法の基礎：
開始状態では帰納法が付帯条件を満足するかどうかが判定される。そうでない場合は、付帯条件が満足されるまで付帯条件を弱める。調整多面体は言わば「膨張（inflated）」している。この膨張が可能となるのは、ゲンビツキー変数ｔを利用して仕様を指定することができること、すなわち付帯条件が満足されるようにｔを緩和することができることによる。別法として、開始状態を生成するために、例えばより強い移動距離制約を伴うチホノフ正則化を使用することが可能である。別法として、非最適化状態を開始状態とすることも可能であり、その場合は最適値の近傍を達成するにあたってより高い反復数が必要となる。

指示ステップ：
次いで、状態ｘ_kがすべての付帯条件を満足すると仮定する。いくつかの付帯条件はほぼ正確に満足される。すなわち、小さい偏差ε、例えばε＜１ｅ−８の偏差は考慮せず、（ｄ）において「＝」が成り立つ。これらが有効制約となる。次いで、ユークリッドスカラー積に関する有効制約と直行する空間を形成し、前記空間において最小化問題（ｄ’）を解く。こうして得られたマニピュレータの作動距離が許容範囲内に収まらない場合は、それらを許容範囲の縁で適切に切り落とし（trimmed）、それによりマニピュレータの作動距離に関して許容される状態ｘ_k+1が得られる。

この帰納法のステップに関する詳細は、例えばW. Alt, "Nichtlineare Optimierung" ("Nonlinear optimization"；「非線形最適化」), Vieweg 2002から収集することができる。この出典の開示内容を全体的に本願に援用する。

したがって、大域的最適値に向かって収束する数列（ｘ_k）が構築される。この点については、（Gill, P.E., W. Murray, M.H. Wright, "Numerical Linear Algebra and Optimization", Vol. 1, Addison Wesley, 1991）も参照されたい。従来のＱＰＳＯＬに加えて、ここでは特に二次計画法用のＦｏｒｔｒａｎプログラム（ＬＳＳＯＬ）も挙げておく（Ｓｔａｎｆｏｒｄ Ｂｕｓｉｎｅｓｓ Ｓｏｆｔｗａｒｅ社のプログラムパッケージ（http://www.sbsi-sol-optimize.com/asp/sol_product_lssol.htm）参照）。

代案として、文献中で標準的な方法として提案されているように、開始状態の代わりに線形計画法を利用した解の計算結果を帰納法の基礎として利用することもできる。ゲンビツキー変数を使用しない場合は、そうすることがより確実に必要となる。このことは、線形計画法の不十分且つ推定度の低い収束挙動の故に実時間最適化には不向きである。

逆問題を解くために遺伝的アルゴリズム、一般には進化アルゴリズムも使用することができる。これらのアルゴリズムは、適切な終了基準が満足されるまで初期化、評価、選択、交叉および突然変異からなるフェーズを反復的に実行することによって特徴付けられる。

上記で指定した各種数値法は純粋な形式で使用するだけでなく、逆問題の必要な解毎に変更することもできる。特に、このような変更は、反復法ではオーバーシュートした上界の演繹的なアンダーシュートをもたらさない解の近似の形式で実行することができる。ただし、これはそのような近似において代替的な方法に対する変更がより良好な収束を約束する場合である。

先に列挙した最適化法には長所だけでなく短所もある。具体的には下記の短所がある。
・付帯条件（ａ）、（ａ’）、（ａ’’）、（ａ’’’）のない二次最適化：付帯条件がない故に、最適化すべき変数（例えばゼルニケＳｐｅｃ）の大部分が暗黙的にしか利用できず、マニピュレータ移動量に関する移動距離制約の違反が生じるリスクもある。
・線形計画法（ｂ’）、（ｃ’）：二次最適化の項を考慮に入れることができない。
・二次計画法（ｄ’）：非線形付帯条件を考慮に入れることができない。最適なｓｐｅｃ事前定義に関する質問が未解決となる。

したがって、必要な正則化を選択される非自明な最適化法に適切な形でどのように統合するかという付加的な問題がある。

Ｆ．ゲンビツキーのアイデアに関する欠点は、一方では線形計画法の拡張（正則化の直接的な可能性はない。）でありながら、他方では大域的ｓｐｅｃを個別に最適化するだけである点である。この欠点の故に、一方では事実上実行不可能な非常に大きい移動距離が得られる可能性があり、他方ではすべてのｓｐｅｃが意図的に許容限界まで使い果たされる可能性がある。この影響により、最小大域的ｓｐｅｃの改善のためにいくつかのｓｐｅｃが更に大きく使い果たされる可能性がある。

本発明は、上述のアルゴリズムの肯定的な特性を組み合わせながらそれらの欠点を回避する別のアルゴリズムも使用する。概要は以下のとおりである。ただし、「多変量ｓｐｅｃ」という用語についてはもっと後で定義する。
１．線形および二次付帯条件下の二次最適化問題を二次計画法に返す。
２．可変および／または多変量ｓｐｅｃを利用して開始値の発見を単純化する。
３．二次計画法によるチホノフ正則化を実行する。
４．「有効制約法」を多変量ｓｐｅｃに適合させ、これを二次計画法に適用する。

具体的には、マニピュレータの感度を含む行列Ａに加えて、ｓｐｅｃと呼ぶ上界を下記のように定義する。

線形型の付帯条件：
１）ゼルニケｓｐｅｃ（ｓｐｅｃ事前定義ｓｐｅｃ_Aを有するベクトルによって特徴付けられる）。
２）決定（測定および／または（部分的に）外挿）された誤差（ｓｐｅｃ事前定義ｂを有するベクトルによって特徴付けられる）。
３）マニピュレータの最大移動量（ｓｐｅｃ事前定義ｓｐｅｃ_Vを有するベクトルおよび現在の移動距離状態ｖ_bによって特徴付けられる）。ここでは、（例えば熱および温度の付帯条件がある場合に）行列Ｖを利用して作動距離から実際の最大移動量を計算すべき事態が発生する可能性がある。
４）リソグラフィシステム変数、例えばオーバーレイやベストフォーカス等（行列Ｌおよびｓｐｅｃ事前定義ｓｐｅｃ_Lを有するベクトルによって特徴付けられる）。
５）更なる線形最適化付帯条件（行列Ｍおよびｓｐｅｃ事前定義ｓｐｅｃ_Mを有するベクトルによって特徴付けられる）。

非線形型の付帯条件：
６）フェージングｓｐｅｃ（ｓｐｅｃ事前定義ｓｐｅｃ_Fを有する正定値エルミート行列Ｆによって特徴付けられる）。
７）ＲＭＳ ｓｐｅｃ（ｓｐｅｃ事前定義ｓｐｅｃ_Rを有する正定値エルミート行列Ｒによって特徴付けられる）。
８）グループ化ＲＭＳ ｓｐｅｃ（ｓｐｅｃ事前定義ｓｐｅｃ_Gを有する正定値エルミート行列Ｇによって特徴付けられる）。
９）更なる二次最適化付帯条件（行列Ｑおよびｓｐｅｃ事前定義ｓｐｅｃ_Qを有するベクトルによって特徴付けられる）。

したがって、考慮すべき最適化問題は下記の最大可能付帯条件（maximum possible side condition）を有する。

上限と下限は必ずしも対称的である必要はない。例えば、片側極限が必要となる可能性もある。

まず、適切な最小化関数を付加的に自由な形で選択する。しかしながら、この影響により、計算された解ｘが非常に大きいノルムを有し、したがって非常に大きいマニピュレータ移動量を有する可能性がある。この影響により、対物レンズ状態に小さい変化が生じた場合にマニピュレータ作動距離を大きく変化させる必要が生じる。このことは実用上の実現可能性を大きく低下させる恐れがある。

この問題は、重み行列Ｗ_Tikhを適切に選択したチホノフ正則化を使用して解決され
る。重み行列Ｗ_Tikhは、タイプが同一である異なる自由度に同一の重み付けをするこ
とによって生成されることが好ましい。最小化問題は上記の付帯条件を維持しながら下記のように書ける。

（ｆ’）中に非線形最適化項がある故に、この問題の記述には線形計画法を適用することができない。同様に、（ｆ）中の最後の４行の非線形付帯条件により、二次計画法の利点（最小値に向かう良好且つ安定な収束、様々な高速アルゴリズムからの選択性）を最初から利用することはできない。

このように、（ｆ）には線形付帯条件および非線形付帯条件が存在する。上記で指定した非線形計画法に関する２つの出典に加えて、問題（ｆ）はＳＱＰ（逐次二次計画法）を利用して解くこともできる。詳細はW. Alt, "Nichtlineare Optimierung", Vieweg 2002を参照されたい。この文献の開示内容を全体的に本願に援用する。逐次二次計画法は、最適化問題を反復的に局所線形化し、この線形化に対して上述の線形計画法を適用することによって新しい開始点を得ることに基づく。更に有利なことに、ＳＱＰを用いると付帯条件（ｆ）およびメリット関数（ｆ’）を任意の関数を利用して定式化することが可能となる。

代案として、（ｆ）中の二次付帯条件を後続の複数の線形付帯条件に置き換えることもでき、その結果これらに由来する問題をずっと上の方で説明した二次計画法を利用して解くことが可能となる。二次付帯条件はそれぞれ楕円を張るが、各楕円は所望の確度の近似により、有限数の超平面（それぞれ線形付帯条件によって与えられる。）の切断によって記述することができる。

以下、付帯条件（ｆ）を解くための更なる方法について説明する。この方法はＳＱＰと比較すると計算速度の点で非常に有利である。

ラグランジュ乗数（Gill, P.E., W. Murray, M.H. Wright, "Numerical Linear Algebra and Optimization", Vol. 1, Addison Wesley, 1991参照。）を利用して、下記のように問題（ｆ）、（ｆ’）を正準的に再定式化する。

を下記の付帯条件下で解く。

この場合、Ｗ_F、Ｗ_RおよびＷ_Gは二次成分に関する適切な重み行列である。好ましいことに、これらの付加的重み行列は単位行列の乗法倍数（multiplicative multiple）とすることもできる。線形成分に関する適切な付加的重み行列はｗ_F、ｗ_Rおよびｗ_Gで指定する。

好ましいことに、下記の文は、一方では付帯条件中の所定のｓｐｅｃ値が限界まで利用されるが、他方では付帯条件が及ぶ範囲の凸集合が空である故にｓｐｅｃ事前定義が過度に厳しい、すなわち緩和可能でない場合は解を発見することができないという問題の解決策を付加的に示す。下記の手順を「多変量ｓｐｅｃ」と呼ぶ。

この点について、

とする。この場合、ベクトルｔは例えば１０次元超、１００次元超、更には１０００次元超の高次元空間から形成することができる。上記の場合と同様に、最適化すべきマニピュレータ作動距離をｘで示し、最適化すべきゲンビツキー変数をｔで示す。ゲンビツキー変数に適合された適切なｓｐｅｃ行列を

で指定する。この行列はベクトル

から生じる。ゲンビツキー変数に関する適切な重み行列Ｗ_Gembを得るために、最適化
問題は

を下記の線形付帯条件の下で最小化することからなる。

ここで実施する変数拡張によれば、本例で生起する行列は上記の実施形態と比較して適切に適合される。同様に、指定された付帯条件の一部にはゲンビツキー変数ｔを与え、他の付帯条件には厳しいｓｐｅｃ限界、すなわちパラメータｔが乗じられないｓｐｅｃ限界を与えることができる。同様に、一部または複数または全部のゲンビツキー変数に対して、前記ゲンビツキー変数のサイズを調節する付加的なゲンビツキー変数を乗法的に与えることができる。この処理は入れ子式に反復的に継続することができる。同様に、厳しいｓｐｅｃを有し且つ付加的な仕様を利用する仕様に対してゲンビツキー変数を与えることも考えられる。これにより、有利には所定の限界範囲内の厳しいｓｐｅｃの順守と相まって、ｓｐｅｃが無駄なく使い果たされる。ここでは調整多面体の膨張が様々な形で実現されるが、例えば付加的な全体ゲンビツキー変数を追加し、この変数をすべての付帯条件が満足されるまで緩和すること、または既に使用したゲンビツキー変数のうち付帯条件が満足されないゲンビツキー変数だけを緩和することによって実現される。後者の方法はすべての厳しい付帯条件が満足された場合に使用することができる。

（ｅ）の場合のようにゲンビツキー変数を利用した逆問題の定式化、または（ｆ^v）に関連する（ｆ’^v）の場合のように多変量ｓｐｅｃを利用した逆問題の定式化は、理想的には、問題を解くために定式化とＱｕａｄｐｒｏｇを組み合わせることが可能となる付加的な利点を有する。Ｑｕａｄｐｒｏｇアルゴリズムは、付帯条件を満足する開始状態が指定できることを前提とする。前記開始状態が線形計画法を利用して決定された場合は、汎関数の真の最小化を実際に実行する前に、許容される計算時間が既に経過している可能性がある。ゲンビツキー変数を利用することにより、前記状態を既に述べた調整多面体の「膨張」によって達成することができる。したがって、Ｑｕａｄｐｒｏｇの開始点はマニピュレータ設定の変更によってではなくｓｐｅｃの軟化によって達成される。このＱｕａｄｐｒｏｇとゲンビツキー変数を利用した逆問題の定式化との組合せにより付加的にもたらされる利点は、アルゴリズムに固有の「マニピュレータ移動量の数値整合性」である。より厳密に言えば、瞬間的なマニピュレータ移動量が現在の逆問題に関するＱｕａｄｐｒｏｇの開始値にとって十分良い移動量と識別されるので、Ｑｕａｄｐｒｏｇを最初から数値的に使用したときの解もまた、Ｑｕａｄｐｒｏｇによって最終的に決定される（ｅ）の最適解または（ｆ^v）に関連する（ｆ’^v）の最適解から逸脱しない。これにより上記の記述に加えて計算時間も節約される。

一般に解くべき逆問題は、マニピュレータが先行する逆問題の解に従って決定された移動量を達成する前に新しい逆問題を解くべき状況が発生し得るほど時間的に近接して継起する。上記の方法によれば、マニピュレータが停止すると上述のとおり現在位置が開始値として使用される。しかしながら、補償すべき像収差は小さいステップで連続的に変化することが想定され得るので、このように継起的に解くべき逆問題は隣接解も有する。したがって、代案としてマニピュレータの現在位置の代わりに、先行する逆問題に従って決定された移動量または先行する計算ステップに従って決定された移動量が存在する場合は、それらを新しい逆問題を解くためのＱｕａｄｐｒｏｇの開始値として使用する。

この重複は３つ以上の逆問題に関わる可能性もある。例えば、マニピュレータは解ｘ_nの方向にｎ番目の逆問題まで移動される。すべてのマニピュレータが前記解ｘ_nに従ってそれぞれの終了位置に到達する前に、後続の逆問題ｎ＋１，．．．，ｎ＋ｍが蓄積していく。ｎ＋ｊ番目の逆問題を解くためのＱｕａｄｐｒｏｇの開始値としては、上述のとおり多面体膨張を利用したｎ＋ｊ−１番目の問題の解を使用する。この手順を「カスケード型Ｑｕａｄｐｒｏｇ」と呼ぶ。

逆問題の反復解では、有利なことに微調整の下記の特性も利用する。対物レンズの加熱の場合、像収差は当初大幅に変化する。しかしながら、熱吸収の増加と共に、ダイ毎の差異が殆どない飽和状態が確立される。更に、調整問題の解は例えば熱入力のような様々な境界条件に絶えず依存する。その結果、逆問題の近似的な数値解しか得られず、したがってマニピュレータシステムの次善調節が行われる場合にも、これらによって仕様の上界の順守が保証される。

しかしながら、このような熱吸収の慣性にも微調整では欠点がある。投影露光装置の動作中に照明設定もしくは網線が変更された場合または新しいバッチが開始された場合は、像収差プロファイルの事実上不連続な変動が生じる。したがって、もはや必要のない逆問題の解が直前のマニピュレータ移動量の近傍に存在することになる。このような場合、比較的緩慢なマニピュレータ、例えば熱を光学素子に印加するマニピュレータ等は、逆問題の新しい解に由来する移動量を達成するのに不当に長い期間を要する可能性がある。この問題は下記の２つの手法で解決することができる。
１．緩慢なマニピュレータの使用すべき最大移動量が該マニピュレータの最大可能移動量に対応するように、像収差プロファイルの予想される不連続点間における該マニピュレータの移動量を１００％に達しない平均値で指定する。この場合、最大可能移動量の有利な値は、８０％または５０％または２０％または１０％である。
２．緩慢なマニピュレータに関する将来の予想移動距離およびその将来の方向を予測モデルを利用して決定し、仕様を例えば５０％、または２０％、または１５％、または１０％、または５％、または２％、または１％増加させることにより、現在の像収差レベルの短期的低下（short-term impairment）の許容範囲を提供し、緩慢なマニピュレータを仕様の減少によって可能になった距離だけその将来の方向に移動させる。この場合、「短期的（short-term）」とは未来に向かう時間間隔であって、例えば６００００ｍｓまたは２００００ｍｓまたは１００００ｍｓまたは５０００ｍｓまたは１０００ｍｓまたは２００ｍｓまたは２０ｍｓに及ぶ時間間隔を意味するものと理解されたい。この時間間隔内に仕様の減少を予測モデルによって保証する必要がある。この場合、緩慢なマニピュレータの将来の方向への移動は通常、より緩慢でないマニピュレータの移動によって達成される。ここで、未来に向かう時間間隔に関連する仕様の増加割合と、保証する必要がある時間間隔との間の特に有利な組合せは、（５０％、６００００ｍｓ）（２０％、２００００ｍｓ）（１５％、１００００ｍｓ）（１０％、５０００ｍｓ）（２％、１０００ｍｓ）（２％、２００ｍｓ）（１％、２０ｍｓ）である。

上記「２．」の場合、像収差プロファイルに特に適したものとしては像収差オーバーレイ、ベストフォーカス、コア構造と周辺構造の両方に関するフェージング、および個々のゼルニケ係数が挙げられ、またｒｍｓ、グループ化ｒｍｓ、残差ｒｍｓ、更にはそれらの所望のサブセットも挙げられる。

上記の説明では、（ＩＩ）を解くための方法を個別に示し、マニピュレータ作動距離は単純に高速なマニピュレータと低速なマニピュレータとの差を利用して細分した。しかしながら、上記の方法は組み合わせることもできる。この手順を「トグル（toggling）」と呼ぶ。

２つのアルゴリズムが存在する場合、トグルは下記のように明示される。

高速な第１のアルゴリズムＡｌｇ₁では、第１のマニピュレータ調整距離ｘ₁を識別し、それによって最小化問題（ａ）〜（ａ^v）を高速に解くが、演繹的な次善解が与えられるだけである。すなわち、ｍｉｎ‖Ａｘ−ｂ‖がｘ＝ｘ₁によって必ずしも得られず、使用されるノルムに関する残留像収差ｂ₁＝Ａｘ₁−ｂが最小とならない。しかしながら、Ａｌｇ₁は、個々のマニピュレータ範囲のいかなるオーバーシュートも伴わない解が利用可能な時間内に決定されることを保証する。例えば、（ａ’’）〜（ａ^v）に従うチホノフ正則化をＡｌｇ₁として使用する。この場合、当該チホノフ正則化のためのパラメータγは、各マニピュレータ範囲のオーバーシュートが生じないように選択する。

第２のアルゴリズム（Ａｌｇ₂）では、最小化問題（ａ）〜（ａ^v）のやや緩慢で厳密に予測可能でない収束挙動もその解ｘ₂として受け入れられる。この場合の力点は解ｘ₂の最適性に置かれる、すなわちｂ₂＝Ａｘ₂−ｂでは一般に残留像収差ｂ₂のより小さいノルムが予想され得る。例えば「有効制約法」または「ゲンビツキーアルゴリズム」をＡｌｇ₂として使用する。

次いで、これらの２つのアルゴリズムを「トグル」する、すなわちＡｌｇ₁とＡｌｇ₂を並列的に使用し、ｂ₂がそのノルムに関してｂ₁未満であり、同時にその解ｘ₂がマニピュレータ範囲から出ないときは、Ａｌｇ₂の結果を厳密に採用する。そうでない場合は、Ａｌｇ₁の解ｘ₁に頼ることができる。

Ａｌｇ₂を支持する判断が下された場合は、新しい像収差測定を行った後、決定された像収差と新しく測定された像収差の差を残り時間の間にＡｌｇ₁を利用して付加的に最適化することができる。

この方法は、Ａｌｇ₂の結果が出るまでＡｌｇ₁を反復的に適用すれば更に洗練される。そこで、代案として、像収差予測を各反復ステップで実施し、新しい像収差に高速なアルゴリズムＡｌｇ₁を適用する。

この逆問題の並列解法、すなわち最小値探索の並列化は、複数のコンピューティングプロセッサの文脈で使用することが好ましい。かかる複数のプロセッサは、個々のアルゴリズムの範囲内でも行列乗算が必要とされる部分で数値的並列化が確実に実行されるように作用することもできる。特に、ストラッセン（Strassen）のアルゴリズムが使用される。例えば、Volker Strassen: Gaussian Elimination is not Optimal, Numer. Math. 13, pp. 354-356, 1969を参照されたい。この文献の開示内容を全体的に本願に援用する。

図４はこれらの２つの並列化の組合せを示す。最小値探索用の２つのアルゴリズムＡｌｇ₁およびＡｌｇ₂を並列的に実行する。Ａｌｇ₁は反復的な一続きのアルゴリズムＡｌｇ_1i（ｉ＝１，２，３）を含み、これらのアルゴリズムは数値的に並列処理されるアルゴリズムＡｌｇ_1iaおよびＡｌｇ_1ib（ｉ＝１，２，３）に順番に再分割される。Ａｌｇ₁₁が終了すると、最初に結果として得られるマニピュレータ移動量ｘ₁₁が像収差計算ｂ₁₁＝Ａｘ₁₁−ｂの基礎となり、この像収差計算から、Ａｌｇ_12aおよびＡｌｇ_12bに細分されるＡｌｇ₁₂の適用に関する入力が供給される。３回の反復から

が得られ、

となる。

その後、範囲のオーバーシュートならびに残留像収差ｂ₁₁、ｂ₁₂、ｂ₁₃およびｂ₂に関して、結果ｘ₁₁、ｘ₁₁＋ｘ₁₂およびｘ₁₁＋ｘ₁₂＋ｘ₁₃と結果ｘ₂とを比較し、最適解、すなわち範囲違反のない最小残留像収差に相当する解をマニピュレータ移動距離ｘとして出力する。

任意選択で、絶えず小さい像収差を保証するために、マニピュレータがｂ₁₂＝Ａｘ₁₂−ｂ₁₁およびｂ₁₃＝Ａｘ₁₃−ｂ₁₂を解いている間にそれぞれ結果ｘ₁₁およびｘ₁₁＋ｘ₁₂に達するようにすることもできる。この様子を図５に示す。ここでは時間を横座標にプロットし、像収差レベルを縦座標にプロットしている。Ａｌｇ₁はポイント２０１でその最初の結果を得る。続いて、マニピュレータをｘ₁₁で調整して像収差レベルを低下させる。この像収差レベルが後に再び悪化したときは、ｘ₁₂の分だけマニピュレータを位置ｘ₁₁＋ｘ₁₂に移動させる。この処理は、Ａｌｇ₂が終了し、図示の例ではその解ｘ₂を利用してより低い像収差レベルが得られるまで継続する。この状態はポイント２０２で実現されている。ここから、像収差レベルのほぼ周期的なプロファイル２０３が得られる。曲線２０４は、Ａｌｇ₁のみを使用した場合の像収差レベルの予想プロファイルを比較用に示している。曲線２０５は、マニピュレータシステムを使用しない場合の像収差レベルの予想プロファイルを比較用に示している。

特に、様々なパラメータγ＝γ（ｉ）を有する（ａ’’）〜（ａ^v）によるチホノフ正則化をアルゴリズムＡｌｇ_1iとして使用する。

逆問題を解くためのアルゴリズムが所定の仕様ｓｐｅｃを達成しない場合は、既に述べたように仕様ｓｐｅｃを緩和する。１０％、５０％、１００％といった事前定義済みのパーセンテージ分の緩和に加えて、いわゆる「ジョーカー調節（joker regulation）」も使用される。後者の場合は、個々の像収差をグループ単位で組み合わせ、それらを（和の意味で）まとめて緩和する。この場合も定量的に１０％、５０％または１００％の同じ段階を使用する。適切なグループとしては特に同一の方位的挙動を有するゼルニケ係数が挙げられる。例えば、Ｐ（ρ）ｃｏｓ（２φ）；Ｐ多項式タイプ、すなわちｃｏｓ（２φ）のように方位的に振舞うゼルニケ多項式｛Ｚ₅，Ｚ₁₂，Ｚ₂₁，．．．｝に関するすべてのゼルニケ係数ａ_iがこのようなグループを形成する。次いで、このグループの緩和を上述のようにパーセンテージ化した緩和として与える。

ちょうどこのようなグループを選択した背景としては、主に同一の方位的挙動を有する像収差の蓄積を防止することを企図している。

図７は、従来技術の対物レンズ設計に基づくマニピュレータの分布を示す。これらのマニピュレータの一覧を下記の表１に示す。

この場合、
・「Ｚ」は、対物レンズの光軸の方向の変位（１つの自由度）として理解され、
・「ＸＹ」は、対物レンズの光軸に対して垂直方向の変位（２つの自由度）として理解され、
・「ＸＹＺチルト」は、対物レンズの光軸の方向の変位、対物レンズの光軸に対して垂直方向の変位、および対物レンズの光軸に対して垂直な２つの軸の周りのチルト（５つの自由度）として理解され、
・「交換／非球面化」は、一般にそのようないくつかの基底関数から計算される自由曲面が非球面化に使用されるため、３６または４９または１００以上の自由度である。また、これらの機能は組み合わせることもできる。例えば１対のアルバレスプレートを交換可能に構成した場合がこれに該当し、その場合は２つの非球面化平面プレートを相対的に変位させる。この点については、欧州特許出願公開第８５１３０４Ａ２号公報も参照されたい。
上記の自由度の数は平方数に従うとともに、波面変形を記述するのに適するだけでなく非球面を記述するのにも適したゼルニケ多項式の正規直交系に従う。ゼルニケ多項式に加えて、スプラインまたはウェーブレットも非球面を記述するのに使用され、これらは様々な数の自由度をもたらす。
初期調整では、ここで例示しない手法で、この非球面化は平面プレートの片面または両面の光学活性表面だけでなく、いくつかの光学素子、好ましくはレンズまたは鏡の片面または両面の光学活性表面上で発生する。
・「加熱／冷却」は、加熱および／または冷却のために使用する場所の数に応じたｐ＝ｎｘｍの自由度と解釈することができる。通常は、ｎ＝４＝ｍ、ｎ＝７＝ｍ、ｎ＝１０＝ｍ、ｎ＝１５＝ｍまたはｎ＝２０＝ｍを使用する。

マニピュレータ３．１２１．５および３．１２３．５を平面プレートにおいて択一的にまたは組み合わせて使用することができる。

したがって、８５〜３１３の自由度が得られる。この場合は、「Ｚ」、「ＸＹ」、「ＸＹＺ」および「ＸＹＺチルト」タイプのマニピュレータと共に「加熱／冷却」および「変形」タイプのマニピュレータを駆動し、実時間調節する必要があり、上述のとおり逆問題（ＩＩ）を本発明によって解く。

最後に、初期修復および微調整用のマニピュレータを区別する。例えば、個々のＺおよびＸＹＺチルトマニピュレータを初期修復および微調整用とし、いくつかの異なる個々のＸＹマニピュレータを初期調整用とすることができる。

表２は、図７に関する本発明の例示的な実施形態の設計データの一覧を示す。この設計は国際公開第２００３／０７５０９６号パンフレットの例示的な第７実施形態に対応する。この設計は、回転対称のインライン設計および０．９の最大開口数を有する本発明によるマイクロリソグラフィ用の対物レンズを含む。この対物レンズは、動作波長１９３ｎｍで５６．０８ｍｍの最大視野高さまでの軸上物体視野上で補正される。撮像スケールは−０．２５である。

図８は、従来技術の対物レンズの別の設計に基づく、本発明の基礎をなすマニピュレータの分布を示す。本例のマニピュレータの一覧を下記の表に示す。

この場合、
・「変形」とは、光学素子、この場合は特に鏡の形状の変化を起こすような力および／またはトルクの印加として理解されたい。変形を起こすべき光学素子は一般にそれ自体の形状がゼルニケ多項式にならうので、ここでは３６または４９または１００の自由度が利用可能となる。

マニピュレータ４．１２２．６および４．１２２．７、更には４．１２１．１２および４．１２１．１３を平面プレートにおいて択一的にまたは組み合わせて使用することができる。したがって、７９〜５０９の自由度が得られる。

表４は、図８に示した本発明の例示的な実施形態の設計データの一覧を示す。この設計は国際公開第２００４／０１９１２８Ａ２号パンフレットの例示的な第５実施形態に対応する。この設計は、折り畳み式設計を有するマイクロリソグラフィ用の対物レンズを含み、この対物レンズは浸漬動作向けに設計される。この対物レンズは、動作波長１９３ｎｍ、最大開口数１．２５で、２６ｍｍｘ４ｍｍの寸法を有する軸上物体視野上で補正される。撮像スケールは−０．２５である。

図９は、従来技術の対物レンズの別の設計に基づく、本発明の基礎をなすマニピュレータの分布を示す。本例のマニピュレータの一覧を下記の表に示す。

マニピュレータ５．１２３．３および５．１２１．３、ならびにマニピュレータ５．１２２．５、５．１２２．６および５．１２２．７を平面プレートにおいて択一的にまたは組み合わせて使用することができる。したがって、７９〜５０９の自由度が得られる。

表６は、図９に示した本発明の例示的な実施形態の設計データの一覧を示す。この設計は国際公開第２００５／０６９０５５Ａ２号パンフレットの例示的な第１５実施形態に対応する。この設計は、回転対称のインライン設計を有するマイクロリソグラフィ用の対物レンズを含み、この対物レンズは浸漬動作向けに設計される。この対物レンズは、動作波長１９３ｎｍ、最大開口数１．２で、６６ｍｍの最大視野高さを有する軸外物体視野上で補正される。撮像スケールは−０．２５であり、物体視野の範囲はｘ方向が２６ｍｍ、ｙ方向が５．５ｍｍである。

図１３は、本発明による投影装置１００を備えるマイクロリソグラフィ用の投影露光装置２０１を示す。投影露光装置は、１９３または２４８ｎｍの動作波長で動作する光源２０２、通常はレーザーを含む。性質上より狭い帯域幅の動作波長をもたらすが、３６５ｎｍ、４０５ｎｍおよび４３５ｎｍ（Ｉ、ＧおよびＨライン）の波長でピークを示した放電ランプのような他の光源も使用する。同様に、レーザープラズマ源からの光が入る箇所では１３ｎｍの波長を使用する。投影露光装置内の照明光の進路は図中の矢印で概略的に示してある。光が光源２０２を出るときに、感知可能な光の伝導（エタンデュ）は生じない。光の伝導は照明系２０３によって発生し、照明系２０３は照明系２０３の所定の出力側開口の下方の網線１０１を照明する。照明系２０３も照明設定を設定する。二極、四極または環状設定に加えて、例えばマルチミラーアレイを利用して設定可能な自由設定も使用される。

一般にバイナリクロムまたは位相シフトマスクとして定義されるマスクを通過した後、照明光は本発明による投影装置およびその内部の対物レンズ１１０に到達する。前記対物レンズは、現在使用されている網線の撮像に最適なシグマ設定に対応する絞り位置で操作される。シグマ設定は、照明系の出力側開口と対物レンズの入力側開口の商として定義される。

ダイの露光中にダイを変更した場合、ウェハを変更した場合、網線を変更した場合またはバッチを変更した場合に、指定された像収差の上界のオーバーシュートが判定されたときは、本発明によるマニピュレータを調節または制御することにより投影光学アセンブリを再び仕様どおりの状態に戻す。その代わりにまたはそれに加えて、マニピュレータの仕様の上界のオーバーシュートが確認された場合にも同じことが言える。本発明によれば、この調節は３００００ｍｓ、好ましくは１００００ｍｓ、非常に好ましくは５０００ｍｓ、極めて好ましくは１０００ｍｓ、最も好ましくは２００ｍｓ、理想的には２０ｍｓ、非常に理想的には５ｍｓ、極めて理想的には１ｍｓの期間内に達成される。

代案として、この微調整は３００００ｍｓ、好ましくは１００００ｍｓ、非常に好ましくは５０００ｍｓ、極めて好ましくは１０００ｍｓ、最も好ましくは２００ｍｓ、理想的には２０ｍｓ、非常に理想的には５ｍｓ、極めて理想的には１ｍｓの時間間隔で定期的に達成することもできる。

３つの調整形態はすべて下記のステップが異なる。
（ｉ）マニピュレータ移動量を逆問題の解によって決定するステップ
（ｉｉ）逆問題の解に従って決定された新しい移動量までマニピュレータを移動させるステップ

有利なことに、ステップ（ｉ）および（ｉｉ）を実現するのに要する上記の時間間隔は各場合でほぼ半分、すなわち１５０００ｍｓ、好ましくは５０００ｍｓ、非常に好ましくは２０００ｍｓ、極めて好ましくは５００ｍｓ、最も好ましくは１００ｍｓ、理想的には１０ｍｓ、非常に理想的には２ｍｓ、極めて理想的には０．５ｍｓとなる。比較的緩慢なマニピュレータの場合は他の割合も使用することができ、それぞれ例えば１．５秒、好ましくは５００ｍｓ、非常に好ましくは２００ｍｓ、極めて好ましくは５０ｍｓ、最も好ましくは１０ｍｓ、理想的には１ｍｓ、非常に理想的には０．２ｍｓ、極めて理想的には０．０５ｍｓとすることができる。

Claims (1)

1. マイクロリソグラフィ用の投影装置であり、
   物体視野を撮像する対物レンズと、
   前記対物レンズの少なくとも１つまたは複数の光学素子を操作する少なくとも１つまたは複数のマニピュレータと、
   前記少なくとも１つまたは複数のマニピュレータを制御する制御ユニットとを備え、
   前記制御ユニットは、
   前記少なくとも１つまたは複数のマニピュレータの移動量を逆問題を解くことによって決定する第１のデバイスを収容し、
   前記逆問題の数値的安定化のための第２のデバイスを収容し、
   前記数値的安定化は、
   ＳＶＤ分解、および／またはＬ曲線法を用いて決定した重みγによるチホノフ正則化、および／またはＣＧ法である
   ことを特徴とする、投影装置。

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