DE102015222377B4 - Projektionsbelichtungsanlage mit einem Manipulatorsystem - Google Patents

Abstract

Projektionsbelichtungsanlage (10) für die Mikrolithographie mit: einem Projektionsobjektiv (22) zum Abbilden von Maskenstrukturen, welches ein mehrere Manipulatorfreiheitsgrade (M1 bis M8) aufweisendes Manipulationssystem (42) zur Veränderung von Eigenschaften des Projektionsobjektivs umfasst, sowie einem Stellwegsermittler (40), welcher dazu konfiguriert ist, aus einer Zustandscharakterisierung (64a) des Projektionsobjektivs Stellwegseinstellungen (xi bis x8) für die Manipulatorfreiheitsgrade des Manipulationssystems durch mehrere Optimierungen einer Zielfunktion (72) unter jeweiliger Berücksichtigung mehrerer Nebenbedingungen (78) bezüglich der Stellwegseinstellungen zu generieren, wobei mindestens eine der Nebenbedingungen eine Grenze für eine Kombination mehrerer Stellwegseinstellungen definiert, wobei die Berücksichtigung der Nebenbedingungen mittels eines in der Zielfunktion enthaltenen Bestrafungsterms (76) erfolgt, welcher dazu konfiguriert ist, während der jeweiligen Optimierung der Zielfunktion einer Verletzung der Nebenbedingungen entgegen zu wirken, wobei das durch den Bestrafungsterm bewirkte Entgegenwirken eine mittels mehrerer Konfigurationsparameter (λj) einstellbare Entgegenwirkungscharakteristik aufweist, wobei jeder der Nebenbedingungen einer der Konfigurationsparameter zugewiesen ist, und wobei bei den Optimierungen Werte der Konfigurationsparameter (λj) von Optimierung zu Optimierung variiert werden.

Description

• Hintergrund der Erfindung
• Die Erfindung betrifft eine Projektionsbelichtungsanlage für die Mikrolithograhie sowie ein Verfahren zum Steuern einer derartigen Projektionsbelichtungsanlage. Eine Projektionsbelichtungsanlage für die Mikrolithographie dient bei der Herstellung von Halbleiter-Bauelementen der Erzeugung von Strukturen auf einem Substrat in Gestalt eines Halbleiterwafers. Dazu umfasst die Projektionsbelichtungsanlage ein mindestens ein optisches Element, insbesondere mehrere optische Elemente, aufweisendes Projektionsobjektiv zum Abbilden von Maskenstrukturen auf den Wafer während eines Belichtungsvorganges.
• Zur Gewährleistung einer möglichst präzisen Abbildung der Maskenstrukturen auf den Wafer wird ein Projektionsobjektiv mit möglichst geringen Wellenfrontaberrationen benötigt. Projektionsobjektive werden daher mit Manipulatoren ausgestattet, die es ermöglichen Wellenfrontfehler durch Zustandsveränderung einzelner optischer Elemente des Projektionsobjektivs zu korrigieren. Beispiele für eine derartige Zustandsveränderung umfassen: eine Lageänderung in einem oder mehreren der sechs Starrkörperfreiheitsgrade des betreffenden optischen Elements, eine Beaufschlagung des optischen Elements mit Wärme und/oder Kälte, und eine Deformation des optischen Elements. Bei Manipulatorsystemen, die ein optisches Element mit Wärme und/oder Kälte beaufschlagen oder eine Deformation des optischen Elements bewirken, sind in der Regel dem entsprechenden optischen Element mehrere „verschränkte” Manipulatorfreiheitsgrade, d. h. Manipulatorfreiheitsgrade, die nicht voneinander unabhängig sind, zugeordnet.
• Üblicherweise wird zur Ermittlung von benötigten Zustandsveränderungen der Manipulatoren die Aberrationscharakteristik des Projektionsobjektivs regelmäßig vermessen und gegebenenfalls werden Änderungen in der Aberrationscharakteristik zwischen den einzelnen Messungen durch Simulation bestimmt. So können beispielsweise Linsenaufheizungseffekte rechnerisch berücksichtigt werden. Synonym für „Linsenaufheizung” werden auch die Begriffe „Linsenerwärmung”, „Spiegelaufheizung” und „Spiegelerwärmung” verwendet. Die Berechnung der zur Korrektur der Aberrationscharakteristik auszuführenden Manipulatorveränderungen erfolgt mittels eines stellwegsgenerierenden Optimierungsalgorithmus, welcher auch „Manipulatorveränderungsmodell” bezeichnet wird. Derartige Optimierungsalgorithmen sind beispielsweise in WO 2010/034674 A1 sowie DE 10 2012 205 096 B3 beschrieben.
• Unter „Stellweg” wird eine mittels Manipulator-Aktuierung erfolgende Veränderung einer Zustandsgröße eines optischen Elements entlang des Stellwegs zum Zweck der Veränderung seiner optischen Wirkung verstanden. Ein derartiger, durch Veränderung einer Zustandsgröße des optischen Elements definierter Stellweg wird über einen Stellwegsbefehl spezifiziert. Ein derartiger Stellwegsbefehl umfasst eine oder mehrere Stellwegseinstellungen und wird von einem stellwegsgenerierenden Optimierungsalgorithmus generiert. Die Manipulator-Aktuierung kann beispielsweise in einer Verlagerung des optischen Elements in eine spezielle Richtung, aber auch beispielsweise in einer, insbesondere lokalen oder flächigen, Beaufschlagung des optischen Elements mit Wärme, Kälte, Kräften, Licht einer bestimmten Wellenlänge oder Strömen bestehen. Die Solländerungsgröße kann beispielsweise im Falle einer Verlagerung eine zurückzulegende Weglänge oder einen zurückzulegenden Winkelbereich definieren.
• Aus dem Stand der Technik bekannte Tikhonov-regularisierte stellwegsgenerierende Optimierungsalgorithmen ermöglichen eine zeiteffiziente Bestimmung von Stellwegseinstellungen. Jedoch sind diese oft nicht ausreichend genau. Dies gilt insbesondere für Manipulatorsysteme mit verschränkten Manipulatorfreiheitsgraden. Optimierungsalgorithmen, die zur Genauigkeitsverbesserung auf Tikhonov-Regularisierung verzichten, weisen jedoch derart lange Rechenzeiten auf, dass diese Optimierungsalgorithmen zur aktiven Manipulatorsteuerung während der Belichtung eines Wafers ungeeignet sind.
• Zugrunde liegende Aufgabe
• Es ist eine Aufgabe der Erfindung, eine Vorrichtung sowie ein Verfahren bereitzustellen, womit die vorgenannten Probleme gelöst werden, und insbesondere Stellwegeinstellungen von Manipulatorsystemen mit verschränkten Freiheitsgraden mit einer erhöhten Taktrate und gleichzeitig einer hohen Genauigkeit erzeugt werden können.
• Erfindungsgemäße Lösung
• Die vorgenannte Aufgabe kann erfindungsgemäß beispielsweise gelöst werden mit einer Projektionsbelichtungsanlage für die Mikrolithographie, welche ein Projektionsobjektiv zum Abbilden von Maskenstrukturen aufweist. Das Projektionsobjektiv umfasst ein mehrere Manipulatorfreiheitsgrade aufweisendes Manipulationssystem zur Veränderung von Eigenschaften des Projektionsobjektivs sowie einen Stellwegsermittler. Der Stellwegsermittler ist dazu konfiguriert, aus einer Zustandscharakterisierung des Projektionsobjektivs Stellwegseinstellungen für die Manipulatorfreiheitsgrade des Manipulationssystems durch mehrere Optimierungen einer Zielfunktion unter jeweiliger Berücksichtigung mehrerer Nebenbedingungen bezüglich der Stellwegseinstellungen zu generieren. Mindestens eine, insbesondere mindestens zwei oder mindestens drei, der Nebenbedingungen definiert eine Grenze für eine Kombination mehrerer Stellwegseinstellungen. Die Berücksichtigung der Nebenbedingungen erfolgt mittels eines in der Zielfunktion enthaltenen Bestrafungsterms, welcher dazu konfiguriert ist, während der jeweiligen Optimierung der Zielfunktion einer Verletzung der Nebenbedingungen entgegen zu wirken. Das durch den Bestrafungsterm bewirkte Entgegenwirken weist eine mittels mehrerer Konfigurationsparameter einstellbare Entgegenwirkungscharakteristik auf. Jeder der Nebenbedingungen ist einer der Konfigurationsparameter zugewiesen. Weiterhin werden bei den Optimierungen Werte der Konfigurationsparameter von Optimierung zu Optimierung variiert.
• Das Projektionsobjektiv umfasst insbesondere mehrere optische Elemente zur Abbildung von Strukturen aus einer Maskenebene in eine Substratebene. Die Veränderung der Eigenschaften des Projektionsobjektives mittels des Manipulationssystems umfasst insbesondere die Veränderung der Eigenschaften der optischen Elemente. Dazu kann das Manipulationssystem mehrere, den einzelnen optischen Elementen zugeordnete, Manipulatoren aufweisen, wobei die Manipulatoren jeweils einen oder mehrere der genannten Manipulatorfreiheitsgrade aufweisen können. Das Manipulationssystem kann auch nur einen Manipulator aufweisen, welcher dann einem optischen Element zugeordnet ist und mehrere Manipulatorfreiheitsgrade aufweist.
• Allgemein gesprochen, definieren Nebenbedingungen jeweils mindestens eine Grenze bezüglich einem jeweiligen Bezugsterm der Nebenbedingung, wobei der Bezugsterm eine Stellwegseinstellungsvariable, d. h. eine Variable welche eine Stellwegseinstellung repräsentiert, oder auch ein Term, der mehrere Stellwegseinstellungsvariablen enthält, sein kann. Bei der vorstehend genannten mindestens einen Nebenbedingung, welche eine Grenze für eine Kombination mehrerer Stellwegseinstellungen definiert, enthält der Bezugsterm mehrere Stellwegseinstellungsvariablen, z. B. in Form einer Linearkombination oder einer anders gearteten Verknüpfung dieser Stellwegseinstellungsvariablen. Eine derartige Nebenbedingung dient der Beschreibung von Stellwegseinstellungsanforderungen verschränkter Manipulatorfreiheitsgrade des Manipulationssystems, wie etwa der verschiedenen Freiheitsgrade zur Betätigung eines deformierbaren Spiegels.
• Das Entgegenwirkten einer Verletzung der Nebenbedingungen umfasst das Entgegenwirken einer Abweichung einer durch die betreffende Nebenbedingung definierten Größe von deren Grundwert. Die durch die betreffende Nebenbedingung definierte Größe kann eine Stellwegsvariable oder eine Funktion mehrerer Stellwegsvariablen, insbesondere eine Kombination mehrerer Stellwegsvariablen umfassen, wobei die Stellwegsvariablen jeweils eine der Stellwegseinstellungen beschreiben.
• Bei der mehrfachen Optimierung werden Werte der Konfigurationsparameter von Optimierung zu Optimierung variiert. Mit anderen Worten unterscheiden sich die den mindestens zwei Optimierungen zugrunde liegenden Konfigurationsparameterwerte voneinander. Darunter ist zu verstehen, dass der Satz an Konfigurationsparameterwerten, der Grundlage einer ersten Optimierung ist, sich von dem entsprechenden Satz an Konfigurationsparameterwerten, der Grundlage einer weiteren Optimierung ist, unterscheidet. Unter der ersten Optimierung ist eine der mehrfachen Optimierungen gemeint, die nicht unbedingt die zeitlich als erstes ausgeführte Optimierung sein muss. Mit anderen Worten variieren die Konfigurationsparameterwerte zwischen den mindestens zwei Optimierungen.
• Durch die erfindungsgemäße Zuweisung eines der Konfigurationsparameter an jede der Nebenbedingungen und Variierung der Werte der Konfigurationsparameter von Optimierung zu Optimierung wird es möglich, Stellwegseinstellungen eines Manipulatorsystems mit verschränkten Freiheitsgraden mit einer erhöhten Taktratte und gleichzeitig einer hohen Genauigkeit zu erzeugen.
• Gemäß einer Ausführungsform ist das Projektionsobjektiv zum Betrieb im EUV-Wellenlängenbereich ausgelegt. Bei einem derartigen EUV-Projektionsobjektiv sind sämtliche optische Elemente, die zur Abbildung von Strukturen aus einer Maskenebene in eine Substratebene dienen, als Spiegel ausgeführt.
• Gemäß einer weiteren Ausführungsform nach der Erfindung umfasst die Zielfunktion eine Lagrange-Funktion mit Lagrange-Multiplikatoren, wobei die Konfigurationsparameter als die Lagrange-Multiplikatoren sind. Lagrangefunktionen sowie die zugehörigen Lagrange-Multiplikatoren sind dem Fachmann z. B. aus dem Fachbuch „Convex Optimization” von Stephen Boyd und Lieven Vandenberghe, Cambridge University Press 2004, Kapitel 5.1 bekannt.
• Gemäß einer weiteren Ausführungsform nach der Erfindung umfasst der Bestrafungsterm eine Linearkombination von Termen, welche jeweils eine der Nebenbedingungen repräsentieren und insbesondere jeweils ein Vektorelement eines Produkts aus einer Nebenbedingungsmatrix und einem die Stellwegseinstellungen beschreibenden Stellwegsvektor enthalten. Die Nebenbedingungsmatrix weist mindestens ein Element außerhalb ihrer Hauptdiagonalen auf, welches von Null verschieden ist, die Nebenbedingungsmatrix ist keine Diagonalmatrix.
• Gemäß einer weiteren Ausführungsform umfasst die Zielfunktion eine Ausgangs-Hauptmatrix, welche mittels einer Sensitivitätsmatrix gebildet ist. Die Sensitivitätsmatrix definiert einen Zusammenhang zwischen einem die Stellwegseinstellungen beschreibenden Stellwegsvektor und einem die Zustandscharakterisierung des Projektionsobjektivs darstellenden Zustandsvektor. Der Stellwegsermittler weist eine Speichereinrichtung auf, in der das Ergebnis einer vorab ausgeführten Cholesky-Zerlegung der Ausgangs-Hauptmatrix gespeichert ist. Gemäß einer Ausführugsvariante umfasst die Zielfunktion einen Hauptterm, in dem die Ausgangs-Hauptmatrix beidseitig mit einem die Stellwegseinstellungen beschreibenden Stellwegsvektor multipliziert wird.
• Die Cholesky-Zerlegung wurde vorab, d. h. vor Übermittlung der zur aktuellen Ermittlung der Stellwegseinstellung verwendeten Zustandscharakterisierung an den Stellwegsermittler bzw. vor Beginn der Ausführung des Algorithmus zur Ermittlung der aktuellen Stellwegseinstellungen, berechnet und in der Speichereinrichtung abgespeichert. Die Ausgangs-Hauptmatrix ist insbesondere Teil eines Hauptterms der Zielfunktion, in dem die Hauptmatrix beidseitig mit einem die Stellwegseinstellungen beschreibenden Stellwegsvektor multipliziert wird. Wie dem Fachmann bekannt ist, bezeichnet eine Cholesky-Zerlegung in der numerischen Mathematik eine Zerlegung einer symmetrischen positiv definierten Matrix in ein Produkt aus einer unteren Dreiecksmatrix und deren Transponierten.
• Gemäß einer weiteren Ausführungsform ist der Stellwegsermittler dazu konfiguriert, bei einer der mehreren Optimierungen, bei der mindestens einer der Konfigurationsparameter von null verschieden ist, eine Cholesky-Zerlegung einer erweiterten Hauptmatrix durchzuführen, welche neben der Ausgangs-Hauptmatrix eine Erweiterungsmatrix umfasst, welche mittels einer die Konfigurationsparameter auf einer Hauptdiagonalen enthaltenden Diagonalmatrix gebildet ist. Insbesondere ist der Stellwegsermittler weiterhin dazu konfiguriert, die ermittelte Cholesky-Zerlegung der erweiterten Hauptmatrix in der Speichereinrichtung abzuspeichern.
• Gemäß einer weiteren Ausführungsform ist der Stellwegsermittler dazu konfiguriert, die Cholesky-Zerlegung der erweiterten Hauptmatrix näherungsweise auf Grundlage der in der Speichereinrichtung gespeicherten Cholesky-Zerlegung der Ausgangs-Hauptmatrix oder einer in der Speichereinrichtung gespeicherten Cholesky-Zerlegung einer weiteren erweiterten Hauptmatrix zu bestimmen.
• Gemäß einer Ausführungsvariante erfolgt die näherungsweise Bestimmung der Cholesky-Zerlegung der erweiterten Hauptmatrix bei einer aktuellen Optimierung in dem Fall, in dem bei der aktuellen Optimierung eine einen Grenzwert unterschreitende Anzahl an Konfigurationsparametern gegenüber den Konfigurationsparametern, welche der zur näherungsweise Bestimmung verwendeten Cholesky-Zerlegung zu Grunde liegen, verändert ist.
• Wie bereits vorstehend erwähnt, kann die Cholesky-Zerlegung, bezüglich welcher der vorgegebene Grenzwert unterschritten wird und welche als Grundlage der aktuellen Cholesky-Zerlegung der erweiterten Hauptmatrix dient, die Cholesky-Zerlegung der Ausgangs-Hauptmatrix oder die Cholesky-Zerlegung einer einer vorausgehenden Optimierung zugrunde liegenden weiteren erweiterten Hauptmatrix sein.
• Das näherungsweise Bestimmen der Cholesky-Zerlegung der erweiterten Hauptmatrix auf Grundlage der in der Speichereinrichtung enthaltenen Cholesky-Zerlegung, auch „Cholesky-Aktualisierung” bzw. „Cholesky-Update” bezeichnet, kann z. B. durch sukzessives Anwenden der Sherman-Morrison-Formel erfolgen. Wie dem Fachmann bekannt ist, berechnet die Sherman-Morrison-Formel die Inverse der Summe einer invertierbaren Matrix A und des äußeren Produkts UV^T der Vektoren U und V. Die Sherman-Morrison-Formel ist ein Spezialfall der dem Fachmann ebenfalls bekannten Woodbury-Formel. Der vorgegebene Grenzwert für die Anzahl von Konfigurationsparametern, unterhalb dem die Cholesky-Zerlegung, wie beschrieben, näherungsweise erfolgt, kann zwischen 5 und 15 liegen.
• Gemäß einer weiteren Ausführungsform ist der Stellwegsermittler dazu konfiguriert, nach mindestens einer Optimierung das Optimierungsergebnis auf Einhaltung der Nebenbedingungen zu prüfen und bei Nichteinhaltung mindestens einer Nebenbedingung die Werte der Konfigurationsparameter gegenüber den bei der vorausgehenden Optimierung verwendeten Werten zu verändern, sowie eine weitere Optimierung auf Grundlage der geänderten Werte durchzuführen.
• Gemäß einer weiteren Ausführungsform ist ein erster der Konfigurationsparameter der nichteingehaltenen Nebenbedingung zugewiesen und der Stellwegsermittler ist dazu konfiguriert, einen Wert des ersten Konfigurationsparameters für die weitere Optimierung um einen Betrag zu erhöhen, welcher abhängig vom Ausmaß einer Grenzüberschreitung der Nebenbedingung ist. Mit anderen Worten ist der Wert der Erhöhung eine Funktion des Ausmaßes des Überschreitens. Gemäß einer Ausführungsform erfolgt die Erhöhung proportional zum Ausmaß des Überschreitens.
• Gemäß einer weiteren Ausführungsform ist ein zweiter der Konfigurationsparameter einer weiteren Nebenbedingung, deren Grenze bei der vorausgehenden Optimierung unterschritten wird, zugewiesen und der Stellwegsermittler ist dazu konfiguriert, einen Wert des zweiten Konfigurationsparameters zu verringern.
• Gemäß einer weiteren Ausführungsform ist der Stellwegsermittler dazu konfiguriert, für den Fall, in dem eine vorgegebene erste Anzahl von Optimierungen durchgeführt wurde, das aktuelle Optimierungsergebnis auf Einhaltung der Nebenbedingungen zu prüfen, wobei die Nebenbedingungen jeweils mindestens eine Grenze bezüglich einem jeweiligen Bezugsterm der Nebenbedingung definieren, und bei Nichteinhaltung mindestens einer Nebenbedingung mindestens eine kritische Nebenbedingung zu identifizieren, deren Bezugsterm einen ihr zugeordneten kritischen Wert verletzt. Weiterhin ist der Stellwegsermittler dazu konfiguriert, den Bezugsterm der identifizierten kritischen Nebenbedingung mit der ihr zugeordneten Grenze gleich zu setzen, den gleichgesetzten Bezugsterm in die Zielfunktion einzusetzen und eine weitere Optimierung durchzuführen. Der kritische Wert liegt insbesondere im Bereich der von der Nebenbedingung definierten Grenze. In diesem Zusammenhang liegt der kritische Wert dann im Bereich der die kritische Nebenbedingung definierenden Grenze, wenn der kritische Wert um maximal 10%, insbesondere um maximal 5% von der Grenze abweicht.
• Die weitere Optimierung wird insbesondere auf Grundlage der in der vorausgehenden Optimierung verwendeten Werte der Konfigurationsparameter durchgeführt. Eine derartige Bestimmung eines Stellwegvektors wird auch als Bestimmung des Stellwegvektors „durch Projektion” bezeichnet. Gemäß einer Ausführungsvariante werden durch Einsetzen des mittels „durch Projektion” bestimmten Stellwegvektors in den Term der Zielfunktion neue Konfigurationsparameter bestimmt, welche zur Verwendung in einer nachfolgenden Optimierung, insbesondere einer „auf Projektion” beruhenden nachfolgenden Optimierung, gespeichert werden.
• Gemäß einer weiteren Ausführungsform ist der Stellwegsermittler dazu konfiguriert, nach einer vorgegebenen zweiten Anzahl von Optimierungen das aktuelle Optimierungsergebnis auf Einhaltung der Nebenbedingungen zu prüfen und bei Nichteinhaltung mindestens einer Nebenbedingung einen mittels der zuletzt ausgeführten Optimierung bestimmten Stellwegsvektor derart zu skalieren, dass alle Nebenbedingungen eingehalten werden.
• Gemäß einer weiteren Ausführungsform ist der Stellwegsermittler dazu konfiguriert, nach mindestens einer Optimierung das Optimierungsergebnis auf Einhaltung der Nebenbedingungen zu prüfen und bei Einhaltung aller Nebenbedingungen die Zielfunktion mittels eines Aktive-Mengen-Algorithmus zu optimieren. Bei einem derartigen Aktive-Mengen-Algorithmus werden aktive Nebenbedingungen, die einen jeweiligen, ihnen zugeordneten, Grenzwert genau einhalten, identifiziert. Die identifizierten aktiven Nebenbedingungen werden in Gleichheits-Nebenbedingungen umgeformt und eine Optimierung der Zielfunktion erfolgt unter Berücksichtigung der Gleichheitsnebenbedingungen.
• Der Aktive-Mengen-Algorithmus wird auch als „Active-Set-Algorithmus” bezeichnet, und ist dem Fachmann z. B. aus Kapitel 12.1 von Jorge Nocedal und Stephen J. Wright, „Numerical Optimization”, Second Edition, 2006 Springer Science-Business Media, LLC bekannt. Bei einem derartigen Aktive-Mengen-Algorithmus werden typischerweise nach dem ersten Schritt der Optimierung der Zielfunktion unter Berücksichtigung der Gleichheitsnebenbedingungen des aktiven Satzes an Nebenbedingungen als zweiter Schritt die Lagrange-Multiplikatoren des aktiven Satzes an Nebenbedingungen berechnet. In einem dritten Schritt wird ein Teil der Nebenbedingungen mit negativen Lagrange-Multiplikatoren entfernt und in einem vierten Schritt unplausible Nebenbedingungen identifiziert. Daraufhin werden die Schritte eins bis vier auf Grundlage des entsprechend reduzierten Satzes an aktiven Nebenbedingungen so oft wiederholt bis das Optimierungsergebnis einem vorab definierten Qualitätskriterium entspricht, also als „ausreichend optimal” angesehen wird. Die Anwendung des Aktive-Mengen-Algorithmus ermöglicht eine optimale Ausnutzung des zur Verfügung stehenden Verstellbereichs des Manipulatorsystems.
• Gemäß einer weiteren Ausführungsform weist der Stellwegsermittler eine Speichereinrichtung auf, in der die Zielfunktion in einer transformierten Form enthalten ist, in der eine Ausgangs-Hauptmatrix der Zielfunktion, welche mittels einer einen Zusammenhang zwischen einem die Stellwegseinstellungen beschreibenden Stellwegsvektor und einem die Zustandscharakterisierung des Projektionsobjektivs darstellenden Zustandsvektor definierenden Sensitivitätsmatrix gebildet ist, als diagonalisierte Matrix dargestellt ist, und der Stellwegsermittler dazu konfiguriert ist, die Optimierung mittels des Aktive-Mengen-Algorithmus auf Grundlage der transformierten Form der Zielfunktion auszuführen. Die transformierte Form der Zielfunktion wurde insbesondere vorab, d. h. vor Übermittlung der zur aktuellen Ermittlung der Stellwegseinstellung verwendeten Zustandscharakterisierung an den Stellwegsermittler bzw. vor Beginn der Ausführung des Algorithmus zur Ermittlung der aktuellen Stellwegseinstellungen, ermittelt und in der Speichereinrichtung abgespeichert. Die Verwendung der transformierten Form mit diagonaler Basis ermöglicht es den Aktive-Mengen-Algorithmus mit einer geringen Anzahl an Matrixmultiplikationen auszuführen, wodurch die zur Ausführung des Algorithmus benötigte Zeit möglichst gering gehalten wird.
• Die vorgenannte Aufgabe kann weiterhin beispielsweise gelöst werden mit einem Verfahren zum Steuern einer Projektionsbelichtungsanlage für die Mikrolithographie, welche ein Projektionsobjektiv zum Abbilden von Maskenstrukturen aufweist. Das Projektionsobjektiv umfasst ein mehrere Manipulatorfreiheitsgrade aufweisendes Manipulationssystem zur Veränderung von Eigenschaften des Projektionsobjektivs. Gemäß dem Verfahren erfolgt ein Generieren von Stellwegseinstellungen für die Manipulatorfreiheitsgrade des Manipulationssystems aus einer Zustandscharakterisierung des Projektionsobjektivs durch Ausführen mehrerer Optimierungen einer Zielfunktion unter jeweiliger Berücksichtigung mehrerer Nebenbedingungen bezüglich der Stellwegseinstellungen. Mindestens eine der Nebenbedingungen definiert eine Grenze für eine Kombination mehrerer Stellwegseinstellungen. Die Berücksichtigung der Nebenbedingungen erfolgt mittels eines in der Zielfunktion enthaltenen Bestrafungsterms, welcher dazu konfiguriert ist, während der jeweiligen Optimierung der Zielfunktion einer Verletzung der Nebenbedingungen entgegen zu wirken. Das durch den Bestrafungsterm bewirkte Entgegenwirken weist eine mittels mehrerer Konfigurationsparameter einstellbare Entgegenwirkungscharakteristik auf und jeder der Nebenbedingungen ist einer der Konfigurationsparameter zugewiesen. Bei den Optimierungen werden Werte der Konfigurationsparameter von Optimierung zu Optimierung variiert.
• Die bezüglich der vorstehend aufgeführten Ausführungsformen, Ausführungsbeispiele bzw. Ausführungsvarianten, etc. der erfindungsgemäßen Projektionsbelichtungsanlage angegebenen Merkmale können entsprechend auf das erfindungsgemäße Steuerungsverfahren übertragen werden. Diese und andere Merkmale der erfindungsgemäßen Ausführungsformen werden in der Figurenbeschreibung und den Ansprüchen erläutert. Die einzelnen Merkmale können entweder separat oder in Kombination als Ausführungsformen der Erfindung verwirklicht werden. Weiterhin können sie vorteilhafte Ausführungsformen beschreiben, die selbstständig schutzfähig sind und deren Schutz ggf. erst während oder nach Anhängigkeit der Anmeldung beansprucht wird.
• Kurzbeschreibung der Zeichnungen
• Die vorstehenden, sowie weitere vorteilhafte Merkmale der Erfindung werden in der nachfolgenden detaillierten Beschreibung beispielhafter erfindungsgemäßer Ausführungsformen unter Bezugnahme auf die beigefügten schematischen Zeichnungen veranschaulicht. Es zeigt:
• 1 eine Veranschaulichung einer erfindungsgemäßen Ausführungsform einer Projektionsbelichtungsanlage für die Mikrolithographie mit einem Stellwegsermittler zum Erzeugen eines Stellwegbefehls, sowie
• 2 eine Veranschaulichung des Aufbaus bzw. der Funktionsweise des Stellwegsermittlers gemäß 1.
• Detaillierte Beschreibung erfindungsgemäßer Ausführungsbeispiele
• In den nachstehend beschriebenen Ausführungsbeispielen bzw. Ausführungsformen oder Ausführungsvarianten sind funktionell oder strukturell einander ähnliche Elemente soweit wie möglich mit den gleichen oder ähnlichen Bezugszeichen versehen. Daher sollte zum Verständnis der Merkmale der einzelnen Elemente eines bestimmten Ausführungsbeispiels auf die Beschreibung anderer Ausführungsbeispiele oder die allgemeine Beschreibung der Erfindung Bezug genommen werden.
• Zur Erleichterung der Beschreibung ist in der Zeichnung ein kartesisches xyz-Koordinatensystem angegeben, aus dem sich die jeweilige Lagebeziehung der in den Figuren dargestellten Komponenten ergibt. In 1 verläuft die y-Richtung senkrecht zur Zeichenebene in diese hinein, die x-Richtung nach rechts und die z-Richtung nach oben.
• 1 zeigt eine erfindungsgemäße Ausführungsform einer Projektionsbelichtungsanlage 10 für die Mikrolithographie. Die vorliegende Ausführungsform ist zum Betrieb im EUV-Wellenlängenbereich, d. h. mit elektromagnetischer Strahlung einer Wellenlänge kleiner als 100 nm, insbesondere einer Wellenlänge von etwa 13,5 nm oder etwa 6,7 nm ausgelegt. Aufgrund dieser Betriebswellenlänge sind alle optischen Elemente als Spiegel ausgeführt. Die Erfindung ist jedoch nicht auf Projektionsbelichtungsanlagen im EUV-Wellenlängenbereich begrenzt. Weitere erfindungsgemäße Ausführungsformen sind beispielsweise auf Betriebswellenlängen im UV-Bereich, wie beispielsweise 365 nm, 248 nm oder 193 nm ausgelegt. In diesem Fall sind zumindest einige der optischen Elemente als herkömmliche Transmissionslinsen konfiguriert.
• Die Projektionsbelichtungsanlage 10 gemäß 1 umfasst eine Belichtungsstrahlungsquelle 12 zur Erzeugung von Belichtungsstrahlung 14. Im vorliegenden Fall ist die Belichtungsstrahlungsquelle 12 als EUV-Quelle ausgeführt und kann beispielsweise eine Plasmastrahlungsquelle umfassen. Die Belichtungsstrahlung 14 durchläuft zunächst ein Beleuchtungssystem 16 und wird von diesem auf eine Maske 18 gelenkt. Das Beleuchtungssystem 16 ist dazu konfiguriert, unterschiedliche Winkelverteilungen der auf die Maske 18 auftreffenden Belichtungsstrahlung 14 zu erzeugen. Abhängig von einer vom Benutzer gewünschten Beleuchtungseinstellung, auch „Beleuchtungssetting” genannt, konfiguriert das Beleuchtungssystem 16 die Winkelverteilung der auf die Maske 18 auftreffenden Belichtungsstrahlung 14. Beispiele für wählbare Beleuchtungseinstellungen umfassen eine sogenannte Dipol-Beleuchtung, annulare Beleuchtung und Quadrupolbeleuchtung.
• Die Maske 18 weist Maskenstrukturen zur Abbildung auf ein Substrat 24 in Gestalt eines Wafers auf und ist auf einer Maskenverschiebebühne 20 verschiebbar gelagert. Die Maske 18 kann, wie in 1 dargestellt, als Reflexionsmaske ausgeführt sein oder alternativ, insbesondere für die UV-Lithographie, auch als Transmissionsmaske konfiguriert sein. Die Belichtungsstrahlung 14 wird in der Ausführungsform gemäß 1 an der Maske 18 reflektiert und durchläuft daraufhin ein Projektionsobjektiv 22, welches dazu konfiguriert ist, die Maskenstrukturen auf das Substrat 24 abzubilden. Die Belichtungsstrahlung 14 wird innerhalb des Projektionsobjektivs 22 mittels einer Vielzahl von optischen Elementen, vorliegend in Gestalt von Spiegeln, geführt. Das Substrat 24 ist auf einer Substratverschiebebühne 26 verschiebbar gelagert. Die Projektionsbelichtungsanlage 10 kann als sogenannter Scanner oder als sogenannter Stepper ausgeführt sein.
• Das Projektionsobjektiv 22 weist in der Ausführungsform gemäß 1 lediglich vier optische Elemente E1 bis E4 auf. Das optische Element E1 ist als deformierbarer Spiegel, auch adaptiver Spiegel bezeichnet, ausgebildet. Zur Deformation des optischen Elements E1 ist diesem eine Manipulationseinrichtung 28 zugeordnet, welche eine Vielzahl von Aktuatoren umfasst, welche wiederum gegen die Rückseite des von dem optischen Element E1 gebildeten Spiegels in einer Richtung quer zur Spiegeloberfläche einwirken. Eine derartige Anordnung aus einem deformierbaren Spiegel mit einer zugeordneten Manipulationseinrichtung ist z. B. in der Druckschrift JP2013-161992A mit Bezug auf 2 dieser Druckschrift beschrieben. Die Manipulationseinrichtung 28 ist in 1 der vorliegenden Beschreibung zur Vereinfachung lediglich mit drei auf die Rückseite von E1 einwirkenden Aktuatoren gezeigt, welche als Manipulatoren M1 bis M3 bezeichnet werden. Gemäß einer Ausführungsform verfügt jeder der Manipulatoren M1 bis M3 über ein Antriebselement, eine Feder und ein Kontaktelement. Das Antriebselement ist expandierbar und zusammenziehbar ausgebildet und kann zu diesem Zweck z. B. ein piezoelektrisches Element oder einen Ultraschallmotor aufweisen. Je nach Ausdehnung des Antriebselements wirkt über die Feder und das Kontaktelement eine entsprechende Kraft im Kontaktbereich auf die Rückseite des durch das Element E1 gebildeten Spiegels. Hierdurch erfolgt eine lokale Deformation des Spiegels.
• Das optische Element E2 ist beweglich gelagert. Dazu ist diesem ein Manipulator M4 zugeordnet. Dieser Manipulator ermöglicht eine Verschiebung des optischen Elements E2 in x- und in y-Richtung und damit im Wesentlichen parallel zur Ebene, in der die reflektierende Oberfläche des optischen Element E2 liegt.
• Das optische Element E3 ist wie E1 als deformierbarer Spiegel bzw. adaptiver Spiegel ausgebildet. In der in 1 gezeigten Ausführungsform wird E3 von einer reflektiven Beschichtung gebildet unter welcher eine piezoelektrische Schicht 30 angeordnet ist, mit der durch lokales Anlegen einer elektrischen Spannung eine lokale Deformation der durch das optische Element E3 gebildeten reflektiven Beschichtung bewirkt werden kann. Eine solche Anordnung aus deformierbarem Spiegel und pizoelektrischer Schicht wird z. B. in der Druckschrift DE 10 2014 206 765 A1 mit Bezug auf 1 dieser Druckschrift beschrieben. Die piezoelektrische Schicht 30 umfasst eine Vielzahl von elektrischen Leitungen, wobei ein Anlegen einer elektrischen Spannung zwischen einer jeweiligen Leitung und einer Gegenelektrode zu einer lokalen Verformung der piezoelektrischen Schicht 30 und damit des optischen Elements E3 im Bereich der zugehörigen Leitung führt. In 1 der vorliegenden Anmeldung sind zur Vereinfachung lediglich drei derartige Leitungen gezeigt, welche als Manipulatoren M5 bis M7 bezeichnet werden.
• Der Manipulator M8 ist dazu konfiguriert, das optische Element E4 durch Drehung um eine parallel zur y-Achse, welche sich parallel zur optischen Oberfläche von E4 erstreckt, angeordnete Kippachse 32 zu verkippen. Damit wird der Winkel der reflektierenden Oberfläche von E4 gegenüber der einfallenden Strahlung verändert.
• Allgemein gesprochen bilden die Manipulatoren M1 bis M8 ein Manipulationssystem 42 des Projektionsobjektivs 22 zur Veränderung der optischen Eigenschaften des Projektionsobjektivs 22. Das Manipulationssystem 42 weist dabei eine Vielzahl von Manipulatorfreiheitsgraden auf, wobei ein einzelner Manipulatorfreiheitsgrad eine Verstellung eines der als Aktuatoren ausgebildeten Manipulatoren M1 bis M4, eine Verschiebung des optischen Elements E2 in einer Raumrichtung, ein Anlegen einer elektrischen Spannung an eine der dem optischen Element E3 zugeordneten elektrischen Leitungen oder eine Verkippung des optischen Elements E4 betreffen kann. Dem Manipulationssystem 42 des in 1 veranschaulichten Projektionsobjektivs 22 wird zur Vereinfachung für jeden der Manipulatoren M1 bis M8 ein Manipulatorfreiheitsgrad zugeordnet. Mit anderen Worten umfasst das Manipulationssystem des Projektionsobjektivs 22 gemäß 1 acht Manipulatorfreiheitsgrade, je einen für jeden der Manipulatoren M1 bis M8. Weitere Freiheitsgrade des Manipulationssystems 42 sind denkbar. So können beispielsweise die optischen Elemente E1 und E3 analog zu den optischen Elementen E2 und E4 verschiebbar oder verkippbar angeordnet sein. Weiterhin kann beispielsweise eine Verschiebung eines betreffenden optischen Elements quer zu seiner optischen Oberfläche oder eine Rotation um eine senkrecht zur reflektierenden Oberfläche stehende Referenzachse vorgesehen sein.
• Während die Freiheitsgrade der mechanischen Bewegungen der zugeordneten optischen Elemente definierenden Manipulatoren M4 und M8 voneinander unabhängig sind, sind die Freiheitsgrade der Manipulatoren M1 bis M3 bzw. M5 bis M7, die den als deformierbare Spiegel ausgebildeten optischen Elementen E1 und E3 zugeordnet sind, jeweils nicht voneinander unabhängig. Die Freiheitsgrade der Manipulatoren M1 bis M3 bzw. M5 bis M7 werden auch als „verschränkte” Freiheitsgrade bezeichnet. Mit anderen Worten können jeweilige Stellwegseinstellungen der Manipulatoren M1 bis M3 bzw. der Manipulatoren M5 bis M7 nicht unabhängig voneinander gewählt werden. Vielmehr beeinflusst die Wahl der Stellwegseinstellung eines der Manipulatoren M1 bis M3 bzw. M5 bis M7 die Einstellmöglichkeiten der Stellwegseinstellungen der jeweils verbleibenden Manipulatoren.
• Die Projektionsbelichtungsanlage 10 umfasst weiterhin eine zentrale Belichtungssteuerung 34 zur Steuerung des Belichtungsvorganges der Projektionsbelichtungsanlage 10, einschließlich der Maskenverschiebebühne 20 sowie der Substratverschiebebühne 26. Die Projektionsbelichtungsanlage 10 umfasst weiterhin eine Manipulatorsteuerung 36 zur Steuerung der Manipulatoren M1 bis M8. Die Manipulatorsteuerung 36 wiederum umfasst einen Zustandsgeber 54 sowie einen Stellwegsermittler 40. Der Zustandsgeber 54 übergibt aktuelle Zustandscharakterisierungen 64a des Projektionsobjektivs 22 an den Stellwegsermittler 40, welcher daraus einen Stellwegsbefehl 50 erzeugt. Der Stellwegsbefehl 50 umfasst Stellwegseinstellungen x_k, im gezeigten Fall die Stellwegseinstellungen x_i bis x₈. Diese Stellwegseinstellungen dienen der Steuerung der einzelnen Manipulatorfreiheitsgrade des Manipulationssystems 42 des Projektionsobjektivs 22 und damit der Steuerung der Manipulatoren M1 bis M8, wie nachstehend näher beschrieben. Allgemein formuliert betrifft jede der Stellwegseinstellungen x_k (k = 1, 2, ... n_k) einen von n_k Manipulatorfreiheitsgraden Mk des Projektionsobjektivs 22, wobei die einzelnen Manipulatoren jeweils einen oder mehrere Freiheitsgrade aufweisen können, wie bereits vorstehend erwähnt. Nachfolgend wird jedem Manipulator Mk ein Manipulatorfreiheitsgrad, d. h. ein Freiheitsgrad des Manipulatorsystems zugewiesen. Damit wird unter einer Stellwegseinstellung x_k die Einstellung des Stellwegs eines Manipulatorfreiheitsgrades verstanden.
• Wie bereits erwähnt, umfasst der vom Stellwegsermittler 40 erzeugte Stellwegsbefehl 50 jeweilige Stellwegseinstellungen x_k für die Manipulatoren Mk, im vorliegenden Fall für die Manipulatoren M1 bis M8. Eine jeweilige Stellwegseinstellung x_k definiert gegenüber einer jeweiligen Grundeinstellung x_k ⁰ des entsprechenden Manipulators Mk eine von diesem Manipulator vorzunehmende Veränderung einer Eigenschaft des dem Manipulator Mk zugeordneten optischen Elements. Die vorzunehmende Veränderung der genannten Eigenschaft des optischen Elements entspricht einem Stellweg einer Zustandsgröße des dem Manipulator zugeordneten optischen Elements. Der Stellweg wiederum ergibt sich aus dem Unterschied zwischen der vom Stellwegsermittler 40 erzeugten Stellwegseinstellung x_k und der entsprechenden Grundeinstellung x_k ⁰ des betreffenden Manipulators Mk.
• Die ermittelten Stellwegseinstellungen x_k werden den einzelnen Manipulatoren Mk, im vorliegenden Fall den Manipulatoren M1 bis M8, über Stellwegsignale übermittelt und geben diesen jeweilige gegenüber den aktuellen Stellwegseinstellungen auszuführende Korrekturstellwege vor. Diese definieren entsprechende Veränderungen bezüglich der zugeordneten optischen Elemente E1 bis E4 zur Korrektur aufgetretener Wellenfrontfehler des Projektionsobjektivs 22. Zur Ermittlung der Stellwegseinstellungen x_k erhält der Stellwegsermittler 40 vom Zustandsgeber 54, insbesondere während der Ausführung des Belichtungsvorganges, jeweils aktualisierte Zustandscharakterisierungen 64a in Gestalt von Aberrationsparametern des Projektionsobjektivs 22. Diese Aberrationsparameter können beispielsweise die Wellenfront charakterisierende Zernike-Koeffizienten umfassen.
• Der Stellwegsermittler 40 erzeugt gemäß einer Ausführungsform in Zeiträumen von weniger als einer Sekunde einen aktualisierten Stellwegsbefehl 50. Beispielsweise kann der Stellwegsbefehl 50 in Zeiträumen von weniger als 200 Millisekunden und damit in Echtzeit aktualisiert werden. Eine in weniger als einer Sekunde erfolgende Aktualisierung der Stellwegseinstellungen ermöglicht es beispielsweise, die Manipulatoren nach jeder Feldbelichtung nachzujustieren.
• Gemäß einer Ausführungsform weist der Zustandsgeber 54 einen Speicher 56 sowie eine Simulationseinrichtung 58 auf. Im Speicher 56 werden Zustandscharakterisierungen 64 in Gestalt von Aberrationsparametern abgespeichert, die mittels einer Wellenfrontmessung am Projektionsobjektiv 22 ermittelt worden sind. Diese Messergebnisse können mittels einer externen Wellenfrontmessvorrichtung erhoben werden. Alternativ können die Zustandscharakterisierungen 64 aber auch von einer in der Substratverschiebebühne 26 integrierten Wellenfrontmesseinrichtung 38 gemessen werden. Eine derartige Messung kann etwa regelmäßig nach jeder Belichtung eines Wafers oder jeweils nach Belichtung eines kompletten Wafersatzes erfolgen. Alternativ kann anstatt einer Messung auch eine Simulation bzw. eine Kombination aus Simulation und reduzierter Messung vorgenommen werden.
• Die im Speicher 56 abgelegten Messwerte der Zustandscharakterisierung 64 in Gestalt von Aberrationsparametern werden ggf. von der Simulationseinrichtung 58 an jeweilige aktualisierte Verhältnisse während des Belichtungsvorganges angepasst. Gemäß einer Ausführungsvariante wird der Simulationseinrichtung 58 dazu regelmäßig von der zentralen Belichtungssteuerung 34 die aktuelle Bestrahlungsintensität 62 übermittelt. Die Simulationseinrichtung 58 berechnet daraus unter Zugrundelegung der jeweiligen Beleuchtungseinstellung aufgrund von Linsen- bzw. Spiegelaufheizung bewirkte Änderungen in den Aberrationsparametern. Weiterhin erhält die Simulationseinrichtung laufend Messwerte eines den Umgebungsdruck der Projektionsbelichtungsanlage 10 überwachenden Drucksensors 60. Auswirkungen von Veränderungen im Umgebungsdruck auf die Aberrationsparameter werden von der Simulationseinrichtung 58 berücksichtigt.
• Der Aufbau bzw. die Funktionsweise des Stellwegsermittlers 40 ist in 2 veranschaulicht. Dieser ist zur Ausführung eines Stellwegsermittlungsalgorithmus konfiguriert, welcher als zentrale Funktion die Ausführung eines Optimierungsalgorithmus 70 umfasst. Der Optimierungsalgorithmus 70 dient der Optimierung einer Zielfunktion 72, auch Gütefunktion oder Meritfunktion bezeichnet.
• Nachstehend werden die Stellwege des vom Optimierungsalgorithmus 70 zu generierenden Stellwegsbefehls 50 mit einer Stellwegsvariablen in Gestalt eines Stellwegvektors x beschrieben, dessen Vektorkomponenten die vorstehend erwähnten einzelnen Stellwegseinstellungen x_k sind, d. h.

  

  Die aktuelle Zustandscharakterisierung 64a wird mit einem Zustandsvektor b beschrieben. Die Sensitivitäten der Manipulatoren Mk, vorliegend der Manipulatoren M1 bis M8, in Bezug auf deren Freiheitsgrade bei einer Zustandsveränderung werden gemäß einer Ausführungsvariante mittels einer Sensitivitätsmatrix M beschrieben. Dabei beschreibt die Sensitivitätsmatrix M den Zusammenhang zwischen einer Verstellung des Manipulators Mk um eine Standard-Stellwegseinstellung x_k ⁰ und einer daraus resultierenden Veränderung des Zustandsvektors b des Projektionsobjektivs 22.
• Die dem Optimierungsalgorithmus 70 zugrunde liegende Problemstellung geht von dem folgenden Optimierungsproblem aus: ||G(Mx – b|| 2 / 2 → min (1)
• Hierbei bezeichnet|| ||₂ die Euklidische Norm. Die Matrix G bezeichnet eine Gewichtungsmatrix. Für die Gewichtung einzelner Zernike-Koeffizienten ist G eine Diagonalmatrix, wobei die Einträge die entsprechenden Gewichte sind. Will man auch Linearkombinationen von Zernikekoeffizienten, wie z. B. zur Betrachtung von Overlay-Fehlern, gewichten, so hat G auch nichtdiagonale Einträge. Es gilt das Optimierproblem (1) in Echtzeit, insbesondere in weniger als 10 ms, unter Berücksichtigung des folgenden Nebenbedingungskomplexes zu lösen: C_l ≤ Ax ≤ Cu (2)
• Die Matrix A und die Vektoren c_l und c_u beschreiben die Nebenbedingungen, die an die Manipulatoren Mk gestellt werden. Der Nebenbedingungskomplex (2) beschreibt eine gegebene Anzahl n_j von Nebenbedingungen 78 welche mit Cj (j: 1, 2, ... n_j) bezeichnet werden. Die Vektoren c_l und C_u umfassten damit n_j Vektorelemente c_lj bzw. c_uj. Wie vorstehend beschrieben, sind die Freiheitsgrade der jeweils einem deformierbaren Spiegel E1 bzw. E3 zugeordneten Manipulatoren M1 bis M3 bzw. M5 bis M7 für das in 1 beschriebene Ausführungsbeispiel nicht voneinander unabhängig. Daher enthält A für die Manipulatoren M1 bis M3 gemäß dem Ausführungsbeispiel aus 1 Einträge außerhalb der Matrixdiagonalen, sodass der Nebenbedingungskomplex (2) z. B. die folgende Nebenbedingung C1 für die Kombination der Stellwege x₁, x₂ und x₃ umfasst: C1: c_l1 ≤ a₁x₁ + a₂x₂ + a₃x₃ ≤ c_u1 (3)
• Hierbei bezeichnen c_l1 und c_u1 eine untere bzw. eine obere Grenze für einen Bezugsterm der Nebenbedingung C1. Der Bezugsterm der Nebenbedingung ist die Linearkombination a₁x₁ + a₂x₂ + a₃x₃ der Stellwege x₁, x₂ und x₃, wobei a₁ bis a₃ Gewichtungsparameter innerhalb der Linearkombination darstellen. Für die Stellwege x₁ bis x₃ können im Nebenbedingungskomplex (2) weitere Nebenbedingungen Cj vorgesehen sein.
• Für den Stellweg x₄ des Manipulator M4 gemäß dem Ausführungsbeispiel nach 1, welcher dazu konfiguriert ist, das optische Element E4 um die Kippachse 32 zu verkippen, enthält A lediglich eine „1” auf der Matrixdiagonalen, sodass der Nebenbedingungskomplex (2) die folgende Nebenbedingung C2 umfasst: C2: c_l2 ≤ x₄ ≤ c_u2 (4)
• Hierbei bezeichnen c_l2 und c_u2 eine untere bzw. eine obere Grenze für den Bezugsterm der Nebenbedingung C2, nämlich für den Stellweg x₄ des Manipulators M4. Mit anderen Worten bezeichnen c_l2 und c_u2 eine untere bzw. eine obere Verfahrwegsgrenze für den Manipulator M4.
• Multipliziert man die quadratische Norm aus dem Optimierproblem (1) aus, so kann das Optimierproblem (1) wie folgt formuliert werden: Φ(x) = 1 / 2x^THx + f^Tx → min (5)
• Hierbei wird H als Ausgangs-Hauptmatrix bezeichnet und ist wie folgt definiert: H = M^T G^T GM. Für f gilt: f = b^T G^T GM. Zur Lösung des Optimierungsproblems (5) unter Berücksichtigung des Nebenbedingungskomplexes (2) wird die Zielfunktion aus (5) in eine Lagrangefunktion umgeschrieben, sodass das Optimierungsproblem wie folgt lautet:

  
• Die Funktion Φ_i,L(λ, x) gemäß (6), welche als Zielfunktion 72 bezeichnet wird, umfasst neben einem Hauptterm 74, welcher der unter (5) aufgeführten Zielfunktion entspricht, einen sogenannten Bestrafungsterm 76. Der Bestrafungsterm 76 lautet gemäß (6):

  

  Der Bestrafungsterm 76 umfasst damit eine Linearkombination der jeweils eine Nebenbedingung Cj repräsentierenden Terme (Bx – s)_j ². Hierbei bezeichnet λi_,j sognannte Lagrange-Multiplikatoren. Lagrangefunktionen sowie die zugehörigen Lagrange-Multiplikatoren sind dem Fachmann z. B. aus dem Fachbuch „Convex Optimization” von Stephen Boyd und Lieven Vandenberghe, Cambridge University Press 2004, Kapitel 5.1 bekannt. Die Lagrange-Multiplikatoren λ_i,j sind jeweils einer der Nebenbedingungen Cj zugeordnet und stellen Konfigurationsparameter zur Einstellung einer durch den Bestrafungsterm 76 bewirkten Entgegenwirkungscharakteristik dar. Zur Bestimmung des Endresultats des Stellwegsvektors x werden die Lagrange-Multiplikatoren λ_i,j und damit auch die Zielfunktion Φ_i,L in mehreren Iterationen i variiert bzw. verändert, wobei bei jeder Iteration i eine Optimierung durchgeführt wird.
• Die im Bestrafungsterm 76 enthaltene Matrix B sowie der Parameter s sind wie folgt definiert:

  
• Die Matrix B, welche auch „Nebenbedingungsmatrix” bezeichnet wird, enthält wie die Matrix A Einträge außerhalb der Matrixdiagonalen. Wie bereits vorstehend erwähnt, bezeichnet der Index j die einzelnen Nebenbedingungen Cj und der Index k die Manipulatorfreiheitsgrade. Unter Verwendung der Definitionen aus (7) können die durch den Nebenbedingungskomplex (2) definierten Nebenbedingungen Cj wie folgt umgeschrieben werden: (Bx – s) 2 / j ≤ 1 (8)
• Der Bestrafungsterm 76 ist aus (8) abgeleitet und dient dazu, während der Optimierung der Zielfunktion 72 einer Verletzung der durch den Nebenbedingungskomplex (2) definierten Nebenbedingungen C1 bis Cn_j entgegenzuwirken. Dies erfolgt dadurch, dass während der Ausführung des Optimierungsalgorithmus 70 einer Abweichung des Bezugsterms der jeweiligen Nebenbedingung Cj von einer entsprechenden Grundeinstellung entgegenzuwirken. Die Verwendung eines derartigen Bestrafungsterms führt ohne weitere Maßnahmen zu „weichen Grenzwerten” für die Bezugsterme der betreffenden Nebenbedingungen. Der Bestrafungsterm wirkt nämlich wie Gummibänder auf die von den Manipulatoren Mk einzunehmenden Stellwegseinstellungen, welche eine übermäßige Abweichung der Bezugsterme von deren Ausgangs- oder Grundeinstellungen verhindern, jedoch keine starren Grenzen für die Abweichung vorgeben.
• Nachstehend wird der in 2 veranschaulichte Stellwegsermittlungsalgorithmus mithilfe von Schritten S1 bis S5 beschrieben. Dabei kann ein derartiger Schritt einen oder mehere Einzelschritte umfassen. In einem ersten Schritt S1 des Stellwegsermittlungsalgorithmus werden sämtliche für eine erste Iteration (i = 1) vorgesehene Lagrange-Multiplikatoren λ_1,j auf den Wert null gesetzt. Damit lautet die Zielfunktion Φ_i,L gemäß (6) für die Zählvarible i = 1 wie folgt: Φ_1,L(x) = 1 / 2x^THx + f^Tx (9)
• Die Lösung der Minimierungsaufgabe von Φ_1,L wird durch Lösen des folgenden Gleichungssystems ermittelt: L₁ ^TL₁x = –f (10)
• Dabei ist L₁ ^T L₁ das Ergebnis einer sogenannten Cholesky-Zerlegung von H. Wie dem Fachmann bekannt ist, bezeichnet eine Cholesky-Zerlegung in der numerischen Mathematik eine Zerlegung einer symmetrischen positiv definierten Matrix in ein Produkt aus einer unteren Dreiecksmatrix L und deren Transponierten L^T. Im vorliegenden Fall gilt somit: H = L₁ ^T L₁, wobei der Index 1 angibt, dass die vorliegende Cholesky-Zerlegung dem ersten Iterationsschritt (i = 1) zugeordnet ist. Die Cholesky-Zerlegung L₁ ^T L₁ wurde vorab, d. h. vor Übermittlung der aktuellen Zustandscharakterisierung 64a an den Stellwegsermittler 40, berechnet und ist in einer ersten Speichereinrichtung 68 abgespeichert.
• Im ersten Schritt S1 wird damit durch Lösen des Gleichungssystems (10) auf Grundlage der aktuellen Zustandscharakterisierung 64a in Gestalt des Zustandsvektors b unter Verwendung der in der Speichereinrichtung 68 bereit gehaltenen Cholesky-Zerlegung L₁ ^T L₁ eine sogenannte Startlösung x₁ (i = 1) des Stellwegsvektors berechnet.
• In einem Schritt S2 des in 2 veranschaulichten Stellwegsermittlungsalgorithmus wird daraufhin der Stellwegsvektor x, auf Einhaltung der mit Cj bezeichneten Nebenbedingungen überprüft. Dies erfolgt durch Abfragen, ob für alle j gilt: e_j ≤ 1 mit e_j = |(Bx_i – s)_j| (11)
• Im positiven Fall, d. h. falls die Antwort der Abfrage „ja” lautet, geht der Stellwegsermittlungsalgorithmus unmittelbar zum später erläuterten Schritt S5 über, im negativen Fall wird zunächst überprüft, ob bereits eine vorab festgelegte maximale Anzahl N2 von Iterationen eingehalten ist (Abfrage: i ≤ N2 ?). Falls dies nicht der Fall ist, d. h. die Abfrage negativ ausfällt, geht der Stellwegsermittlungsalgorithmus unmittelbar zum später erläuterten Schritt S4 über. Falls die maximale Anzahl N2 von Iterationen noch nicht überschritten ist, d. h. die Abfrage positiv ausfällt, wird abgefragt, ob von der Anzahl an Iterationen ein Maximalwert N1 (N1 < N2) eines internen Zählers eingehalten ist (Abfrage: i ≤ N1 ?). Falls dies nicht der Fall ist, d. h. die Abfrage negativ ausfällt, geht der Stellwegsermittlungsalgorithmus zum später erläuterten Schritt S3b über. Falls der interne Zähler den Maximalwert N1 nicht überschreitet, d. h. die Abfrage positiv ausfällt, geht der Stellwegsermittelungsalgorithmus zum Schritt S3a über. Gemäß einer Ausführungsform können N1 und N2 Werte zwischen 3 und 10 zugewiesen sein. So kann beispielsweise N1 der Wert 3 und N2 der Wert 5 bzw. N1 der Wert 5 und N2 der Wert 10 zugewiesen sein.
• Im Schritt S3a werden zunächst aktualisierte Lagrange-Multiplikatoren λ_i+1,j, welche für die nächstfolgende Iteration i + 1 der Ausführung des Optimierungsalgorithmus 70 bestimmt sind. Die Aktualisierung der Lagrange-Multiplikatoren λ erfolgt mithilfe des im Schritt S2 berechneten und unter (11) definierten Vektors e_j. Dabei werden die Nebenbedingungen Cj abhängig von dem Wert von e_j unterschiedlich behandelt: falls e_j > 1 → λ_i+1,j = λ_i,j + Δλ^f _i+1,j, wobei Δλ^f _i+1,j = f_i+1(e_j) > 0 (12) falls e_j < 1 → λ_i+1,j = λ_i,j – Δλ^g _i+1,j, wobei Δλ^g _i+1,j = g_i+1(e_j) > 0 (13) falls e_j = 1 → λ_i+1,j = λ_i,j (14)
• Gemäß einer Ausführungsform lauten die Funktionen f_i+1 und g_i+1 wie folgt:

  

  g_i+1(e_j) = p·λ_i,j, mit p = 0,1 ... 0,8 (16)
• Aufgrund des Exponenten (i + 1) in der Funktion f_i+1 erhöht sich der Funktionswert mit dem Iterationsschritt i exponentiell.
• Im weiteren Verlauf des Schritts 3a wird der neue Lösungsvektor x_i+1 mittels des Optimierunsalgorithmus 70 unter Verwendung der bestimmten λ_i+1,j bestimmt. Die Lösung der Minimierungsaufgabe von Φ_i+1,L d. h. der Zielfunktion 72 gemäß (6), wird durch Lösen des folgenden Gleichungssystems bestimmt: L_i+1 ^T L_i+1 x_i+1 = –g_i+1 (17)
• Hierbei gilt: g_i+1 = f – B^T Λ_i+1 s, wobei Λ_i+1 eine als Multiplikatorenmatrix bezeichnete Diagonalmatrix mit der Hauptdiagonalen (λ_i+1,1, λi+1,2 ...) ist, d. h. Λ_i+1 = diag (λ_i+1,j), und B^T sich aus der folgenden Beziehung ergibt: H_λi+1 = H + B^T Λ_i+1 B. H_λ,i+1 wird als erweiterte Hauptmatrix bezeichnet und, wie vorstehend veranschaulicht, aus der Summe aus der Ausgangsmatrix H und einer Erweiterungsmatrix gebildet, wobei die Erweiterungsmatrix (B^T Λ_i+1 B) lautet und damit aus der Multiplikatorenmatrix Λ_i+1 und der Nebenbedingungsmatrix B gebildet ist.
• L_i+1 ^T L_i+1 aus (17) ist das Ergebnis der Cholesky-Zerlegung von H_λi+1. Die im Rahmen des Schrittes S3a weiterhin erfolgende Ermittlung der Cholesky-Zerlegung von H_λi+1 erfolgt in einem Cholesky-Zerlegungs-Generator 82, welcher eine erste Generatoreinheit 84 sowie eine zweite Generatoreinheit 86 umfasst. In welcher der beiden Generatoreinheiten die Cholesky-Zerlegung von H_λi+1 erfolgt, hängt von der Anzahl der zuvor gegenüber dem vorausgehenden Iterationsschritt i aktualisierten Lagrange-Multiplikatoren λ ab. Mit anderen Worten wird überprüft, für wie viele j-Werte im Iterationsschritt i e_j > 1 oder e_j < 1 galt und damit Δ_λi+1,j ≠ 0 gemäß (12) bzw (13) zur Berechnung der Lagrange-Multiplikatoren λ_i+1,j des nun aktuellen Iterationsschrittes i + 1 herangezogen wurde. Falls diese Anzahl aktualisierter Lagrange-Multiplikatoren den Grenzwert N3 nicht überschreitet, d. h. falls die Abfrage

  

  positiv ist, erfolgt die Cholesky-Zerlegung von H_λ,i+1 in der ersten Generatoreinheit 84, ansonsten in der zweiten Generatoreinheit 86. Gemäß einer Ausführungsform kann dem Grenzwert N3 ein Wert zwischen 5 und 15 zugewiesen sein.
• In der ersten Generatoreinheit 84 erfolgt die Cholesky-Zerlegung der erweiterten Hauptmatrix H_λi+1 näherungsweise auf Grundlage der in der ersten Speichereinrichtung 68 bezüglich dem vorausgehenden Iterationsschritt gespeicherten Cholesky-Zerlegung. Dies für den Fall, in dem der vorausgehende Iterationsschritt der erste Schritt S1 (i = 1) war, die Cholesky-Zerlegung der Ausgangs-Hauptmatrix (H = L₁T L₁) und für alle folgenden Iterationsschritte die Cholesky-Zerlegung der erweiterten Hauptmatrix des vorausgehenden Iterationsschrittes (H_λ,i = L₁ ^T L_i). Das näherungsweise Bestimmen der Cholesky-Zerlegung der aktuellen erweiterten Hauptmatrix (H_λ,i+1 = L_i+1 ^T L_i+1) auf Grundlage der in der Speichereinrichtung enthaltenen Cholesky-Zerlegung, auch „Cholesky-Aktualisierung” bzw. „Cholesky-Update” bezeichnet, kann z. B. durch sukzessives Anwenden der Sherman-Morrison-Formel erfolgen. Wie dem Fachmann bekannt ist, berechnet die Sherman-Morrison-Formel die Inverse der Summe einer invertierbaren Matrix A und dem äußeren Produkt UV^T von Vektoren U und V. Die Sherman-Morrison-Formel ist ein Spezialfall der dem Fachmann ebenfalls bekannten Woodbury-Formel.
• In der zweiten Generatoreinheit 86 erfolgt die Cholesky-Zerlegung der erweiterten Hauptmatrix H_λ,i+1 mittels eines dem Fachmann aus dem Stand der Technik bekannten Algorithmus ohne Verwendung einer bereits zuvor berechneten Cholesky-Zerlegung. Die entweder von der ersten Generatoreinheit 84 oder der zweiten Generatoreinheit 86 ermittelte Cholesky-Zerlegung der aktuellen erweiterten Hauptmatrix (H_λ,i+1 = L_i+1 ^T L_i+1) wird in der ersten Speichereinrichtung 68 zur Verwendung bei einer im Rahmen eines späteren Interationsschrittes erfolgenden „Cholesky-Aktualisierung” abgespeichert.
• Wie bereits vorstehend erwähnt, wird der neue Lösungsvektor x_i+1 mittels des Optimierungsalgorithmus 70 unter Verwendung der bestimmten Lagrange-Multiplikatoren λ_i+1,j sowie der Cholesky-Zerlegung der aktuellen erweiterten Hauptmatrix (H_λ,i+1 = L_i+1 ^T L_i+1) bestimmt. In der Veranschaulichung gemäß 2 wird vor Ausführung des Optimierungsalgorithmus im Iterationsschritt i + 1 der Iterationszähler um 1 erhöht (i = i + 1), sodass der neue Lösungsvektor wieder als x_i bezeichnet wird. Nach Berechnung des neuen Lösungsvektors x_i erfolgt abermals Schritt S2 und daraufhin die vorstehend beschriebene weitere Abfolge abhängig von der Antwort der darin vorgenommenen Abfragen.
• Nachfolgend erfolgt eine Beschreibung des Ablaufes für den Fall, in dem die Abfrage im Rahmen von Schritt S2, ob ein Maximalwert N1 an Iterationen noch nicht erreicht ist (Abfrage: i ≤ N1 ?), negativ ausfällt. In diesem Fall geht der Stellwegsermittlungsalgorithmus zu Schritt S3b über. In Schritt S3b werden zunächst aus den Nebenbedingugen Cj sogenannte kritische Nebenbedingungen identifiziert, welche einen jeweiligen ihnen zugeordneten kritischen Wert S_j verletzen. Mit anderen Worten wird überprüft, ob der jeweilige Bezugsterm der betreffenden Nebenbedingung Cj den der Nebenbedingung zugeordneten kritischen Wert S_j verletzt. Dies erfolgt durch die Abfrage (e_j ≥ S_j ?), wobei S_j Werte zwischen 0,95 und 1,05 annehmen kann. Der kritische Wert S_j weicht gemäß dieser Ausführungsform also maximal um ± 5% von der für die jeweilige Nebenbedingung Cj in der Formulierung gemäß (11) vorgesehenen Grenze von 1 ab. Alle Nebenbedingungen Cj, für welche die Abfrage positiv ausfällt, werden als kritische Nebenbedingungen Cjc bezeichnet. Für die kritischen Nebenbedingungen Cjc gilt also: e_jc ≥ S_j.
• Nun werden für den folgenden Iterationsschritt (i + 1) die Bezugsterme der kritischen Nebenbedingungen Cjc mit der ihnen jeweils zugeordneten Grenze wie folgt gleichgesetzt: B_jc x_i+1 – s_jc = sign(B_jc x_i – s_jc) (18)
• Mit anderen Worten wird für den Interationsschritt (i + 1) für alle Nebenbedingungen Cjc, für die für den Iterationsschritt i e_jc größer gleich S_j ist, der Term (B_jc x_i+1 – s_jc) mit + 1 oder –1 gleichgesetzt, je nachdem, ob der Term (B_jc x_i – s_jc) des Iterationsschritts i positiv oder negativ ist.
• Daraufhin wird der Stellwegsvektors x_i+1 durch Lösen des folgenden Optimierungsproblems bestimmt: Φ_p = 0,5 x^TH_λ,i x + g^T _i x → min, (19) wobei die Gleichheits-Nebenbedingungen (18) in der Zielfunktion berücksichtigt werden und g wie in Gleichung (17) definiert ist. Eine derartige Bestimmung des Stellwegvektors x_i+1 wird auch als Bestimmung des Stellwegvektors „mittels Projektion” bezeichnet. Aufgrund der Gleichheits-Nebenbedingungen kann das Optimerungsproblems gemäß (19) sehr schnell gelöst werden, z. B. mittels QR-Zerlegung von Eine QR-Zerlegung ist dem Fachmann als mathematische Methode bekannt, bei der Q für eine Quadratische Matrix und R für eine obere Dreiecksmatrix stehen.
• Nun werden die zugehörigen Lagrange-Multiplikatoren λ durch Einsetzen des bestimmten Stellwegvektors x_i+1 in den Term der Zielfunktion 72 in der entsprechend (17) gebildeten Form bestimmt: H_λ,i+1 x_i+1 = –g_i+1 (20)
• Die derart bestimmten Lagrange-Multiplikatoren λ können bei einer nachfolgenden Optimierung, z. B. der im Rahmen einer weiteren Ausführung des Schrittes S3b erfolgenden Optimierung gemäß (19), als Lagrange-Multiplikatoren λ_j,i des dann vorausgehenden Iterationsschrittes i dienen.
• Nach Bestimmung des Stellwegvektors x_i+1 im Schritt S3b geht der Stellwegsermittlungsalgorithmus wieder zu Schritt S2 über, wobei gemäß der Veranschaulichung von 2 zuvor der Iterationszähler um 1 erhöht wird (i = i + 1), sodass der in Schritt S3b ermittelte Stellwegvektors x_i+1 wider als x_i bezeichnet wird.
• Nachfolgend erfolgt eine Beschreibung des Ablaufes für den Fall, in dem die Abfrage im Rahmen von Schritt S2, ob eine maximale Anzahl N2 an Optimierungsiterationen noch nicht erreicht ist, (Abfrage: i ≤ N2 ?), negativ ausfällt. In diesem Fall geht der Stellwegsermittlungsalgorithmus unmittelbar zu Schritt S4 über. In Schritt S4 wird zunächst der aktuelle Stellwegvektor x_i auf Einhaltung der Nebenbedingungen Cj überprüft und bei Nichteinhaltung mindestens einer Nebenbedingung wird durch derartige Skalierung ein skalierter Stellwegvektor x_i,s ermittelt, dass alle Nebenbedingungen Cj eingehalten werden. Dies erfolgt durch die Ausführung der folgenden mathematischen Operation: x_i,s = x_i + t(x₀ – x_i) (21) wobei t der minimale Wert ist, für den für alle j gilt: (B x_i,s – s)_j2 ≤ 1 (22)
• Als x₀ dient ein beliebiger zulässiger Lösungsvektor, dies kann z. B. der Stellwegvektor x_i-1 des vorhergehenden Iterationsschrittes sein. Da x₀ ein zulässiger Lösungsvektor ist, existiert sicher ein t mit: 0 ≤ t ≤ 1. Nach Bestimmung des Stellwegvektors x_i,s im Schritt S4 geht der Stellwegsermittlungsalgorithmus zu Schritt S5 über, wobei der in Schritt S4 ermittelte Stellwegvektors x_i,s wieder als x_i bezeichnet wird.
• Nachfolgend erfolgt eine Beschreibung von Schritt S5. Dieser wird, wie soeben erwähnt, entweder im Anschluss an Schritt S4 oder im Fall, in dem die im Rahmen von Schritt S2 ausgeführte Abfrage auf Einhaltung der Nebenbedingungen Cj durch den Stellwegsvektor x_i, (Abfrage: e_j ≤ 1 ∀ j ?) positiv ausfällt, ausgeführt. Im Schritt S5 wird die Zielfunktion 72 gemäß (5) mittels eines Aktive-Mengen-Algorithmus optimiert. Dazu werden aus den Nebenbedingungen Cj aktive Nebenbedingungen Cja, welche einen jeweiligen ihnen zugeordneten Grenzwert, wie z. B. die untere Grenze c_lj bzw. die obere Grenze c_uj gemäß (2) bis (3), genau einhalten, identifiziert. Diese Identifizierung als aktive Nebenbedingung Cja kann z. B. für alle Cj erfolgen, für die e_j = 1 gilt. Die identifizierten aktiven Nebenbedingungen, mit anderen Worten „die aktive Menge an Nebenbedingungen”, werden in Gleichheits-Nebenbedingungen umgeformt. Daraufhin erfolgt eine Optimierung der Zielfunktion gemäß (5) unter Berücksichtigung der Gleichheits-Nebenbedingungen.
• Zur genannten Optimierung der Zielfunktion gemäß (5) erfolgt zunächst die folgende Transformation des durch (5) in Verbindung mit (2) gegebenen Optimierproblems: Φ(X) = 1 / 2x^THx + f^Tx → min NB: c_l ≤ Ax ≤ c_u in das folgende transformierte Optimierproblem: Φ^T = 1 / 2y^Ty + d^T y → min (23) NB: c_l ≤ Dy ≤ c_u (24)
• Hierbei gilt: y = S^1/2Q^Tx, d^T = f^TQS^–1/2, x = QS^–1/2y, sowie D = AS^–1/2Q, (25) wobei S die diagonalisierte Matrix der Ausgangs-Hauptmatrix H, d. h. die Darstellung von H in diagonaler Basis. und Q die zur Diagonalisierung benötigte Transformationsmatrix ist. D. h. es gilt der folgende Zusammenhang: H = QSQ^T mit QQ^T = 1 (26)
• Die Diagonalisierung der Ausgangs-Hauptmatrix H sowie die Transformation des Optimierungsproblems in die Form gemäß (23) und (24) wird gemäß einer Ausführungsvariante vorab, d. h. vor Ausführung des Stellwegsermittlungsalgorithmus der aktuellen Stellwegseinstellungen bzw. vor Beginn des Belichtungsbetriebs der Projektionsbelichtungsanlage 10 ermittelt. Das transformierte Optimierungsproblem 90 wird in einer zweiten Speichereinrichtung 88 abgespeichert. Die Ausführung des Aktive-Mengen-Algorithmus im Rahmen des Schrittes S5 erfolgt auf Grundlage des gespeicherten transformierten Optimierungsproblems 90. Die Verwendung der transformierten Form des Optimierungsproblems mit diagonaler Basis ermöglicht es, den Aktive-Mengen-Algorithmus mit einer geringen Anzahl an Matrixmultiplikationen auszuführen, wodurch die zur Ausführung des Algorithmus benötigte Zeit möglichst gering gehalten wird.
• Der Aktive-Mengen-Algorithmus wird auch als „Active-Set-Algorithmus” bezeichnet, und ist dem Fachmann z. B. aus Kapitel 12.1 von Jorge Nocedal und Stephen J. Wright, „Numerical Optimization”, Second Edition, 2006 Springer Science-Business Media, LLC bekannt. Bei einem derartigen Aktive-Mengen-Algorithmus werden typischerweise nach dem ersten Schritt der Optimierung der Zielfunktion (im vorliegenden Fall: Φ_T) unter Berücksichtigung der Gleichheitsnebenbedingungen des Satzes an aktiven Nebenbedingungen (im vorliegenden Fall: (Dy)_ja = c_l,ja ^ c_u,ja) in einem zweiten Schritt die Lagrange-Multiplikatoren des Satzes an aktiven Nebenbedingungen berechnet. In einem dritten Schritt wird ein Teil der Nebenbedingungen mit negativen Lagrange-Multiplikatoren entfernt und in einem vierten Schritt unplausible Nebenbedingungen identifiziert. Daraufhin werden die Schritte eins bis vier auf Grundlage des entsprechend reduzierten Satzes an aktiven Nebenbedingungen so oft wiederholt bis das Optimierungsergebnis einem vorab definierten Qualitätskriterium entspricht, also als „ausreichend optimal” angesehen wird. Die Anwendung des Aktive-Mengen-Algorithmus ermöglicht eine optimale Ausnutzung des zur Verfügung stehenden Verstellbereichs des Manipulatorsystems 42.
• Der mittels des Aktive-Mengen-Algorithmus im Rahmen von Schritt S5 ermittelte Stellwegsvektor x wird vom Stellwegsermittler 40 als Stellwegsbefehl 50 an das Manipulatorsystem 42 des Projektionsobjektivs 22 gemäß 1 zur Steuerung der Manipulatoren M1 bis M8 übergeben.
• Die vorstehende Beschreibung beispielhafter Ausführungsformen ist exemplarisch zu verstehen. Die damit erfolgte Offenbarung ermöglicht es dem Fachmann einerseits, die vorliegende Erfindung und die damit verbundenen Vorteile zu verstehen, und umfasst andererseits im Verständnis des Fachmanns auch offensichtliche Abänderungen und Modifikationen der beschriebenen Strukturen und Verfahren. Daher sollen alle derartigen Abänderungen und Modifikationen, insoweit sie in den Rahmen der Erfindung gemäß der Definition in den beigefügten Ansprüchen fallen, sowie Äquivalente vom Schutz der Ansprüche abgedeckt sein.
• Bezugszeichenliste

10

Projektionsbelichtungsanlage

12

Belichtungsstrahlungsquelle

14

Belichtungsstrahlung

16

Beleuchtungssystem

18

Maske

20

Maskenverschiebebühne

22

Projektionsobjektiv

24

Substrat

26

Substragverschiebebühne

28

Manipulationseinrichtung

30

piezoelektrische Schicht

32

Kippachse

34

Belichtungssteuerung

36

Manipulatorsteuerung

38

Wellenfrontmesseinrichtung

40

Stellwegsermittler

42

Manipulatorsystem

50

Stellwegsbefehl

54

Zustandsgeber

56

Speicher

58

Simulationseinrichtung

60

Drucksensor

62

aktuelle Bestrahlungsintensität

64a

aktuelle Zustandscharakterisierung

68

erste Speichereinrichtung

70

Optimierungsalgorithmus

72

Zielfunktion

74

Hauptterm

76

Bestrafungsterm

78

Nebenbedingung

80

weiterer Optimierungsalgorithmus

82

Cholesky-Zerlegungs-Generator

84

erste Generatoreinheit

86

zweite Generatoreinheit

88

zweite Speichereinrichtung

90

transformiertes Optimierungsproblem

M1 bis M8

Manipulatoren

E1 bis E4

optische Elemente

x₁ bis x₈

Stellwegseinstellungen

x

Stellwegsvektor

b

Zustandsvektor

M

Sensitivitätsmatrix

λ

Lagrange-Multiplikatoren

B

Nebenbedingungsmatrix

H

Ausgangs-Hauptmatrix

Claims (15)

1. Projektionsbelichtungsanlage (10) für die Mikrolithographie mit: einem Projektionsobjektiv (22) zum Abbilden von Maskenstrukturen, welches ein mehrere Manipulatorfreiheitsgrade (M1 bis M8) aufweisendes Manipulationssystem (42) zur Veränderung von Eigenschaften des Projektionsobjektivs umfasst, sowie einem Stellwegsermittler (40), welcher dazu konfiguriert ist, aus einer Zustandscharakterisierung (64a) des Projektionsobjektivs Stellwegseinstellungen (x_i bis x₈) für die Manipulatorfreiheitsgrade des Manipulationssystems durch mehrere Optimierungen einer Zielfunktion (72) unter jeweiliger Berücksichtigung mehrerer Nebenbedingungen (78) bezüglich der Stellwegseinstellungen zu generieren, wobei mindestens eine der Nebenbedingungen eine Grenze für eine Kombination mehrerer Stellwegseinstellungen definiert, wobei die Berücksichtigung der Nebenbedingungen mittels eines in der Zielfunktion enthaltenen Bestrafungsterms (76) erfolgt, welcher dazu konfiguriert ist, während der jeweiligen Optimierung der Zielfunktion einer Verletzung der Nebenbedingungen entgegen zu wirken, wobei das durch den Bestrafungsterm bewirkte Entgegenwirken eine mittels mehrerer Konfigurationsparameter (λ_j) einstellbare Entgegenwirkungscharakteristik aufweist, wobei jeder der Nebenbedingungen einer der Konfigurationsparameter zugewiesen ist, und wobei bei den Optimierungen Werte der Konfigurationsparameter (λ_j) von Optimierung zu Optimierung variiert werden.
2. Projektionsbelichtungsanlage nach Anspruch 1, bei der die Zielfunktion (72) eine Lagrange-Funktion mit Lagrange-Multiplikatoren (λ_j) umfasst, wobei die Konfigurationsparameter als die Lagrange-Multiplikatoren sind.
3. Projektionsbelichtungsanlage nach Anspruch 1 oder 2, bei welcher der Bestrafungsterm (76) eine Linearkombination von Termen umfasst, welche jeweils eine der Nebenbedingungen (78) repräsentieren.
4. Projektionsbelichtungsanlage nach Anspruch 3, bei der die Terme, welche jeweils eine der Nebenbedingungen (78) repräsentieren, jeweils ein Vektorelement eines Produkts aus einer Nebenbedingungsmatrix (B) und einem die Stellwegseinstellungen beschreibenden Stellwegsvektor (x) enthalten, wobei die Nebenbedingungsmatrix mindestens ein Element außerhalb ihrer Hauptdiagonalen aufweist, welches von Null verschieden ist.
5. Projektionsbelichtungsanlage nach einem der vorausgehenden Ansprüche, bei der die Zielfunktion (72) eine Ausgangs-Hauptmatrix (H) umfasst, welche mittels einer Sensitivitätsmatrix (M) gebildet ist, welche einen Zusammenhang zwischen einem die Stellwegseinstellungen beschreibenden Stellwegsvektor (x) und einem die Zustandscharakterisierung des Projektionsobjektivs darstellenden Zustandsvektor (b) definiert, wobei der Stellwegsermittler eine Speichereinrichtung (68) aufweist, in der das Ergebnis einer vorab ausgeführten Cholesky-Zerlegung (L₁ ^T L₁) der Ausgangs-Hauptmatrix gespeichert ist.
6. Projektionsbelichtungsanalage nach einem der vorausgehenden Ansprüche, bei welcher der Stellwegsermittler (40) dazu konfiguriert ist, bei einer der mehreren Optimierungen, bei der mindestens einer der Konfigurationsparameter (λ_j) von null verschieden ist, eine Cholesky-Zerlegung (L_i+1 ^T L_i+1) einer erweiterten Hauptmatrix (H_λ,i+1) durchzuführen, welche neben einer Ausgangs-Hauptmatrix (H) eine Erweiterungsmatrix umfasst, welche mittels einer die Konfigurationsparameter auf einer Hauptdiagonalen enthaltenden Diagonalmatrix (Λ_i+1) gebildet ist.
7. Projektionsbelichtungsanlage nach Anspruch 6, bei welcher der Stellwegsermittler dazu konfiguriert ist, die Cholesky-Zerlegung (L_i+1 ^T L_i+1) der erweiterten Hauptmatrix (H_λi+1) näherungsweise auf Grundlage einer in einer Speichereinrichtung (68) gespeicherten Cholesky-Zerlegung (L₁ ^T L₁) der Ausgangs-Hauptmatrix (H) oder einer in der Speichereinrichtung (68) gespeicherten Cholesky-Zerlegung (L_i ^T L_i) einer weiteren erweiterten Hauptmatrix (H_λ,i) zu bestimmen.
8. Projektionsbelichtungsanlage nach einem der vorausgehenden Ansprüche, bei welcher der Stellwegsermittler (40) dazu konfiguriert ist, nach mindestens einer Optimierung das Optimierungsergebnis (x_i) auf Einhaltung der Nebenbedingungen (78) zu prüfen und bei Nichteinhaltung mindestens einer Nebenbedingung (Cj) die Werte der Konfigurationsparameter (λ_i+1,j) gegenüber den bei der vorausgehenden Optimierung verwendeten Werten (λ_i,j) zu verändern, sowie eine weitere Optimierung auf Grundlage der geänderten Werte durchzuführen.
9. Projektionsbelichtungsanlage nach Anspruch 8, bei welcher ein erster der Konfigurationsparameter der nichteingehaltenen Nebenbedingung (Cj) zugewiesen ist und der Stellwegsermittler dazu konfiguriert ist, einen Wert des ersten Konfigurationsparameters für die weitere Optimierung um einen Betrag (Δλ^f _i+1,j) zu erhöhen, welcher abhängig vom Ausmaß (e_j) einer Grenzüberschreitung der Nebenbedingung ist.
10. Projektionsbelichtungsanlage nach Anspruch 8 oder 9, bei welcher ein zweiter der Konfigurationsparameter einer weiteren Nebenbedingung (Cj), deren Grenze bei der vorausgehenden Optimierung unterschritten wird, zugewiesen ist und der Stellwegsermittler dazu konfiguriert ist, einen Wert des zweiten Konfigurationsparameters zu verringern.
11. Projektionsbelichtungsanlage nach einem der vorausgehenden Ansprüche, bei welcher der Stellwegsermittler (40) dazu konfiguriert ist, für den Fall, in dem eine vorgegebene erste Anzahl von Optimierungen durchgeführt wurde, das aktuelle Optimierungsergebnis (x_i) auf Einhaltung der Nebenbedingungen (78) zu prüfen, wobei die Nebenbedingungen jeweils mindestens eine Grenze (c_lj, c_uj) bezüglich einem jeweiligen Bezugsterm der Nebenbedingung definieren, und bei Nichteinhaltung mindestens einer Nebenbedingung mindestens eine kritische Nebenbedingung (Cjc) zu identifizieren, deren Bezugsterm einen ihr zugeordneten kritischen Wert (S_j) verletzt, den Bezugsterm der identifizierten kritischen Nebenbedingung mit der ihr zugeordneten Grenze gleich zu setzen, den gleichgesetzten Bezugsterm in die Zielfunktion einzusetzen und eine weitere Optimierung (80) durchzuführen.
12. Projektionsbelichtungsanlage nach einem der vorausgehenden Ansprüche, bei welcher der Stellwegsermittler (40) dazu konfiguriert ist, nach einer vorgegebenen zweiten Anzahl von Optimierungen das aktuelle Optimierungsergebnis (x_i) auf Einhaltung der Nebenbedingungen (78) zu prüfen und bei Nichteinhaltung mindestens einer Nebenbedingung einen mittels der zuletzt ausgeführten Optimierung bestimmten Stellwegsvektor derart zu skalieren (x_i,s), dass alle Nebenbedingungen (Cj) eingehalten werden.
13. Projektionsbelichtungsanlage nach einem der vorausgehenden Ansprüche, bei welcher der Stellwegsermittler (40) dazu konfiguriert ist, nach mindestens einer Optimierung das Optimierungsergebnis (x_i) auf Einhaltung der Nebenbedingungen zu prüfen und bei Einhaltung aller Nebenbedingungen die Zielfunktion mittels eines Aktive-Mengen-Algorithmus optimiert wird, bei dem aktive Nebenbedingungen (Cja), die einen jeweiligen, ihnen zugeordneten, Grenzwert (c_l,ja, c_u,ja) genau einhalten, identifiziert werden, die identifizierten aktiven Nebenbedingungen in Gleichheits-Nebenbedingungen umgeformt werden und eine Optimierung der Zielfunktion unter Berücksichtigung der Gleichheitsnebenbedingungen erfolgt.
14. Projektionsbelichtungsanlage nach Anspruch 13, bei welcher der Stellwegsermittler eine Speichereinrichtung (88) aufweist, in der die Zielfunktion in einer transformierten Form (90) enthalten ist, in der eine Ausgangs-Hauptmatrix (H) der Zielfunktion, welche mittels einer einen Zusammenhang zwischen einem die Stellwegseinstellungen beschreibenden Stellwegsvektor (x) und einem die Zustandscharakterisierung des Projektionsobjektivs darstellenden Zustandsvektor (b) definierenden Sensitivitätsmatrix (M) gebildet ist, als diagonalisierte Matrix (S) dargestellt ist, und der Stellwegsermittler dazu konfiguriert ist, die Optimierung mittels des Aktive-Mengen-Algorithmus auf Grundlage der transformierten Form (90) der Zielfunktion auszuführen.
15. Verfahren zum Steuern einer Projektionsbelichtungsanlage (10) für die Mikrolithographie mit einem Projektionsobjektiv (22) zum Abbilden von Maskenstrukturen, welches ein mehrere Manipulatorfreiheitsgrade aufweisendes Manipulationssystem (42) zur Veränderung von Eigenschaften des Projektionsobjektivs umfasst, mit: einem Generieren von Stellwegseinstellungen (x_i bis x₈) für die Manipulatorfreiheitsgrade des Manipulationssystems aus einer Zustandscharakterisierung (64a) des Projektionsobjektivs durch Ausführen mehrerer Optimierungen einer Zielfunktion (72) unter jeweiliger Berücksichtigung mehrerer Nebenbedingungen (78) bezüglich der Stellwegseinstellungen, wobei mindestens eine der Nebenbedingungen eine Grenze für eine Kombination mehrerer Stellwegseinstellungen definiert, wobei die Berücksichtigung der Nebenbedingungen mittels eines in der Zielfunktion enthaltenen Bestrafungsterms (76) erfolgt, welcher dazu konfiguriert ist, während der jeweiligen Optimierung der Zielfunktion einer Verletzung der Nebenbedingungen entgegen zu wirken, wobei das durch den Bestrafungsterm bewirkte Entgegenwirken eine mittels mehrerer Konfigurationsparameter (λ_j) einstellbare Entgegenwirkungscharakteristik aufweist, wobei jeder der Nebenbedingungen einer der Konfigurationsparameter zugewiesen ist, und wobei bei den Optimierungen Werte der Konfigurationsparameter (λ_j) von Optimierung zu Optimierung variiert werden.

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