先日話題になった FF5の記事(1) や FF5の記事(2) の議論の中で として なる数列について考えていました。 要するに、1次多項式 を考えて で を繰り返し合成させるとどうなるか？ という問題を考察していたわけです。 考えてみるとなかなか面白かったので、今日の記事ではこの問題について掘り下げてみようと思います。 フェルマーの小定理っぽい？ まずは、具体的に計算していきましょう。以下すべて有限体 上で考えます。 ４行目あたりで「おっ」って思いますよね。結果だけまとめると これが繰り返されます。4回合成するごとに、 となっていることが観察できます。 つまり、 （恒等写像） が成り立つということです。 この現象はさながら フェルマーの小定理 のようです。フェルマーの小定理とは、 を素数として に対して が成り立つというものでした。状況はそっくりですね。 しかも、今回は 上の多項式を考えて
Lie 群は難しい。この理由の1つは、議論の前提となる領域が広いことにあると思われる。Lie群とは群であり多様体であるような数学的対象である。そのため、定義を理解するだけで群論と多様体の知識が求められる。また、Lie群の教科書で最初に扱われるような基本的なLie群は行列群である。しかも、そのコンパクト性に着目した議論も多い。そのため、線形代数と位相空間の基礎的な事項も理解しておくことが望ましい。 繰り返すが、Lie群は難しい。私はここ最近Lie群を勉強し始めて、この事実を痛感している。こういう時は足元を一歩ずつ踏み固めて行くしかない。その一環として、本稿ではいくつかの基本的なLie群について、それらが本当にLie群になっていることを定義に照らし合わせて確認してみる。 本稿では私の独断で以下の2つのLie群を扱う。 一般線形群 直交群 準備 Lie群の定義 Lie群の定義を[1]より引用する
2019年02月13日20:55 カテゴリ門前講釈note 普遍性〜それは何であるべきか〜 ■代数学を学んでいると, しばしば「普遍性（universality）」という概念に出くわします. 最初のうちは自然に構成された代数的対象の一性質に過ぎないと思っていたのに, だんだん対象自体（の構成法）と普遍性との主従関係が逆転しているように感じた, そんな経験をなさった方も多いのではないでしょうか. 普遍性ことはじめ <質問> 直積、直和の普遍性などの「普遍性」とはどのような事なのでしょうか？定義すれば自然に得られるもののような事でしょうか？ 少し専門的な代数学（群論でも環論でも）の本を読み始めると, しばらくのちに「普遍性（universality）」という概念と出会うことでしょう. ぼくの場合は可換環論でしたから, 最初は剰余環の普遍性, 続いて剰余加群の普遍性と出会いました. ここまでは良
「月を入力すると日を返す多項式」の話が、Twitterのタイムライン上で話題になりました。 togetter.com どんな話題かというと、多項式 を以下のように定義したとき この に を代入すると、 となり、月を入力すると日を返す多項式になっています！すごい！ こんな多項式をいったいどうやって求めるんだろうかと、気になったかたはいるんじゃないかと思います。 これについては 中国剰余定理 が使えるということを、Iwao KIMURA ( @iwaokimura ) さんが、以下のツイートで教えてくださいました。 月を入力すると日を返す多項式．中国の剰余定理のいい例ですね．sagemathだとコマンド一発． pic.twitter.com/F15nosE2ia— Iwao KIMURA (@iwaokimura) 2018年10月21日 中国剰余定理は私の好きな定理の一つですが、このような応
削除提案中 現在、この項目の一部の版または全体について、削除の手続きに従って、削除が提案されています。 削除についての議論は削除依頼の該当のセクションで行われています（このページのノートも参照してください）。削除の議論中はこのお知らせを除去しないでください。 この項目の執筆者の方々へ： まだ削除は行われていません。削除に対する議論に参加し、削除の方針に該当するかをどうか検討してください。 著作権侵害のおそれこの項目は著作権侵害が指摘され、現在審議中です。 審議の結果、該当する投稿以降の版全てもしくはこの項目自体が履歴も含めて削除される可能性があります。編集は極力控えてください。著作権上問題のない自分の投稿内容が削除される可能性のある方は、早めに控えを取っておいてください。 該当する投稿をされた方へ： ウィキソースでは、著作権上問題のない投稿のみを受け付けることになっています。他人の著作物を
数学ガール「ポアンカレ予想」を読んでいて（あまり本題に関係なく）感動したのが、不定積分 についてです。 の不定積分は、原始関数 を用いて以下のように表せます。 ここで、 は積分定数です。 高校の時からずっと機械的に（もしくはおまじない的に） 「 は積分定数である」 と書いてきたわけですが、この積分定数とは一体何か、というのが今回の主題です。 考えを進めていったら、昨日ブログで書いたド・ラームコホモロジーも出てきてびっくり。よかったら最後まで御覧ください。 昨日の記事： tsujimotter.hatenablog.com 線形微分方程式の解空間 まず、元の不定積分は、微分を使って以下のように書き換えることができます。 「これは微分方程式である」というのが、最も重要な視点の変換です。そういえば、これを微分方程式とみて考えたことは今までの人生の中で一度もありませんでした。冒頭の数学ガールを読ん
松森さん歓迎＆数理学院立ち上げ記念セミナー https://connpass.com/event/82142/ で発表したスライドです。 tsujimotter http://tsujimotter.infoRead less
分数階微分積分学（ぶんすうかいびぶんせきぶんがく、英: fractional calculus）は解析学（特に微分積分学）の一分野で、微分作用素 D および積分作用素 J [1]が実数冪あるいは複素数冪をとる可能性について研究する学問である。 この文脈における「冪」の語は作用素の合成を繰り返し行うという意味で用いており、それに従えばたとえば f2(x) = f(f(x)) ということになる。さてたとえば、微分作用素 D の平方根（あるいは微分を半分だけ作用させる）という意味での式 に何か意味のある解釈をつけられるかということを考える。この式は、つまりある作用素を「二度」作用させて、微分作用素 D と同じ効果を得られるということを意味しているのであり、あるいはもっと一般に、実数 s に対して微分作用素の冪 にあたるものを決定できるかという問をも考えることができるだろう。このとき、s が整数
ツイッターで大学新入生にオススメの数学書を、ハッシュタグ #新入生に勧める数学書2018 で募集しました。 タグを作りました。皆さん、自由に語りましょう。 いろんな立場の人が選ぶことで、楽しいリストができると思います。#新入生に勧める数学書2018#新入生に勧める物理学書2018 分野、理由も併記するといいでしょう。分野は数学史や伝記などもok、幅広くいきましょう。— Loveブルバキ(ラブル) (@lovebourbaki) 2018年3月7日 皆さんのオススメの本を抜粋して紹介します。 はじめに 一般 微積分 線形代数 代数学(整数) 幾何 集合と位相 みなさんのアドバイス その他 参加してくださった皆様、ありがとうございました。 （ツイートの掲載は許可をとっています。了承していただいた皆さん、ありがとうございました。） はじめに こんな企画を始めたものの、知らない人が勧める本にすぐに
ちまちまと読んでいて、やっと読み終わりました… ガロアの時代 ガロアの数学〈第1部〉時代篇 (シュプリンガー数学クラブ) 作者: 彌永昌吉 出版社/メーカー: シュプリンガー・フェアラーク東京 発売日: 1999/07 メディア: 単行本 購入: 4人 クリック: 42回 この商品を含むブログ (12件) を見る 彌永昌吉先生の書いた「ガロアの時代 ガロアの数学 <第一部>時代編」。 まず、一言… 面白かったーーーー！！ というわけで、何が面白かったか？を、少しずつ書いてみようと思います☆ １．著者の彌永昌吉先生 ２．数学者らしい本 ３．ガロアって、誰？ ４．時は、19世紀フランス ５．数学の才能を認められなかった ６．決闘へ ７．激動の10代 ８．５次以上の方程式は代数的に解けない ９．「無限」を相手に、「ないこと」を証明する １０．キラリと光る、美しい理論 １１．数学的に、最高に面白い
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