ローマ教皇とローマ法王

両方とも「Pope」の日本語への訳語です。明治時代はそれまで無かったヨーロッパの文化を日本語化するために、膨大な訳語を作り出した時期でもあります（「経済」「法律」「郵便」など）。それまでにあった言葉に無理矢理意味を押し込めたものもあります（「愛」「家」）。 現在、日本国政府は「ローマ法王」で、敬称は「台下」を用いています（カトリック教会では「教皇」「聖下」）。 政府としては、明治時代以来「皇」の字を避けているようですね。当時では、王すらも避けて「教父」と言う訳語もありました。 どちらにせよ「訳語」ですので、カトリック教会の方々と接する場合には「教皇」「聖下」を使うのが良いと思います。

No.1,2の方と同じです。 西洋の方は「パパ」と呼んでいるようですね。

同じです。「法王」は俗称。「教皇」はローマ・カトリック教会の最高位聖職者でバチカン市国の元首。

はい、同一人物です。 正式には「教皇」なんですが、まだまだ日本では俗称である法王のほうがとおりが良いようでこちらが一般的に使われてます。