[go: up one dir, main page]
More Web Proxy on the site http://driver.im/Saltu al enhavo

Funkcio de Möbius

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Matematikaj funkcioj
Aroj: fonta aro, argumentaro, bildaro, cela aro (suma klarigo) • malbildo
Fundamentaj funkcioj
Algebraj funkcioj:
konstantalinearakvadratapolinomaracionalaTransformo de Möbius
Aliaj funkcioj:
trigonometriajinversa trigonometriahiperbolaeksponentalogaritmapotenca
Specialaj funkcioj
eraraβΓζηW de Lambertde Bessel
Nombroteoriaj funkcioj:
τσde Möbiusφπλ
Ecoj:
totaleco kaj partecopareco kaj malparecomonotonecobaritecoperiodecodisĵetecosurĵetecodissurĵeteco
kontinuecoderivaĵecointegralebleco

En matematiko, funkcio de Möbius μ(n) estas multiplika funkcio, uzata en nombroteorio kaj kombinatoriko.

Ĝi estas nomita en honoro de germana matematikisto August Ferdinand Möbius, kiu unue prezentis ĝin en 1831.

Funkcio de Möbius μ(n) estas difinita por ĉiuj pozitivaj entjeroj n. Ĝia valoro por ĉiu argumento estas unu el la nombroj -1, 0, 1 depende de la faktorigo de n en primajn faktorojn:

  • μ(n) = 1 se n estas kvadrato-libera pozitiva entjero kun para kvanto de malsamaj primaj faktoroj.
  • μ(n) = -1 se n estas kvadrato-libera pozitiva entjero kun malpara kvanto de malsamaj primaj faktoroj.
  • μ(n) = 0 se n estas ne kvadrato-libera.
  • μ(1) = 1
  • μ(0) estas nedifinita.

Valoroj de μ(n) por n=1, 2, 3, ... estas:

1, -1, -1, 0, -1, 1, -1, 0, 0, 1, -1, 0, -1, 1, 1, 0, -1, 0, -1, 0, 1, 1, -1, 0, 0, ...

Grafikaĵo de funkcio de Möbius

μ(n) = 0 se kaj nur se n estas dividebla per kvadrato (ne kvadrato-libera). La unuaj nombroj kun ĉi tiu propraĵo estas:

4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, 32, 36, 40, 44, 45, 48, 49, 50, 52, 54, 56, 60, 63,...

Se n estas primo do μ(n) = -1, sed la reo ne estas vera. La unua neprima n por kiu μ(n) = -1 estas 30 = 2·3·5. La unuaj ĉi tiaj nombroj kun 3 malsamaj primaj faktoroj estas:

30=2·3·5, 42=2·3·7, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154, 165, 170, 174, 182, 186, 190, 195, 222, …

La unuaj ĉi tiaj nombroj kun 5 malsamaj primaj faktoroj estas:

2310=2·3·5·7·11, 2730=2·3·5·7·13, 3570=2·3·5·7·17, 3990=2·3·5·7·19, 4290=2·3·5·11·13, 4830=2·3·5·7·23, 5610, 6006, 6090, 6270, 6510, 6630, 7410, 7590, 7770, 7854, 8610, 8778, 8970, 9030, 9282, 9570, 9690, …

La unuaj ĉi tiaj nombroj kun 7 malsamaj primaj faktoroj estas:

510510=2·3·5·7·11·13·17, 570570=2·3·5·7·11·13·19, ...

La funkcio de Möbius estas multiplika funkcio, kio estas ke μ(ab) = μ(a) μ(b) por ĉiuj a kaj b, kiuj estas reciproke primaj.

La sumo tra ĉiuj pozitivaj divizoroj de n de la funkcio de Möbius estas nulo se n≠1:

Ĉi tio estas konsekvenco de tio ke ĉe ĉiu ne-malplena finia aro estas ĝuste same multaj subaroj kun para kvanto de eroj kiel multaj estas subaroj kun nepara kvanto de eroj. Ĉi tio kondukas al la inversiga formulo de Möbius kaj estas la ĉefa kaŭzo kial la funkcio de Möbius estas uzata en teorio de multiplikaj kaj aritmetikaj funkcioj.

En nombroteorio, la alia aritmetika funkcio proksime rilatanta al la funkcio de Möbius estas la funkcio de Mertens, difinita kiel

por ĉiu natura nombro n. Ĉi tiu funkcio estas proksime ligita kun la pozicioj de nuloj de la rimana ζ funkcio. Vidu ankaŭ en konjekto de Mertens pri la ligo inter M(n) kaj la rimana hipotezo.

La serio de Lambert por la funkcio de Möbius estas

La serio de Dirichlet kiu generas la funkcion de Möbius estas la multiplika inverso de la rimana ζ funkcio

Ĉi tion eblas vidi de ĝia eŭlera produto

Vidu ankaŭ

[redakti | redakti fonton]

Eksteraj ligiloj

[redakti | redakti fonton]