Beta-funkcio

Ĉi tiu artikolo temas pri la Eŭlera beta-funkcio, konvencie skribata Β(x,y). Ekzistas ankaŭ aliaj beta-funkcioj en matematiko kaj fiziko.

La matematika beta-funkcio, alinome Eŭlera integralo de la unua speco, estas speciala funkcio, kiun oni difinas por kompleksaj nombroj x kaj y kun pozitiva reela parto:

${\displaystyle \mathrm {\mathrm {B} } (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt\!}$

kiam

${\displaystyle {\textrm {Re}}(x),{\textrm {Re}}(y)>0\,}$

La beta-funkcion studis Leonhard Euler kaj Adrien-Marie Legendre, kaj la nomon al ĝi donis Jacques Binet. Ekzistas ankaŭ ĝeneraligo de la funkcio, t.n. nekompleta beta-funkcio kaj ties variaĵo reguligita nekompleta beta-funkcio.

• : ${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (y,x)\;}$, t.e., la funkcio estas simetria.

• : ${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\cdot \mathrm {B} (x+y,1-y)={\dfrac {\pi }{x\sin(\pi y)}},\!}$

La funkcio povas esti prezentita ankaŭ per sekvaj formuloj

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}}$

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=2\int \limits _{0}^{\pi /2}\sin ^{2x-1}\theta \cos ^{2y-1}\theta \,d\theta ,\qquad {\mathrm {R} e}(x)>0,\ {\mathrm {R} e}(y)>0}$

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}}\,dt,\qquad {\mathrm {R} e}(x)>0,\ {\mathrm {R} e}(y)>0}$

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {1}{y}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(y)_{n+1}}{n!(x+n)}}\quad \mathrm {kaj} \quad (x)_{n}=x(x-1)(x-2)\ldots (x-n+1)}$

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {x+y}{xy}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\dfrac {xy}{n(x+y+n)}}\right)^{-1},\!}$

${\displaystyle {\partial \over \partial x}\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y)\left({\Gamma '(x) \over \Gamma (x)}-{\Gamma '(x+y) \over \Gamma (x+y)}\right)=\mathrm {B} (x,y)(\psi (x)-\psi (x+y))}$

kie ${\displaystyle \ \psi (x)}$ estas la digamma-funkcio.

Oni povas aproksimi la beta-funkcion per la formulo de Stirling:

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\sim {\sqrt {2\pi }}{\frac {x^{x-{\frac {1}{2}}}y^{y-{\frac {1}{2}}}}{\left({x+y}\right)^{x+y-{\frac {1}{2}}}}}}$

por grandaj: x kaj y.

Sed se x estas granda kaj y estas konstanta, tiam validas

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\sim \Gamma (y)\,x^{-y}.}$

La nekompleta beta-funkcio, estas ĝeneraligo de la beta-funkcio kaj difinita kiel

${\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)=\int _{0}^{x}t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt.\!}$

Por x = 1, la nekompleta funkcio egalas al la kompleta funkcio.

Reguligita (senkompleta) beta-funkcio estas difinita kiel

${\displaystyle I_{x}(a,b)={\dfrac {\mathrm {B} (x;\,a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}.\!}$

Integrante la formulon, oni ricevas por entjeraj a kaj b:

${\displaystyle I_{x}(a,b)=\sum _{j=a}^{a+b-1}{(a+b-1)! \over j!(a+b-1-j)!}x^{j}(1-x)^{a+b-1-j}.}$

Pri la reguligita beta-funkcio validas

${\displaystyle I_{0}(a,b)=0\,}$

${\displaystyle I_{1}(a,b)=1\,}$

${\displaystyle I_{x}(a,b)=1-I_{1-x}(b,a)\,}$