CN101713983B - 基于独立成分分析和贝叶斯推理的半导体过程监测方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于独立成分分析和贝叶斯推理的半导体过程监测方法，该方法首先根据对半导体过程的混合数据进行工况划分，对每一个工况数据分别进行独立成分分析，建立相应的独立成分分析模型。然后，通过贝叶斯推理方法对不同工况下的监测信息进行集成和综合，获得最后的监测结果。同时，利用后验概率分析方法，本发明还可以获取当前监测数据的工况信息，即可以判断当前数据处于何种过程操作工况。相比目前的其它方法，本发明不仅可以大大提高半导体过程的监测效果，而且在很大程度上改善了监测方法对过程知识的依赖性，增强了过程操作员对过程的理解能力和操作信心，更加有利于半导体过程的自动化实施。

Description

基于独立成分分析和贝叶斯推理的半导体过程监测方法

技术领域

本发明属于半导体工业过程控制领域，特别涉及一种基于独立成分分析和贝叶斯推理的过程监测方法。

背景技术

近年来，半导体工业生产过程的监测问题越来越得到工业界和学术界的广泛重视。一方面，由于半导体工业过程本身对产品质量的要求极高，如何有效地防止过程产生劣质或者不合格的产品是迫切需要解决的问题。另一方面，如果不对过程进行很好的监测，有可能会发生操作事故，轻者影响产品的质量，重者将会造成生命和财产的损失。此外，对半导体过程进行监测获得的结果还可以反过来指导生产过程和生产工艺的改进。因此，过程监测已经成为半导体工业生产过程的研究热点和迫切需要解决的问题之一。

作为一种典型的间歇生产过程，传统的半导体过程监测方法除了基于机理模型的方法外，大多采用多向形式的多元统计分析方法，比如多向主元分析方法(MPCA)和多向偏最小二乘方法(MPLS)等。在机理模型难以获取的情况下，基于数据驱动的多元统计分析方法已经成为半导体过程监测的主流方法。但是，传统的多元统计分析方法只能提取过程数据的二阶统计量信息，不能有效地处理高阶统计量信息。相比之下，独立成分分析方法(ICA)在提取过程数据的高阶统计量信息方面有其自身的优势，本发明采用该方法替代原有的多元统计分析方法对过程数据进行信息提取。另外，由于半导体过程产品的多样化，该过程也将运行在不同的操作工况下。传统的监测方法假设过程运行在单一工况下，已经无法满足半导体过程的监测要求。即使对过程的不同操作工况分别进行建模，也无法达到满意的监测效果。因为对新的过程数据进行监测时，需要结合过程知识对该数据的操作工况进行判断，并选取相应的监测模型，这就大大增强了监测方法对过程知识的依赖性，不利于半导体过程的自动化实施。

发明内容

本发明的目的在于针对现有技术的不足，提供一种基于独立成分分析和贝叶斯推理的半导体过程监测方法。

本发明的目的是通过以下技术方案来实现的：

一种基于独立成分分析和贝叶斯推理的半导体过程监测方法，包括以下步骤：

(1)利用集散控制系统收集半导体过程各个正常工况的数据组成建模用的三维训练样本集：X＝[X₁；X₂；…，X_C]。其中， $X_c\∈R^{I_c\×J\×K},$ c＝1，2，…，C为对应于过程工况c的数据矩阵，I_c为该工况下的批次数目，J为变量个数，K为每个批次的采样数据点数。分别将这些数据存入历史数据库。

(2)分别将不同工况下的数据沿着各自的批次方向展开为I_c×JK二维数据矩阵，对其进行预处理和归一化，即使得各个过程变量的均值为零，方差为1，得到新的数据矩阵集为 ${\stackrel{\‾}{X}}_c\∈R^{I_c\×JK}.$

(3)重新沿着时间点方向对每一个数据矩阵进行排列，得到新的数据矩阵集中为 ${\stackrel{=}{X}}_c\∈R^{{\mathrm{KI}}_c\×J}.$

(4)采用独立成分分析方法对每一个新的数据矩阵进行处理，建立独立成分分析模型，得到残差矩阵 ${\stackrel{=}{E}}_c\∈R^{{\mathrm{KI}}_c\×J},$ 并构造I²统计量的监测统计限。

(5)针对残差矩阵构造SPE统计量的监测统计限。

(6)将建模数据和各个模型参数存入历史数据库和实时数据库中备用。

(7)收集新的过程数据，并对其进行预处理和归一化。

(8)分别采用不同的工况模型对其进行监测，即建立统计量I²和SPE。

(9)通过贝叶斯推理方法计算当前监测数据在各个操作工况下的后验概率值，并计算数据的故障概率值。然后，构造新的统计量FI²和FSPE集成不同工况下的监测结果，并给出相应的工况分析和定位结果。

本发明的有益效果是：本发明通过对每一个工况数据分别进行独立成分分析和建模。然后，引入贝叶斯推理方法对不同工况下的监测信息进行集成和综合，获得最后的监测结果。此外，通过后验概率分析技术，本发明还可以获取当前监测数据的工况信息。相比目前的其它半导体过程监测方法，本发明不仅可以大大提高半导体过程的监测效果，而且在很大程度上改善了监测方法对过程知识的依赖性，增强了过程操作员对过程的理解能力和操作信心，更加有利于半导体过程的自动化实施。

附图说明

图1是半导体过程的数据散点图；

图2是本发明方法对半导体过程正常批次数据的监测结果；

图3是MPCA对半导体过程正常批次数据的监测结果；

图4是本发明方法对半导体过程故障批次数据的监测结果；

图5是MPCA方法对半导体过程故障批次数据的监测结果；

图6是本发明方法对半导体过程正常批次工况分析和定位结果。

具体实施方式

本发明针对半导体过程的监测问题，首先利用集散控制系统收集不同操作工况下的批次数据，并对其进行工况划分。然后分别针对不同的操作工况，建立相应的独立成分分析模型，并建立两个监测统计量I²和SPE及其对应的统计限I_lim ²和SPE_lim。把所有的过程模型参数存入数据库中备用。对新的批次数据进行监测的时候，首先利用不同操作工况下的监测模型对其进行监测，获取相应的监测结果。然后通过贝叶斯推理方法得到该数据的工况后验概率，结合其在各个工况下的故障发生概率，集成为最后的监测结果。另外，通过对当前数据进行工况后验概率分析，本发明还可以获取该数据的工况信息并对其进行相应的定位，大大增强了操作工程师对过程的理解，提高了他们的操作信心。

本发明采用的技术方案的主要步骤分别如下：

第一步利用集散控制系统收集半导体过程各个正常工况的数据组成建模用的三维训练样本集：X＝[X₁；X₂；…，X_C]。其中， $X_c\∈R^{I_c\×J\×K},$ c＝1，2，…，C为对应于过程工况c的数据矩阵，I_c为该工况下的批次数目，J为变量个数，K为每个批次的采样数据点数。分别将这些数据存入历史数据库；

第二步分别将不同工况下的数据沿着各自的批次方向展开为I_c×JK二维数据矩阵，对其进行预处理和归一化，即使得各个过程变量的均值为零，方差为1，得到新的数据矩阵集为 ${\stackrel{\‾}{X}}_c\∈R^{I_c\×JK};$

在历史数据库中对采集到的过程数据进行预处理，剔除野值点和明显的粗糙误差数据，为了使得过程数据的尺度不会影响到监测的结果，对不同变量的数据分别进行归一化处理，即各个变量的均值为零，方差为1。这样，不同过程变量的数据就处在相同的尺度之下，既而不会影响到后续的监控效果。

第三步重新沿着时间点方向对每一个数据矩阵进行排列，得到新的数据矩阵集中为 ${\stackrel{=}{X}}_c\∈R^{{\mathrm{KI}}_c\×J};$

传统的半导体过程监测方法在监测新的批次数据时，需要对未知值进行预测。为了避免这个问题，我们对数据矩阵进行了重新排列。这样，监测样本就由原来的整个批次数据变为单个采样数据点，较好地避免了对批次未知值的预测问题。

第四步采用独立成分分析方法对每一个新的数据矩阵进行处理，建立独立成分分析模型，得到残差矩阵 ${\stackrel{=}{E}}_c\∈R^{{\mathrm{KI}}_c\×J},$ 并构造I²统计量的监测统计限；

采用独立成分分析(ICA)方法对每一个新的数据矩阵

进行处理，提取高阶统计量信息，建立独立成分分析模型。通过ICA分析，可以得到该数据矩阵的独立成分矩阵 $S_c\∈R^{r\×K{I}_c},$ 混合矩阵A_c∈R^J×r，分离矩阵W_c∈R^r×J以及残差矩阵 ${\stackrel{=}{E}}_c\∈R^{{\mathrm{KI}}_c\×J}$ 如下：

${\stackrel{=}{X}}_c=A_c{S}_c+{\stackrel{=}{E}}_c$

$S_c=W_c{\stackrel{=}{X}}_c$

${\stackrel{=}{E}}_c={\stackrel{=}{X}}_c-A_c{S}_c$

其中，c＝1，2，…，C，r为选取的独立成分个数。然后，构造I²统计量并利用核密度估计方法给出其相应的监测统计限I_lim，c ²，即：

$\hat{f}(I_c^2,H)=\frac{1}{{\mathrm{KI}}_c}\underset{i=1}{\overset{{\mathrm{KI}}_c}{\mathrm{\Σ}}}K\left(H^{-1/2}(I_c^2-I_{c,i}^2)\right).---\left(1.16\right)$

其中，K(·)为核函数，通常选取为高斯核形式，H为核函数的带宽参数矩阵，可以简单选取为对角的形式，I_c，i ²为工况c下对应数据的I²统计量值。这样，我们就可以获取I²统计量的概率密度分布信息，从而可以方便地求取其在一定置信度下统计限I_lim，c ²的值。

第五步针对残差矩阵构造SPE统计量的监测统计限；

在上一步的基础上对残差矩阵

建立SPE统计量并计算其相应的监测统计限SPE_lim，c，即：

${\mathrm{SPE}}_{c,\mathrm{tr},i}={\stackrel{=}{E}}_{c,i}{\stackrel{=}{E}}_{c,i}^T(i=\mathrm{1,2},\·\·\·,{\mathrm{KI}}_c)---\left(1.17\right)$

其中，SPE_c，tr，i服从参数为g和h的χ²分布，

g·h＝mean(SPE_c，tr)

(1.18)

2g²h＝var(SPE_c，tr)

因此，SPE统计量统计量的监测统计限也可以方便的获取，即SPE_lim～g·χ_h ²。

第六步将建模数据和各个模型参数存入历史数据库和实时数据库中备用；

第七步收集新的过程数据，并对其进行预处理和归一化；

对于过程中新收集到的数据样本，除了对其进行预处理之外，还有采用建模时的模型参数对该数据点进行归一化，即减去建模均值和除以建模标准差。

第八步分别采用不同的工况模型对其进行监测，即建立统计量I²和SPE；

采用不同工况下的模型对新的数据进行监测，即计算其对应的I²和SPE统计量的值如下：

$s_c=W_c{\stackrel{=}{x}}_{\mathrm{new}}$

${\stackrel{=}{e}}_{\mathrm{new},c}={\stackrel{=}{x}}_{\mathrm{new}}-A_c{s}_c---\left(1.19\right)$

$I_{\mathrm{new},c}^2=s_c^T{s}_c$

${\mathrm{SPE}}_{\mathrm{new},c}={\stackrel{=}{e}}_{\mathrm{new},c}{\stackrel{=}{e}}_{\mathrm{new},c}^T---\left(1.20\right)$

其中，c＝1，2，…，C，s_c为相应数据所提取的独立成分向量，

为残差向量。

第九步通过贝叶斯推理方法计算当前监测数据在各个操作工况下的后验概率值，并计算数据的故障概率值。然后，构造新的统计量FI²和FSPE集成不同工况下的监测结果，并给出相应的工况分析和定位结果。

首先通过贝叶斯推理方法计算当前监测数据在各个过程操作工况下的后验概率值，即：

$P_{I^2}\left(c\right|{\stackrel{=}{x}}_{\mathrm{new}})=\frac{P_{I^2}(c,{\stackrel{=}{x}}_{\mathrm{new}})}{P_{I^2}\left({\stackrel{=}{x}}_{\mathrm{new}}\right)}=\frac{P_{I^2}\left({\stackrel{=}{x}}_{\mathrm{new}}\right|c)P\left(c\right)}{\underset{c=1}{\overset{C}{\mathrm{\Σ}}}\left[P_{I^2}\left({\stackrel{=}{x}}_{\mathrm{new}}\right|c)P\left(c\right)\right]}$

$P_{\mathrm{SPE}}\left(c\right|{\stackrel{=}{x}}_{\mathrm{new}})=\frac{P_{\mathrm{SPE}}(c,{\stackrel{=}{x}}_{\mathrm{new}})}{P_{\mathrm{SPE}}\left({\stackrel{=}{x}}_{\mathrm{new}}\right)}=\frac{P_{\mathrm{SPE}}\left({\stackrel{=}{x}}_{\mathrm{new}}\right|c)P\left(c\right)}{\underset{c=1}{\overset{C}{\mathrm{\Σ}}}\left[P_{\mathrm{SPE}}\left({\stackrel{=}{x}}_{\mathrm{new}}\right|c)P\left(c\right)\right]}$

其中，

和

为边缘分布概率，这里定义如下：

$P_{I^2}\left({\stackrel{=}{x}}_{\mathrm{new}}\right|c)=\exp \{-\frac{I_{\mathrm{new},c}^2}{I_{\lim ,c}^2}\}$

$P_{\mathrm{SPE}}\left({\stackrel{=}{x}}_{\mathrm{new}}\right|c)=\exp \{-\frac{{\mathrm{SPE}}_{\mathrm{new},c}}{{\mathrm{SPE}}_{\lim ,c}}\}$

P(c)为先验概率，可简单计算为 $P\left(c\right)=\frac{{\mathrm{KI}}_c}{\mathrm{KI}}.$

然后，计算当前数据在各个工况下的故障概率如下：

$P_{f,I^2}^c\left({\stackrel{=}{x}}_{\mathrm{new}}\right)=\mathrm{Pr}\{I_c^2\left({\stackrel{=}{x}}_{\mathrm{tr},c}\right)\≤I_{\mathrm{new},c}^2\}$

$P_{f,\mathrm{SPE}}^c\left({\stackrel{=}{x}}_{\mathrm{new}}\right)=\mathrm{Pr}\{{\mathrm{SPE}}_c\left({\stackrel{=}{x}}_{\mathrm{tr},c}\right)\≤{\mathrm{SPE}}_{\mathrm{new},c}\}$

其中，

为对应工况下的建模数据，Pr{·}表示概率值。

计算最后的监测结果，即集成不同操作工况下的监测结果如下：

${\mathrm{FI}}_{\mathrm{new}}^2=\underset{c=1}{\overset{C}{\mathrm{\Σ}}}\left[P_{I^2}\left(c\right|{\stackrel{=}{x}}_{\mathrm{new}})P_{f,I^2}^c\left({\stackrel{=}{x}}_{\mathrm{new}}\right)\right]$

${\mathrm{FSPE}}_{\mathrm{new}}=\underset{c=1}{\overset{C}{\mathrm{\Σ}}}\left[P_{\mathrm{SPE}}\left(c\right|{\stackrel{=}{x}}_{\mathrm{new}})P_{f,\mathrm{SPE}}^c\left({\stackrel{=}{x}}_{\mathrm{new}}\right)\right]$

通过分析当前监测数据与各个操作工况的后验概率值，对其进行工况分析和定位如下：

其中，后验概率的值越大，说明当前监测数据与相应工况的关联度越大。反之，值越小说明该数据处于相应工况的可能性就越小。

以下结合一个具体的半导体过程例子来说明本发明的有效性。该过程的数据来自美国德州仪器公司的三组实验，一共为129批数据，其中包括108批正常工况下的数据和21批故障数据。通过对数据的初步分析，发现有两批过程的数据缺失情况比较严重，去掉这两批不完整数据之后，一共有107批正常数据和20批故障数据。故障的来源主要是各个功率和压力的变化引起，为了对该过程进行监测，一共选取了17个过程变量，如表1所示。另外，每一个批次的采样时间点为85个。图1给出了经过主元分析之后，所有正常批次的前两维数据特征，可以明显看出，该过程的数据由三个操作工况产生。接下来结合该具体过程对本发明的实施步骤进行详细地阐述：

1.采集过程正常工况数据，数据预处理，归一化和重新排列

对收集到的127批次有效的过程数据样本进行数据预处理，剔除过程的野值点和粗糙误差点。然后选取其中的96批正常数据组成建模数据矩阵，将其划分为三个子数据矩阵X_c∈R^32×17×85，c＝1，2，3。把每一个子数据矩阵按照批次方向展开成二维数据矩阵并对其进行归一化，得到X_c∈R^32×1445，c＝1，2，3。然后，重新沿着采样时刻方向对二维数据矩阵进行排列，得到新的数据矩阵为 ${\stackrel{=}{X}}_c\∈R^{2720\×17},$ c＝1，2，3

2.针对每一个过程操作工况，分别建立独立成分分析模型并确定相应统计量的置信限

分别对新的数据矩阵 ${\stackrel{=}{X}}_c\∈R^{2720\×17},$ c＝1，2，3进行ICA分析和建模，选取3个独立成分，得到详细的ICA模型参数信息，即独立成分信息S_c∈R^3×2720，混合矩阵A_c∈R^17×3，分离矩阵W_c∈R^3×17以及残差矩阵 ${\stackrel{=}{E}}_c\∈R^{2720\×17}.$ 然后构造I²统计量并由核密度估计方法确定其相应的监测统计限。同理，可以确定SPE统计量的监测置信限。这里，我们选取两个统计量的置信度均为99％。

3.获取当前监测数据信息，并对其进行预处理和归一化

为了测试新方法的有效性，分别对正常批次和故障批次的数据进行测试。随机选取某一正常批次的数据，并利用各个工况下的归一化参数对其进行处理。选取一种典型故障进行测试，同样对其进行归一化处理。

4.在线过程监测

首先对正常批次的过程数据进行监测，新的方法和MPCA方法得到的监测结果分别如图2和图3所示。从图中可以看出，新的方法和MPCA方法均能对该批次做出较好的监测，即没有误报现象发生，说明新的方法并没有损失其在正常工况下的监测效果。然后，对故障批次进行监测，新的方法和MPCA方法的监测效果如图4和图5所示。可以明显看出，新的方法已经成功监测到了过程的故障。相比之下，MPCA方法的效果就差很多。

5.工况分析和定位

对正常批次的数据进行工况分析和定位，得到的结果如图6所示。从图中可以看出，该批次数据来自于第二种操作工况的可能性最大。

表1：监控变量说明

序号	变量	序号	变量
				1	BCl3流量	10	RF功率
2	Cl2流量	11	RF阻抗
				3	RF底部功率	12	TCP调谐
4	A检测端点	13	TCP相位误差
				5	氦压力	14	TCP阻抗
6	室压	15	TCP顶部功率
				7	RF调谐	16	TCP负荷
8	RF负荷	17	Vat阀门
				9	相位误差

Claims (1)

1.一种基于独立成分分析和贝叶斯推理的半导体过程监测方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)利用集散控制系统收集半导体过程各个正常工况的数据组成建模用的三维训练样本集：X＝[X₁；X₂；…，X_C]；其中，

c＝1，2，…，C为对应于过程工况c的数据矩阵，I_c为该工况下的批次数目，J为变量个数，K为每个批次的采样数据点数；分别将这些数据存入历史数据库；

(2)分别将不同工况下的数据沿着各自的批次方向展开为I_c×JK二维数据矩阵，对其进行预处理和归一化，即使得各个过程变量的均值为零，方差为1，得到新的数据矩阵集为

(3)重新沿着时间点方向对每一个数据矩阵进行排列，得到新的数据矩阵集为 ${\stackrel{\‾}{\stackrel{\‾}{X}}}_c\∈R^{{\mathrm{KI}}_c\×J};$

(4)采用独立成分分析方法对步骤(3)得到的新的数据矩阵集中的每一个新的数据矩阵进行处理，建立独立成分分析模型，得到残差矩阵

并构造I²统计量的监测统计限；

(5)针对残差矩阵

构造SPE统计量的监测统计限；

(6)将建模数据和各个模型参数存入历史数据库和实时数据库中备用；

(7)收集新的过程数据，并对新的过程数据进行预处理和归一化；

(8)分别采用不同的工况模型对步骤(7)预处理和归一化后的过程数据进行监测，即建立统计量I²和SPE；

(9)通过贝叶斯推理方法计算当前监测数据在各个工况下的后验概率值，并计算数据的故障概率值；然后，构造新的统计量FI²和FSPE集成不同工况下的监测结果，并给出相应的工况分析和定位结果；

其中，所述步骤(4)具体为：采用独立成分分析方法对每一个新的数据矩阵

进行处理，提取高阶统计量信息，建立独立成分分析模型；通过独立成分分析，可以得到该数据矩阵的独立成分矩阵

混合矩阵A_c∈R^J×r，分离矩阵W_c∈R^rxJ以及残差矩阵

如下：

${\stackrel{\‾}{\stackrel{\‾}{X}}}_c=A_c{S}_c+{\stackrel{\‾}{\stackrel{\‾}{E}}}_c$

$S_c=W_c{\stackrel{\‾}{\stackrel{\‾}{X}}}_c;$

${\stackrel{\‾}{\stackrel{\‾}{E}}}_c={\stackrel{\‾}{\stackrel{\‾}{X}}}_c-A_c{S}_c$

其中，c＝1，2，…，C，r为选取的独立成分个数；然后，构造I²统计量并利用核密度估计方法给出其相应的监测统计限

所述步骤(5)具体为：在上一步的基础上对残差矩阵

建立SPE统计量并计算其相应的监测统计限SPE_lim，c；

所述步骤(8)具体为：对于归一化之后的新数据

分别采用不同工况下的模型对其进行监测，即建立相应的监测统计量如下：

$s_c=W_c{\stackrel{\‾}{\stackrel{\‾}{X}}}_{\mathrm{new}}$

${\stackrel{\‾}{\stackrel{\‾}{e}}}_{\mathrm{new},c}={\stackrel{\‾}{\stackrel{\‾}{x}}}_{\mathrm{new}}-A_c{s}_c;$

$I_{\mathrm{new},c}^2=s_c^T{s}_c$

其中，c＝1，2，…，C，s_c为相应数据所提取的独立成分向量，继续针对残差向量建立SPE统计量为：

${\mathrm{SPE}}_{\mathrm{new},c}={\stackrel{\‾}{\stackrel{\‾}{e}}}_{\mathrm{new},c}{\stackrel{\‾}{\stackrel{\‾}{e}}}_{\mathrm{new},c}^T;$

所述步骤(9)具体为：

(a)首先通过贝叶斯推理方法计算当前监测数据在各个过程工况下的后验概率值，即：

$P_{I^2}\left(c\right|{\stackrel{\‾}{\stackrel{\‾}{x}}}_{\mathrm{new}})=\frac{P_{I^2}(c,{\stackrel{\‾}{\stackrel{\‾}{x}}}_{\mathrm{new}})}{P_{I^2}\left({\stackrel{\‾}{\stackrel{\‾}{x}}}_{\mathrm{new}}\right)}=\frac{P_{I^2}\left({\stackrel{\‾}{\stackrel{\‾}{x}}}_{\mathrm{new}}\right|c)P\left(c\right)}{\underset{c=1}{\overset{C}{\mathrm{\Σ}}}\left[P_{I^2}\left({\stackrel{\‾}{\stackrel{\‾}{x}}}_{\mathrm{new}}\right|c)P\left(c\right)\right]},$

$P_{\mathrm{SPE}}\left(c\right|{\stackrel{\‾}{\stackrel{\‾}{x}}}_{\mathrm{new}})=\frac{P_{\mathrm{SPE}}(c,{\stackrel{\‾}{\stackrel{\‾}{x}}}_{\mathrm{new}})}{P_{\mathrm{SPE}}\left({\stackrel{\‾}{\stackrel{\‾}{x}}}_{\mathrm{new}}\right)}=\frac{P_{\mathrm{SPE}}\left({\stackrel{\‾}{\stackrel{\‾}{x}}}_{\mathrm{new}}\right|c)P\left(c\right)}{\underset{c=1}{\overset{C}{\mathrm{\Σ}}}\left[P_{\mathrm{SPE}}\left({\stackrel{\‾}{\stackrel{\‾}{x}}}_{\mathrm{new}}\right|c)P\left(c\right)\right]};$

其中，和

为边缘分布概率，这里定义如下：

$P_{I^2}\left({\stackrel{\‾}{\stackrel{\‾}{x}}}_{\mathrm{new}}\right|c)=\exp \{-\frac{I_{\mathrm{new},c}^2}{I_{\lim ,c}^2}\},$

$P_{\mathrm{SPE}}\left({\stackrel{\‾}{\stackrel{\‾}{x}}}_{\mathrm{new}}\right|c)=\exp \{-\frac{{\mathrm{SPE}}_{\mathrm{new},c}}{{\mathrm{SPE}}_{\lim ,c}}\};$

P(c)为先验概率，可简单计算为

(b)计算当前数据在各个工况下的故障概率如下：

$P_{f,I^2}^c\left({\stackrel{\‾}{\stackrel{\‾}{x}}}_{\mathrm{new}}\right)=\mathrm{Pr}\{I_c^2\left({\stackrel{\‾}{\stackrel{\‾}{x}}}_{\mathrm{tr},c}\right)\≤I_{\mathrm{new},c}^2\},$

$P_{f,\mathrm{SPE}}^c\left({\stackrel{\‾}{\stackrel{\‾}{x}}}_{\mathrm{new}}\right)=\mathrm{Pr}\{{\mathrm{SPE}}_c\left({\stackrel{\‾}{\stackrel{\‾}{x}}}_{\mathrm{tr},c}\right)\≤{\mathrm{SPE}}_{\mathrm{new},c}\};$

其中，为对应工况下的建模数据，Pr{·}表示概率值；

(c)计算最后的监测结果，即集成不同工况下的监测结果如下：

${\mathrm{FI}}_{\mathrm{new}}^2=\underset{c=1}{\overset{C}{\mathrm{\Σ}}}\left[P_{I^2}\left(c\right|{\stackrel{\‾}{\stackrel{\‾}{x}}}_{\mathrm{new}})P_{f,I^2}^c\left({\stackrel{\‾}{\stackrel{\‾}{x}}}_{\mathrm{new}}\right)\right],$

${\mathrm{FSPE}}_{\mathrm{new}}=\underset{c=1}{\overset{C}{\mathrm{\Σ}}}\left[P_{\mathrm{SPE}}\left(c\right|{\stackrel{\‾}{\stackrel{\‾}{x}}}_{\mathrm{new}})P_{f,\mathrm{SPE}}^c\left({\stackrel{\‾}{\stackrel{\‾}{x}}}_{\mathrm{new}}\right)\right];$

(d)计算当前监测数据与各个工况的后验概率值，对其进行工况分析和定位如下：

其中，后验概率的值越大，说明当前监测数据与相应工况的关联度越大；反之，值越小说明该数据处于相应工况的可能性就越小。

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