CN109991852A - 具有磁滞特性的分数阶静电驱动微机电系统控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种具有磁滞特性的分数阶静电驱动微机电系统控制方法，在考虑输入磁滞特性的情况下，建立该机电系统的数学模型，考虑系统不可测量变量、时变时滞项、不确定性、输出约束等，揭示该机电系统的混沌振荡现象，通过Lyapunov‑Krasovskii函数构建补偿系统状态中的时变时延，在backstepping的框架内提出了一种融合扩展状态观测器、切比雪夫神经网络、正切障碍函数和跟踪微分器的自适应稳定控制方案。本发明具有以下效果：加快求解速度，提高系统瞬态和稳态性能，放宽物理传感器的限制，减少计算工作量，简化控制器设计，取消对基函数中心和宽度的要求，降低对精确模型的依赖，提高传统一阶低通滤波器的精度，克服微分项的爆炸问题，保证输出约束条件不被违反。

Description

具有磁滞特性的分数阶静电驱动微机电系统控制方法

技术领域

本发明涉及分数阶静电驱动微机电系统，具体涉及一种具有磁滞特性的分数阶静电驱动微机电系统控制方法。

背景技术

目前，静电驱动微机电系统得到了快速发展。由于在滤波、阀门、电动微执行机构和探针显微镜等领域有着广阔的应用前景，研究静电驱动微机电系统变得非常有意义，同时一些研究者也做了一些有益的探索。随着对系统性能的要求越来越严格，其可持续发展面临着挑战。混沌振荡、输入磁滞、时滞、模型不确定性、不可测状态和输出约束等不利影响已成为一个棘手的问题，可能导致静电驱动微机电系统性能的崩溃。

关于静电驱动微机电系统的非线性动力学分析，已有大量文献报道。Batra等考虑vonKármán非线性和卡西米尔力，建立数学模型，进一步研究了预应力夹持椭圆静电驱动微板的振动和拉入失稳问题。Younis等分析了夹持式拱膜在直流静电力和交流谐波作用下的非线性动力学特性。Ouakad讨论了通过平面外静电边缘场电驱动的双夹持微梁的静态行为。但这些研究仅仅集中在整数阶静电驱动微机电系统上，没有考虑电介质的分数阶行为。同时，静电驱动微机电系统的混沌控制也存在一些零星的报道。Polo和Manuel推导了框架式悬挂陀螺仪的数学模型，提出了一种具有约束积分作用的PID控制器构成的反馈控制系统。为了控制机电换能器的混沌和共振行为，Balthazar等提出了一种利用傅立叶级数的反馈控制方案。Song和Sun研究了快速终端滑模控制(FTSMC)问题，抑制具有系统不确定性和外部干扰的静电驱动微机电系统的混沌运动。这些工作集中在精确模型的整数阶静电驱动微机电系统的稳定控制上，没有考虑系统面临的恶劣条件影响。

由于物理传感器的限制，一些状态变量是不可测量的。作为一种有效的工具，扩展状态观测器被用来在有限时间内估计不可测量的状态变量信号。物理故障、安全要求和传感器饱和等导致的状态约束的存在是不可避免的。在不采取措施的情况下输出约束问题可以破坏系统的稳定性。运动过程中存在的磁滞特性会影响系统性能，限制控制精度的提高。然而，以往研究集中在一类整数阶非线性系统上，忽略了系统的分数阶行为和非线性动力学。对于无匹配条件的分数阶非线性系统，自适应backstepping是一个很好的选择。然而，它因重复微分导致的项爆炸问题被受到广泛诟病。针对这一问题，一种基于低阶滤波器的动态面控制方案被提出，以抑制整数阶系统中导数函数项的激增。但是一阶滤波器的精度很差，因为它只有一个调节参数。

发明内容

本发明的目的在于，提供一种具有磁滞特性的分数阶静电驱动微机电系统控制方法。在考虑输入磁滞特性的情况下，建立分数阶静电驱动微机电系统的数学模型，考虑系统不可测量变量、时变时滞项、不确定性、输出约束等，揭示分数阶静电驱动微机电系统的混沌振荡现象，通过Lyapunov-Krasovskii函数构建补偿系统状态中的时变时延，在backstepping的框架内提出了一种融合扩展状态观测器、切比雪夫神经网络、正切障碍函数和跟踪微分器的自适应稳定控制方案，加快了控制算法求解速度，提高闭环非线性系统的瞬态和稳态等性能，扩展状态观测器放宽了对物理传感器的限制，具有单权重的切比雪夫神经网络减少了计算工作量，简化了控制器设计，切比雪夫神经网络取消了对基函数的中心和宽度的要求，降低了控制器设计对系统精确模型的过度依赖，跟踪微分器提高了传统一阶低通滤波器的精度，克服了虚拟控制持续微分导致微分项的爆炸问题，正切障碍李雅普诺夫函数保证输出约束条件不被违反。

本发明的技术方案：一种具有磁滞特性的分数阶静电驱动微机电系统控制方法，包括下述步骤：

a、在分数阶静电驱动微机电系统控制输入端增加具有磁滞特性的控制输入，建立分数阶静电驱动微机电系统的数学模型：

其中

m_e,w和F_ex分别表示谐振器的有效质量、阻尼系数和驱动力，k₁和k₃表示线性和立方机械刚度，C₀表示平行板执行器的电容，V_AC表示交流电压，V_DC表示偏置电压，ω表示交流电压的频率，ω₀表示固有频率，u表示具有磁滞特性的控制输入，x₁和x₂分别表示梁位移和速度，C和α表示分数微积分领域中Caputo定义和分数阶值；

输入磁滞特性表示为：

其中u₀＝u₀(v₀)，v表示迟滞的输入信号，ρ_hc,c_hc和B_hc为常数，并且c_hc＞B_hc；b、构建自适应稳定控制器；考虑不可测量变量、时变时滞项、不确定性和输出约束，在backstepping框架下结合切比雪夫神经网络、跟踪微分器和扩展状态观测器，通过Lyapunov-Krasovskii函数得到控制器的算法步骤为，

步骤1:定义约束ζ₁＝a_γ-d_γ,存在关系式|s₁(t)|＜ζ₁，其中ζ₁表示正定常数,s₁(t)表示误差，a_γ＞0，选择第一个Lyapunov-Krasovskii函数

在分数微积分领域中，对V₁微分可得：

其中

虚拟控制被选择为

其中c₁＞0；

将(22)代入(21)将得到

步骤2:引入变量

其中表示η₂的估计值；

考虑第二个Lyapunov-Krasovskii函数

其中κ和γ₂表示常数；

对V₂分数阶微分导出

其中

调用假设2得到

存在

借助(19)、(27)和(28)，(26)可进一步推导

f₂(·)属于高度复杂的项，系统参数易受到温度、干扰和重构滤波器的影响，运用切比雪夫神经网络估计不确定非线性项f_cn(X)

f_cn(X)＝Ψ^*Tξ(X)+ε, (30)

其中ε表示神经网络近似误差，ξ(X)＝[1,T₁(x₁),…,T_n(x₁),…,T₁(x_m),…,T_n(x_m)]表示对于X＝[x₁,…,x_m]^T∈R^m的切比雪夫多项式基函数，Ψ^*表示最优权重向量，满足

其中T_i(x_j),i＝1,…,n,j＝1,…,m表示切比雪夫多项式，n是切比雪夫多项式的阶次，Ω_Ψ和D_X表示一组紧凑集的适当界限Ψ和X；此外，是上限；

α₂涉及正切障碍函数项，很难直接得到α₂的分数阶导数，为了解决控制器中微分项的爆炸问题，引入跟踪微分器将虚拟控制的导数估计为

其中φ(t)是跟踪微分器的输入信号，R和r表示设计参数；

利用(30)和(32)，(29)重写为

其中|c_hc|的边界是

设计控制输入和更新律为

其中c₂＞0,m₂＞0,a₂＞0；

把(34)代入(33)，得到

上述的具有磁滞特性的分数阶静电驱动微机电系统控制方法，根据步骤a的数学模型，在控制器设计中采用正切障碍函数，正切障碍函数具有特点如下：

其中tan(·)表示正切函数，_yoc表示输出约束；

代入步骤a的数学模型中，得到：

其中是一个时变延迟项，a_γ＞0,C和α表示分数微积分领域中Caputo定义和分数阶值。

上述的具有磁滞特性的分数阶静电驱动微机电系统控制方法，分数导数中f(t)的Caputo定义表示为

其中表示gamma函数，n和f⁽ⁿ⁾(t)表示整数和f(t)的n阶导数；

定理1:对于连续函数f₁*(t)和利用莱布尼兹分数阶微分规则推导出下列等式

其中

进一步推导

其中

如果函数被定义为

即可被称为Mittag-Leffler函数，其中σ表示一组复数，和δ是正常数；

对(11)进行拉普拉斯变换，得到

对于和下面的方程推导出来

当|σ|→∞,σ₁≤|arg(σ)|≤π；

和如果满足，则存在以下不等式

其中σ₂≤|arg(σ)|≤π,和B,|σ|≥0。

上述的具有磁滞特性的分数阶静电驱动微机电系统控制方法，分数阶扩展状态观测器设计为

其中b_i,i＝1-3表示观测器参数；

观测值与实际值间的观测误差满足以下不等式

其中是x_i的估计值；

假设1:有一个未知的正函数q_2j满足

其中两个坐标变换选取为

其中x_d表示参考信号，α₂是虚拟控制，是s₂(t)的估计值并且|x_d|≤d_γ；

假设2:当1≤i≤2,时变时滞项τ₂(t)满足下列不等式

其中和表示已知常数。

有益效果：本发明的静电驱动微机电系统，在考虑输入磁滞特性的情况下，建立分数阶静电驱动微机电系统的数学模型，然后在考虑不可测量变量、时变时滞项、不确定性、输出约束等，在backstepping框架下结合切比雪夫神经网络、跟踪微分器和扩展状态观测器等，通过Lyapunov-Krasovskii函数得到控制器的算法。与现有技术相比，本发明具有如下优点：

1.在backstepping的框架内提出了一种融合扩展状态观测器、切比雪夫神经网络、正切障碍函数和跟踪微分器的自适应稳定控制方案，加快了控制算法求解速度，提高闭环非线性系统的瞬态和稳态等性能。

2.在自适应稳定控制方案中扩展状态观测器放宽了对物理传感器的限制，无需获取速度传感器的信号，具有单权重的切比雪夫神经网络减少了计算工作量，简化了控制器设计，同时相比RBF神经网络取消了对基函数的中心和宽度的要求，降低了控制器设计对系统精确模型的过度依赖。

3.跟踪微分器提高了传统一阶低通滤波器的精度，克服了虚拟控制持续微分导致微分项的爆炸问题。正切障碍李雅普诺夫函数保证输出约束条件不被违反，同时通过Lyapunov-Krasovskii函数构建补偿系统状态中的时变时延。

附图说明

图1是本发明的控制原理示意图；

图2是静电驱动微机电系统的示意图；

图3是v(t)＝k_hcsin2.3t的输入磁滞特性图；

图4是不同V_AC下的混沌吸引子运动轨迹图；

图5是最大Lyapunov指数；

图6是分数阶静电驱动微机电系统的分岔图；

图7是不同交流电压下的跟踪性能；

图8是观测器x₁和间的观测性能；

图9是不同参数γ值的跟踪误差；

图10是本发明方案和神经网络动态面控制(NDSC)方案的跟踪误差比较结果；

图11是本发明方案和神经网络动态面控制(NDSC)方案的控制输入比较结果。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明作进一步的说明，但并不作为对本发明限制的依据。

实施例一种具有磁滞特性的分数阶静电驱动微机电系统控制方法，包括下述步骤：

a、在分数阶静电驱动微机电系统控制输入端增加具有磁滞特性的控制输入，建立分数阶静电驱动微机电系统的数学模型：

其中

m_e,w和F_ex分别表示谐振器的有效质量、阻尼系数和驱动力，k₁和k₃表示线性和立方机械刚度，C₀表示平行板执行器的电容，V_AC表示交流电压，V_DC表示偏置电压，ω表示交流电压的频率，ω₀表示固有频率，u表示具有磁滞特性的控制输入，x₁和x₂分别表示梁位移和速度，C和α表示分数微积分领域中Caputo定义和分数阶值；

输入磁滞特性表示为：

其中u₀＝u₀(v₀)，v表示迟滞的输入信号，ρ_hc,c_hc和B_hc为常数，并且c_hc＞B_hc；

b、构建自适应稳定控制器；考虑不可测量变量、时变时滞项、不确定性和输出约束，在backstepping框架下结合切比雪夫神经网络、跟踪微分器和扩展状态观测器，通过Lyapunov-Krasovskii函数得到控制器的算法步骤为，

步骤1:定义约束ζ₁＝a_γ-d_γ,存在关系式|s₁(t)|＜ζ₁，其中ζ₁表示正定常数,s₁(t)表示误差，a_γ＞0，选择第一个Lyapunov-Krasovskii函数

在分数微积分领域中，对V₁微分可得：

其中

虚拟控制被选择为

其中c₁＞0；

将(22)代入(21)将得到

步骤2:引入变量

其中表示η₂的估计值；

考虑第二个Lyapunov-Krasovskii函数

其中κ和γ₂表示常数；

对V₂分数阶微分导出

其中

调用假设2得到

存在

借助(19)、(27)和(28)，(26)可进一步推导

f₂(·)属于高度复杂的项，系统参数易受到温度、干扰和重构滤波器的影响，运用切比雪夫神经网络估计不确定非线性项f_cn(X)

f_cn(X)＝Ψ^*Tξ(X)+ε, (30)

其中ε表示神经网络近似误差，ξ(X)＝[1,T₁(x₁),…,T_n(x₁),…,T₁(x_m),…,T_n(x_m)]表示对于X＝[x₁,…,x_m]^T∈R^m的切比雪夫多项式基函数，Ψ^*表示最优权重向量，满足

其中T_i(x_j),i＝1,…,n,j＝1,…,m表示切比雪夫多项式，n是切比雪夫多项式的阶次，Ω_Ψ和D_X表示一组紧凑集的适当界限Ψ和X；此外，是上限；

α₂涉及正切障碍函数项，很难直接得到α₂的分数阶导数，为了解决控制器中微分项的爆炸问题，引入跟踪微分器将虚拟控制的导数估计为

其中φ(t)是跟踪微分器的输入信号，R和r表示设计参数；

利用(30)和(32)，(29)重写为

其中|c_hc|的边界是

设计控制输入和更新律为

其中c₂＞0,m₂＞0,a₂＞0；

把(34)代入(33)，得到

根据步骤a的数学模型，在控制器设计中采用正切障碍函数，正切障碍函数具有特点如下：

其中tan(·)表示正切函数，y_oc表示输出约束；

代入步骤a的数学模型中，得到：

其中是一个时变延迟项，a_γ＞0,C和α表示分数微积分领域中Caputo定义和分数阶值。

分数导数中f(t)的Caputo定义表示为

其中表示gamma函数，n和f⁽ⁿ⁾(t)表示整数和f(t)的n阶导数；

定理1:对于连续函数f₁ ^*(t)和利用莱布尼兹分数阶微分规则推导出下列等式

其中

进一步推导

其中

如果函数被定义为

即可被称为Mittag-Leffler函数，其中σ表示一组复数，和δ是正常数；

对(11)进行拉普拉斯变换，得到

对于和下面的方程推导出来

当|σ|→∞,σ₁≤|arg(σ)|≤π；

和如果满足，则存在以下不等式

其中σ₂≤|arg(σ)|≤π,和B,|σ|≥0。

分数阶扩展状态观测器设计为

其中b_i,i＝1-3表示观测器参数；

观测值与实际值间的观测误差满足以下不等式

其中是xi的估计值；

假设1:有一个未知的正函数q_2j满足

其中两个坐标变换选取为

其中x_d表示参考信号，α₂是虚拟控制，是s₂(t)的估计值并且|x_d|≤d_γ；

假设2:当1≤i≤2,时变时滞项满足下列不等式

其中和表示已知常数。

以下是本发明控制方法的详细推导说明：

图1为本发明的控制原理图，图2为静电驱动微机电系统的示意图，其中采用具有单自由度的静电驱动微机电系统。静电驱动微机电系统由直流电(DC)、交流电(AC)、超静态梁谐振器和集成运算放大器组成。上电极通过振幅为V_AC、频率为ω的交流电压产生静电驱动。谐振器电极位于平行间隙为d的上下电极间，在直流电压V_DC处偏置，以获得谐振器运动产生的电容电流。底部电极获得包括运动电流和寄生电流在内的电容电流的读数。建立如下所示的具有阻尼和三次机械非线性的机械谐振器动力学系统方程：

其中m_e,w和F_ex分别表示谐振器的有效质量、阻尼系数和驱动力，和分别表示x与梁位移相关的速度和加速度，k₁和k₃表示线性和立方机械刚度。

扩展驱动力F_ex((1)的右侧)的表达式，得出

其中C₀表示平行板执行器的电容，V_AC表示交流电压，V_DC表示偏置电压，ω表示交流电压的频率。

双固支梁的基本共振频率明显高于单固支梁。交流电压使系统具有驱动力。在直流电压下，发生静电激发。通过一系列变换，得出静电驱动微机电系统的数学模型为

其中

ω₀表示固有频率，u表示具有磁滞特性的控制输入。

磁滞特性成为影响静电驱动微机电系统性能和精度的主要因素之一。在控制设计中忽略这一特性，可能导致不准确的结果，或进一步导致不可逆转的瘫痪。因此，有必要考虑这一特性。输入磁滞特性表示为

其中v表示迟滞的输入信号，ρ_hc,c_hc和B_hc都是常数，并且c_hc＞B_hc。

得到一个显式解

其中u₀＝u₀(v₀)。

定理1:c_hc的符号直接决定磁滞特性的方向，c_hc决定磁滞特性的振幅。相应的图形结果如图3所示。

物理约束对静电驱动微机电系统在环境条件下会产生一定的负面影响。忽略输出约束，可能会发生安全和危险方面的不利结果。鉴于此，在控制器设计中采用了正切障碍函数。正切障碍函数具有特点

其中tan(·)表示正切函数，y_oc表示输出约束。

考虑到电介质的分数阶行为、系统的时变延迟和动力学特性，将(5)和(6)代入(3)得到

其中是一个时变延迟项，a_γ＞0,C和α表示分数微积分领域中Caputo定义和分数阶值的符号。

2.2混沌运动分析

为了揭示其机理，降低控制器设计的难度，分析分数阶静电驱动微机电系统的复杂动力学行为。图4显示了不同V_AC下的混沌吸引子。图4(a)结果表明，当V_AC＝0.007时，系统会发生瞬态混沌行为和规则运动。图4(b)结果表明，增加V_AC到0.045，吸引子从左向右移动，发生较长的瞬态运动。图3的最后一幅图显示了同宿轨道的出现，相关振荡的振幅大于图3(a)-(b).

图5中绘制的最大Lyapunov指数为正值。很明显，分数阶静电驱动微机电系统的状态被称为“混沌振荡”。图6为分数阶静电驱动微机电系统在参数值范围内的分岔图。在开始时，系统运动是周期性的，并产生一个平衡点。当A增加到0.022，系统出现混沌振荡，并失稳。在第三阶段，系统运动跳出混沌状态，进入稳定状态。当A等于0.092，系统运动变为倍周期分岔，系统运动几乎立刻就陷入了混沌振荡。当A达到0.143，分岔发生了。在没有有效措施的情况下，混沌振荡会导致静电驱动微机电系统的性能恶化。

2.3数学基础

定义1：分数导数中f(t)的Caputo定义表示为

其中表示gamma函数，n和f⁽ⁿ⁾(t)表示整数和f(t)的n阶导数。

定理1:对于连续函数f₁ ^*(t)和利用莱布尼兹分数阶微分规则推导出下列等式

其中

进一步推导

其中

如果函数被定义为

那它就被称为Mittag-Leffler函数，其中σ表示一组复数，和δ是正常数。

对(11)进行拉普拉斯变换，得到

对于和下面的方程推导出来

当|σ|→∞,σ₁≤|arg(σ)|≤π.

和如果满足，则存在以下不等式

其中σ₂≤|arg(σ)|≤π,和B,|σ|≥0.

自适应稳定控制器的设计

3.1观测器设计

为了获得不可测量变量的信息，将分数阶扩展状态观测器设计为

其中b_i,i＝1-3表示观测器参数。

观测值与实际值间的观测误差满足以下不等式

其中是x_i的估计值。

假设1:有一个未知的正函数q_2j满足

其中两个坐标变换选取为

其中x_d表示参考信号，α₂是虚拟控制，是s₂(t)的估计值并且|x_d|≤d_γ。

假设2:当1≤i≤2,时变时滞项满足下列不等式

其中和表示已知常数。

3.2控制器设计

步骤1:定义约束ζ₁＝a_γ-d_γ,存在关系式|s₁(t)|＜ζ₁，其中ζ₁表示正定常数。选择第一个Lyapunov-Krasovskii函数

在分数微积分领域中，对V₁微分可得：

其中

虚拟控制被选择为

其中c₁＞0.

将(22)代入(21)将得到

步骤2:引入变量

其中表示η₂的估计值。

考虑第二个Lyapunov-Krasovskii函数

其中κ和γ₂表示常数。

对V₂分数阶微分导出

其中

调用假设2得到

存在

借助(19)、(27)和(28)，(26)可进一步推导

注意f₂(·)属于高度复杂的项。系统参数易受到温度、干扰和重构滤波器的影响。因此，很难实现精确建模和精确测量。同时，分数阶静电驱动微机电系统的混沌振荡对参数扰动非常敏感。此外，具有磁滞特性的控制输入含有复杂的非线性项，这使得传统的控制方法难以完成控制器的设计。

众所周知，切比雪夫神经网络可以以任何小的误差逼近非线性连续函数的能力。为解决上述问题，运用切比雪夫神经网络估计不确定非线性项f_cn(X)

f_cn(X)＝Ψ^*Tξ(X)+ε, (30)

其中ε表示神经网络近似误差，ξ(X)＝[1,T₁(x₁),…,T_n(x₁),…,T₁(x_m),…,T_n(x_m)]表示对于X＝[x₁,…,x_m]^T∈R^m的切比雪夫多项式基函数，Ψ^*表示最优权重向量，满足

其中T_i(x_j),i＝1,…,n,j＝1,…,m表示切比雪夫多项式，n是切比雪夫多项式的阶次，Ω_Ψ和D_X表示一组紧凑集的适当界限Ψ和X。此外，是上限。

α₂涉及正切障碍函数项，很难直接得到α₂的分数阶导数。为了解决控制器中微分项的爆炸问题，引入跟踪微分器将虚拟控制的导数估计为

其中φ(t)是跟踪微分器的输入信号，R和_r表示设计参数。

利用(30)和(32)，(29)重写为

其中c_hc|的边界是

设计控制输入和更新律为

其中c₂＞0,m₂＞0,a₂＞0.

把(34)代入(33)，得到

3.3稳定性分析

定理1：对于具有输入磁滞、时滞、建模不确定性、输出约束和混沌振荡的静电驱动微机电系统(7)，自适应稳定控制方案(34)可以保证闭环系统的所有信号一致最终有界，同时通过选择参数，误差收敛到零附近的一个紧集，并且完全抑制不利影响。

证明：定义整个Lyapunov-Krasovskii函数

可以进一步转换为然后在分数微积分中微分V，得到

其中

(37)的拉普拉斯变换表示为

其中V(s)表示V(t)的拉普拉斯变换.

基于(12)和(38)，得到

|V(t)|≤|V(0)|E_α,1(-κ_βt^α)+υ_βt^αE_α,1+α(-κ_βtα). (39)

对于(14)，有一个正常数B_β满足

那么下列等式成立

对于任意Λ＞0，不等式可以推导出来

在(39)和(13)的帮助下，有

对于t₂＞t，它有

调整后的参数满足后，由(39)、(42)和(44)得出：

|V(t)|≤Λ.(45)

此外，成立。s₁(0)∈(-ζ₁,ζ₁)等于y_oc(0)∈(-ζ₁+x_d(0),ζ₁+x_d(0))。基于d_γ+x_d≥0和-d_γ+x_d≤0这一事实，它很容易得到|y_oc|＜a_γ。最终得出，输出约束没有被违反。实验结果分析

迟滞特性的参数选择为α_hc＝1,c_hc＝3，和B_hc＝0.345。参考信号采用x_d＝0.11sin(2.3t)。时间延迟项为0.2+0.1sin(t)。自适应稳定控制器的参数选择为：c₁＝9，c₂＝9，γ₂＝1,m₂＝10，和a₂＝5。扩展状态观测器的参数选择为b₀＝b₁＝9和b₂＝7。跟踪微分器参数设置为R＝4和r＝3。另外，等于0.01。

图7(a)-(c)表明，在不同交流电压下，蓝色实线(代表参考信号)与红色虚线(代表实际信号)重合。图7(d)-(f)结果表明，参考信号与实际信号间的误差小于0.001。很明显，x₁在磁滞特性和时间延迟的情况下能精确跟踪时变信号x_d，同时系统的混沌运动得到了抑制。

图8揭示了分数阶扩展状态观测器的性能。扩展状态观测器能实现对输出信号精确估计。图9证明了在不同情况下，当γ发生变化时，静电驱动微机电系统具有稳定的跟踪性能。很明显，分数阶静电驱动微机电系统的五条跟踪误差曲线保持相当一致。这表示所提出的方法对于解决参数变化而导致系统性能稳定问题具有很大的作用。

为了显示所提方案的优越性，对静电驱动微机电系统执行了一个比较任务，忽略了输入磁滞、时间延迟和输出约束。基于神经网络动态面控制(NDSC)方案，给出其相应的具有自适应律的控制器

通过一阶滤波器，得到α₂

其中

系统参数与前面描述的保持一致。控制器参数设置为k_a1＝k_a2＝6，γ_a2＝10，m_a2＝1.6，然后，给出了跟踪误差和控制输入的比较结果在图10-11。通过曲线相比，所提方案具有较高的跟踪精度和较小的控制输入。因此，应用所提方案，分数阶静电驱动微机电系统具有更好的性能。

Claims (4)

1.一种具有磁滞特性的分数阶静电驱动微机电系统控制方法，其特征在于：包括下述步骤：

a、在分数阶静电驱动微机电系统控制输入端增加具有磁滞特性的控制输入，建立分数阶静电驱动微机电系统的数学模型：

其中

m_e,w和F_ex分别表示谐振器的有效质量、阻尼系数和驱动力，k₁和k₃表示线性和立方机械刚度，C₀表示平行板执行器的电容，V_AC表示交流电压，V_DC表示偏置电压，ω表示交流电压的频率，ω₀表示固有频率，u表示具有磁滞特性的控制输入，x₁和x₂分别表示梁位移和速度，C和α表示分数微积分领域中Caputo定义和分数阶值；

输入磁滞特性表示为：

其中u₀＝u₀(v₀)，v表示迟滞的输入信号，ρ_hc,c_hc和B_hc为常数，并且c_hc＞B_hc；

b、构建自适应稳定控制器；考虑不可测量变量、时变时滞项、不确定性和输出约束，在backstepping框架下结合切比雪夫神经网络、跟踪微分器和扩展状态观测器，通过Lyapunov-Krasovskii函数得到控制器的算法步骤为，

步骤1:定义约束ζ₁＝a_γ-d_γ,存在关系式|s₁(t)|＜ζ₁，其中ζ₁表示正定常数,s₁(t)表示误差，a_γ＞0，选择第一个Lyapunov-Krasovskii函数

在分数微积分领域中，对V₁微分可得：

其中

虚拟控制被选择为

其中c₁＞0；

将(22)代入(21)将得到

步骤2:引入变量

其中表示η₂的估计值；

考虑第二个Lyapunov-Krasovskii函数

其中κ和γ₂表示常数；

对V₂分数阶微分导出

其中

调用假设2得到

存在

借助(19)、(27)和(28)，(26)可进一步推导

f₂(·)属于高度复杂的项，系统参数γ,ρ,β,μ易受到温度、干扰和重构滤波器的影响，运用切比雪夫神经网络估计不确定非线性项f_cn(X)

f_cn(X)＝Ψ^*Tξ(X)+ε, (30)

其中ε表示神经网络近似误差，ξ(X)＝[1,T₁(x₁),…,T_n(x₁),…,T₁(x_m),…,T_n(x_m)]表示对于X＝[x₁,…,x_m]^T∈R^m的切比雪夫多项式基函数，Ψ^*表示最优权重向量，满足

其中T_i(x_j),i＝1,…,n,j＝1,…,m表示切比雪夫多项式，n是切比雪夫多项式的阶次，Ω_Ψ和D_X表示一组紧凑集的适当界限Ψ和X；此外，是上限；

α₂涉及正切障碍函数项，很难直接得到α₂的分数阶导数，为了解决控制器中微分项的爆炸问题，引入跟踪微分器将虚拟控制的导数估计为

其中φ(t)是跟踪微分器的输入信号，R和r表示设计参数；

利用(30)和(32)，(29)重写为

其中|c_hc|的边界是

设计控制输入和更新律为

其中c₂＞0,m₂＞0,a₂＞0；

把(34)代入(33)，得到

。

2.根据权利要求1所述的具有磁滞特性的分数阶静电驱动微机电系统控制方法，其特征在于：根据步骤a的数学模型，在控制器设计中采用正切障碍函数，正切障碍函数具有特点如下：

其中tan(·)表示正切函数，y_oc表示输出约束；

代入步骤a的数学模型中，得到：

其中是一个时变延迟项，a_γ＞0,C和α表示分数微积分领域中Caputo定义和分数阶值。

3.根据权利要求2所述的具有磁滞特性的分数阶静电驱动微机电系统控制方法，其特征在于：分数导数中f(t)的Caputo定义表示为

其中表示gamma函数，n和f⁽ⁿ⁾(t)表示整数和f(t)的n阶导数；

定理1:对于连续函数f₁ ^*(t)和利用莱布尼兹分数阶微分规则推导出下列等式

其中

进一步推导

其中

如果函数被定义为

即可被称为Mittag-Leffler函数，其中σ表示一组复数，和δ是正常数；

对(11)进行拉普拉斯变换，得到

对于和下面的方程推导出来

当|σ|→∞,σ₁≤|arg(σ)|≤π；

和如果满足，则存在以下不等式

其中σ₂≤|arg(σ)|≤π,和B,|σ|≥0。

4.根据权利要求1所述的具有磁滞特性的分数阶静电驱动微机电系统控制方法，其特征在于：分数阶扩展状态观测器设计为

其中b_i,i＝1-3表示观测器参数；

观测值与实际值间的观测误差满足以下不等式

其中是x_i的估计值；

假设1:有一个未知的正函数q_2j满足

其中两个坐标变换选取为

其中x_d表示参考信号，α₂是虚拟控制，是s₂(t)的估计值并且|x_d|≤d_γ；

假设2:当1≤i≤2,时变时滞项τ₂(t)满足下列不等式

0≤τ₂(t)≤τ_u,

其中τ_u和表示已知常数。