[go: up one dir, main page]
More Web Proxy on the site http://driver.im/

CN109613826B - 一种分数阶拱形mems谐振器的反振荡自适应控制方法 - Google Patents

一种分数阶拱形mems谐振器的反振荡自适应控制方法 Download PDF

Info

Publication number
CN109613826B
CN109613826B CN201811543428.5A CN201811543428A CN109613826B CN 109613826 B CN109613826 B CN 109613826B CN 201811543428 A CN201811543428 A CN 201811543428A CN 109613826 B CN109613826 B CN 109613826B
Authority
CN
China
Prior art keywords
function
fractional
representing
order
control
Prior art date
Legal status (The legal status is an assumption and is not a legal conclusion. Google has not performed a legal analysis and makes no representation as to the accuracy of the status listed.)
Expired - Fee Related
Application number
CN201811543428.5A
Other languages
English (en)
Other versions
CN109613826A (zh
Inventor
罗绍华
刘昭琴
屈涌杰
葛志宏
Current Assignee (The listed assignees may be inaccurate. Google has not performed a legal analysis and makes no representation or warranty as to the accuracy of the list.)
Chongqing Aerospace Polytechnic College
Original Assignee
Chongqing Aerospace Polytechnic College
Priority date (The priority date is an assumption and is not a legal conclusion. Google has not performed a legal analysis and makes no representation as to the accuracy of the date listed.)
Filing date
Publication date
Application filed by Chongqing Aerospace Polytechnic College filed Critical Chongqing Aerospace Polytechnic College
Priority to CN201811543428.5A priority Critical patent/CN109613826B/zh
Publication of CN109613826A publication Critical patent/CN109613826A/zh
Priority to NL2024372A priority patent/NL2024372B1/en
Application granted granted Critical
Publication of CN109613826B publication Critical patent/CN109613826B/zh
Expired - Fee Related legal-status Critical Current
Anticipated expiration legal-status Critical

Links

Images

Classifications

    • G—PHYSICS
    • G05—CONTROLLING; REGULATING
    • G05B—CONTROL OR REGULATING SYSTEMS IN GENERAL; FUNCTIONAL ELEMENTS OF SUCH SYSTEMS; MONITORING OR TESTING ARRANGEMENTS FOR SUCH SYSTEMS OR ELEMENTS
    • G05B13/00—Adaptive control systems, i.e. systems automatically adjusting themselves to have a performance which is optimum according to some preassigned criterion
    • G05B13/02—Adaptive control systems, i.e. systems automatically adjusting themselves to have a performance which is optimum according to some preassigned criterion electric
    • G05B13/04—Adaptive control systems, i.e. systems automatically adjusting themselves to have a performance which is optimum according to some preassigned criterion electric involving the use of models or simulators
    • G—PHYSICS
    • G05—CONTROLLING; REGULATING
    • G05B—CONTROL OR REGULATING SYSTEMS IN GENERAL; FUNCTIONAL ELEMENTS OF SUCH SYSTEMS; MONITORING OR TESTING ARRANGEMENTS FOR SUCH SYSTEMS OR ELEMENTS
    • G05B13/00—Adaptive control systems, i.e. systems automatically adjusting themselves to have a performance which is optimum according to some preassigned criterion
    • G05B13/02—Adaptive control systems, i.e. systems automatically adjusting themselves to have a performance which is optimum according to some preassigned criterion electric
    • G05B13/04—Adaptive control systems, i.e. systems automatically adjusting themselves to have a performance which is optimum according to some preassigned criterion electric involving the use of models or simulators
    • G05B13/042—Adaptive control systems, i.e. systems automatically adjusting themselves to have a performance which is optimum according to some preassigned criterion electric involving the use of models or simulators in which a parameter or coefficient is automatically adjusted to optimise the performance

Landscapes

  • Engineering & Computer Science (AREA)
  • Software Systems (AREA)
  • Artificial Intelligence (AREA)
  • Computer Vision & Pattern Recognition (AREA)
  • Evolutionary Computation (AREA)
  • Medical Informatics (AREA)
  • Health & Medical Sciences (AREA)
  • Physics & Mathematics (AREA)
  • General Physics & Mathematics (AREA)
  • Automation & Control Theory (AREA)
  • Feedback Control In General (AREA)
  • Coloring Foods And Improving Nutritive Qualities (AREA)
  • Micromachines (AREA)

Abstract

本发明涉及一种分数阶拱形MEMS谐振器的反振荡自适应控制方法，属于反振荡控制领域。在设计过程中，采用单权值更新的Chebyshev神经网络对不确定项进行补偿，并利用Nussbaum函数解决Caputo分数阶微积分中由激励特性引起的控制方向未知的问题。同时设计了基于双曲正弦函数的跟踪微分器，解决了虚拟控制中分数阶计算复杂的重复微分问题。然后，在自适应反步控制框架下，利用连续频率分布模型，发明了一种与Nussbaum函数、神经网络和跟踪微分器融合的反振荡自适应控制方案。基于分数阶李雅普诺夫稳定性判据，证明闭环系统的渐近稳定性。最后，数值模拟验证了所提出方案的有效性。

Description

一种分数阶拱形MEMS谐振器的反振荡自适应控制方法
技术领域
本发明属于反振荡控制领域，涉及一种分数阶拱形MEMS谐振器的反振荡自适应控制方法。
背景技术
近年来，分数阶微积分作为整数阶微积分的延伸，在电子工程、机器人学、生物工程、信号处理等领域引起了学术界的广泛关注。它具有鲁棒能力、设计自由度和瞬态性能等潜在的优越性，能够准确描述实际工程对象和工艺过程，被广泛应用于控制系统。微机电系统(MEMS)谐振器由于具有传感器、微阀、开关和滤波器等广泛的应用而受到广泛关注。MEMS谐振器具有平行板强迫、中平面和挤压膜阻尼等高的非线性特性。这些特性可能导致混沌振荡，这是不受欢迎的，并可能导致不良反应。同时，由于外部环境的变化和制造缺陷的存在，需要面临诸如特征参数的波动、机械耦合和危险噪声等新的挑战。随着分数阶微积分在工程中的普及和系统性能的高质量要求，分数阶拱型MEMS谐振器的反振荡自适应控制等开放性问题亟待解决。
为了稳定混沌系统的不稳定周期轨道，Ott、Grebogi和Yorke等首先提出了OGY方法。之后，针对整数阶系统的同步和混沌控制问题，研究学者提出了自适应控制、反步控制、滑模控制、H∞控制和收缩理论等许多实现系统稳定的有效方法。不足的是，这些方法仅限于没有驱动特性的整数阶系统，能否直接应用于拱形MEMS谐振器还有待进一步研究。利用分数阶微积分理论对混沌系统进行了更精确的建模。长期以来，分数阶混沌系统如蔡氏电路、Rssler 系统、Lü系统和范德波尔杜芬系统在分数阶微积分领域都有报道，但没有涉及激励约束。在实际工程中，包括输入死区和饱和在内的激励特性是不可避免的。忽略此特性会导致系统不稳定或性能恶化。
一些研究人员讨论了具有侧壁电极的2D扭转MEMS微镜二阶滑模控制方案，该控制器由等效控制和开关控制组成，以解决模型的不确定性和外部干扰。萨拉夫等将带通SMC技术应用于MEMS谐振器和谐振频率传感器的驱动模式。但与SMC相关的固有抖动不能完全被抑制。同时，这些研究者并没有致力于MEMS系统中的分数阶微积分和驱动特性问题。反步控制是分数阶非线性系统控制器设计的有效工具之一。丁等在分阶反演框架下解决了参数未知、具有附加扰动的相称分数阶非线性系统的伪状态镇定问题。Das和Yadav通过反步法研究了分数阶T系统和Lorenz混沌系统的混沌控制和函数投影同步问题。魏等针对非线性分数阶系统，提出了一种基于自适应反步的输出反馈控制方法。这些方法严重依赖于精确的系统建模，不能处理动态模型中未知的非线性函数。随着系统除数的增加，与反步相关的“系统爆炸”现象将会发生。
发明内容
有鉴于此，本发明的目的在于提供一种分数阶拱形MEMS谐振器的反振荡自适应控制方法。
为达到上述目的，本发明提供如下技术方案：
一种分数阶拱形MEMS谐振器的反振荡自适应控制方法，该方法包括以下步骤：
S1：利用Galerkin分解方法，建立具有未知激励特性的分数阶拱型MEMS谐振器的动力学模型；
S2：设计自适应控制器。
进一步，所述步骤S1具体为：
利用Galerkin分解方法，将具有未知激励特性的分数阶拱型MEMS谐振器的动力学模型写成
Figure RE-GDA0001985747240000021
其中变量定义为：
Figure RE-GDA0001985747240000022
表示比率，
Figure RE-GDA0001985747240000023
是无量纲的时间变量，
Figure RE-GDA0001985747240000024
表示阻尼系数，
Figure RE-GDA0001985747240000025
表示拉伸参数，
Figure RE-GDA0001985747240000026
是电压参数，
Figure RE-GDA0001985747240000027
表示频率，h＝h0/g0表示初始上升值，
Figure RE-GDA0001985747240000028
是常数，x1＝q(t)表示位移，
Figure RE-GDA0001985747240000029
表示速度，α表示分数阶，C表示分数微积分领域中Caputo定义的符号，M(u)表示未知激励特性，
Figure RE-GDA00019857472400000210
表示长度坐标，
Figure RE-GDA00019857472400000211
表示第一个归一化模态，
Figure RE-GDA00019857472400000212
表示挠度，
Figure RE-GDA00019857472400000213
表示无量纲量，
Figure RE-GDA00019857472400000214
表示时间，
Figure RE-GDA0001985747240000031
表示常数，u表示实际控制输入，
Figure RE-GDA0001985747240000032
kc1＞0；L为长度，A为横截面积；b为宽度，Cv为粘滞阻尼系数，d为厚度，
Figure RE-GDA0001985747240000033
为杨氏模量，Iy为转动惯量，ρ为质量密度，Ω0为谐波负载频率，εa0为真空介电常数，VDC为直流电压，VAC为交流电压，w0为拱形位移，ω0为激励频率；
在输入中存在非对称非光滑饱和非线性激励特性M(u)，其表示为
Figure RE-GDA0001985747240000034
其中
Figure RE-GDA0001985747240000035
和η表示界限，a1(t)和a2(t)表示时变函数，l1和l2表示死区特征函数，
Figure RE-GDA0001985747240000036
和
Figure RE-GDA0001985747240000037
表示正的未知断点；
由于a1(t)和a2(t)是时变的，且非对称饱和非光滑的，引入光滑函数来逼近非对称非光滑饱和特征
M(u)＝S(u)+D(u) (3)
和
Figure RE-GDA0001985747240000038
其中w表示设计参数，D(u)表示逼近误差且有|D(u)|＝M(u)-S(u)≤Γ，Γ表示正定未知常数；
根据中值定理，对于光滑函数S(u)，有
Figure RE-GDA0001985747240000039
定义
Figure RE-GDA00019857472400000310
和得到S(0)＝0，则(3)被改写为 M(u)＝pu+D(u) (6)
a1(t)和a2(t)表示时变函数，能够反应非线性系统在受到内外部干扰时的实际情况；这种滑函数只需要激励特性的上下界；作为逼近系数w不同的值导致对M(u)的不同逼近结果；
系统参数选择为γ＝7.993，h＝0.3，μ＝0.1，α＝0.98，β＝119.9883和ω0＝0.4706；在变步长 START/TR BDF2求解器的帮助下，通过不同的分数阶和驱动振幅来揭示分数阶拱形MEMS 谐振器的混沌振荡；瞬态混沌出现在像α＝1.0和0.95这样的分数阶值处；然后拱形MEMS谐振器在α＝0.9和0.75处突然地切换到非混沌状态；
定义1：分数导数中f(t)的Caputo定义表达为
Figure RE-GDA0001985747240000041
其中
Figure RE-GDA0001985747240000042
表示伽玛函数，n和f(n)(t)表示整数和f(t)的n阶导数；
引理1：对于连续函数
Figure RE-GDA0001985747240000043
和
Figure RE-GDA0001985747240000044
下面的等式成立
Figure RE-GDA0001985747240000045
其中0＜α＜1；
利用引理1和关系式
Figure RE-GDA0001985747240000046
得到：
Figure RE-GDA0001985747240000047
其中
Figure RE-GDA0001985747240000048
引理2：分数阶系统
Figure RE-GDA0001985747240000049
且0＜α＜1，将
Figure RE-GDA00019857472400000410
变换为分数阶积分器的线性连续频率分布模型为
Figure RE-GDA00019857472400000411
其中
Figure RE-GDA00019857472400000412
表示加权函数，
Figure RE-GDA00019857472400000413
表示系统的真实状态；
定义2：如果函数N(η)满足以下属性
Figure RE-GDA00019857472400000414
Figure RE-GDA00019857472400000415
它被称为Nussbaum函数；
Nussbaum函数被认为是处理驱动特性未知符号问题的有效工具；引入以下与Nussbaum 函数相关的引理，以便于控制器设计和稳定性分析；
引理3：假设V(·)和η(·)是在[0 ∞)且有V(τ)≥0的光滑函数，N(·)是Nussbaum函数，下面的不等式成立
Figure RE-GDA0001985747240000051
其中C0＞0，g(t)是非零常数，
Figure RE-GDA0001985747240000052
表示合适的常数，则V(t)，η(t)和
Figure RE-GDA0001985747240000053
是有界的；
假设1：参考轨迹xd及其n阶导数是已知和有界的；同时，状态变量x1(t)和x2(t)可测量；
针对具有不确定性和时变驱动特性的分数阶拱型MEMS谐振器，提出一种自适应控制方案，使得输出y＝x1(t)微小误差地跟随参考轨迹xd，同时与混沌行为和非对称死区相关的振荡被完全抑制。
进一步，所述步骤S2具体为：
Chebyshev多项式是以两项递推公式的形式选择
Ti+1(X)＝2XTi(X)-Ti-1(X),T0(X)＝1 (14)
其中X∈R和T1(X)被定义为X，2X，2X-1或2X+1；
对于[x1,…,xm]T∈Rm，Chebyshev多项式的一种加强形式被构建为ξ(X)＝[1,T1(x1),…,Tn(x1),…,T1)xm),…,Tn)xm)] (15)
其中Ti)xj),i＝1,…,n,j＝1,…,m表示Chebyshev多项式，ξ(X)表示Chebyshev多项式的基函数向量，n表示阶数；
对于紧集上任意给定的未知连续函数f(X)，
Figure RE-GDA0001985747240000054
基于Chebyshev神经网络的通用逼近理论充分精确地逼近它，有
Figure RE-GDA0001985747240000055
其中φ(t)是光滑的权向量；
存在Chebyshev神经网络
Figure RE-GDA0001985747240000056
其中ε(X)＞0是逼近误差，Ωφ和DX分别表示φ(t)和X的适当边界紧集；设最优参数φ*等同于
Figure RE-GDA0001985747240000061
其中φ*称为人工量；当
Figure RE-GDA0001985747240000062
时有
Figure RE-GDA0001985747240000063
为促进快速在线计算，采取如下变换来减少Chebyshev神经网络权向量个数
Figure RE-GDA0001985747240000064
其中
Figure RE-GDA0001985747240000065
关系式
Figure RE-GDA0001985747240000066
存立，
Figure RE-GDA0001985747240000067
是λi(t)的估计值，bi是一个小的正常数；
借助杨氏不等式，导出Chebyshev神经网络的一个与权向量个数有关的数学变换；
步骤1：定义第一个中间变量
Figure RE-GDA0001985747240000068
其中跟踪误差e1(t)定义为e1(t)＝x1(t)-xd(t)，σ1表示正设计参数；如果Z1(t)→0，
Figure RE-GDA0001985747240000069
那么e1(t)→0和
Figure RE-GDA00019857472400000610
选择第二个具有跟踪误差
Figure RE-GDA00019857472400000611
的中间变量e2(t)＝x2(t)-α2(t)，其中σ2＞0是一个设计参数，α2(t)表示虚拟控制；在Caputo分数阶微积分的定义中推导出Z1(t)的导数
Figure RE-GDA00019857472400000612
虚拟控制选择为
Figure RE-GDA00019857472400000613
其中k1＞0代表控制增益；
基于引理1，得出下列连续频率分布模型：
Figure RE-GDA00019857472400000614
考虑李雅普诺夫稳定性准则
Figure RE-GDA00019857472400000615
其中
Figure RE-GDA00019857472400000616
对V1(t)求时间导数
Figure RE-GDA0001985747240000071
步骤2：选择分数阶李雅普诺夫稳定性准则
Figure RE-GDA0001985747240000072
其中h2＞0，
Figure RE-GDA0001985747240000073
对Z2(t)微分得到
Figure RE-GDA0001985747240000074
其中
Figure RE-GDA0001985747240000075
f2(·)是一个高阶非线性函数，其中诸如h、β、γ和b11等系统参数不能精准测量，并且受到内外部因素的影响建立精确的系统模型非常困难；不同的外部激励对拱形MEMS谐振器会产生有害的振荡，这种振荡在一定程度上会降低系统的性能；为解决这些问题，使用Chebyshev 神经网络
Figure RE-GDA0001985747240000076
实际上，由于计算复杂不能直接求出
Figure RE-GDA0001985747240000077
为解决这个问题，设计基于双曲正弦函数的分数阶跟踪微分器来估计虚拟控制α2(t)的分数阶导数
Figure RE-GDA0001985747240000078
其中基于双曲正弦函数的跟踪微分器状态z2,2与
Figure RE-GDA0001985747240000079
相等，r2＞0，ci＞0,i＝1,2和 di＞0,i＝1,2为设计常数，存在具有T是正数的关系式
Figure RE-GDA00019857472400000710
把(27)和(28)代入(26)，得到
Figure RE-GDA00019857472400000711
容易导出
Figure RE-GDA00019857472400000712
利用引理1，进一步推导出连续频率分布模型
Figure RE-GDA0001985747240000081
取(25)的时间导数
Figure RE-GDA0001985747240000082
其中
Figure RE-GDA0001985747240000083
利用Nussbaum函数构造以下控制输入
Figure RE-GDA0001985747240000084
其中k21＞0和k22＞0是控制增益，具有更新律
Figure RE-GDA0001985747240000085
Figure RE-GDA0001985747240000086
其中g2是正数；
更新律和控制律代入(31)，求得
Figure RE-GDA0001985747240000087
Figure RE-GDA0001985747240000088
定理1：在假设1存立的条件下，考虑具有未知驱动特性的分阶拱形MEMS谐振器，如果所提由自适应率(33)和(34)构成的反振荡自适应控制方法(32)介入，那么所有内部信号保持有界，同时完全消除包含混沌行为和非对称死区在内的振荡；
证明：定义整个李亚普诺夫候选函数
Figure RE-GDA0001985747240000089
由
Figure RE-GDA0001985747240000091
得
Figure RE-GDA0001985747240000092
其中
Figure RE-GDA0001985747240000093
定义
Figure RE-GDA0001985747240000094
上式简化为
Figure RE-GDA0001985747240000095
对上式两边同时乘
Figure RE-GDA0001985747240000096
得到
Figure RE-GDA0001985747240000097
定义
Figure RE-GDA0001985747240000098
对上式进行积分
Figure RE-GDA0001985747240000099
Z1(t)，Z2(t)和
Figure RE-GDA00019857472400000910
属于紧集
Figure RE-GDA00019857472400000911
因此，闭环系统中的所有信号都是有界的；进一步证明
Figure RE-GDA00019857472400000912
至此，完成定理1的证明。
本发明的有益效果在于：
1)针对Caputo分数阶微积分领域中的不确定动力学和扰动问题，提出了一种更新的单权值Chebyshev神经网络。它能够促进快速在线计算，降低对动力学控制方程的要求。利用 Nussbaum函数解决由驱动特性引起的控制方向不确定问题，较好地避免了控制输入在非对称死区阈值内的振动。
2)设计了一种基于双曲正弦函数的跟踪微分器，克服了传统反步技术中的“项爆炸”问题。与一阶滤波器和一般跟踪微分器相比，虚拟控制微分项的估计精度更高。
3)利用基于连续频率分布模型的自适应反步法的原理，提出结合跟踪微分器、神经网络和Nussbaum函数的反振荡自适应控制方案迫使系统状态以极小的误差逼近参考信号。同时，对于分数阶拱型MEMS谐振器，在非对称死区阈值以内的实际控制中实现了谐振频率附近的防振目的，降低了控制器振动。
附图说明
为了使本发明的目的、技术方案和有益效果更加清楚，本发明提供如下附图进行说明：
图1为拱形MEMS谐振器的原理图；
图2为受非对称非光滑饱和非线性影响的驱动特性；
图3为不同分数阶下的相图；(a)为1.0；(b)为0.95；(c)为0.9；(d)为0.75；
图4为不同激励振幅下的相图；(a)为0.01；(b)为0.02；(c)为0.1；(d)为0.21；
图5为位置跟踪；
图6为速度跟踪；
图7为驱动特性前后的控制输入；
图8为在不同的激励幅值下的Nussbaum函数；
图9为不同激励振幅下的中间变量；(a)为不同激励振幅下的中间变量Zi(t),i＝1；(b) 为不同激励振幅下的中间变量Zi(t),i＝2；
图10为在不同激励振幅和分数阶下的控制输入；(a)为在不同激励振幅下的控制输入； (b)为在不同分数阶下的控制输入；
图11为在不同的激励幅值和分数阶下更新单权值；(a)为在不同的激励幅值下更新单权值；(b)为在不同的分数阶下更新单权值；
图12为在不同激励幅值和分数阶下的相图；(a)为在不同激励幅值下的相图；(b)为在不同分数阶下的相图；
图13为不同的分数阶值下的中间变量；
图14为在不同的激励幅值和分数阶下的跟踪状态z2,2；(a)为对不同激励幅值的反振荡性能；(b)为对不同分数阶的反振荡性能；
图15为不同方案下的控制输入；
图16为跟踪微分器在不同方案下的状态z2,2；
图17为不同方案下的第二中间变量。
具体实施方式
下面将结合附图，对本发明的优选实施例进行详细的描述。
1.问题提出与数学基础
拱形MEMS谐振器由直流(DC)、交流电(AC)、底电极、双夹持拱形锐化微梁、两个锚和集成运算放大器组成。显然，这种拱形MEMS谐振器的基本谐振频率高于固定梁或悬臂梁。图1展示了静电驱动的拱形MEMS谐振器的原理图。当间隙距离为g0且平行于X轴放置的底电极工作时，静电驱动执行。具有物理尺寸的量表示为
Figure RE-GDA0001985747240000111
利用Galerkin分解方法，将具有未知激励特性的分数阶拱型MEMS谐振器的动力学模型写成
Figure RE-GDA0001985747240000112
其中变量定义为
Figure RE-GDA0001985747240000113
表示比率，
Figure RE-GDA0001985747240000114
是无量纲的时间变量，
Figure RE-GDA0001985747240000115
表示阻尼系数，
Figure RE-GDA0001985747240000116
表示拉伸参数，
Figure RE-GDA0001985747240000117
是电压参数，
Figure RE-GDA0001985747240000118
表示频率，h＝h0/g0表示初始上升值，
Figure RE-GDA0001985747240000119
是常数，x1＝q(t)表示位移，
Figure RE-GDA00019857472400001110
表示速度，α表示分数阶，C表示分数微积分领域中Caputo定义的符号，M(u)表示未知激励特性，
Figure RE-GDA00019857472400001111
表示长度坐标，
Figure RE-GDA00019857472400001112
表示第一个归一化模态，
Figure RE-GDA00019857472400001113
表示挠度，
Figure RE-GDA00019857472400001114
表示无量纲量，
Figure RE-GDA00019857472400001115
表示时间，
Figure RE-GDA00019857472400001116
表示常数，u表示实际控制输入，
Figure RE-GDA00019857472400001117
kc1＞0。
拱形MEMS谐振器的其余参数符号在表1中给出。
表1系统参数的表示
Figure RE-GDA00019857472400001118
Figure RE-GDA0001985747240000121
在工程实践中，驱动特性是不可避免的。它的出现会引起不精确或系统不稳定性。在输入中存在非对称非光滑饱和非线性激励特性M(u)，其表示为
Figure RE-GDA0001985747240000122
其中
Figure RE-GDA0001985747240000123
和η表示界限，a1(t)和a2(t)表示时变函数，l1和l2表示死区特征函数，
Figure RE-GDA0001985747240000124
和
Figure RE-GDA0001985747240000125
表示正的未知断点。
图2表示驱动特性的结构。由于a1(t)和a2(t)是时变的，且非对称饱和非光滑的，使得控制器的设计非常困难。针对这一问题，引入光滑函数来逼近非对称非光滑饱和特征
M(u)＝S(u)+D(u) (3)
和
Figure RE-GDA0001985747240000126
其中w表示设计参数，D(u)表示逼近误差且有|D(u)|＝M(u)-S(u)≤Γ，Γ表示正定未知常数。
根据中值定理，对于光滑函数S(u)，有
Figure RE-GDA0001985747240000127
定义
Figure RE-GDA0001985747240000128
和得到S(0)＝0，则(3)被改写为
M(u)＝pu+D(u) (6)
备注1：a1(t)和a2(t)表示时变函数，它们能够有效地反应非线性系统在受到内外部干扰时的实际情况。这种滑函数只需要激励特性的上下界。作为逼近系数w不同的值可以导致对M(u)的不同逼近结果，这样更适合于实际系统。
图3为不同分数阶下的相图；(a)为1.0；(b)为0.95；(c)为0.9；(d)为0.75；图4为不同激励振幅下的相图；(a)为0.01；(b)为0.02；(c)为0.1；(d)为0.21；系统参数选择为γ＝7.993，h＝0.3，μ＝0.1，α＝0.98，β＝119.9883和ω0＝0.4706。在变步长START /TRBDF2求解器的帮助下，通过不同的分数阶和驱动振幅等物理情况来揭示分数阶拱形 MEMS谐振器的混沌振荡。在所有情况下，分数阶拱形MEMS谐振器都呈现出具有混沌瞬态的不稳定吸引子。在图3中，瞬态混沌出现在像α＝1.0和0.95这样的分数阶值处。然后拱形 MEMS谐振器在α＝0.9和0.75处突然地切换到非混沌状态。图4表明激励幅值变化引起不同的混沌运动。由于混沌振荡具有随机性和不可预测性的特点，如果不采取措施克服必然会降低系统的性能。
定义1：分数导数中f(t)的Caputo定义可以表达为
Figure RE-GDA0001985747240000131
其中
Figure RE-GDA0001985747240000132
表示伽玛函数，n和f(n)(t)表示整数和f(t)的n阶导数。
引理1：对于连续函数
Figure RE-GDA0001985747240000133
和
Figure RE-GDA0001985747240000134
下面的等式成立
Figure RE-GDA0001985747240000135
其中0＜α＜1。
利用引理1和关系式
Figure RE-GDA0001985747240000136
可以得到：
Figure RE-GDA0001985747240000137
其中
Figure RE-GDA0001985747240000138
引理2：分数阶系统
Figure RE-GDA0001985747240000139
且0＜α＜1，将
Figure RE-GDA00019857472400001310
变换为分数阶积分器的线性连续频率分布模型为
Figure RE-GDA0001985747240000141
其中
Figure RE-GDA0001985747240000142
表示加权函数，
Figure RE-GDA0001985747240000143
表示系统的真实状态。
定义2：如果函数N(η)满足以下属性
Figure RE-GDA0001985747240000144
Figure RE-GDA0001985747240000145
它被称为Nussbaum函数。
Nussbaum函数被认为是处理驱动特性未知符号问题的有效工具。引入以下与Nussbaum 函数相关的引理，以便于控制器设计和稳定性分析。
引理3：假设V(·)和η(·)是在[0 ∞)且有V(τ)≥0的光滑函数，N(·)是Nussbaum函数，下面的不等式成立
Figure RE-GDA0001985747240000146
其中C0＞0，g(t)是非零常数，
Figure RE-GDA0001985747240000147
表示合适的常数，则V(t)，η(t)和
Figure RE-GDA0001985747240000148
是有界的。
假设1：参考轨迹xd及其n阶导数是已知和有界的。同时，状态变量x1(t)和x2(t)可可测量。
本发明的控制目标是针对具有不确定性和时变驱动特性的分数阶拱型MEMS谐振器，提出一种自适应控制方案，使得输出y＝x1(t)可以微小误差地跟随参考轨迹xd，同时与混沌行为和非对称死区相关的振荡被完全抑制。
2.自适应控制器设计
Chebyshev神经网络具有强大的函数学习和逼近能力，广泛应用于非线性系统的控制和建模。它被用来处理未知函数。Chebyshev多项式是以两项递推公式的形式选择
Ti+1(X)＝2XTi(X)-Ti-1(X),T0(X)＝1 (14)
其中X∈R和T1(X)通常被定义为X，2X，2X-1或2X+1。
对于[x1,…,xm]T∈Rm，Chebyshev多项式的一种加强形式被构建为
ξ(X)＝[1,T1(x1),…,Tn(x1),…,T1(xm),…,Tn(xm)] (15)
其中Ti(xj),i＝1,…,n,j＝1,…,m表示Chebyshev多项式，ξ(X)表示Chebyshev多项式的基函数向量，n表示阶数。
对于紧集上任意给定的未知连续函数f(X)，
Figure RE-GDA0001985747240000151
可以基于Chebyshev神经网络的通用逼近理论充分精确地逼近它，有
Figure RE-GDA0001985747240000152
其中φ(t)是光滑的权向量。
存在Chebyshev神经网络
Figure RE-GDA0001985747240000153
其中ε(X)＞0是逼近误差，Ωφ和DX分别表示φ(t)和X的适当边界紧集。设最优参数φ*等同于
Figure RE-GDA0001985747240000154
其中φ*称为人工量。当
Figure RE-GDA0001985747240000155
时有
Figure RE-GDA0001985747240000156
为了促进快速在线计算，采取如下变换来减少Chebyshev神经网络权向量个数
Figure RE-GDA0001985747240000157
其中
Figure RE-GDA0001985747240000158
关系式
Figure RE-GDA0001985747240000159
存立，
Figure RE-GDA00019857472400001510
是λi(t)的估计值，bi是一个小的正常数。
备注2：借助于杨氏不等式，导出了Chebyshev神经网络的一个与权向量个数有关的数学变换。这种转换可以加快在线求解的速度，降低难度，因为它只需要一个权值。
步骤1：定义第一个中间变量
Figure RE-GDA00019857472400001511
其中跟踪误差e1(t)定义为e1(t)＝x1(t)-xd(t)，σ1表示正设计参数。如果Z1(t)→0，
Figure RE-GDA00019857472400001512
那么e1(t)→0和
Figure RE-GDA00019857472400001513
选择第二个具有跟踪误差
Figure RE-GDA00019857472400001514
的中间变量e2(t)＝x2(t)-α2(t)，其中σ2＞0是一个设计参数，α2(t)表示虚拟控制。在Caputo分数阶微积分的定义中推导出Z1(t)的导数
Figure RE-GDA00019857472400001515
虚拟控制选择为
Figure RE-GDA0001985747240000161
其中k1＞0代表控制增益。
基于引理1，得出下列连续频率分布模型：
Figure RE-GDA0001985747240000162
考虑李雅普诺夫稳定性准则
Figure RE-GDA0001985747240000163
其中
Figure RE-GDA0001985747240000164
对V1(t)求时间导数
Figure RE-GDA0001985747240000165
步骤2：选择分数阶李雅普诺夫稳定性准则
Figure RE-GDA0001985747240000166
其中h2＞0，
Figure RE-GDA0001985747240000167
对Z2(t)微分得到
Figure RE-GDA0001985747240000168
其中
Figure RE-GDA0001985747240000169
显然，f2(·)是一个高阶非线性函数，其中诸如h、β、γ和b11等系统参数不能精准测量，并且受到内外部因素的影响建立精确的系统模型非常困难。此外，不同的外部激励对拱形 MEMS谐振器会产生有害的振荡，这种振荡在一定程度上会降低系统的性能。为了解决这些问题，使用Chebyshev神经网络
Figure RE-GDA00019857472400001610
实际上，由于计算复杂不能直接求出
Figure RE-GDA00019857472400001611
为了解决这个问题，设计了基于双曲正弦函数的分数阶跟踪微分器来估计虚拟控制α2(t)的分数阶导数
Figure RE-GDA0001985747240000171
其中基于双曲正弦函数的跟踪微分器状态z2,2与
Figure RE-GDA0001985747240000172
相等，r2＞0，ci＞0,i＝1,2和 di＞0,i＝1,2为设计常数，存在具有T是正数的关系式
Figure RE-GDA0001985747240000173
备注3：
1)与传统的反步算法相比，本发明提出的基于双曲正弦函数的跟踪微分器能够解决复杂度增长问题。同时，它能够解决与动态表面控制相关的一阶滤波器精度差的问题，并且适用于具有任意输入信号αi(t)的系统。
2)概括分数阶跟踪微分器参数在实际应用中的调节规则。(a)r2、c1和d1直接决定了收敛速度和精度，但过大的c1和d1会引起过冲量。(b)c2和d2也影响收敛速度和精度，然而，太小的c2和d2会导致不希望的超调。
把(27)和(28)代入(26)，得到
Figure RE-GDA0001985747240000174
容易导出
Figure RE-GDA0001985747240000175
利用引理1，可以进一步推导出连续频率分布模型
Figure RE-GDA0001985747240000176
取(25)的时间导数
Figure RE-GDA0001985747240000177
其中
Figure RE-GDA0001985747240000178
利用Nussbaum函数构造了以下控制输入
Figure RE-GDA0001985747240000179
其中k21＞0和k22＞0是控制增益，具有更新律
Figure RE-GDA0001985747240000181
Figure RE-GDA0001985747240000182
其中g2是正数。
更新律和控制律代入(31)，求得
Figure RE-GDA0001985747240000183
Figure RE-GDA0001985747240000184
定理1：在假设1存立的条件下，考虑具有未知驱动特性的分阶拱形MEMS谐振器，如果所提由自适应率(33)和(34)构成的反振荡自适应控制方法(32)介入，那么所有内部信号保持有界，同时完全消除了包含混沌行为和非对称死区在内的振荡。
证明：定义整个李亚普诺夫候选函数
Figure RE-GDA0001985747240000185
由
Figure RE-GDA0001985747240000186
可得
Figure RE-GDA0001985747240000187
其中
Figure RE-GDA0001985747240000188
定义
Figure RE-GDA0001985747240000189
上式可简化为
Figure RE-GDA00019857472400001810
对上式两边同时乘
Figure RE-GDA00019857472400001811
得到
Figure RE-GDA00019857472400001812
定义
Figure RE-GDA00019857472400001813
对上式进行积分
Figure RE-GDA0001985747240000191
Z1(t)，Z2(t)和
Figure RE-GDA0001985747240000192
属于紧集
Figure RE-GDA0001985747240000193
因此，闭环系统中的所有信号都是有界的。特别地，它可以进一步证明
Figure RE-GDA0001985747240000194
到目前为止，定理1的证明已经完成。
3.结果分析
通过仿真实验分析来验正所提方案的有效性。选择时变参考轨迹为xd＝0.16sin(2.5t)。为了处理激励特性未知符号的问题，选择Nussbaum函数
Figure RE-GDA0001985747240000195
来满足相应的性质。为了克服抖动现象，这里用arctan(10)代替sign()。基于双曲正弦函数的分数阶跟踪微分器的参数选择为r2＝9、c1＝12、c2＝0.2、d1＝2和d2＝6。
为了便于控制器设计，引入光滑函数S(u)来近似逼近未知的驱动特性，其函数参数为
Figure RE-GDA0001985747240000196
η＝-0.1和w＝0.2。选择控制器参数为k1＝12、k21＝20、k22＝20、h2＝8、b2＝0.2、g2＝2、σ1＝0.3和σ2＝0.3。所有变量的初始值设置为零。此外，采用单层Chebyshev神经网络，并设计了Chebyshev多项式基函数为
Figure RE-GDA0001985747240000197
图5为位置跟踪；图6为速度跟踪；图5-6揭示蓝色实线和红色虚线在很短的时间内完全重叠。仿真结果表明，该方案具有较高的跟踪精度和较快的收敛速度。
图7描述了分数阶拱形MEMS谐振器在由饱和与死区特性构成未知驱动特性下的控制输入。值得注意的是，该控制器在非对称死区阈值内能有效地避免控制输入的振荡。
在不采取措施的情况下，驱动特性的方向不定会引起控制器性能的恶化。图8揭示Nussbaum函数的三条曲线在不同的激励幅值下保持一致。可以得出，驱动特性方向不定的问题在这里得到了很好的解决。图9展示了在不同激励幅值下具有积分项的中间变量 Zi(t),i＝1,2。所有曲线重叠并收敛到零的邻域，同时验证了所提出方案具有良好的参数摄动能力。图9(a)为不同激励振幅下的中间变量Zi(t),i＝1；图9(b)为不同激励振幅下的中间变量Zi(t),i＝2；
考虑了激励特性、混沌振荡、模型不确定性等更为苛刻的条件，尽管由于模型的不确定性，系统的激励幅值和分数阶不同，但图10说明实际控制中没有出现非对称死区阈值内的振动现象。此外，即使整个系统面临苛刻的条件，控制输入也实现了无颤振。图10为在不同激励振幅和分数阶下的控制输入；(a)为在不同激励振幅下的控制输入；(b)为在不同分数阶下的控制输入；
图11为在不同的激励幅值和分数阶下更新单权值；(a)为在不同的激励幅值下更新单权值；(b)为在不同的分数阶下更新单权值；Chebyshev神经网络的更新单权值
Figure RE-GDA0001985747240000201
直接影响高阶非线性函数的逼近性能。分数阶微积分具有动态建模和非线性控制能力，能够更准确地描述系统的动态特性。然而分数阶值会引起混沌振荡和控制器颤振。图11说明了混沌振荡和控制器颤振在这里得到了很好的解决。
图12为在不同激励幅值和分数阶下的相图；(a)为在不同激励幅值下的相图；(b)为在不同分数阶下的相图；与图3-4相比，图12揭示分数阶拱形MEMS谐振器切换到一个规则的运动状态，并且固有的混沌振荡被完全抑制。图13的结果说明中间变量曲线对分数阶的变化不敏感。
图14为在不同的激励幅值和分数阶下的跟踪状态z2,2；(a)为对不同激励幅值的反振荡性能；(b)为对不同分数阶的反振荡性能；双曲正弦函数被认为是跟踪微分器的理想选择。因为当·接近0时，sinh(·)变成线性，而当·远离0时，sinh(·)变成非线性。一方面，该非线性特性可以快速收敛，线性特性可以消除抖振。另一方面，直接求取经过复杂计算的
Figure RE-GDA0001985747240000202
是非常困难的。图14表明该跟踪微分器具有优良的跟踪函数逼近性能和对不同激励幅值和分数阶的反振荡性能。
为了进一步说明使用基于双曲正弦函数的跟踪微分器(HSF)方案的优越性，这里引入跟踪微分器(NTD)和基于滑模的跟踪微分器(SMTD)两种方案作对比。
图15说明SMTD在0.5秒内具有最小的颤振，并且三个方案的控制输入在0.5秒后基本相等。然而，图16-17表明由于最小的抖动和振幅，所发明的方案(蓝线)明显优于NTD(红色虚线)和SMTD(绿色虚线)。
最后说明的是，以上优选实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制，尽管通过上述优选实施例已经对本发明进行了详细的描述，但本领域技术人员应当理解，可以在形式上和细节上对其作出各种各样的改变，而不偏离本发明权利要求书所限定的范围。

Claims (1)

1.一种分数阶拱形MEMS谐振器的反振荡自适应控制方法，其特征在于：该方法包括以下步骤：
S1：利用Galerkin分解方法，建立具有未知激励特性的分数阶拱型MEMS谐振器的动力学模型；
S2：设计自适应控制器；
所述步骤S1具体为：
利用Galerkin分解方法，将具有未知激励特性的分数阶拱型MEMS谐振器的动力学模型写成
Figure FDA0003089127390000011
其中变量定义为：
Figure FDA0003089127390000012
表示比率，
Figure FDA0003089127390000013
是无量纲的时间变量，
Figure FDA0003089127390000014
表示阻尼系数，
Figure FDA0003089127390000015
表示拉伸参数，
Figure FDA0003089127390000016
是电压参数，
Figure FDA0003089127390000017
表示频率，h＝h0/g0表示初始上升值，
Figure FDA0003089127390000018
是常数，x1＝q(t)表示位移，
Figure FDA0003089127390000019
表示速度，a表示分数阶，C表示分数微积分领域中Caputo定义的符号，M(u)表示未知激励特性，
Figure FDA00030891273900000110
表示长度坐标，
Figure FDA00030891273900000111
表示第一个归一化模态，
Figure FDA00030891273900000112
表示挠度，
Figure FDA00030891273900000113
表示无量纲量，
Figure FDA00030891273900000114
表示时间，
Figure FDA00030891273900000115
表示常数，u表示实际控制输入，
Figure FDA00030891273900000116
kc1＞0；L为长度，A为横截面积；b为宽度，Cv为粘滞阻尼系数，d为厚度，
Figure FDA00030891273900000117
为杨氏模量，Iy为转动惯量，ρ为质量密度，Ω0为谐波负载频率，εa0为真空介电常数，VDC为直流电压，VAC为交流电压，w0为拱形位移，ω0为激励频率；
在输入中存在非对称非光滑饱和非线性激励特性M(u)，其表示为
Figure FDA0003089127390000021
其中
Figure FDA0003089127390000022
和η表示界限，a1(t)和a2(t)表示时变函数，l1和l2表示死区特征函数，
Figure FDA0003089127390000023
和
Figure FDA0003089127390000024
表示正的未知断点；
由于a1(t)和a2(t)是时变的，且非对称饱和非光滑的，引入光滑函数来逼近非对称非光滑饱和特征
M(u)＝S(u)+D(u) (3)
和
Figure FDA0003089127390000025
其中w表示设计参数，D(u)表示逼近误差且有|D(u)|＝M(u)-S(u)≤Γ，Γ表示正定未知常数；
根据中值定理，对于光滑函数S(u)，有
Figure FDA0003089127390000026
定义
Figure FDA0003089127390000027
和得到S(0)＝0，则(3)被改写为
M(u)＝pu+D(u) (6)
a1(t)和a2(t)表示时变函数，能够反应非线性系统在受到内外部干扰时的实际情况；这种滑函数只需要激励特性的上下界；作为逼近系数w不同的值导致对M(u)的不同逼近结果；
系统参数选择为γ＝7.993，h＝0.3，μ＝0.1，a＝0.98，β＝119.9883和ω0＝0.4706；在变步长START/TRBDF2求解器的帮助下，通过不同的分数阶和驱动振幅来揭示分数阶拱形MEMS谐振器的混沌振荡；瞬态混沌出现在像a＝1.0和0.95这样的分数阶值处；然后拱形MEMS谐振器在a＝0.9和0.75处突然地切换到非混沌状态；
定义1：分数导数中f(t)的Caputo定义表达为
Figure FDA0003089127390000031
其中
Figure FDA0003089127390000032
表示伽玛函数，n和f(n)(t)表示整数和f(t)的n阶导数；
引理1：对于连续函数f1 *(t)和
Figure FDA0003089127390000033
下面的等式成立
Figure FDA0003089127390000034
其中0＜a＜1；
利用引理1和关系式
Figure FDA0003089127390000035
得到：
Figure FDA0003089127390000036
其中
Figure FDA0003089127390000037
引理2：分数阶系统
Figure FDA0003089127390000038
且0＜a＜1，将
Figure FDA0003089127390000039
变换为分数阶积分器的线性连续频率分布模型为
Figure FDA00030891273900000310
其中
Figure FDA00030891273900000311
表示加权函数，
Figure FDA00030891273900000312
表示系统的真实状态；
定义2：如果函数N(η)满足以下属性
Figure FDA00030891273900000313
Figure FDA00030891273900000314
它被称为Nussbaum函数；
Nussbaum函数被认为是处理驱动特性未知符号问题的有效工具；引入以下与Nussbaum函数相关的引理，以便于控制器设计和稳定性分析；
引理3：假设V(·)和η(·)是在[0∞)且有V(τ)≥0的光滑函数，N(·)是Nussbaum函数，下面的不等式成立
Figure FDA0003089127390000041
其中C0＞0，g(t)是非零常数，
Figure FDA0003089127390000042
表示合适的常数，则V(t)，η(t)和
Figure FDA0003089127390000043
是有界的；
假设1：参考轨迹xd及其n阶导数是已知和有界的；同时，状态变量x1(t)和x2(t)能够测量；
针对具有不确定性和时变驱动特性的分数阶拱型MEMS谐振器，提出一种自适应控制方案，使得输出y＝x1(t)微小误差地跟随参考轨迹xd，同时与混沌行为和非对称死区相关的振荡被完全抑制；
所述步骤S2具体为：
Chebyshev多项式是以两项递推公式的形式选择
Ti+1(X)＝2XTi(X)-Ti-1(X),T0(X)＝1 (14)
其中X∈R和T1(X)被定义为X，2X，2X-1或2X+1；
对于[x1,…,xm]T∈Rm，Chebyshev多项式的一种加强形式被构建为
ξ(X)＝[1,T1(x1),…,Tn(x1),…,T1(xm),…,Tn(xm)] (15)
其中Ti(xj),i＝1,…,n,j＝1,…,m表示Chebyshev多项式，ξ(X)表示Chebyshev多项式的基函数向量，n表示阶数；
对于紧集上任意给定的未知连续函数f(X)，
Figure FDA0003089127390000044
基于Chebyshev神经网络的通用逼近理论充分精确地逼近它，有
Figure FDA0003089127390000045
其中φ(t)是光滑的权向量；
存在Chebyshev神经网络
Figure FDA0003089127390000046
其中ε(X)＞0是逼近误差，Ωφ和DX分别表示φ(t)和X的适当边界紧集；设最优参数φ*等同于
Figure FDA0003089127390000047
Figure FDA0003089127390000048
其中φ*称为人工量；当
Figure FDA00030891273900000410
时有
Figure FDA0003089127390000049
为促进快速在线计算，采取如下变换来减少Chebyshev神经网络权向量个数
Figure FDA0003089127390000051
其中
Figure FDA00030891273900000514
关系式
Figure FDA0003089127390000052
存立，
Figure FDA0003089127390000053
是λi(t)的估计值，bi是一个小的正常数；
借助杨氏不等式，导出Chebyshev神经网络的一个与权向量个数有关的数学变换；
步骤1：定义第一个中间变量
Figure FDA0003089127390000054
其中跟踪误差e1(t)定义为e1(t)＝x1(t)-xd(t)，σ1表示正设计参数；如果Z1(t)→0，
Figure FDA0003089127390000055
那么e1(t)→0和
Figure FDA0003089127390000056
选择第二个具有跟踪误差
Figure FDA0003089127390000057
的中间变量e2(t)＝x2(t)-a2(t)，其中σ2＞0是一个设计参数，a2(t)表示虚拟控制；在Caputo分数阶微积分的定义中推导出Z1(t)的导数
Figure FDA0003089127390000058
虚拟控制选择为
Figure FDA0003089127390000059
其中k1＞0代表控制增益；
基于引理1，得出下列连续频率分布模型：
Figure FDA00030891273900000510
考虑李雅普诺夫稳定性准则
Figure FDA00030891273900000511
其中
Figure FDA00030891273900000512
对V1(t)求时间导数
Figure FDA00030891273900000513
步骤2：选择分数阶李雅普诺夫稳定性准则
Figure FDA0003089127390000061
其中h2＞0，
Figure FDA0003089127390000062
对Z2(t)微分得到
Figure FDA0003089127390000063
其中
Figure FDA0003089127390000064
f2(·)是一个高阶非线性函数，其中诸如h、β、γ和b11系统参数不能精准测量，并且受到内外部因素的影响建立精确的系统模型非常困难；不同的外部激励对拱形MEMS谐振器会产生有害的振荡，这种振荡在一定程度上会降低系统的性能；为解决这些问题，使用Chebyshev神经网络
Figure FDA0003089127390000065
实际上，由于计算复杂不能直接求出
Figure FDA0003089127390000066
为解决这个问题，设计基于双曲正弦函数的分数阶跟踪微分器来估计虚拟控制a2(t)的分数阶导数
Figure FDA0003089127390000067
其中基于双曲正弦函数的跟踪微分器状态z2,2与
Figure FDA0003089127390000068
相等，r2＞0，ci＞0,i＝1,2和di＞0,i＝1,2为设计常数，存在具有T是正数的关系式
Figure FDA0003089127390000069
把(27)和(28)代入(26)，得到
Figure FDA00030891273900000610
容易导出
Figure FDA00030891273900000611
利用引理1，进一步推导出连续频率分布模型
Figure FDA00030891273900000612
取(25)的时间导数
Figure FDA0003089127390000071
其中
Figure FDA0003089127390000072
利用Nussbaum函数构造以下控制输入
Figure FDA0003089127390000073
其中k21＞0和k22＞0是控制增益，具有更新律
Figure FDA0003089127390000074
Figure FDA0003089127390000075
其中g2是正数；
更新律和控制律代入(31)，求得
Figure FDA0003089127390000076
Figure FDA0003089127390000077
定理1：在假设1存立的条件下，考虑具有未知驱动特性的分阶拱形MEMS谐振器，如果所提由自适应率(33)和(34)构成的反振荡自适应控制方法(32)介入，那么所有内部信号保持有界，同时完全消除包含混沌行为和非对称死区在内的振荡；
证明：定义整个李亚普诺夫候选函数
Figure FDA0003089127390000078
由
Figure FDA0003089127390000079
得
Figure FDA00030891273900000710
其中
Figure FDA0003089127390000081
定义
Figure FDA0003089127390000082
上式简化为
Figure FDA0003089127390000083
对上式两边同时乘
Figure FDA0003089127390000084
得到
Figure FDA0003089127390000085
定义
Figure FDA0003089127390000086
对上式进行积分
Figure FDA0003089127390000087
Z1(t)，Z2(t)和
Figure FDA0003089127390000088
属于紧集
Figure FDA0003089127390000089
闭环系统中的所有信号都是有界的；进一步证明
Figure FDA00030891273900000810
至此，完成定理1的证明。
CN201811543428.5A 2018-12-17 2018-12-17 一种分数阶拱形mems谐振器的反振荡自适应控制方法 Expired - Fee Related CN109613826B (zh)

Priority Applications (2)

Application Number Priority Date Filing Date Title
CN201811543428.5A CN109613826B (zh) 2018-12-17 2018-12-17 一种分数阶拱形mems谐振器的反振荡自适应控制方法
NL2024372A NL2024372B1 (en) 2018-12-17 2019-12-04 Anti-oscillation adaptive control method for fractional order arched mems resonator

Applications Claiming Priority (1)

Application Number Priority Date Filing Date Title
CN201811543428.5A CN109613826B (zh) 2018-12-17 2018-12-17 一种分数阶拱形mems谐振器的反振荡自适应控制方法

Publications (2)

Publication Number Publication Date
CN109613826A CN109613826A (zh) 2019-04-12
CN109613826B true CN109613826B (zh) 2021-07-27

Family

ID=66009559

Family Applications (1)

Application Number Title Priority Date Filing Date
CN201811543428.5A Expired - Fee Related CN109613826B (zh) 2018-12-17 2018-12-17 一种分数阶拱形mems谐振器的反振荡自适应控制方法

Country Status (2)

Country Link
CN (1) CN109613826B (zh)
NL (1) NL2024372B1 (zh)

Families Citing this family (19)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
CN109991852B (zh) * 2019-04-19 2022-02-22 贵州大学 具有磁滞特性的分数阶静电驱动微机电系统控制方法
CN110299141B (zh) * 2019-07-04 2021-07-13 苏州大学 一种声纹识别中录音回放攻击检测的声学特征提取方法
CN110262253B (zh) * 2019-07-12 2023-01-31 淮阴工学院 分数阶混沌机电换能器系统的自适应backstepping最优控制方法
CN110286595B (zh) * 2019-08-12 2022-04-15 金陵科技学院 一类受饱和非线性输入影响的分数阶系统自适应控制方法
CN110501906B (zh) * 2019-08-30 2022-12-30 贵州大学 互耦分数阶混沌机电换能器加速自适应模糊控制方法
CN110568759B (zh) * 2019-09-26 2022-06-28 南京理工大学 分数阶混沌系统的鲁棒同步控制方法
CN111427262B (zh) * 2019-11-13 2022-03-18 西北工业大学 极端环境下mems传感器未知扰动智能控制方法
CN110879533B (zh) * 2019-12-13 2022-01-04 福州大学 一种具有抗未知扰动的延迟忆阻神经网络的预定时间投影同步方法
CN112751345B (zh) * 2020-12-30 2022-10-25 电子科技大学 基于lstm与相轨迹的电力系统低频振荡模态辨识方法
CN112904726B (zh) * 2021-01-20 2022-11-18 哈尔滨工业大学 一种基于误差重构权重更新的神经网络反步控制方法
CN112965383B (zh) * 2021-02-09 2022-08-09 重庆航天职业技术学院 单向耦合分数阶自持机电地震仪系统的自适应神经网络最优定时同步控制方法
CN113064347B (zh) * 2021-03-15 2022-09-23 贵州大学 考虑非对称输入与输出约束的pmsm混沌系统自适应控制方法
CN113093782B (zh) * 2021-04-12 2023-07-18 广东工业大学 一种无人机指定性能姿态控制方法及系统
CN113625573B (zh) * 2021-09-18 2023-06-30 金陵科技学院 受非对称死区输入影响的分数阶系统反步滑模控制方法
CN115097734B (zh) * 2022-07-20 2024-11-22 电子科技大学 神经网络耦合扰动估计器的多智能体二部跟踪控制方法
CN114932560B (zh) * 2022-07-25 2022-11-22 山东贞元汽车车轮有限公司 一种机械臂抓取轮毂的自动控制方法和系统
CN115963868B (zh) * 2023-01-06 2024-08-23 贵州大学 具有事件触发机制的弱耦合分数阶mems谐振器加速预设性能控制方法
CN116720554B (zh) * 2023-08-11 2023-11-14 南京师范大学 一种基于fpga技术的多段线性拟合的神经元电路实现方法
CN118607603B (zh) * 2024-07-25 2024-10-18 南京师范大学 基于最佳直线逼近的fpga技术实现多涡卷神经元电路方法

Citations (5)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
US7812680B1 (en) * 2005-05-03 2010-10-12 Discera, Inc. MEMS resonator-based signal modulation
CN105204343A (zh) * 2015-10-13 2015-12-30 淮阴工学院 具有输出约束和非对称死区输入的纳米机电系统自适应backstepping控制方法
CN106647277A (zh) * 2017-01-06 2017-05-10 淮阴工学院 弧形微型机电混沌系统的自适应动态面控制方法
CN107479377A (zh) * 2017-08-03 2017-12-15 淮阴工学院 分数阶弧形微机电系统的自适应同步控制方法
CN108614419A (zh) * 2018-03-28 2018-10-02 贵州大学 一种弧形微机电系统的自适应神经网络控制方法

Patent Citations (5)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
US7812680B1 (en) * 2005-05-03 2010-10-12 Discera, Inc. MEMS resonator-based signal modulation
CN105204343A (zh) * 2015-10-13 2015-12-30 淮阴工学院 具有输出约束和非对称死区输入的纳米机电系统自适应backstepping控制方法
CN106647277A (zh) * 2017-01-06 2017-05-10 淮阴工学院 弧形微型机电混沌系统的自适应动态面控制方法
CN107479377A (zh) * 2017-08-03 2017-12-15 淮阴工学院 分数阶弧形微机电系统的自适应同步控制方法
CN108614419A (zh) * 2018-03-28 2018-10-02 贵州大学 一种弧形微机电系统的自适应神经网络控制方法

Non-Patent Citations (2)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Title
Chaotic behavior and adaptive control of the arch MEMS resonator with state constraint and sector input;Shaohua Luo et al.;《IEEE Sensors Journal》;20180901;第18卷(第17期);第6986-6995页 *
MEMS谐振器刚度非线性特性及其表征;王玉朝 等;《光学精密工程》;20151115;第23卷(第11期);第3114-3119页 *

Also Published As

Publication number Publication date
NL2024372A (en) 2020-08-13
NL2024372B1 (en) 2020-11-30
CN109613826A (zh) 2019-04-12

Similar Documents

Publication Publication Date Title
CN109613826B (zh) 一种分数阶拱形mems谐振器的反振荡自适应控制方法
CN109991852B (zh) 具有磁滞特性的分数阶静电驱动微机电系统控制方法
CN108614419B (zh) 一种弧形微机电系统的自适应神经网络控制方法
CN112286055B (zh) 无精确参考轨迹的分数阶mems陀螺仪加速自适应反演控制方法
CN107479377B (zh) 分数阶弧形微机电系统的自适应同步控制方法
Li et al. Adaptive fuzzy control of uncertain stochastic nonlinear systems with unknown dead zone using small-gain approach
CN110501906B (zh) 互耦分数阶混沌机电换能器加速自适应模糊控制方法
CN104199294B (zh) 电机伺服系统双神经网络摩擦补偿和有限时间协同控制方法
CN113325805B (zh) 一种自抗扰控制器及其设计方法
CN111142404A (zh) 一种基于压电陶瓷驱动的微定位平台及其建模与控制方法
Luo et al. Observer-based adaptive stabilization of the fractional-order chaotic MEMS resonator
Carvajal-Rubio et al. On the discretization of a class of homogeneous differentiators
CN101510072A (zh) 带有自适应模糊摩擦补偿的伺服系统控制器
Meng et al. Adaptive fault tolerant control for a class of switched nonlinear systems with unknown control directions
Golestani et al. Fast robust adaptive tracker for uncertain nonlinear second‐order systems with time‐varying uncertainties and unknown parameters
Erenturk Nonlinear two-mass system control with sliding-mode and optimised proportional–integral derivative controller combined with a grey estimator
Luo et al. Dynamical analysis and anti-oscillation-based adaptive control of the FO arch MEMS with optimality
CN109194244B (zh) 一种面向电动伺服系统的控制方法及系统
Wang et al. Adaptive backstepping control of primary permanent magnet linear motor via radial basis function neural network and command filter
Nie et al. Observer-based finite-time adaptive motion control for nonlinear asymmetric hysteresis systems in pure-feedback form
Di Teodoro et al. Sliding-mode controller based on fractional order calculus for chemical processes
Kurdila et al. Adaptive control via embedding in reproducing kernel Hilbert spaces
CN113176731B (zh) 一种双神经网络自学习的ipmsm自抗扰控制方法
CN114839882A (zh) 一种输入约束下的非线性系统复合自适应控制方法
Shiledar et al. A compressive study on discrete time sliding mode control with advances and applications

Legal Events

Date Code Title Description
PB01 Publication
PB01 Publication
SE01 Entry into force of request for substantive examination
SE01 Entry into force of request for substantive examination
GR01 Patent grant
GR01 Patent grant
CF01 Termination of patent right due to non-payment of annual fee

Granted publication date: 20210727

CF01 Termination of patent right due to non-payment of annual fee