住民税の申告

＞失業中で収入が０円の場合、住民税の申告をしなければ、場合によっては高額の住民税を支払わなければならないと聞いたことがあります。

いいえ。
役所が未申告の場合、勝手に課税することなどありえません。

＞住民税の申告とは具体的にどのようにすればいいのでしょうか。
役所の税務担当部署に行き申告します。
所得税の申告と同じ２月１６日から申告受け付けます。

＞給与収入が０円でも雑収入が２０万円以上ある場合、確定申告すれば住民税の申告は不要なのでしょうか。
所得税の確定申告すれば住民税の申告必要ありません。
が、雑収入が３８万円以下（経費が０とした場合）なら所得税かかりませんので所得税の申告必要ないし、２８万円～３５万円以下（市町村によって違います）なら住民税もかかりませんので住民税の申告の必要ありません。

所得税は「収入」から経費を引いた「所得」から、社会保険料や基礎控除を引き残った額がなければ確定申告の必要ありません。
住民税は扶養親族がない場合、収入から経費を引いた「所得」が２８万円～３５万円（市町村によって違います）を超えるなら、住民税かかりますので申告が必要です。

＞３８万円という数字の根拠を詳しく…

納税者全員に無条件で与えられる「基礎控除」38万円のことです。
http://www.nta.go.jp/taxanswer/shotoku/1199.htm

基礎控除の他に、「社会保険料控除」や「扶養控除」など【所得控除】
http://www.nta.go.jp/taxanswer/shotoku/1100.htm
で該当するものがあれば、38万円からさらにそれらを加えた額に見合う「所得」がなければ、確定申告の義務は生じません。
http://www.nta.go.jp/taxanswer/shotoku/2020.htm

無職でも国保や国民年金は払っているでしょうから、実際には 50～60万円まで申告不要と言うことが言えます。

税金について詳しくは、国税庁の『タックスアンサー』をどうぞ。
http://www.nta.go.jp/taxanswer/index2.htm

＞失業中で収入が０円の場合、住民税の申告をしなければ、場合によっては高額の住民税を支払わなければならないと聞いたことがあります。

住民税の申告とは具体的にどのようにすればいいのでしょうか。

そのようなことはありません。
ただ自治体に関する請求等に不都合が生じるということです。
国民健康保険に加入しようとしてもすぐに出来ない、非課税証明を取ろうとしてもすぐに取れない、補助金のようなものを申請しようとしてもすぐに出来ない等です。
住民税の申告は自治体によっても多少は差がありますが、２月半ば頃から市区町村の役所で出来ます。

＞また、給与収入が０円でも雑収入が２０万円以上ある場合、確定申告すれば住民税の申告は不要なのでしょうか。

それじゃ収入が０ではないでしょう。
それに以下と言うならともかく、以上と言うのはないでしょう。
２００万でも３００万でも２０万以上ですから。
一体その金額はいくらなのですか？
それを稼ぐ為の経費はどのくらい掛かっているのですか？
健康保険や年金はどうしているんですか？

＞住民税の申告とは具体的にどのようにすればいいのでしょうか…

翌年の 2/16～3/15 に市区町村役場へ提出します。
用紙は、広報紙などと一緒に全戸配布されていることもありますが、配られていなければ市役所へもらいに行ってください。
書き込む事項は、確定申告とほぼ同じですが、基礎控除をはじめ各種の所得控除の額は、確定申告とは少しずつ違っています。
(某市の例)
http://www.city.fukui.lg.jp/d150/siminzei/jumin/ …

＞給与収入が０円でも雑収入が２０万円以上ある場合…

20以上って、どこまで超えたのですか。
雑所得以外に収入はなく、経費を引いて 38万以下なら、確定申告の必要はありませんので、住民税の申告をしておけばよいです。

38万以下の所得しかなくても、株の損失繰越とか、住宅ローンの初年分などで、確定申告をする理由があるなら、住民税の申告はしなくて良いです。