Achilles-számok

A számelmélet területén Achilles-szám olyan pozitív egész szám, ami négyzetteljes szám, de nem teljes hatvány.^[1] Egy n pozitív egész akkor négyzetteljes, ha n minden p prímtényezőjére igaz, hogy p² is n osztója. Más szavakkal, minden prímosztó legalább négyzeten szerepel a prímtényezős felbontásban. Minden Achilles-szám négyzetteljes; azonban nem minden négyzetteljes szám Achilles-szám: csak azok, melyek nem írhatók fel m^k alakban, ahol m és k pozitív, 1-nél nagyobb egész számok.

Az Achilles-számokat Akhilleuszról, a trójai háború fontos szereplőjéről nevezték el, aki szintén „powerful” volt (ami egyszerre jelent négyzetteljest és hatalmast), de tökéletlen (ti. nem teljes hatvány).

Egy n = p₁^a₁ p₂^a₂ … p_k^a_k szám négyzetteljes, ha min(a₁, a₂, …, a_k) ≥ 2. Ha ráadásul gcd(a₁, a₂, …, a_k) = 1 (ahol a gcd a legnagyobb közös osztót jelenti), a szám egyben Achilles-szám is.

Az első néhány Achilles-szám, egészen 5000-ig:

72, 108, 200, 288, 392, 432, 500, 648, 675, 800, 864, 968, 972, 1125, 1152, 1323, 1352, 1372, 1568, 1800, 1944, 2000, 2312, 2592, 2700, 2888, 3087, 3200, 3267, 3456, 3528, 3872, 3888, 4000, 4232, 4500, 4563, 4608, 5000 (A052486 sorozat az OEIS-ben).

A legkisebb, egymástól 1 távolságra lévő Achilles-számpáros:^[2]

5425069447 = 7³ × 41² × 97²

5425069448 = 2³ × 26041²

A 108 négyzetteljes szám. Prímtényezős felbontása: 2² · 3³, prímtényezői tehát a 2 és a 3. Mind a 2² = 4 és a 3² = 9 osztói a 108-nak. A 108 azonban nem fejezhető ki m^k alakban, ahol m és k 1-nél nagyobb egész számok, tehát a 108 Achilles-szám.

A 360 nem Achilles-szám, mert nem négyzetteljes. Egyik prímosztója az 5, de a 360 nem osztható 5² = 25-tel.

Végül, a 784 sem Achilles-szám. Négyzetteljes szám, mivel 2 és 7 prímosztóinak a négyzete, 2² = 4 és 7² = 49 is osztói. Azonban a 784 teljes hatvány:

${\displaystyle 784=2^{4}\cdot 7^{2}=(2^{2})^{2}\cdot 7^{2}=(2^{2}\cdot 7)^{2}=28^{2}.\,}$

Ezért a 784 sem lehet Achilles-szám.