ライプニッツ則と合成関数の微分の関係について、少し書いておきます。 一般の体 を考えます。この体が微分体であるとは、関数 があり、以下の２つの条件を満たすことを言います: (i) (加法的) すべての に対して が成り立つ。 (ii) (ライプニッツ則) すべての に対して が成り立つ。 さて、ライプニッツ則から商の微分などの公式を導くことができます。一方、微分体には「合成関数」の概念がないので、合成関数の微分は定義できません。しかし、多項式は定義できるので、多項式に代入するという見方をすることはできます。例えば、は多項式 に を代入したものとみなすことができます。そうすると、多項式の合成関数の微分公式は証明することができます。つまり、微分体に対して、 (iii) すべての と自然数 に対して、 が成り立ちます。一般の多項式の微分は(i)と(iii)で計算ができます。 逆に多項式の合成関数
Deleted articles cannot be recovered. Draft of this article would be also deleted. Are you sure you want to delete this article? ディープラーニングや汎用人工知能について、脳・神経科学の研究者とAI系エンジニアの対話をまとめました。 本内容は、私と後輩がお茶をしたときの会話の一部です。 後輩は現在、神経科学の研究に携わる研究者です。 私は現在、大手SIerで機械学習・ディープラーニング案件の支援を行うITエンジニアです。 お茶を飲みながらダラダラした会話であり、厳密性やまとまりがないのですがご容赦ください。 うろ覚えもあるので、記事内で間違えなどがあれば、私の責任です。 正解のない話題を取り扱っているので、反論なども多々あるかと思いますが、こんな考えを持つ人もいる
今回は「テンソルとは何か、なぜテンソルという概念が必要となるのか」について考えたいと思います。 予備的考察 テンソルとは何かという問いについて、身近な例である回転運動を素材にして考えていきたいと思います。高校や大学で物理を学んだ方であれば角運動量や力のモーメント等の言葉をご存じかもしれませんが、ここではそれらの定義を天下りに与えることなく、経験的な事実を手掛かりに定式化していきます*1。 はじめに状況設定をしましょう。回転軸から作用点までの位置ベクトルを とし、作用点に力 が掛かっているとします。てこの原理を思い出すと、回転に関する影響力は作用点までの距離と作用点に掛かる力の双方に比例しています。従ってこの影響力を と表すとき、 は次の性質を満たすことが期待されます。 , , . 上記の性質１において と の間で足し算が出来たり、性質３で を定数倍したりしていますが、これらの演算が出来るこ
「可積分理論入門」というタイトルではありますが，自分で勉強しつつ，勉強したことをまとめておこうというのが，この記事のモチベーションです．それでは，始まり始まり． 可積分系とは何か KdV方程式 Darboux変換 KdV方程式とLax pair 応用例 まとめ 付録 可積分系とは何か おそらく，可積分は定義がはっきりとは決まっていないと思います．古典的にはLiouville可積分という概念があり，これにははっきりとした定義があります．Liouville可積分とは簡単に言えば，十分な個数の保存量があることです．可積分と呼ばれるものには，Liouville可積分のように多くの保存量を持つものもありますが，そのことが可積分とみなされる十分条件ではなさそうですし，ハミルトン系でないものや微分方程式でないものもあるので，厳密に定義するのは原理的に難しそうです． 私は可積分系の専門化ではないですが，そ
arai@cris.hokudai.ac.jp http://www.cris.hokudai.ac.jp/arai/ i 1 1 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 11 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2
導入 不定期でトポロジカルデータアナリシス(TDA)に関する紹介をします。今回の内容は、データから図形を見立てる方法と、TDAにて登場する単体的複体の紹介をします。 データを図形に読み替える 以下の図の左側のような点の集まりを、データの集まりだとします。次に、点の周りにある半径の球を描きます*1。すると、球どうしで重なるものがでます。重なったものは、おおざっぱに「つながっている」ち見なします。すると、データは右側のような図に見立てられます。 この見立てた図から何か情報が引き出せれば、それはデータの持つ大事な性質と関係しているかもしれません。 問題点 情報の引き出し方はいずれ紹介するとして、実際に引き出すにあたって以下の問題があります。 見立てた図形をコンピュータで解析することは難しい 見立てた図は人間が「何となくこんな感じ」と考えたもので、細かくみると変てこりんな形をしています。そのため、
講義ノートの目次へ 代数的トポロジー（代数位相幾何，algebraic topology）の講義ノートPDF。 独学に役立つ資料を集めた。 位相幾何学（トポロジー）は，「柔らかい幾何学」という通称を持つ。 その中でも代数的トポロジーは， とくに図形が持つ代数的な構造（群など）に着目。 ポアンカレが１９世紀に導入したホモロジー・ホモトピーなどの用語を使うのが特徴。 図形（多様体）の上で「経路を少しずつずらしてゆく集合」を考えれば，ホモトピー群を構成できる。 それを圏論の観点で「関手」として考えたものがホモロジー。 そして，ホモロジーの双対がコホモロジーだ。 基本的な用語の概念をつかむだけでも容易ではない。 この「代数的位相幾何学」，下記の講義ノートで入門できる。 ※前提として，群・環・体など代数の基礎をこちらのノートで，多様体と曲線・曲面の基礎を微分幾何学の基礎のノートで身につけておこう。
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