二項定理から、数学的帰納法を用いて証明する方法が簡便である。 補題：「 を で割った余りは を で割った余りに等しい。」 （補題の証明） （二項定理） 右辺の両端以外の二項係数 はすべて の倍数である。なぜなら、 であり、 は素数であって なので、分子に含まれる が約分されることはないからである。 したがって、 を で割った余りは、両端の項 を で割った余りに等しい。（補題の証明終） 命題「 」を、 についての数学的帰納法で証明する。 補題に を代入すると、 を で割った余りは となり、 のとき成り立つ。 命題が、 のとき成り立つと仮定する。 補題から、 を で割った余りは を で割った余りに等しい。帰納法の仮定によって を で割った余りは を で割った余りに等しいから、 を で割った余りは を で割った余りに等しい。 したがって、命題は のときも成り立つ。 数学的帰納法によって、命題は
素数を求めるにはエラトステネスの篩を使います。 理屈的にはWikipediaのエラトステネスの篩でも良いですが、 http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/math/m3prime2.htm の方が理解しやすかったです。 今回はコードへ説明を書きました。 ##分かりやすい版 通常とおり、エラトステネスの篩を使って特定の数値までに存在する 素数の数を求めます。 // 遅くなるのでコメントアウト を外せば素数の出力も行います。 package aoj; import java.text.NumberFormat; public class PrimeNumber { public static void main(String args[]) { long startTime = start(); // 0 - 100000までの素数を出力する int num = 1
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