Diofantska enačba

Diofántske enáčbe so v matematiki enačbe oblike f = 0, kjer je f polinom s celoštevilskimi koeficienti ene ali več spremenljivk, ki zavzamejo celoštevilske vrednosti. Imenujejo se po Diofantu, ki je raziskoval enačbe s spremenljivkami z racionalnimi vrednostmi. Zgledi diofantskih enačb so:

${\displaystyle ax+by=1\,}$	linearna diofantska enačba (Glej Bézoutova enakost).
${\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}\,}$	Za n = 2 obstaja več rešitev (x,y,z), pitagorejske trojice. Za večje vrednosti n, Fermatov veliki izrek trdi, da ne obstajajo pozitivne celoštevilske rešitve x, y, z zgornje enačbe.
${\displaystyle x^{2}-ny^{2}=\pm 1\,}$	Pellova enačba, imenovana pomotoma po Johnu Pellu. Raziskovala sta jo Brahmagupta in de Fermat.
${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=3xyz\,}$	kvadratna enačba Markova
${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=t^{2}\!\,}$	pitagorejske četvorke.
${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{a_{i}x^{i}y^{n-i}}=c}$, ${\displaystyle n\geq 3}$, ${\displaystyle c\neq 0}$	Thueve enačbe in so v splošnem rešljive.
${\displaystyle x^{a}-y^{b}=1\!\,}$	diofantska enačba Tijdemanovega izreka in Catalanove domneve.
${\displaystyle x^{m}+y^{n}=z^{k}\!\,}$	diofantska enačba Fermat-Catalanove domneve.
${\displaystyle x^{4}+y^{4}+z^{4}+t^{4}=(x+y+z+t)^{4}\!\,}$	Eulerjeva enačba četrte stopnje.
${\displaystyle {\frac {4}{n}}={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}\!\,}$, oziroma v polinomski obliki 4xyz=n(xy+xz+yz).	Erdős-Strausova domneva pravi, da za vsak celi n ≥ 2 obstaja rešitev, kjer so x, y in z vsi pozitivna cela števila.

Linearna diofantska enačba ene spremenljivke ima obliko:

${\displaystyle ax=c\!\,,}$

kjer st a in c dani celi števili. Enačba je rešljiva, če in samo če je c mnogokratnik a, c/a pa je edina rešitev.

Zgled:

${\displaystyle 3x=42\!\,.}$

Rešitev je:

${\displaystyle x={\frac {42}{3}}=14\!\,.}$

Najpreprostejša linearna diofantska enačba dveh spremenljivk ima obliko:

${\displaystyle ax+by=c\!\,.}$

Če je c največji skupni delitelj števil a in b, potem je to Bézoutova enakost. To pomeni, da ima enačba neskončno mnogo rešitev. Te se lahko najdejo z razširjenim Evklidovim algoritmom. Enačba ima neskončno mnogo rešitev tudi, če je c mnogokratnik največjega skupnega deljitelja števil a in b. Če c ni mnogokratnik največjega skupnega delitelja števil a in b, potem linearna diofantska enačba nima rešitev. Če je (x, y) osnovna rešitev, imajo druge rešitve obliko (x − vk, y + uk), kjer je k poljubno celo število, u in v pa sta količnika a in b z največjim skupnim deliteljem a in b.

Zgled:

${\displaystyle 12x+42y=30\!\,.}$

Največji skupni delitelj števil 12 in 42 je ${\displaystyle \operatorname {D} (12,42)=6\,}$ in 30 je njegov mnogokratnik. u = 12/6 = 2, v = 42/6 = 7, osnovna rešitev pa je (x, y) = (−1, 1). Druge rešitve so (−1 − 7k, 1 + 2k):

${\displaystyle (-8,3),(-15,5),(-22,7),(-29,9),(-36,11),\cdots ,\quad k>0\!\,}$

${\displaystyle (6,-1),(13,-3),(20,-5),(27,-7),(34,-9),(41,-11),\cdots ,\quad k<0\!\,.}$

• diofantska množica