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EP1543439A1 - Rekonstruktion von originalsignalen aus relativmessungen - Google Patents

Rekonstruktion von originalsignalen aus relativmessungen

Info

Publication number
EP1543439A1
EP1543439A1 EP03798108A EP03798108A EP1543439A1 EP 1543439 A1 EP1543439 A1 EP 1543439A1 EP 03798108 A EP03798108 A EP 03798108A EP 03798108 A EP03798108 A EP 03798108A EP 1543439 A1 EP1543439 A1 EP 1543439A1
Authority
EP
European Patent Office
Prior art keywords
reconstruction
unit circle
relative measurements
signals
original signals
Prior art date
Legal status (The legal status is an assumption and is not a legal conclusion. Google has not performed a legal analysis and makes no representation as to the accuracy of the status listed.)
Ceased
Application number
EP03798108A
Other languages
English (en)
French (fr)
Inventor
Klaus-Ulrich Wolter
Current Assignee (The listed assignees may be inaccurate. Google has not performed a legal analysis and makes no representation or warranty as to the accuracy of the list.)
DB Netz AG
Original Assignee
DB Netz AG
Priority date (The priority date is an assumption and is not a legal conclusion. Google has not performed a legal analysis and makes no representation as to the accuracy of the date listed.)
Filing date
Publication date
Application filed by DB Netz AG filed Critical DB Netz AG
Publication of EP1543439A1 publication Critical patent/EP1543439A1/de
Ceased legal-status Critical Current

Links

Classifications

    • B—PERFORMING OPERATIONS; TRANSPORTING
    • B61—RAILWAYS
    • B61K—AUXILIARY EQUIPMENT SPECIALLY ADAPTED FOR RAILWAYS, NOT OTHERWISE PROVIDED FOR
    • B61K9/00—Railway vehicle profile gauges; Detecting or indicating overheating of components; Apparatus on locomotives or cars to indicate bad track sections; General design of track recording vehicles
    • B61K9/08—Measuring installations for surveying permanent way
    • E—FIXED CONSTRUCTIONS
    • E01—CONSTRUCTION OF ROADS, RAILWAYS, OR BRIDGES
    • E01B—PERMANENT WAY; PERMANENT-WAY TOOLS; MACHINES FOR MAKING RAILWAYS OF ALL KINDS
    • E01B35/00—Applications of measuring apparatus or devices for track-building purposes
    • E01B35/12—Applications of measuring apparatus or devices for track-building purposes for measuring movement of the track or of the components thereof under rolling loads, e.g. depression of sleepers, increase of gauge
    • H—ELECTRICITY
    • H03—ELECTRONIC CIRCUITRY
    • H03H—IMPEDANCE NETWORKS, e.g. RESONANT CIRCUITS; RESONATORS
    • H03H17/00—Networks using digital techniques
    • H03H17/02—Frequency selective networks
    • H03H17/0211—Frequency selective networks using specific transformation algorithms, e.g. WALSH functions, Fermat transforms, Mersenne transforms, polynomial transforms, Hilbert transforms
    • H03H17/0213—Frequency domain filters using Fourier transforms
    • H—ELECTRICITY
    • H03—ELECTRONIC CIRCUITRY
    • H03H—IMPEDANCE NETWORKS, e.g. RESONANT CIRCUITS; RESONATORS
    • H03H17/00—Networks using digital techniques
    • H03H17/02—Frequency selective networks
    • H03H17/04—Recursive filters

Definitions

  • the invention relates to a method for the reconstruction of original signals from relative measurements.
  • the output measuring signal is generally not identical with the size to be measured. In many applications, however, this systematic error caused by the measuring system cannot be tolerated.
  • This error can be compensated for when the dynamic behavior and / or the design of the measuring system is known, so that the measuring signal leveled out by the measuring system corresponds exactly to the size to be measured.
  • this is only possible with a certain class of measuring systems.
  • Patent specification DE 44 29 517 describes a method for calculating an inverse transfer function or for correcting measurement signals.
  • a measurement signal recorded by a measurement system is corrected by adding a high-frequency component of the measurement signal, which is determined by an approximate deconvolution, to a solution of a differential equation of the low-frequency component of the measurement signal, the integration constants of which are determined by the boundary conditions given by the measurement technology or by the true signal curve are.
  • this method is mathematically complex and does not represent a target-oriented solution for all tasks. Furthermore, it is an approximation method in which the original measurement signal is only approximately / approximately reconstructed.
  • the compensation filter is easy to implement. - Only simple numerics (few multiplications and additions) are used and the method is therefore also suitable for real-time applications.
  • Claims 2 to 6 indicate advantageous application examples of the method according to the invention.
  • the method of claim 1 is used for the reconstruction of signals according to a chord measurement method.
  • a symmetrical chord division is used in the chord measuring method. This results in a symmetrical impulse response.
  • the symmetrical impulse response has a linear phase response and therefore a constant group delay. From the knowledge of the phase response or the group delay, the phase distortion of the measuring system is advantageously also exactly compensated.
  • the method of claim 1 and / or 2 is used for the reconstruction of track position signals.
  • FIG. 1 shows a basic circuit diagram with an original signal g (x), which is detected by a measuring system with an impulse response h (x) and is output as a measuring signal m (x),
  • FIG. 3 shows an impulse response h d (z) of the measuring system of the exemplary embodiment in the locally discrete system
  • FIG. 4 shows a transfer function H d (z) of the measuring system of the exemplary embodiment in the locally discrete system
  • FIG. 7 poles and zeros of the minimal-phase transfer function Hdmin (z) of the exemplary embodiment in the complex plane
  • FIG. 8 poles and zeros of the all-pass transfer function H ap (z) of the exemplary embodiment in the complex plane
  • FIG. 12 shows an inverse transfer function H 0 (z) of the compensation filter of the exemplary embodiment in the discrete-location system
  • FIG. 13 shows a canonical implementation of a transfer function using a digital filter according to equation (2.29).
  • a track measuring multiple unit from Deutsche Bahn AG is considered, which uses the measuring method of the walking tendon measuring method. It describes how distortion of the amplitude of the measurement signal of the GMTZ is exactly compensated for.
  • the measuring system of the GMTZ does not reproduce the exact physical track positions or the track position deviations. This distortion is due to a systematic error caused by the measurement method. It is imperative to exactly compensate for this systematic error in order to maintain the track position and, in particular, to assess the deviations from the track position using true-to-shape track position signals.
  • the measuring system of the GMTZ can be described as a linear time invariant system (LTI system).
  • the track position g (x) is the input variable for the LTI system.
  • the LTI system is completely described by the impulse response h (x) or transfer function ( ⁇ ).
  • H (jw) is the Fourier transform of the impulse response h (x).
  • the impulse responses h (x) and the transfer functions H (j ⁇ ) are unambiguously given due to the geometry of the hiking vision measurement method. It must be taken into account that different impulse responses and transfer functions exist for the measurement of the longitudinal height and direction deviations. Furthermore, the measurement direction - direction of travel of the GMTZ must also be taken into account. This results in a total of four different impulse responses or transfer functions for the measurement of the longitudinal height and direction deviations.
  • the parameters a and b denote the tendon divisions.
  • the z-transformation is used for the calculation of the inverse transfer function, so that the continuous transfer functions are already represented here as discrete-location functions.
  • the measurement signal m [n] results from the spatially discrete folding of the track position g [n] with the impulse response h d [n], see Fig. 2:
  • the discrete impulse response h d [n] can also be represented in the frequency domain by the discrete Fourier transform (DFT).
  • DFT discrete Fourier transform
  • chord divisions in this example are 2.6 m and 6 m, the sampling rate was set to 0.2 m:
  • the task to be solved is to design a compensation filter h c [n] - additional LTI system - which compensates for the transmission behavior of the GMTZ.
  • 5 shows the overall system including the compensation filter with the designations: g * [n] g [n] (2.12)
  • H d (z) can be determined directly from h d [n]:
  • Equation (2.17) can also be used in the form
  • H d (z) The poles of H d (z) are the zeros of ⁇ (z) - So that the LTI system H d (z) is causal and stable, all poles of H d (z) must be inside the unit circle in the complex z- Level
  • H d (z) is called minimal phase.
  • H d (z) the poles and zeros of H d (z) are drawn in according to equation (2.18) in the complex z plane. Since zeros of H d (z) lie outside the unit circle, this system is not a minimum phase. Since H d (z) is not a minimum phase, H c (z) cannot be calculated according to equation (2.19).
  • H d (z) To calculate H c (z), H d (z) must be divided into two system functions.
  • H d (z) H dn ⁇ n (z) - H ap (z) (2.20)
  • H dmin (z) and H d (z) have the same amplitude distortion, but the same amplitude response but a different phase response
  • the numerator polynomial Z '(z) for H dmin (z) results from the zeros within the unit circle and the mirrored zeros. All poles and zeros of H dmin (z) are inside the unit circle.
  • H dm i n (z) is minimal phase.
  • H ap (z) consists of all zeros of H d (z) which lie outside the unit circle together with the poles which cancel the mirrored conjugate reciprocal zeros of H dm i n (z).
  • H dm j n (z) and H ap (z) are shown in FIGS. 7 and 8.
  • H dm is minimal in (z)
  • H c (z) can be calculated according to equation (2.19)
  • 11 and 12 show the poles and the zeros as well as the transfer functions of ⁇ o (j ⁇ ).
  • the amplitude response of H d (z) is exactly compensated for.
  • the phase response of the entire system is equal to the phase response of H ap (z).
  • the implementation with a canonical basic structure lends itself.
  • the advantage is that the filter coefficients a and b can be read directly from the system function. If necessary, a linear factor must be taken into account.
  • the transmission behavior of the compensation filter H c (z) can be represented in accordance with equation (2.29).
  • the filter coefficients a and b can thus also be read off directly for H c (z).
  • the mechanical structure of a measuring system is considered using the wandering tendon method.
  • This measuring system has a free chord length and a free chord division.
  • the impulse response h (x) or transfer function H (j ⁇ ) or system function H (z) of the measuring system becomes so by a suitable choice of the chord length and the chord division optimizes that there is a minimal compensation filter H c (z). With this compensation filter, all zeros of H (z) are at a large distance from the unit circle or are already close to the center of the unit circle without reflection within the unit circle.

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Abstract

Die Erfindung betrifft ein Verfahren zur Rekonstruktion von Originalsignalen aus Relativmessungen. Die Erfindung beschreibt ein verfahren, bei dem die Amplitudenverzerrung eines Messsystems exakt durch ein Kompensationsfilter kompensiert wird, wobei das Kompensationsfilter eindentig durch das Messsystem bestimmt ist. Die beschreibende Systemfunktion des Messsystems wird minimalphasig und damit invertierbar, indem alle ihre Nullstellen, die ausserhalb des Einheitskreises liegen am Einheistkreis gespiegelt werden und somit in das Innere des Einheitskreises gelangen. Vorteilshafte Anwendungsbeispiele sind die Rekonstruktion von Messungen aus einem Wandersehnenverfahren sowie zur Rekonstruktion von Gleislagemessungen des Schienenverkehrs.

Description

Rekonstruktion von Oriqinalsiqnalen aus Relativmessunqen
Beschreibung
Die Erfindung betrifft ein Verfahren zur Rekonstruktion von Originalsignalen aus Relativmessungen.
Bedingt durch das dynamische Verhalten und durch den konstruktiven Aufbau eines Messsystems ist im Allgemeinen das ausgegebene Messsignal nicht i- dentisch mit der zu messenden Größe. Bei vielen Anwendungen ist jedoch die- ser durch das Messsystem systematisch bedinge Fehler nicht tolerierbar.
Dieser Fehler kann bei der Kenntnis des dynamischen Verhaltens und/oder des konstruktiven Aufbaus des Messsystems kompensiert werden, so dass das vom Messsystem ausgebebene Messsignal exakt der zu messenden Größe entspricht. Allerdings ist dies nur bei einer bestimmten Klasse von Messsystemen möglich.
In der Patentschrift DE 44 29 517 wird ein Verfahren zur Berechnung einer in- versen Übertragungsfunktion bzw. zur Korrektur von Messsignalen beschrieben. Hierbei wird ein von einem Messsystem aufgenommenes Messsignal korrigiert durch Addition eines hochfrequenten Anteils des Messsignals, der durch eine approximative Entfaltung ermittelt wird, zu einer Lösung einer Differentialgleichung des tieffrequenten Anteils des Messsignals, wobei deren Integrationskonstanten durch die messtechnischen oder durch den wahren Signalverlauf gegebenen Randbedingungen bestimmt sind. Dieses Verfahren ist jedoch mathematisch aufwendig und stellt nicht für alle Aufgabenstellungen einen zielfüh- renden Lösungsansatz dar. Desweiteren handelt es sich um ein Näherungsverfahren, bei dem das originale Messignal nur näherungsweise/approximativ rekonstruiert wird.
Es ist daher Aufgabe der Erfindung, ein Verfahren zur Rekonstruktion von Originalsignalen aus Relativmessungen anzugeben, bei dem die geschilderten Nachteile des Standes der Technik gelöst werden.
Diese Aufgabe wird in Verbindung mit dem Oberbegriff des Hauptanspruches erfindungsgemäß durch die in Anspruch 1 angegebenen Merkmale gelöst.
Vorteil der Erfindung gegenüber dem Stand der Technik ist, dass - die Verzerrung der Amplitude des Messsignals exakt (mathematisch nachweisbar) kompensiert wird, es handelt sich somit nicht um ein Näherungsverfahren,
- das Kompensationsfilter einfach zu realisieren ist. - nur einfache Numerik (wenige Multiplikationen und Additionen) verwendet wird und daher das Verfahren auch für Echtzeitanwendungen geeignet ist.
- das Kompensationsfilter eindeutig zu bestimmen ist, es ist somit kein Optimierungsverfahren notwendig.
Ansprüche 2 bis 6 geben vorteilhafte Anwendungsbeispiele des erfindungsge- mäßen Verfahrens an.
Nach Anspruch 2 wird das Verfahren aus Anspruch 1 zur Rekonstruktion von Signalen nach einem Wandersehnenmessverfahren verwendet.
Nach Anspruch 3 wird bei dem Wandersehnenmessverfahren eine symmetrische Sehnenteilung verwendet. Hierdurch ergibt sich eine symmetrische Im- pulsantwort. Die symmetrische Impulsantwort hat einen linearen Phasengang und damit eine konstante Gruppenlaufzeit zur Folge. Aus der Kenntnis des Phasenganges bzw. der Gruppenlaufzeit wird vorteilhaft zusätzlich die Phasenverzerrung des Messssystems exakt kompensiert.
Nach Anspruch 4 wird das Verfahren aus Anspruch 1 und/oder 2 zur Rekon- struktion von Gleislagesignalen verwendet.
Die Erfindung wird nachstehend anhand zweier Ausführungsbeispiele und den Figuren 1 bis 13 näher erläutert. Die Figuren zeigen in
- Fig. 1 ein prizipielles Schaltbild mit einem originalen Signal g(x), das von einem Messsystem mit einer Impulsantwort h(x) erfasst und als Messsignal m(x) ausgegeben wird,
- Fig. 2 wie Fig. 1 , jedoch in einem ortsdiskreten System,
- Fig. 3 eine Impulsantwort hd(z) des Messsystems des Ausführungsbeispiels im ortsdiskreten System, - Fig. 4 eine Übertragungsfunktion Hd(z) des Messsystems des Ausführungsbeispiels im ortsdiskreten System,
- Fig. 5 wie Fig. 2, jedoch ergänzt um ein Kompensationsfilter mit der inver- sen Impulsantwort hc[n], so dass sich ein rekonstruiertes originales Signal g*[n] ergibt, - Fig. 6 Pole und Nullstellen der Übertragungsfunktion Hd(z) des Messsystems des Ausführungsbeispiels in der komplexen Ebene,
- Fig. 7 Pole und Nullstellen der minimalphasigen Übertragungsfunktion Hdmin(z) des Ausführungsbeispiels in der komplexen Ebene, - Fig. 8 Pole und Nullstellen der Allpass-Übertragungsfunktion Hap(z) des Ausführungsbeispiels in der komplexen Ebene,
- Fig. 9 eine minimalphasige Übertragungsfunktion Hdmin(z) des Ausführungsbeispiels nach Gleichung (2.20) im ortsdiskreten System,
- Fig. 10 eine Allpass-Übertragungsfunktion Hap(z) des Ausführungsbeispiels nach Gleichung (2.20) im ortsdiskreten System,
- Fig. 11 Pole und Nullstellen der inversen Übertragungsfunktionen Hc(z) des Kompensationsfilters des Ausführungsbeispiels in der komplexen Ebene,
- Fig. 12 eine inverse Übertragungsfunktionen H0(z) des Kompensationsfilters des Ausführungsbeispiels im ortsdiskreten System, - Fig. 13 eine kanonische Realisierung einer Übertragungsfunktion mittels digitaler Filter nach Gleichung (2.29).
In dem ersten Ausführungsbeispiel wird ein Gleismesstriebzug (GMTZ) der Deutschen Bahn AG betrachtet, der das Messverfahren des Wandersehnen- messverfahrens verwendet. Es wird beschrieben, wie eine Verzerrung der Amplitude des Messsignals des GMTZ exakt kompensiert wird.
Das Messsystem des GMTZ gibt hierbei nicht die exakten physikalischen Gleislagen bzw. die Gleislageabweichungen wieder. Diese Verzerrung beruht auf einem durch das Messverfahren bedingten systematischen Fehler. Für die Gleislageinstandhaltung und insbesondere zur Beurteilung der Gleislageabweichungen anhand formtreuer Gleislagesignale ist es zwingend erforderlich diesen systematischen Fehler exakt zu kompensieren.
Das Messsystem des GMTZ kann als lineares zeitinvariantes System (LTI- System) beschrieben werden. Die Gleislage g(x) ist hierbei die Eingangsgröße für das LTI-System. Das LTI-System wird vollständig durch die Impulsantwort h(x) bzw. Übertragungsfunktion ( ω) beschrieben. Hierbei ist H(jw) die Fou- riertransformierte der Impulsantwort h(x). m(x) ist das vom Messsystem gelieferte Signal, siehe Fig. 1 : m(x) = g(x) * h(x) - h(x-τ)dτ (2.1)
M(jω) = G(jω) • H(jω) (2.2)
Beim Messsystem GMTZ sind die Impulsantworten h(x) und die Übertragungsfunktionen H(jω) eindeutig aufgrund der Geometrie des Wandersehenmessver- fahrens gegeben. Es ist zu berücksichtigen, dass für die Messung der Längshöhen- und Richtungsabweichungen jeweils unterschiedliche Impulsantworten und Übertragungsfunktionen existieren. Des Weiteren ist auch die Messrichtung - Fahrtrichtung des GMTZ zu berücksichtigen. Somit ergeben sich für die Messung der Längshöhen- und der Richtungsabweichungen insgesamt vier unter- schiedliche Impulsantworten bzw. Übertragungsfunktionen.
Die Impulsantworten h(x) und die Übertragungsfunktionen H(jα/) des GMTZ sind durch folgende Gleichungen vollständig beschrieben:
h(x) = δ{x) — —δ(x-b) — —δ(x+a) (2.3) a + b a + b
H(jώ) = \ — Q J -~- e (2.4) a +b ^ a +b
Die Parameter a und b bezeichnen die Sehnenteilungen.
GMTZ Impulsantwort im ortsdiskreten Fall
Für die Berechnung der inversen Übertragungsfunktion wird von der z- Transformation Gebrauch gemacht, so dass bereits an dieser Stelle die kontinuierlichen Übertragungsfunktionen als ortsdiskrete Funktionen dargestellt werden.
Für den Übergang von der kontinuierlichen zur diskreten Funktion müssen folgende Parameter ersetzt werden: x -> n - Ax n : Abtastwert (2.5)
Δx : Abtastrate
Zu beachten ist hierbei, dass auch die Sehnenteilungen diskretisiert werden müssen:
— - d -— = d Ax " Δx ~ 2 dl;d2 e Z (2.6)
ie diskreten Sehnenteilungen ad und bd können direkt berechnet werden: a d = Δx (2.7) bΛ
Δx ad;bd e Z (2.8)
Die ortsdiskrete Impulsantwort des Messsystems lautet: hd[n] = δ[n] — δ[n -b] — δ[n + a] (2.9) a+b a +b
(die Diskretisierung wird zusätzlich durch eckige Klammern kenntlich gemacht). In Gleichung (2.9) bezeichnen die Parameter a und b die diskreten Sehnenteilungen.
Das Messsignal m[n] ergibt sich aus der ortsdiskreten Faltung der Gleislage g[n] mit der Impulsantwort hd[n], siehe Fig. 2:
m[n] = ∑g[k]- hd[n -k] (2.10) k=-∞
Die diskrete Impulsantwort hd[n] kann durch die diskrete Fouriertransformation (DFT) auch im Frequenzbereich dargestellt werden. In Fig. 3 ist die Impulsant- wort und in Fig. 4 die Übertragungsfunktion dargestellt.
Die Sehnenteilungen betragen in diesem Beispiel 2,6 m und 6 m, die Abtastrate wurde auf 0,2 m festgelegt:
Δx = 0,2m α = ^L = 13 (2.11)
Δx b = ^i = 30
Δx
Kompensation des Übertragungsverhaltens Die zu lösende Aufgabe besteht darin, ein Kompensationsfilter hc[n] - zusätzliches LTI-System- zu entwerfen, welches das Übertragungsverhalten des GMTZ kompensiert. In Fig. 5 ist das Gesamtsystem inklusive Kompensationsfilter dargestellt mit den Bezeichnungen: g * [n] g[n] (2.12)
m[n] = 2 Sik] - hd[n - k] (2.13)
g *[n] = m[k] - hc[n - k] (2.14)
4=-co
Berechnung des Kompensationsfilters h£fnl
Für die Berechnung des Kompensationsfilters hc[n] wird die Impulsantwort hd[n] mittels der komplexen z-Transformation transformiert. Der Vorteil dieser Heran- gehensweise liegt darin, dass wesentliche Eigenschaften von LTI-Systemen in der komplexen z-Ebene in einfacher Weise darstellbar sind. hd[ \-^→Hd (z) <-2-15)
Unter Berücksichtigung der Eigenschaften der z-Transformation und der Verwendung bekannter z-Transformationspaare kann Hd(z) direkt aus hd[n] be- stimmt werden:
^[»] = ^[«] δ[n -b] δ[n + a] (2.16) a + b a + b
Hä(z) = l ?—Z-b ~z" (2.17) a+b a+b
Durch algebraische Umformung kann Gleichung (2.17) auch in der Form
BM.i_______^_±__.m a + b N(z) dargestellt werden.
Allgemein gilt:
- Die Νullstellen von Hd(z) sind die Νullstellen von Z(z)
- Die Polstellen von Hd(z) sind die Νullstellen von Ν(z) - Damit das LTI-System Hd(z) kausal und stabil ist müssen alle Pole von Hd(z) im Inneren des Einheitskreises in der komplexen z-Ebene liegen
- Soll das System auch invertierbar sein, so müssen auch die Nullstellen von Hd(z) im Inneren des Einheitskreises in der komplexen z-Ebene liegen Liegen alle Pol- und Nullstellen von Hd(z) im Inneren des Einheitskreises in der komplexen z-Ebene nennt man Hd(z) minimalphasig.
ie zu Hd(z) inverse Systemfunktionen Hc(z) minimalphasiger Systeme kann ie folgt angegeben werden:
N(z)
Hc(z) = Hd 1 (z) = - (2.19)
Hd (z) Z(z)
In Fig. 6 sind die Pole und Nullstellen von Hd(z) entsprechend der Gleichung (2.18) in der komplexen z-Ebene eingezeichnet. Da Nullstellen von Hd(z) außerhalb des Einheitskreises liegen ist dieses System nicht minimalphasig. Da Hd(z) nicht minimalphasig ist kann Hc(z) auch nicht entsprechend der Gleichung (2.19) berechnet werden.
Zur Berechnung von Hc(z) muss Hd(z) in zwei Systemfunktionen aufgeteilt werden.
Hd(z) = Hdnάn (z) - Hap(z) (2.20)
Eigenschaften von Hdmin(z) und Hap(z):
Hdmin(z)
- Alle Pole und Nullstellen von Hdmιn(z) liegen im Inneren des Einheitskreises
- Hdmin(z) und Hd(z) haben die gleiche Amplitudenverzerrung, den glei- chen Amplitudengang jedoch unterschiedlichen Phasengang
- Hdn,in(z) ist minimalphasig
- Hap(z) ist ein Allpasssystem
- Amplitudengang konstant eins, jedoch Phasengang, Phasenverzer- rung Berechnung von Hriminfz) und Hap(z):
(a + b) -a -z-b -b- za -a -b-z(cΛb) +(a + b) -zb _ Z(z)
Hd{z) = - a + b ; = ( τa— + b~)-z-b b — - — = - Nττ(rzτ) <2-21>
- Berechnen der Nullstellen von Hd(z):
Z(z) = 0 =.> -a - b ■ z(fl+4) + (a + b) - z" = 0 (2.22)
- Berechnen der Polstellen von Hd(z):
N(Z) = 0 => (α +b) - Z4 = 0 (2.23)
- Z(z) von Hd(z) umformen:
Z(Z) = -b -(z(β+i) -~Z" + ) = -b[(z- N1)(Z-N2)(z - N3)...(z -N(a+4))] (2.24)
0 b
- Alle Νullstellen Νx von Z(z) die außerhalb des Einheitskreises liegen werden am Einheitskreis gespiegelt. Spiegelung der entsprechenden Nullstellen an ihre konjugiert reziproke Position innerhalb des Einheitskreises.
NJ > 1 => Z -» — (2.25)
Z
- Aus den Νullstellen innerhalb des Einheitskreises und den gespiegelten Νullstellen ergibt sich das Zählerpolynom Z'(z) für Hdmin(z). Alle Pole und Νullstellen von Hdmin(z) liegen im Inneren des Einheitskreises.
Hdmin(z) ist minimalphasig.
- Hap(z) besteht aus allen Νullstellen von Hd(z) die außerhalb des Einheitskreises liegen zusammen mit den Polen die die gespiegelten konjugiert re- ziproken Νullstellen von Hdmin(z) wieder aufheben.
In Fig. 7 und Fig. 8 sind die Pole und Νullstellen von Hdmjn(z) und Hap(z) eingezeichnet.
Fig. 9 und Fig. 10 stellen die Übertragungsfunktionen von Hdmin(jω) und Hap(jω) dar. Berechnung von Hs(z):
Da Hdmin(z) minimalphasig ist kann Hc(z) entsprechend der Gleichung (2.19) berechnet werden
HC(Z) = H ! ( ) = ---— = !^
Hdvb_ {z Z z) (2 27)
In Fig. 11 und Fig. 12 sind die Pole und die Nullstellen sowie die Übertragungsfunktionen von Ηo(jω) dargestellt.
Übertragungsverhalten H^z) des gesamten Systems:
Das Übertragungsverhalten des gesamten Systems Hges(z) lautet:
Hges(z) = Hd(z) - Hc(z) = Hd(z) - l __ Hd(z) -^ß- ^ Hap z) (2.28)
Der Amplitudengang von Hd(z) wird exakt kompensiert. Der Phasengang des gesamten Systems ist gleich dem Phasengang von Hap(z).
Bestimmung der Filterkoeffizienten a, b aus Hc(z)
Zur Realisierung der Übertragungsfunktion mittels digitaler Filter bietet sich die Realisierung mit einer kanonischen Grundstruktur an. Der Vorteil besteht darin, dass die Filterkoeffizienten a und b direkt aus der Systemfunktion abgelesen werden können. Gegebenenfalls ist ein linearer Faktor zu berücksichtigen.
Allgemeine Form, siehe Fig. 13:
rr, . h +b2 -z~l +b3 -z~2 +b4 -z~3 + --- + +bn,, -z'n
H(z) = — ! 2— 3 ; * : *** — (2.29) al +a2 -z +az -z +a - z +--- + + m - z
Das Übertragungsverhalten des Kompensationsfilter Hc(z) kann entsprechend der Gleichung (2.29) dargestellt werden. Somit können auch für Hc(z) die Filterkoeffizienten a und b direkt abgelesen werden.
Im zweiten Ausführungsbeispiel wird der mechanische Aufbau eines Messsystems nach dem Wandersehnenverfahren betrachtet. Dieses Messystem weist eine freie Sehnenlänge und eine freie Sehnenteilung auf. Durch eine geeignete Wahl der Sehnenlänge und der Sehnenteilung wird die Impulsantwort h(x) bzw. Übertragungsfunktion H(jω) bzw. Systemfunktion H(z) des Messsystems so optimiert, dass sich ein minimales Kompensationsfilter Hc(z) ergibt. Bei diesem Kompensationsfilter weisen alle Nullstellen von H(z) einen großen Abstand vom Einheitskreis auf oder befinden sich bereits ohne Spiegelung innerhalb des Einheitskreises nahe am Mittelpunkt des Einheitskreises.
Hierdurch wird erreicht, dass sich das Kompensationsverfahren wesentlich vereinfacht bzw. eine optimale Rekonstruktion erhalten wird.
Verzeichnis der verwendeten Formelzeichen
m(x) Messsignal h(x) Impulsantwort des Messsystems g(x) originales Signal g*(x) rekonstruiertes Signal m[n] Messsignal im diskreten System h[n] Impulsantwort des Messsystems im diskreten System g[n] originales Signal im diskreten System g*[n] rekonstruiertes Signal im diskreten System M(jω) Fouriertransformierte von m(x)
H(jω) Fouriertransformierte von h(x), Übertragungsfunktion
G(jω) Fouriertransformierte von g(x)
M(z) z-Transformierte von m(x)
H(z) z-Transformierte von h(x), Systemfunktion G(z) z-Transformierte von g(x) x Ort j imaginäre Einheit ω Kreisfrequenz δ(x) Dirac-Funktion a, b Parameter der Sehnenteilung bzw. Filterkoeffizienten n Abtastwert
Δx Abtastrate z Ort der komplexen z-Ebene, komplexe Zahl z* konjugiert komplexe von z d Index des ortsdiskreten Systems
Z(z) Zählerpolynom
N(z) Nennerpolynom
Hc(z) Systemfunktion des Kompensationsfilters Hmin(z) minimalphasige Systemfunktion zu Hd(z)
Hap(z) Allpass-Systemfunktion
Nx Nullstelle
Hges(z) Systemfunktion des gesamten Systems

Claims

Patentansprüche
1. Verfahren zur Rekonstruktion von Originalsignalen aus Relativmessungen, bei dem ein Messsignal m(x) mit seiner Fourriertransformierten M(jω) durch ein Messsystem mit einer bekannten und eindeutigen Impulsantwort h(x) bzw. Übertragungsfunktion H(jω) bzw. Systemfunktion H(z) aus einem originalen Signal g(x) mit seiner Fourriertransformierten G(jω) ermittelt wird mit dem Zusammenhang M(jω) = G(jω) -H(jω), dadurch gekennzeichnet, dass
- die Impulsantwort mit der komplexen z-Transformation transformiert wird h(x) → H(z), - H(z) in zwei Systemfunktionen aufgeteilt wird H(z) = Hmin(z) -Hap(z), wobei Hmin(z) ein minimalphasiges System und Hap(z) ein Allpasssystem beschreibt,
- ein Kompensationsfilter Hc(z) = 1/ Hmin(z) verwendet wird, durch das die Amplitudenverzerrung bzw. der Amplitudengang des Messsystems exakt kompensiert wird, wobei Hmin(z) berechnet wird indem
- Nullstellen von H(z), die außerhalb des Einheitskreises liegen am Ein- heistkreis gespiegelt werden und somit in das Innere des Einheitskreises gelangen, indem die entsprechende Nullstelle mit z → 1/z* an ihre kon- jugiert reziproke Position innerhalb des Einheitskreises gespiegelt wird, wobei z* konjugiert komplex zu z ist,
- trotz dieser Spiegelung der Amplitudengang von H(z) gleich dem Amplitudengang von Hmin(z) gelassen wird,
- die neue Systemfunktion Hmin(z) dadurch minimalphasig wird und somit Hc(z) berechnet wird.
2. Verfahren zur Rekonstruktion von Originalsignalen aus Relativmessungen nach Anspruch 1 , dadurch gekennzeichnet, dass das Verfahren zur Rekonstruktion von Signalen nach einem Wandersehnenmessverfahren ver- wendet wird.
3. Verfahren zur Rekonstruktion von Originalsignalen aus Relativmessungen nach Anspruch 2, dadurch gekennzeichnet, dass eine symmetrische Sehnenteilung verwendet wird. Verfahren zur Rekonstruktion von Originalsignalen aus Relativmessungen nach einem oder mehreren der Ansprüche 1 bis 3, dadurch gekennzeichnet, dass das Verfahren zur Rekonstruktion von Gleislagesignalen verwendet wird.
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