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Ellipsenzirkel. Es bestehen bereits einige Zirkel, die es gestatten,
mit ihrer Hilfe Ellipsen zu zeichnen. Nachstehend ist ein neues Gerät dieser Art
beschrieben, das gestattet, eine mathematisch einwandfreie Zeichnung von Ellipsen
mit beliebigen Halbachsen a und b zu zeichnen, wobei eine bisher nicht
bekannte einfache Eigenschaft der Ellipse benutzt wird.
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Der mathematische Grundsatz des Ellipsenzirkels beruht auf folgender
Grundlage: Zieht man in Abb. I von einem Punkt F1, dem einen Brennpunkt der zu zeichnenden
Ellipse, einen
beliebigen Strahl, trägt darauf eine Strecke F, P1
= 2a, wo 2 a der große Durchmesser der Ellipse ist, ab, schlägt um F2, den anderen
gegebenen Brennpunkt der Ellipse, den Kreis mit 2 a als Radius und um P1 den Kreis
mit 2 e, dem Abstand der beiden Brennpunkte, als Radius, und verbindet man jetzt
den Schnittpunkt der beiden Kreise P2 mit F2, so ist der Schnittpunkt R von F, P1
und F2 P2 ein Ellipsenpunkt. Der Beweis ergibt sich aus folgendem: Zum Beweis zieht
man die Gerade F2 P1. Nach Konstruktion ist F, PI = F2 P2 = 2 a und
F, F2 = P, P2 = 2 e. Die beiden Dreiecke F, F2 P1 und P, P2 F2 sind kongruent, da
sie in den drei Seiten übereinstimmen. Es sind also auch die beiden Winkel P2 F2
Pi und F, P, F2 gleich. Da sie Basiswinkel in dem Dreieck R F2 P1 sind, ist das
Dreieck gleichschenkelig. Es ist also RF, = R P1. Nun ist F, R + R P, = 2 a, da
aber RF, = R P1 ist, so folgt, daß F, R + RF2 = 2a ist.
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Führt man nun dieselbe Konstruktion für einen anderen beliebigen Strahl
F, Q1 aus, so erhält man den Punkt S als gesuchten Ellipsenpunkt, was sich
auf dieselbe Art wie oben beweisen läßt. Die Gesamtheit der auf die gezeigte Weise
zu konstruierenden Punkte R,S.. . bildet also eine Ellipse.
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Der hier abgeleitete mathematische Grundsatz läßt sich nun auf verschiedene
Weisen in die Praxis umsetzen. Eine Ausführungsform ist im nachstehenden beschrieben
(Abb. II, III). Auf einem mit einem Schlitz versehenen Lineal aus Metall ist an
dem einen Ende eine Schraube F2' fest angebracht. Auf dieser Schiene kann in dem
Schlitz eine zweite Schraube Fr verstellt werden. Beide Schrauben tragen Zirkelspitzen,
die die Brennpunkte der zu zeichnenden Ellipse darstellen. Um diese Schrauben sind
zwei weitere ebenfalls mit Schlitz versehene Lineale F,' Pi und F2 P2 drehbar angeordnet.
Die Enden P1' und P2 dieser beiden Lineale sind durch ein weiteres Lineal, das ebenfalls
einen Schlitz trägt, verbunden. Die Schraube Pl' ist an den Enden beider Lineale
fest angebracht, während die Schraube P2 in den Schlitzen zweier Lineale verstellbar
ist. Auf dem Schnittpunkt der beiden Schienen F,' Pi und F2' P2' läuft ein Schieber
R', dessen Achse durch die Schlitze in den beiden Linealen hindurchgeht, so daß
sich der Schieber bei der möglichen Bewegung des Ganzen immer auf den Schnittpunkt
einstellen muß. Dieser Schieber trägt den Schreibstift. Damit die mathematische
Voraussetzung erfüllt wird, muß die Einstellung der Länge der Lineale so vorgenommen
werden, daß F,' P1' und F2 P2 - z a, dem großen Durch-Messer der Ellipse, und F,'
F2 und P, .'P2' gleich 2 e, der Entfernung der Brennpunkte, gemacht werden. Dies
geschieht dadurch, daß auf der Schiene I F,' F2 eingestellt wird. Dann stellt man
auf der Schiene II, auf der die Schraube Fi zweckmäßig verschiebbar und feststellbar
ist, F,' Pi = 2 a ein. Hierauf wird Pl' P2' gleich F1' F2 gemacht und eingestellt.
Damit nun auch F2' P2' gleich 2 a wird, stellt man den Zirkel so, wie Abb. II angibt,
dann ist zwangsläufig F2 P2' gleich 2a, und jetzt wird die letzte Schraube P2' festgestellt.
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Die Schienen I und II sind an den Enden, die die Schraube F2' tragen,
durchbohrt. Durch die Bohrlöcher geht die Achse der Schraube F2', die in Abb. IVa
dargestellt ist. Auf dieselbe Art werden die beiden anderen Schienen durch die Schraube
Pi zusammengehalten. Die anderen Halteschrauben müssen so gebaut sein, daß sie gleichzeitig
eine Einstellung der Länge und eine Drehbewegung um ihre Achse zulassen. Eine Möglichkeit
der Ausführung ist in Abb. IVb dargestellt.
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Das Teil B ist in das Teil A eingeschraubt. Der Stempel C ist innerhalb
B drehbar. Der Zapfen D trägt ein Gewinde zur Aufnahme der beiden Muttern E und
F. Das Teil A hat auf der Unterseite einen mit Gewinde versehenen Zapfen, der die
Mutter G trägt. Die Schiene H wird durch die Mutter F auf die Mutter E aufgeschraubt.
Die Schiene j wird durch die Mutter G auf das Teil A aufgeschraubt. Die Schiene
H kann sich jetzt mit dem Stempel C gegen die Schiene j drehen.
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Die Konstruktion der Ellipse geschieht nun so, daß die Spitzen F,'
und F2 fest auf das Papier gesetzt werden. Mit Hilfe des bei P2 aufgesetzten Knopfes
bewegt man den Zirkel in der möglichen Art. Wie aus Abb. II ersichtlich ist, ist
F2 zweckmäßig niedriger als die Schraube F,', damit sich die Schienen F,' Pi und
P,' P2 über die Schraube F2' hinwegbewegen lassen. Da die so gezeichnete Ellipse
auf der einen Seite nicht ganz geschlossen ist, dreht man den Zirkel um 18o' und
zeichnet den fehlenden Teil nach. Der Zapfen bei P2' dient zur Führung auf dem Papier.