DE4100691A1

DE4100691A1 - Verfahren zur darstellung eines dreidimensionalen modells

Info

Publication number: DE4100691A1
Application number: DE4100691A
Authority: DE
Inventors: Yoshinori Tsujido
Original assignee: Mitsubishi Electric Corp
Current assignee: Mitsubishi Electric Corp
Priority date: 1990-01-12
Filing date: 1991-01-11
Publication date: 1991-07-25
Anticipated expiration: 2011-01-12
Also published as: US5280569A; JPH03250273A; JP2738588B2; DE4100691B4

Description

Die vorliegende Erfindung bezieht sich auf ein Verfahren zur Darstellung eines dreidimensionalen Modells im CAD- oder CAM-Bereich, wobei ein dreidimensionales, elektronisch in einem Rechner erfaßtes dreidimensionales Modell auf einem Anzeigeschirm dargestellt wird.

In jüngster Zeit hat die Computergraphik durch die Verbesserung der elektronischen Ausrüstung und der Software auf dem Gebiet der Computertechnik bemerkenswerte Fortschritte erzielt. Ausgehend von der Drahtskelettmethode, bei der nur die Konturen eines Objektes bezeichnet werden, wurde eine Technik zur Darstellung sowohl eines dreidimensionalen Modells, als auch eines zweidimensionalen Modells (Planarmodell) ein Vollkörperverfahren entwickelt, bei dem die Oberfläche eines Objektes dargestellt wird.

Die Anzeige eines dreidimensionalen Modells mit Bildabschaltung wurde im einzelnen in den nachfolgenden Publikationen offenbart: "Principles of Interactive Computer Graphics", "W.H. Newman & R.F. Sproull, McGRAW-HILL, 1981" und "Fundamentals of Interactive Computer Graphics", und "J.D. Foley & A. VAN DAM, Addison Wesley, 1982". In diesem Zusammenhang wird allgemein eine Methode verwendet, bei der die Oberfläche eines dreidimensionalen Modells in dreieckige, viereckige oder polygonale Abschnitte unterteilt (oder durch Sampling approximiert) wird. Die Normale jedes Abschnittes wird unter Verwendung der äußeren Produkte der Seiten desselben erhalten, während die Farbe des Abschnittes entsprechend dieser Normalen bestimmt wird, und der auf dem Bildschirm projizierte dreieckige, rechteckige oder polygonale Bereich wird mit der so bestimmten Farbe eingefärbt. Nachfolgend soll die Methode unter Bezugnahme auf den gewöhnlichen Fall beschrieben werden, bei dem eine Oberfläche in viereckige Abschnitte unterteilt wird. Zunächst wird die Oberfläche des dreidimensionalen Modells in eine Anzahl von viereckigen Abschnitten unterteilt und der Normalvektor jedes viereckigen Abschnittes ermittelt. Danach wird die Helligkeit des Abschnittes entsprechend dem Normalvektor ermittelt. Die vier Scheitelpunkte P_{i, j}, P_{i+1, j}, P_{i+1, j+1} und P_{i, j+1} des viereckigen Abschnittes werden durch Koordinatentransformation jeweils in vier Punkte Q_{i, j}, Q_{i+1, j}, Q_{i+1, j+1} und Q_{i, j+1} eines zweidimensionalen Koordinatensystems auf dem Anzeigeschirm umgewandelt. Danach wird der durch die vier Punkte Q_{i, j}, Q_{i+1, j}, Q_{i+1, j+1} und Q_{i, j+1} mit der vorbestimmten Farbe und Helligkeit eingefärbt. Die beschriebene Operation wird für alle, die Oberfläche des dreidimensionalen Modells bildenden viereckigen Abschnitte durchgeführt, wodurch das Modell mit Bildabschaltung dargestellt wird. Die Beseitigung der verdeckten Oberfläche kann durch Steuern der Verarbeitungssequenz des rechteckigen Abschnittes erreicht werden.

Das beschriebene herkömmliche Verfahren zur Darstellung eines dreidimensionalen Modells besitzt folgende Nachteile: Um ein dreidimensionales, dem Positiv- und Negativverfahren unterworfenes Modell anzuzeigen, ist es erforderlich, auf dem Anzeigeschirm jeden viereckigen Abschnitt zu färben, dessen Seiten mit den Koordinatenachsen verschiedene Winkel bilden. Dann wird im Falle, daß die Anzahl der Probenpunkte (oder die Anzahl der viereckigen Abschnitte) groß ist, der Rechner hoch belastet, so daß die Verarbeitungsgeschwindigkeit des Verfahrens entsprechend herabgesetzt ist. Die Verarbeitungsgeschwindigkeit kann durch Verkleinern der Anzahl der Einfärbungen erhöht werden, d. h., durch Verringern der Anzahl der Probenpunkte. Dadurch entsteht jedoch ein anderes Problem, daß nämlich die Darstellung des dreidimensionalen Modells weniger genau ist.

Es ist demgemäß ein Ziel der vorliegenden Erfindung, die genannten, mit dem herkömmlichen Verfahren zur Darstellung eines dreidimensionalen Modells verbundenen Schwierigkeiten zu beseitigen. Insbesondere besteht das Ziel der vorliegenden Erfindung in der Schaffung eines Verfahrens zur Darstellung eines dreidimensionalen Modells, bei dem es nicht mehr erforderlich ist, Abschnittsbereiche zu färben, die der Koordinatentransformation unterzogen werden müssen, und das in der Lage ist, ein dreidimensionales Modell mit hoher Geschwindigkeit und hoher Genauigkeit und Bildabschaltung anzuzeigen.

Bei dem Verfahren zur Darstellung eines dreidimensionalen Modells gemäß der vorliegenden Erfindung wird ein Paar der diagonalen Punkte jeder der Gruppen der viereckigen Abschnitte, die die obere oder untere Grenzfläche des dreidimensionalen Modells bilden, auf ein- und denselben Koordinatenwert einer ersten Koordinatenachse (X-Achse oder Y-Achse) des zweidimensionalen Koordinatensystems projiziert, wobei einer der verbleibenden beiden Punkte auf einen Koordinatenwert projiziert wird, der um das n-fache (n ist eine natürliche Zahl) kleiner als der Koordinatenwert ist, auf den das Paar der diagonalen Punkte projiziert wird, während der andere Punkt auf einen Koordinatenwert projiziert wird, der um das n-fache größer als der Koordinatenwert ist, auf den das Paar der diagonalen Punkte projiziert wird, und wobei ein durch die so projizierten Punkte definierter viereckiger Abschnitt durch eine Rechteckfläche angenähert wird, die in Richtung der X-Achse oder der Y-Achse des zweidimensionalen Koordinatensystems eine Breite n besitzt.

Weiter wird bei dem Verfahren zur Darstellung eines dreidimensionalen Modells gemäß der Erfindung unter Benutzung von Koordinatenwerten auf der x-Achse und der y-Achse als Indices das dreidimensionale Modell im Rechner durch eine zweidimensionale Gruppierung ausgedrückt, die auf der z-Achse des dreidimensionalen Modells einen oberen oder unteren Grenzwert umfaßt.

Darüber hinaus wird bei dem Verfahren zur Darstellung eines dreidimensionalen Modells gemäß der Erfindung im Falle, daß die Teilungs- und Sampling-Intervalle des dreidimensionalen Modells voneinander unabhängig sind, der z-Koordinatenwert eines Punktes auf der oberen, durch vier Scheitelpunkte (Probenpunkte) abgesteckten Grenzfläche auf dem Bildschirm aus den Koordinatenwerten von vier Probenpunkten durch Linearinterpolation bestimmt, und der so berechnete Punkt wird der Koordinatentransformation unterzogen.

Bei dem Verfahren zur Darstellung des dreidimensionalen Modells gemäß der Erfindung wird die Koordinatentransformation eines Punktes auf dem dreidimensionalen Modell in einen Punkt auf dem Bildschirm unter Berücksichtigung der Pixels des Bildschirms durchgeführt, wobei die Abschnitte des dreidimensionalen Modells durch einfache Rechteckflächen oder Pixelfolgen angenähert werden, die dann eingefärbt werden.

Fig. 1 stellt ein Erläuterungsdiagramm zur Darstellung eines dreidimensionalen Modells dar;

Fig. 2 stellt ein Erläuterungsdiagramm zur Darstellung der Punkte dar, die in einem zweidimensionalen Koordinatensystem durch Koordinatentransformation erhalten werden;

Fig. 3 stellt ein Erläuterungsdiagramm zur Darstellung von Rechteckflächen oder Pixelfolgen dar, die durch Annäherung der Vierecke erhalten werden;

Fig. 4 stellt ein Flußdiagramm zur Beschreibung des Verfahrens zur Darstellung eines dreidimensionalen Modells gemäß der vorliegenden Erfindung dar und

Fig. 5 stellt ein Erläuterungsdiagramm zur Beschreibung einer Interpolationsmethode dar, die zur Gewinnung von x-Achsenwerten angewandt wird.

Nachfolgend wird unter Bezugnahme auf die beigefügten Zeichnungen ein bevorzugtes Ausführungsbeispiel der Erfindung beschrieben.

Fig. 1 stellt ein Erläuterungsdiagramm zur Darstellung eines Beispiels eines dreidimensionalen Modells dar. In der Figur bezeichnet das Bezugszeichen 100 die Oberfläche des dreidimensionalen Modells.

Bei dem oben beschriebenen dreidimensionalen Modell kann ein Punkt (schwarzer Knoten in Fig. 1) auf der Oberfläche 100 durch eine z-Koordinate ausgedrückt werden, die eine durch die nachfolgende Gleichung (1) definierte x-Koordinate und eine durch die nachfolgende Gleichung (2) definierte y-Koordinate besitzt:

x = a _* i + K1, (1)

wobei i=0, 1, 2, 3 und 4 in Fig. 1 ist, und die x-Koordinaten in gleichen Abständen a von einem Anfangspunkt x=k1 in Richtung der x-Achse auftreten.

y = b _* j + K2, (2)

wobei j=0, 1, 2, 3, 4 und 5 in Fig. 1 ist, und die y-Koordinaten in gleichen Abständen b von einem Anfangspunkt y=k2 in Richtung der y-Achse auftreten und _* ein Multiplikationssymbol darstellt.

Ein dreidimensionales Modell wird im allgemeinen in der obigen Weise dargestellt. In einem analytisch dargestellten dreidimensionalen Modell kann eine Anzahl von Punkten einfach durch Probennahme (Sampling) gewonnen werden. Auch im Falle eines elektronisch in einem Rechner erfaßten dreidimensionalen Modells können die Punkte automatisch erhalten werden. Insbesondere können im Falle, daß die x-Koordinaten der Punkte der Oberfläche im Rechner in der Weise erfaßt sind, daß sie in einer zweidimensionalen, durch die Variablen i und j bezeichneten Gruppierungen gespeichert sind, die so gespeicherten Daten im nachfolgenden Verfahrensprozeß in der Form benutzt werden, wie sie vorliegen.

Nachfolgend soll die Durchführung der vorliegenden Ausführungsform der Erfindung beschrieben werden. In der folgenden Beschreibung wird ein Punkt (schwarzer Knoten in Fig. 1) auf der oberen Grenzfläche entsprechend einem Indexwert i, j durch P_{i, j} dargestellt. Wie beschrieben, wird bei der Darstellung mit Bildschattierung der Normalvektor eines viereckigen Abschnittes durch vier benachbarte Punkte P_{i, j}, P_{i+1, j}, P_{i+1, j+1} und P_{i, j+1} definiert, die Helligkeit des Abschnittes wird aus dem Normalvektor berechnet, und die vier Punkte werden der Koordinatentransformation unterzogen, so daß sie in einem Koordinatensystem auf dem Bildschirm in Punkte Q_{i, j}, Q_{i+1, j}, Q_{i+1, j+1} und Q_{i, j+1} umgewandelt werden, und die durch die vier Punkte Q_i,j, Q_{i+1, j}, Q_{i+1, j+1} und Q_{i, j+1} definierte Fläche wird farbig angelegt. Die vorliegende Ausführungsform bezieht sich auf die Koordinatentransformation und das Einfärben der durch die vier Punkte definierten Fläche.

Bei der Koordinatentransformation werden folgende Transformationsgleichungen (3) und (4) verwendet:

x = (n/a)_*(x-k1)-(n/b)_*(y-k2)+k_xoff (3)

y = k3_*(x-k1)+k4_*(y-k2)+k5_*z+k_yoff, (4)

wobei k_xoff, k_yoff, k3, k4 und k5 Konstanten oder Versetzungswerte sind.

Die Gleichungen (3) und (4) können unter Heranziehung der obengenannten Gleichungen (1) und (2) in folgende Gleichungen (5) und (6) vereinfacht werden:

x = n_*i - n_*j + k_xoff (5)

y = k31_*i + k41_*j + k5_*z + k_yoff, (6)

wobei k31=k3_*a und k41=k4_*b ist.

Wenn die Gleichungen (5) und (6) auf die Punkte P_{i, j}, P_{i+1, j}, P_{i+1, j+1} und P_{i, j+1} angewandt werden, werden auf dem Bildschirm die Koordinatenpunkte Q_{i, j}, Q_{i+1, j}, Q_{i+1, j+1} und Q_{i, j+1} erhalten, wie Fig. 2 zeigt. Wie aus Gleichung (5) hervorgeht, ist der X-Koordinatenwert des Punktes Q_i+l,j um das n-fache größer als derjenige des Punktes Q_i,j, während der x-Koordinatenwert des Punktes Q_i,j+l um das n-fache kleiner als derjenige des Punktes Q_i,j ist. Der X-Koordinatenwert des Punktes Q_{i+1, j+1} entspricht demjenigen des Punktes Q_{i, j}.

Wie Fig. 2 zeigt, wird der durch die vier Punkte Q_{i, j}, Q_{i+1, j}, Q_{i+1, j+1} und Q_{i, j+1} definierte Abschnitt durch eine Rechteckfläche mit der Breite n und einer von Punkt Q_{i, j} bis Punkt Q_{i+1, j+1} reichenden Länge approximiert. Anstelle des durch die vier Punkte Q_{i, j}, Q_{i+1, j}, Q_{i+1, j+1} und Q_{i, j+1} definierten Abschnittes wird die Rechteckfläche 200 mit einer vorbestimmten Farbe eingefärbt. Im Vergleich zu anderen unregelmäßigen Flächen kann die Rechteckfläche 200 leicht gefärbt werden. Die erwähnte Approximation steigert also die Verfahrensgeschwindigkeit. In gleicher Weise kann ein durch vier Punkte P_{i+1, j}, P_{i+2, j}, P_{i+2, j+1} und P_{i+1, j+1} definierter viereckiger Abschnitt durch eine Rechteckfläche 201 angenähert werden, die eine Breite n und eine von Punkt Q_{i+1, j} bis Punkt Q_{i+2, j+1} reichende Länge besitzt. Auf diese Weise werden also alle viereckigen Abschnitte der Oberfläche auf dem Bildschirm durch Rechteckflächen näherungsweise ersetzt.

Diese Annäherung liefert ein sehr genaues Resultat im Falle, daß der Wert n wesentlich kleiner als der Anzeigebereich ist. Bei n=1 wird ein besonderer Effekt erzielt. Wie Fig. 3 zeigt, wird gemäß den Gleichungen (5) und (6) der X-Koordinatenwert des Punktes Q_{i+1, j} in einen größeren Wert umgewandelt als derjenige des Punktes Q_{i, j}, während der X-Koordinatenwert des Punktes Q_{i, j+1} in einen kleineren Wert als den des Punktes Q_{i, j} umgewandelt wird. Die X-Koordinate des Punktes Q_{i+1, j+1} hingegen entspricht derjenigen des Punktes Q_{i, j}. Dies bedeutet, daß in Fig. 3 ein Quadrat ein Pixel darstellt. Die einzufärbende Rechteckfläche hat eine Breite von "1", wobei eine Zeile (Folge) von Pixeln 202 eingefärbt werden muß. Das auf der oberen Grenzfläche 100 durch die vier Punkte P_{i+1, j}, P_{i+2, j}, P_{i+2, j+1} und P_{i+1, j+1} definierte Viereck wird auf dem Bildschirm durch die Pixelfolge 203 angenähert. Auf diese Weise kann die Einfärbung leichter erfolgen und die Verfahrensgeschwindigkeit entsprechend erhöht werden.

Die Einfärbung entsprechend dem konventionellen Verfahren leidet unter folgenden Nachteilen: Wenn die Fläche durch die vier Punkte Q_{i, j}, Q_{i+1, j}, Q_{i+1, j+1} und Q_{i, j+1} definiert ist, werden die die Scheitelpunkte umfassenden Pixel, nämlich die Punkte Q_{i+1, j} und Q_{i, j} eingefärbt. Beim Einfärben ihrer benachbarten Fläche werden die die Punkte Q_{i+1, j} und Q_{i+1, j+1} umfassenden Punkte erneut eingefärbt. Dieser Nachteil kann jedoch durch die Approximation unter Verwendung der Rechteckflächen beseitigt werden, d. h., daß das dreidimensionale Modell mit großer Genauigkeit dargestellt werden kann. Bei der Flächenannäherung durch die Rechteckflächen 200 und 201 oder durch die Pixelfolgen 202 und 203 können alle, der Koordinatentransformation unterzogenen Pixel der oberen Grenzfläche gemäß dem Stande der Technik eingefärbt werden.

Mit a=b und
mit k3=1/tan 60°0.57735
k4=1/tan 60°0.57735
k5=2/tan 60°1.15470

stellt die Koordinatentransformation auf der Basis der Gleichungen (5) und (6) eine isometrische Projektion dar, so daß ein allgemein geltender visueller Darstellungswinkel erzielt wird. Und im Falle, daß ein dreidimensionales Modell als zweidimensionale Gruppierung im Rechner gespeichert ist, werden die Daten sowohl in Richtung der x-Achse als auch in Richtung der y-Achse in gleichen Abständen gewählt.

Mit a=b und
mit k3=0.5=1/2
k4=0.5=1/2
k5=1.0

ist die isometrische Projektion nicht genau. Die Multiplikation kann aber durch eine Versetzungsoperation ersetzt werden, wodurch die Verfahrensgeschwindigkeit weiter erhöht wird.

Nachfolgend wird unter Bezugnahme auf das in Fig. 4 dargestellte Flußdiagramm eine Folge von Operationen der Koordinatentransformation und der Pixeleinfärbungen beschrieben. Fig. 4 betrifft den Fall, daß n=1, k_xoff=0 und k_yoff=0 ist.

Als erstes werden der Wert X der X-Koordinate und die Werte Y1 und Y2 der Y-Koordinate der Punkte Q_{i, j} und Q_{i+1, j+1} entsprechend den Gleichungen (5) und (6) berechnet (Schritt ST300). Als nächstes werden die Werte Y1 und Y2 miteinander verglichen (Schritt ST301). Wenn Y2 < Y1 ist, weist der viereckige Abschnitt mit der Rückseite zum Anzeigeschirm, so daß es nicht erforderlich ist, ihn darzustellen. Nur wenn Y2 Y1 ist, wird eine Pixelfolge von Punkt Q_{i, j} bis Punkt Q_{i+1, j+1} eingefärbt (Schritte ST303 bis ST305). Das heißt, daß solange Pixel gefärbt werden, bis der Y-Koordinatenwert den Wert U2 erreicht, wobei er um "1" erhöht wird. In Schritt ST303 wird das in der Position X,Y auf dem Anzeigeschirm befindliche Pixel durch eine Farbe (c) ersetzt, die in Bezug auf ihren Abschnitt vorbestimmt ist. Die erwähnte Serie von Schritten wird für alle viereckigen Abschnitte auf der oberen Grenzfläche des dreidimensionalen Modells durchgeführt.

Die beschriebene Koordinatentransformation des dreidimensionalen Modells in ein zweidimensionales Koordinatensystem ist eine feststehende Transformationsmethode unter Verwendung der isometrischen Projektion. Diese Transformation ist für die Darstellung eines dreidimensionalen Modells auf dem zweidimensionalen Bildschirm in praktischer Hinsicht ausreichend.

Nun soll der Fall beschrieben werden, daß bei der Darstellung des dreidimensionalen Modells die Teilungsintervalle und die Koordinatentransformation in ein zweidimensionales Koordinatensystem voneinander unabhängig sind. Es sei der Fall betrachtet, daß ein dreidimensionales Modell in ein zweidimensionales Koordinatensystem transformiert wird. In diesem Falle kann durch Umwandlung der Daten a, b, k3, k4 und k5 in den Gleichungen (3) und (4) entsprechend dem Drehwinkel um die Visierlinie das dreidimensionale Modell als in Richtung einer gewünschten Visierlinie betrachtet, dargestellt werden. Bei der obigen Ausführungsform der Erfindung stehen die Teilungsabstände a und b und das Samplingintervall miteinander in Beziehung. Wenn sie jedoch als voneinander unabhängige Parameter behandelt werden, können die rechteckigen Abschnitte durch Rechteckflächen approximiert werden.

Nachfolgend wird der Fall beschrieben, bei dem das Sampling-Intervall in Richtung der x-Achse und der y-Achse unabhängig von den Teilungsabständen a und b als Konstante d gesetzt wird. Auch in diesem Falle wird der z-Achsenwert eines Punktes P_{i, j} auf der oberen Grenzfläche durch Verwendung der durch die Gleichungen (1) und (2) dargestellten Koordinatenwerte erhalten. In diesem Falle kann der z-Koordinatenwert des Punktes P_{i, j} nicht direkt unter Verwendung von "i, j" erhalten werden, weil die Teilungsabstände a und b nicht in Beziehung mit dem Sampling-Intervall d stehen. Wie jedoch Fig. 5 zeigt, umgeben vier Probenpunkte

R_{m, n} (X_m, Y_m, Z_{m, n}),
R_{m+1, n} (X_m+1, Y_n, Z_{m+1, n}),
R_{m+1, n+1} (X_m+1, Y_n+1, Z_{m+1, n+1}) und
R_{m, n+1} (X_m, Y_n+1, Z_{m, n+1})

den Punkt, der den x-Koordinatenwert und den y-Koordinatenwert (dargestellt durch die Gleichungen (1) und (2)) entsprechend "i, j" besitzt. Die z-Koordinatenwerte dieser vier Probenpunkte können dazu benutzt werden, den z-Koordinatenwert des Punktes P_{i, j} durch folgende Linearinterpolation zu gewinnen:

z = z_{m, n} _* (x_m+1-x)_*(y_n+1-y)/d²
+ z_{m+1, n} _*(x-x_m)_*(y_n+1-y)/d2
+ z_{m+1, n+1} _*(x-x_m)_*(y-y_n)/d2
+ z_{m, n+1} _*(x_m+1-x)_*(y-y_n)/d² (7)

Der so erhaltene z-Koordinatenwert wird verwendet. Das heißt, daß wie bei der oben beschriebenen Ausführungsform der Erfindung die durch die vier Punkte P_{i, j}, P_{i+1, j}, P_{i+1, j+1} und P_{i, j+1} definierte Fläche näherungsweise durch eine rechteckige Fläche oder eine Impulsfolge auf dem Anzeigeschirm ersetzt und in gleicher Weise eingefärbt wird.

Bei dem Verfahren zur Darstellung eines dreidimensionalen Modells gemäß der vorliegenden Erfindung werden viereckige Abschnitte der oberen Grenzfläche des dreidimensionalen Modells durch Rechteckflächen entlang der x-Achse und der y-Achse eines zweidimensionalen Koordinatensystems auf dem Bildschirm approximiert. Es ist also bei Anwendung der Erfindung nicht mehr erforderlich, die Operation der Einfärbung unregelmäßig gestalteter Vierecke durchzuführen, und daher kann das Verfahren zur Einfärbung der Abschnitte mit hoher Geschwindigkeit und hoher Genauigkeit erfolgen.

Claims

1. Verfahren zur Darstellung eines dreidimensionalen Modells bei elektronischer Erfassung in einem Rechner, derart, daß in einem durch drei unabhängige erste, zweite und dritte Koordinatenachsen dargestellten Raum der obere und der untere Grenzwert der dritten Achse durch Zuweisen eines Koordinatenwertes auf der ersten Achse und eines Koordinatenwertes auf der zweiten Achse bestimmt wird, das dreidimensionale Modell durch Darstellen einer Gruppe von viereckigen Abschnitten angezeigt wird, welche die obere oder untere Oberfläche des dreidimensionalen Modells bilden, wobei diese Flächen auf dem Anzeigeschirm durch Koordinatentransformation in die eines zweidimensionalen Koordinatensystems transformiert werden und das Verfahren folgende Schritte aufweist:

- Projizieren eines Paares diagonaler Punkte jeder der Gruppen viereckiger Abschnitte auf ein und denselben Koordinatenwert einer ersten Koordinatenachse des zweidimensionalen Koordinatensystems;
- Projizieren des übrigbleibenden Punktes der beiden Punkte auf einen Koordinatenwert, der um das n-fache kleiner als der Koordinatenwert ist, auf den das Paar von diagonalen Punkten projiziert wird, während der andere Punkt auf einen Koordinatenwert projiziert wird, der um das n-fache größer als der Koordinatenwert ist, auf dem das Paar der Koordinatenwerte projiziert wird; und
- Approximieren eines durch die so projizierten Punkte definierten viereckigen Abschnittes durch eine rechteckige Fläche, die eine Breite n in Richtung der ersten Koordinatenachse des zweidimensionalen Koordinatensystems besitzt.

2. Verfahren zur Darstellung eines dreidimensionalen Modells nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß unter Verwendung der Koordinatenwerte der ersten und der zweiten Koordinatenachse als Index das dreidimensionale Modell im Rechner durch eine zweidimensionale Gruppierung ausgedrückt wird, die einen oberen oder unteren Grenzwert auf der dritten Koordinatenachse des dreidimensionalen Modells umfaßt.

3. Verfahren zur Darstellung eines dreidimensionalen Modells nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die Koordinatenwerte auf der dritten Koordinatenachse der vier auf das zweidimensionale Koordinatensystem auf dem Anzeigeschirm projizierten Scheitelpunkte durch Linearinterpolation aus den Koordinatenwerten der vier, den genannten Scheitelpunkten benachbarten Probenpunkte bestimmt werden.

4. Verfahren zur Darstellung eines dreidimensionalen Modells nach Anspruch 2, dadurch gekennzeichnet, daß die Koordinatenwerte auf der dritten Koordinatenachse der vier auf das zweidimensionale Koordinatensystem auf dem Anzeigeschirm projizierten Scheitelpunkte durch Linearinterpolation aus den Koordinatenwerten der vier, den genannten Scheitelpunkten benachbarten Probenpunkte bestimmt werden.