DE2027303C3

DE2027303C3 - Filter mit frequenzabhängigen Übertragungseigenschaften für elektrische Analogsignale

Info

Publication number: DE2027303C3
Application number: DE2027303A
Authority: DE
Inventors: Alfred Dr. 4630 Bochum Fettweis
Original assignee: Siemens AG
Current assignee: Siemens AG
Priority date: 1970-06-03
Filing date: 1970-06-03
Publication date: 1975-09-04
Also published as: FI59004B; FI59004C; JPS5332220B1; US3967099A; BE768042A; FR2095736A5; LU63259A1; CH551719A; DE2027303B2; SE372154B; NL168379B; YU141171A; NL168379C; GB1355525A; DE2027303A1; NL7107571A; AT318710B; CA937296A

Description

' 4

PAM-Signalform bedeutet in diesem Zusammenhang, tergrundschaltung, die die gewünschten frequenzdaß das Signal in Form von Abtastimpulsen des abhängigen Übertragungseigenschaften aufweist, vor-Ajialogsignals vorliegt, in deren Amplitude der zu zugsweise einer Abzweigschaltung, die reaktiven Zweiverarbeitende Informationsgehalt gegeben ist, während polschaltelemente dieser Grundschaltung (Induktivität, PCM-Signalform bedeutet, daß der Informations- 5 Kapazität) als laufzeitbehaftete Eintorschaltungen und gehalt der einzelnen Abtastprobe «ies Analogsignals Leitungselemente als laufzeitbehaftete Zweitorschaldurch ein Codewort zum Ausdruck gebracht ist, tungen, vorzugsweise in Abtasttechnik, ausgebildet welches nach den Grundsätzen der Pulscodemodu- sind, die nichtreaktiven Zweipolschaltelemente dieser lation gestaltet ist. Pulsdeltamodulationsform bedeutet Grundschaltung (Widerstand, Leerlaufwiderstand, in diesem Zusammenhang, daß das Signal aus einer io Kurzschlußwiderstand, widerstandsfreie und widerbinären Impulsfolge besteht, die die Änderungen der standsbehaftete Quelle) als laufzeitfreie Eiutorschal-Analogsignalabtastwerte überträgt. Auch Mischfor- tungen und die nichtreaktiven Mehrtorelemente (Transmen dieser Modulationen, wie DeUa-PCM sind mög- formator, Gyrator, Zirkulator) als laufzeitfreie Mehrlich und für die Erfindung in Betracht gezogen. torschaliungen, vorzugsweise ebenfalls in Abtast-

Bekanntlich sind die Übertragungseigenschaften von 15 technik, ausgebildet sind, und daß zur Zusammen-Filtern sehr empfindlich gegen Variationen der schaltung der Tore der Torschaltungen Adapter vor-Koeffizienten ihrer Übertragungsfunktion. Während gesehen sind, über die die Torwiderstände der zudieser Umstand für LC-Filter nur ein Berechnungs- sammengeschalteten Tore aneinander angepaßt sind, problem darstellt (die Empfindlichkeit gegenüber Bei der Erfindung wird von einer völlig neuen BeElement-Variationen ist bei gewöhnlichen Abzweig- 20 trachtungsweise der Rechnerfilter ausgegangen, die es filtern ziemlich klein), stellt er beim Entwurf digitaler ermöglicht, Schaltungen anzuwenden, deren Toleranz-Filter ein Schwierigkeiten bereitendes Realisierungs- empfindlichkeit wesentlich geringer ist als die der bisproblem dar. her verwendeten Schaltung. Vor allem sind dies die

Digitale Filter sind bisher derart gebaut worden, resistiv abgeschlossenen, sogenannten Abzweigschaldaß man Strukturen verwendete, deren Elemente- 25 tungen, die für Filter mit konzentrierten Induktivitäten (Multiplikator-) Werte unmittelbar von der gegebenen und Kapazitäten weit verbreitet sind. Man kann damit Übertragungsfunktion bestimmt sind (Lit. 1 bis 5). für Digitalfilter bzw. Rechnerfilter, die gute Sperr-Ein offensichtlicher Vorteil einer solchen Prozedur ist bereichunempfindlichkeit von Abzweigschaltungen erdie Tatsache, daß sie keine komplizierten Realisierbar- reichen, zusammen mit der guten Durchlaß-Unempkeitstheorien oder längliche numerische Berechnungen 30 findlichkeit, welche LC-Filter, die mit Widerständen erfordert, wie dies bei der Betriebsparameter-Synthese abgeschlossen sind, bekanntlich infolge der Tatsache konventioneller LC-Filter der Fall ist. Der Vorteil muß haben, daß ihre Betriebsdämpfung niemals negativ jedoch durch den Nachteil erkauft werden, daß diese werden kann. Durch die Erfindung wird es ermöglicht, digitalen Filterstrukturen eine sehr hohe Empfindlich- digitale Filter entsprechend den Strukturen zu entkeit ihrer Übertragungseigenschaften gegenüber EIe- 35 werfen, welche sehr nahe denjenigen verwandt sind, mentevariationen aufweisen. Im Falle einer digitalen die für die Realisierung sogenannter Einheitselement-Realisierung bedeutet dies nicht nur eine Abweichung Filter verwendet werden. Da Filter dieses letztgenannder tatsächlichen Frequenzcharakteristik von der ge- ten Typs in solcher Weise gebaut werden können, daß wünschten infolge von Koeffizientenabrundung, son- sie alle die obengenannten Erfordernisse erfüllen, gilt dem auch ein gewisses Geräusch infolge der bei den 40 dasselbe auch für die entsprechenden digitalen Filter, einzelnen Rechenschritten entstehenden Rundungs- Die Theorie der Einheits-Element-Filter ist wohlbefehler (Lit. 6 bis 9). kannt und ähnlich der Theorie der klassischen LC-

Der übliche Weg, diese Schwierigkeit zu überwinden, Filter.

besteht darin, die gegebene Übertragungsfunktion zu- Ein besonderer Vorteil der erfindungsgemäßen FiI-

erst zu faktorisieren und das Filter dementsprechend 45 terschaltungstechnik besteht weiterhin darin, daß auch

als eine einfacue Kaskadenschaltung von Gliedern Gyratoren und Zirkulatoren in derselben Art und

ersten und zweiten Grades zu realisieren. Weise und mit derselben Leichtigkeit realisiert werden

Der Erfindung liegt die Aufgabe zugrunde, die bei können, wie reziproke Elemente und daß keine Beden bekannten Schaltungen der einleitend geschildert schränkung etwa dahingehend gegeben ist, daß, wie ten Art vorhandenen Toleranzschwierigkeiten wenig- 50 bisher üblich, nur Strukturen mit geerdeten Einheitsstens auf ein erträgliches Maß zu reduzieren. Dies läuft elementen verwendet werden können. Weiterhin ist letztlich darauf hinaus, die Anzahl der in dem Filter, der wesentliche Vorteil gegeben, daß ein erfindungsdas auch häufig als Rechnerfilter bezeichnet wird, be- gemäßes Rechnerfilter eine wesentlich reduzierte Bitnötigten Multiplikationsstufen so gering wie möglich zahl, welche für die Berechnungskoeffizienten benutzt zu halten. Jede Multiplikation bringt nämlich eine 55 werden müssen, aufweist, im Vergleich zu bekannten Erhöhung der Stellenzahl, bezogen auf das jeweilige Rechnerfiltern.

Ergebnis mit sich, und will man nicht Multiplikatoren Nachstehend wird die Erfindung an Hand einer Ab-

mit wirtschaftlich untragbaren Stellenzahlen verwen- leitung der allgemeinen Theorie und an Hand von

den, so ist man gezwungen, die Ergebnisse entspre- Ausführungsbeispielen näher erläutert. Die schaltungs-

chend zu kürzen bzw. abzurunden, was letztlich einer 60 technische Ausführung, vor allem der zur Anwendung

Reduzierung der Genauigkeit des erzielten Ergebnisses kommenden Laufzeitglieder, Speicher, Addierer und

bedeutet. Multiplizierer wird nicht näher behandelt, da diese an

Ausgehend von einem Filter mit frequenzabhängigen sich bekannt ist, z. B. durch die angegebenen Literatur-Übertragungseigenschaften für elektrische Analog- stellen. Die Ausführungsbeispiele sind dabei auf die signale, die in quanüsierter oder codierter Form vor- 65 Zeichnung bezogen, deren Figureninhalt wie folgt ist. liegen, bei dem die Bauelemente durch Torschaltungen F i g. 1 Strom-Spannungs-Flußdiagtamm für eine realisiert sind, wird diese Aufgabe gemäß der Erfin- Induktivität im 93-Bereich.
dung dadurch gelöst, daß, ausgehend von einer LC-FiI- Fig. 2 a Induktivität der Impedanz^/?;

Fig. 2b ihr stationäres Wellenflußdiagramm, be- Fig. 22c das zugehörige Wellenflußdiagramm.

stehend aus einer Transmittanz —l/z; Fig. 23a Ein unilaterales Allpaßglied erster Ord-

FJg. 2c ihr momentanes Wellenflußdiagramm, be- nung;

stehend 'aus einer VerzögerungT und einem Vor- Fig. 23b das zugehörige Wellenzweitor.

zeichen-lnverter. 5 F i g. 24a Ein unilaterales Allpaßglied zweiter Ord-

F ig. 3a Kapazität der Impedanz R/<p; nung;

Pi'g. 3b ihr stationäres Wellenflußdiagramm, be- Fig. 24b das zugehörige Wellenzweitor.

stehend aus einer Trahsmittanz l/z; F i g. 25a Ein abgeschlossener unilateraler Allpaß;

Fig. 3c ihr momentanes Wellenflußdiagramm, be- Fig. 25b das entsprechende Wellenflußdiagramm.

stehend aus einer Verzögerung T. io F i g. 26a Filter, bestehend aus einer Kette von drei

F t g. 4a Widerstand R; Einheitselementen;

F i g. 4b sein Wellenflußdiagramm, bestehend aus F i g. 26b das entsprechende Wellenflußdiagramm.

einer Wellensenke. F i g. 27 a Bandpaßfilter, bestehend aus einem Reak-

Fig. 5a Leerlauf; tanzzweitor in Kette mit drei Einheitselementen;

F i g. 5b sein Wellenflußdiagramm. 15 Fig. 27b die zugehörige Einheitselement-Abzweig-

F ig. 6a Kurzschluß; struktur;

Fig. 6b sein Wellenflußdiagramm. Fi g. 27c Wellenflußdiagramm, abgeleitet aus

Fig. 7a Idealer Transformator vom Verhältnis Fig. 27b.

—1/1; Wenn erforderlich, wird in den Zeichnungen der

Fig. 7b sein Wellenflußdiagramm. 20 Torwiderstand entweder unter der unteren Tor-

F i g. 8a Gyrator mit Gyrationswiderstand R; klemme oder wenigstens in ihrer Nachbarschaft ange-

F ig. 8b sein Wellenflußdiagramm. schrieben.

F i g. 9 a Dreitor-Zirkulator mit Zirkulationswider- Allgemeine Grundlagen
stand R;

Fig. 9b sein Wellenflußdiagramm. 25 Betrachten wir zuerst ein gewöhnliches LC-Abzweig-

F i g. 10a Einheitselement mit Verzögerung T/2 und Filter. Seine übertragungsfunktion H(p), welche eine

Wellenwiderstand R; rationale Funktion der komplexen Frequenz-Varia-

F i g. 10b sein Wellenflußdiagramm. blen ρ ist, entspricht einer einzigen Differentialglei-

F i g. 11a Quelle mit Spannung e in Reihe mit dem chung zwischen der Eingangsvariablen χ und der Aus-

ÄViderstand R; 3° gangsvariableny. Anstatt eine LC-Struktur zu ver-

F i g. 11b und c zwei äquivalente Darstellungen des wenden, würde es theoretisch möglich sein, diese

zugehörigen Wellenflußdiagramms. Differentialgleichung direkt auf einem Analogrechner

F i g. 12a Eine Spannungsquelle der Spannung e; zu realisieren, in welchem Fall die Koeffizienten von

Fig. 12b ihr Wellenflußdiagramm. H(p) alle einer Multiplikation mit einer Konstanten

Fig. 13 a Eine Stromquelle vom Strom ejR; 35 entsprechen würden. In Wirklichkeit würde eine solche

Fig. 13 b ihr Wellenflußdiagramm. Prozedur völlig unpraktisch sein, da für gute Filter die

F i g. 14a Zusammenschaltung von zwei Toren mit Koeffizienten von H(p) mit extremer Genauigkeit be-

Torwiderständen R₁ bzw. R₁; kannt sein müssen, damit die Nullstellen und Pole von

Fig. 14b schematische Darstellung des zugehörigen H(p) und damit das tatsächliche Übertragungsver-

Wellenzweitors (Zweitoradapter). 40 halten mit einer nui milden Genauigkeit bestimmt sind.

Fig. 15 Eine mögliche Realisierung des Zweitor- Trotz dieser Schwierigkeit existieren aber bekanntlich

adapters von F i g. 14b, die nur einen Multiplizierer « geeignete LC-Filter, und zwar recht komplizierte. Dies

erfordert. ist dadurch begründet, daß bei den gewöhnlichen

Fig. 16a Transformator mit Übersetzungsverhält- LC-Filtern in Abzweigstruktur die Empfindlichkeiten

nis n/l > 0; 45 gegenüber Element-Variationen sehr viel kleiner sind.

Fig. 16b seine Realisierung unter Verwendung der Mathematisch ist dies mit der Tatsache verknüpft, daß

Beziehung η — R₁IR₂. eine Abzweigstruktur nicht vollständig von einer ein-

F i g. 17a Parallelschaltung von η Toren mit Tor- zigen Differentialgleichung beschrieben werden kann,

widerständen R₁, R₃, ..., bzw. R_n; sondern nur durch ein System von Oifferentialgieichun-

Fig. 17b schematische Darstellung des entspre- 50 gen, deren detaillierte Struktur nicht nur dem Ein-

chenden Wellen η-Tores («-Tor-Parafleladapter). gangs/Ausgangsverhalten entspricht, sondern auch

Fig. 18 Wellenflußdiagramm, das einem Dreitor- die genaue Topologie des tatsächlichen Netzwerkes

Parafleladapter entspricht, bei dem Tor 3 das ab- wiedergibt. Die geringe Toleranzempfindlichkeit re-

hängjge Tor ist. sistiv abgeschlossener Abzweigschaltungen bringt es

Fig. 19a Reihenschaltung von η Toren mit Tor- 55 auf diese Weise mit sich, daß die Empfindlichkeit

widerständen R₁, R* ..., bzw. R_n; gegenüber Variationen der Koeffizienten in dem oben

Fi g. 19b schematische Darstellung des entsprechen- erwähnten System von Differentialgleichungen sehr

den Wellen-n-Tores (n-Tor-Reihenadapter). viel geringer ist als die Empfindlichkeit gegenüber

Fig. 20 Ein WeHenfluBdiacramm entsprechend Variationen der Koeffizienten in der Gesamt-Differen-

einem Dreitorreihenadapter, mit Tor 3 als abhängigem 60 tialgleichung, die man erhäh, nachdem man alle in-

Tor. lernen Variablen eliminiert hat. Diese Besonderheiten

Fig. 21a Ein Reihenresonanzkreis; sind natürlich auch eng mit der Tatsache verknüpft,

F i g. 21 b eine äquivalente Schaltung mit zwei Ein- daß Filterberechnungen sehr häufig mit einer großen

hehsetementen: Zahl von Stellen ausgeführt werden müssen, um zu

Fig. 21c das entsprechende Wellenflußdiagramm. 65 einer Stellcnzahl für die Elemente-Werte zu gelangen,

Fig. 22a Ein Parallclresonanzkreis; welche gerade innerhalb der Möglichkeiten der techno-

Fig. 22b eine äquivalente Schaltung davon mit logischen Realisierbarkeit liegen.

zwei Einheitsekmenten: Für digitale Filter ist die Situation sehr ähnlich mil

7 ^ 8

Ausnahme der Tatsache, daß das numerische Problem, V — ψ Rl, wo R eine positive Konstante ist. Wegen das wir soeben beschrieben haben, auch ein Realisie- (2.1) würde dies eine entsprechende Differenzgleichung rungsproblem darstellt und zwar infolge des früher erwähnten Koeffizientenabbruchs und der Rundungs- v{nT) + ν [(η — 1) T] = {ι(«Γ) — ί [(« — 1) Γ]} R fehler-Fortpflanzung. Die Übertragungsfunktion H 5 (2.3)

kann nun als eine rationale Funktion der Variablen

ζ = ^pT geschrieben werden wo F= 1/7" die Betriebs- erfordern, die zeigt, daß die Berechnung von ν zum frequenz des Filters darstellt. Diese Übertragungs- Zeitpunkt t = iiT nicht nur die Kenntnis von ν und ί funktion entspricht einer einzigen Differenzenglei- im vorangegangenen Abtastzeitpunkt erfordert, sonchung zwischen der Eingangs- und der Ausgangs- io dem auch im gegenwärtigen Zeitpunkt. Also würde Variablen. Auch hier kann jedoch im hohen Grade jedes Flußdiagramm, das Gleichung (2.3) darstellt, eine Verbesserung erreicht werden, indem man die ein- z. B. das in F i g. 1 gezeigte, einen verzögerungsfreien zige Differenzgleichung in ein geeignetes System von Pfad enthalten, der vom Eingang zum Ausgang führt. Differenzengleichungen umformt. Eine Möglichkeit, Dasselbe gilt für das Stromspannungs- oder Spansolches zu tun, entspricht der gewöhnlichen Faktori- 15 nungsstromflußdiagramm aller anderen Elemente, sierung von H und der nachfolgenden Realisierung mit Also würde die Verbindung von Elementen unweiger-Hilfe einer einfachen Kaskade von Gliedern niederer lieh zu verzögerungsfreien Rückkopplungsschleifen Ordnung. Das Verfahren, das beschrieben wird, ent- führen und auf diese Weise jede physikalische Ausspricht dem Versuch, ein System von Differenzglei- führung unmöglich machen.

chungen zu finden, das in einer gewissen Weise ein ao Es stellt sich heraus, daß dieses Dilemma vermieden klassisches abgeschlossenes Abzweigfilter strukturell werden kann, indem man alle Signalflußdiagramme imitiert. Die Analogie mit der obigen Diskussion des nicht auf Spannungen und Ströme gründet, sondern klassischen Filterentwurfsproblems zeigt, daß eine auf Wellengrößen. Dabei kann man gleichgültigerweise Lösung, die man auf diese Art erreicht, gewiß eine be- Spannungs- oder Stromwellen verwenden. Wir verträchtliche Verbesserung darstellen muß. as wenden hier eine Beschreibung durch Spannungs-

In jedem Falle wird man jedoch die Zahl der Multi- wellen. Wie wir kurz in dem Unterabschnitt »Zusamplizierer so klein wie möglich halten wegen ihrer menschaltung von Toren/Einfache Änderung des relativ hohen Kosten, während Addierer großzügiger Referenzwiderstandes« diskutieren werden, würde die verwendet werden können. Verwendung von Leistungswellen weniger angemessen

Um zu garantieren, daß eine Struktur als digitales 30 sein, da dies eine größere Anzahl erforderlicher MultiFilter realisiert werden kann, muß immer die folgende plizierer zur Folge hätte. Wenn Wellen verwendet wer-Bedingung erfüllt sein: Jede Rückkopplungsschleife, den, werden wir gewöhnlich von Wellenflußdiagramdie in dem Signalflußdiagramm enthalten ist, das die men sprechen, an Stelle von Signalflußdiagrammen. Struktur beschreibt, muß wenigstens ein Verzöge- Ebenso bezeichnen wir die Filter, die wir hier berungselement enthalten, d. h. sie darf nicht verzöge- 35 schreiben, in angemessener Weise als Wellendigitalrungsfrei sein. Man überzeugt sich leicht, daß diese filter. Ein Wellenfiußdiagramm, welches die obener-Regel immer erfüllt ist bei allen digitalen Filter- wähnte Regel erfüllt, werden wir realisierbar nennen; strukturen, die bislang bekannt sind. Eine Verletzung andernfalls soll es unrealisierbar genannt werden, dieser Regel würde bedeuten, daß es unmöglich wird, Wie wir später sehen werden, erfordern Welleneine Folge zu finden, in der die verschiedenen Rechen- 40 digitalfilter gewöhnlich zwei verschiedene Folgen von schritte ausgeführt werden können. Zeitpunkten, zu denen das Filter in Arbeitsfunktion

Als Frequenzvariable, die geeignet ist, die Analogie ist Diese beiden Folgen gehen durch Zeitverschiebung mit der Theorie der Einheitselementfilter herzustellen, um ein Intervall 772 ineinander über. In jedem Fall werden wir die »komplexe Frequenz« q einführen, die wird es oft notwendig sein, Differenzgleichungen zu definiert ist durch 45 schreiben, ohne anzunehmen, daß einer der Pulse der

Zeitfolge zur Zeit t = 0 auftritt. In der Diskussion der Elemente und Quellen, die im nächsten Abschnitt

w — tanh (pTII) =-- ^ ^{e rT} (2 1) durchgeführt ist, wird deshalb eine allgemeine Zeit-

1 .4- _e ρτ ' variable ί verwendet, d.h. es wird kein Bezug ge-

50 nomrnen auf irgend einen besonderen Zeitpunkt, zu

dein ein Puls auftritt.

und die auch z. B. in der Theorie der Netzwerke mit

Resonanzübertrag verwendet wird. Für ρ =ja> kön- elemente und Quellen

nen wir also schreiben

55 In diesem Abschnitt werden wir Wellenfiußdia·

Ψ - ιΦ, Φ = tan(io7",2). (2.2) gramme für verschiedene Elemente und Quellen, di<

verwendet werden, ableiten. Wenn immer es möglicl ist, werden die erforderlichen Wellengrößen mit Hilf«

Die Wahl von Ψ als Frequenzvariable scheint die eines Torwiderstandes definiert werden, der gleich is einzig angemessene für unser Problem zu sein. Diese 60 der Widerstandskonstanten R, die in der Dennitioi Wahl hat eine unmittelbare Konsequenz, die wir gleich des Elementes oder der Quelle, die wir betrachten, auf diskutieren werden. tritt. Auf diese Art und Weise werden die Wellen

Wenn wir als Signalgrößen im Flußdiagramm die gleichungen die Konstante R nicht mehr enthalten üblichen Spannungen und Ströme verwenden, wird es Wir werden in den Abschnitten »Zusammenschaltun; unmöglich, die soeben angegebene Regel einzuhalten, 65 von Toren« und »Realisierung von Schaltungen« sehen die die Rückkopplungsschleifen betrifft. Um dies zu welche Konsequenzen dies hat, wenn Elemente um zeigen, betrachten wir ein willkürliches Element, z. B. Quellen verbunden werden, um die gegebenen Filtei eine Induktivität; die zu realisierende Gleichung ist diagramme zu erhalten. 509636m

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Induktivitäten ^ne Größen schreiben Es ist augenscheinlich daß

die entsprechenden Gleichungen fur stationäre Größen

Die stationäre Spannungsstr jmbeziehung, die wir gleiche Struktur haben, realisieren wollen, ist (F i g. 2a>

^: V=WRI (3.1) ⁵ Widerstand

wo Ä eine positive Konstante ist. Wenn wir Gleichung Die Gleichung, die zu realisieren ist; ist (F i g. 4a)

(2il) benutzen, kann Gleichung (3.1) geschrieben ν = Ri

werden >

1 ίο d. h. indem wir Gleichung (3.5) benützen,

~ ζ ' ' b = 0 . (3.11)

wo ζ wie gewöhnlich definiert ist durch ^Das "Sehörige Wellenflußdiagramm besteht also

aus einer Wellensenke; wir stellen es dar wie in

ζ = &>t (3.3) 15 Fig. 4b gezeigt.

^{und wo} Leerlauf

A = V + RI und B = V - RI (3.4a,b) . .

Wir haben / = 0 (F ι g. 5a). Nach Wahl einer will-

die einfallende bzw. die reflektierte Welle sind. Die kürlichen positiven Konstante R und indem wir

momentanen Werte a = a{t) und b = (f) dieser WeI- ao Gleichung (3.5) benutzen, erhalten wir len sind mit den Momentanwerten der Spannung b = a (3 12)

ν = v(f) und des Stroms i(t) = / verbunden durch " '

a = ν 4- Äi b — ν — Ri (3 5a b) ^^as Wellenfiußdiagramm ist also eine einfache Ver-

' ' bindung (F ig. 5b).

Also ist die Differenzgleichung für α und b gegeben 25 ._ ,, „

durch s s 5 Kurzschluß

b{t) = - a(t — T); (3.6) Wir haben ν = 0 (Fig. 6a). Also erhalten wir,

mit nachdem wir eine willkürliche positive Konstante R

_α = A e"^T, b — B eP^T . (3.7) gewählt haben und Gleichung (3.5) verwenden

Wo A und B angenommenerweise Konstanten sind, ~~ ( ■ )

ist die stationäre Lösung (3.6) in der Tat durch (3.2) Das Wellenflußdiagramm besteht also aus einem

gegeben. Die Wellenflußdiagramme, die (3.2) und (3.6) Vorzeicheninverter (Fig. 6 b). entsprechen, sind Welleneintore, die in F i g. 2 b bzw.

2c dargestellt sind. Das erste besteht aus einer Trans- 35 Idealer Transformator

mittanz (Übertragungsfunktion), die gleich -l/r ist, _{mit dem} übersetzungsverhältnis -1/1 und das zweite besteht aus einer Verzögerungszeit T

zusammen mit einem Vorzeicheninverter. Die Gleichungen, die zu realisieren sind (F i g. 7 a),

sind Kapazität

⁴ Ί = '2 v, = — v₂.

Die stationäre Spannungsstrombeziehung, die realisiert werden soll, ist (F ig. 3a) Also erhalten wir, nachdem wir eine willkürliche

positive Konstante R gewählt haben und die Defini-

V= J/, (3.8) ^tionen

⁴⁵ a_k - v_t + Rik, bk = v_k - Ri_k , (3.14a, b)

wo R eine positive Konstante ist. Mit (2.1), (3.3) und /c ^ 1,2 (3.14c)

der Definition (3.4) kann (3.8) geschrieben werden verwenden,

! 50 ^bt~ " °" ' ^h*'-'- ~^a* ■ ^(315a-^b)

⁸ — , ^A - <3-⁹) Das Weiienßußdiagramm ist also ein Wellenzweitoi

(F i g. 7b).

Also ist die Differenzgleichung für die momentanen

Wellengrößen, welche in Gleichung (3.5) definiert sind, 55 Die Gleichungen, die realisiert werden müssen, sind gegeben durch (F i g. 8a)

-a(t-T). (3.10) P₁^-A/,, I₁ Ri₁, (3.16a, b)

Diese Gleichung reduziert sich auf Gleichung (3.9), wo der Gyrations widerst and R eine positive Kon·

wenn wir von (3.7) Gebrauch machen. Die WeHenfluß- 60 stante ist. Mit der Definition (3.14) erhalten wir

diagramme sind die in Fig. 3b und 3c gezeigten . . _ _f, ._ .

WeQeneintore; sie bestehen aus den Transmhtanzen 1 /r ' * * * ' ι* 11 ■, o»

bzw. «tier Verzegenmg T. Das entsprechende Wellenleiter ist in F i g. 8 b ge

Elemente mit frequenzunabhängigem Verhalten ₆

__. , _.,,,. . . „ Zirkulator Aas Gründen der Einfachheit werden wir alle

Gleichungen, die sich auf Elemente mit frequenz- Wir betrachten zunächst den Dreitorztrkulator vor

unabhängigem Verhalten beziehen, nar für momen- F i g. 9a, dessen Zirkulationswiderstand R eine nosi-

11 12

tive Konstanteist. Mit den Definitionen (3.14a, b) und Das entsprechende Wellenflußdiagramm besteht

mit k = 1, 2 und 3 haben wir aus einer Wellenquelle 2e, einem Addierer und einem

. _ L „ L __ „ πΐ8α κ f\ Vorzeichen! η verier (F i g. 12b).

O₁^a₃, b_x = a_lt b₃-a_t. (3.18a, b, c) ^ _dne .„„^^*^ '_{StromqueUe (F} j _g. ₁₃₎

Das Wellenflußdiagramm ist jetzt das Wellendreitor, 5 erhält man in ähnlicher Weise

das in Fig. 9b gezeigt ist. Es ist offenkundig, daß a — 2e + b

dieses Ergebnis einfach auf /i-Torzirkulatoren erweitert '

werden kann, in welchem Falle (3.18) verallgemeinert wo die Intensität der Stromquelle gleich e\R gewählt

werden muß auf die Gleichungen worden ist. Das entsprechende Wellenflußdiagramm

h—n h -n h —η ίο ist in Fig. 13 b gezeigt.

O₁ = a_n , O₂ = Q₁ , .. . , On — On-i · ο ο ο

Zusammenschaltungen von Toren Einheitselement „ , , , .„..,,,,,.,

Schaltungen entstehen im Prinzip durch Verbindun-

Die stationären Spannungsstrombeziehungen, die gen der Tore von Elementen und Quellen. Dabei entrealisiert werden sollen, sind (Fig. 10a) 15 steht eine Schwierigkeit in den Wellenflußdiagrammen,

β = A e-pT!z R=A e-J>^r'² Π 19a b\ ^^{a m} ^^{en me}i^sten diskutierten Fällen nach Abschnitt

Xj₁ ^₈C , _Ot /t_lC , _w.i7*,v, »Elemente und Quellen« der Torwiderstand Λ nicht

wo willkürlich ist, sondern durch das Element oder durch

Au — ΙΛ. 4- RIu Ru — Vu — Rtu η 70a h\ die Quelle, zu der das Tor gehört, bestimmt ist. Aus

^Λϊ ' " AT X^ *« Λ 1 ■*** ' K ■*"* * \J,£.\Ja.) Uß j. v-i J ·· » m ·· I'll ■*. 1_ L

20 diesem Grunde müssen wir eine Möglichkeit haben,

k -- 1,2. (3.20 c) den Torwiderstand zu ändern, wenn wir Tore zusam

menschalten. Dies wird erreicht mit Hilfe der ver-

Also sind die DüTerenzgleichungen für die Momen- schiedenen Adapter, die wir sogleich diskutieren wertanwerte dei Wellen, die in Gleichung (3.14) definiert den.

sind, gegeben durch 25 ,-. . . s . _Jnr -j.j

Einfache Änderung des Referenzwiderstandes A₁(O = *« - Tß), WO - α_ι(ί - Γ/2) (3.21a, b)

mit ständen R₁ und R_t. Die Wellen sind mit den Strömen

au = Ak eP⁽ bic = Bt f^l ^unc^ Spannungen durch die Gleichungen

wo A_k und Bt Konstanten sind, ist die stationäre ³° ^a* ^{= Vfc} ~ ^ΛΛ' ^ = '* ~ ^Λ*'* ' (^41a'^b>

Lösung von (3.21) in der Tat durch (3.19) gegeben. * = 1.2 (4.1c)

Das (momentane) Wellenflußdiagramm ist jetzt das verbunden.

Wellenzweitor, das in Fig. 10b gezeigt ist. Das Wenn diese Tore einfach verbunden werden

stationäre Wellenflußdiagramm ist ähnlich, mit dem 35 (F i g. 14a), haben wir Unterschied, daß die Verzögerungen Γ/2 durch die

Transmittanzen z~¹ ⁴ ersetzt sind. V₁ = v₂, /, = — i_t . (4.2 a, b)

Im Symbol gemäß F i g. 10 a ist die Verzögerung Tß

des Einheitselements explizit angedeutet. Wir werden Nach Elimination von v* und i* aus den Gleichun-

im folgenden dies unterlassen, da eine Verwechslungs- 40 gen (4.1) und (4.2) erhalten wir auf diese Weise möglichkeit nicht besteht. ^ ₌ _{g% + λ} ^ _ _a^ _bt==(,_{i + K {a%} _ _ai)_i(4.3a,b)

Quellen

Wir werden wieder unsere Betrachtungen auf mo- χ = (R₁ — R₃)I(Rx \- R₂). (4.4)

mentane Größen beschränken, wie wir es in dem Unter- 45

abschnitt »Widerstand« getan haben. Diese Gleichungen definieren ein Wellenzweitoi,

. . _Λ „ das wir einen Zweitor-Adapter nennen. Wir stellen es

Resistive Quelle schematisch dar, wie in F i g. 14b gezeigt. Das Symbol

Es genügt, eine Spannungsquelle der Spannung e inneihaib des Kastens bezieht sich auf den Umstand,

= e(t) mit einem Serieninnenwiderstand R zu be- 50 daß sich in Fig. 14a in gewisser Weise sowohl auf trachten (Fig. lla). Die Gleichung, die zu realisieren eine Parallel- als auch auf eine Serienverbindung be-

ist, lautet zieht (vgl. F i g. 17 und 19). Entsprechend Gleichung

f = ν + Ri, (4.3) kann ein detailliertes WellenflußdiagraHira, das

dieseiT» Zweitor-Adapter entspricht, gezeichnet werden,

d. h. indem wir Gleichung (3.5) benutzen 55 wie in F i g. IS. Dieses Wellenflußdiagramm erfordert

nur einen Multiplizierer mit dem Faktor *. Es enthüll

a = e . einen Pfad, der von o, nach 6, führt und auch einer

Pfad, der von α, zu b_t führt, aber keine Röckkopp

Also ist das Wellenflußdiagramm eine WeHenquelle; lungsschleifc. indem wir Gleichung (4.3) in ein« wir stellen sie dar, wie in F i g. 11 b oder c gezeigt. 60 äquivalente Form umsetzen, können wir andere äqei Die Lage ist etwas weniger einfach im Falle einer valente Wellenflußdiagramme erhalten. Jedoch ent reinen Spannungsquelle, die innen widerstandslos ist. halten nicht alle von diesen nur einen Multiplizierer Die Gleichung, die zu realisieren ist, ist in diesem Fall Gleichung (4.4) zeigt, daß für R₁ > 0 and R_t > 0 de ν == <? = i»(r); also haben wir, nachdem wir eine will- Betrag / λ / < 1 ist. Andererseits gilt RJRt > 0. wem kürliche positive Konsunte R gewählt haben und die 65 die letzte Ungleichung erfüllt ist, wie man aus de Definition (3.5) benutzen, Gleichung

13 ' 14

ersehen kanu. Daraus folgt, dcB wir dann stets A₂ > 0 parallelen Linien innerhalb des Kastens auf die Par-

haben, sobald A₁ > 0 ist und urngekehrt. aufschaltung beziehen.

Die gerade zur DisLassion stehende Verbindung er- Wenn wir Gleichung (4.7) als solche verwenden

laubt es und auch, den Vorteil deutlich zu machen, der wurden, würden wir zusammen η Multiplizierer ge-

äus der Verwendung von Spannungs- oder Strom- 5 brauchen. Tatsächlich haben wir

weilen an Stelle von Leistungswellen resultiert. In der _β , , +<%=2 (4.9)

Tat würde eine allgemeine Darstellung der Streu- ι «* ···

gleichungen gemäß Gleichung (4.3) folgendermaßen so daß eines der «*, sagen wir «_B, eliminiert werden

zu schreiben sein kann. Auf diese Weise kann Gleichung (4.7 b) ge-

_bl = W₁ + W₁ , b₂ = W₁ + w, (4.5a, b) " trieben werden

wo die Streukoeffizienten untereinander durch die ^flo - ^2fl» + 2 **(«* ~ ^a»)> (⁴-^lß)

linearen Beziehungen ^h~¹

__α__<ν__ι__Λ___α_]__Λ so daß wir nur noch η — 1 Multiplizierer brauchen;

¹¹ " ·* ^{u 21} ₁₅ Tor η wird dann ein abhängiges Tor genannt. Die Zahl

miteinander verbunden sind. der Multiplizierer kann weiter reduziert werden, wenn

Wenn wir Leistungswellen verwendet hätten, könn- einige der «* gleich sind, d. h., wenn einige von den Ri ten wir auch rioch Gleichungen wie (4.5) schreiben, aber gleich sind. Der Faktor 2, der in Gleichung (4.10) er-

die Streukoeffizienten würden dann miteinander durch scheint, erfordert keinen besonderen Multiplizierer, da

die Beziehungen verknüpft sein: 20 eine Multiplikation mit zwei ein sehr elementarer Pro-

_Λ» 4. „* — 1 _Λ _ * _Λ _ _ _Λ zeß ^ist- Als Beispiel ist das ausführliche Wellenfluß-

" ^{+ 1!} ' ^{I2 21}' ⁿ ~ ""· diagramm für « 3 gegeben, das entsprechend den

Da der erste dieser Ausdrücke nicht linear ist, würde Gleichungen (4.7a) und (4.10) in Fig. 18 dargestellt

es also nicht möglich sein, ein Wellenflußdiagramm ist. Für jedes Jt = 1,2,3 enthält es einen Pfad, der von

von Gleichung (4.5) anzugeben, das nur einen einzigen 25 a_t ausgeht und nach bk führt, aber es enthält keine

Multiplizierer erfordern würde. Rückkopplungsschleife; diese Schlußfolgerungen blei-

AIs einfaches Anwendungsbeispiel betrachten wir ben offensichtlich gültig für willkürliche Werte von n.

die Realisierung eines Transformators mit dem Win- Wenn die Werte Gk gegebene positive Konstanten

dungsverhältnis n/l (F i g. 16a). Wenn wir versuchen sind, stellt es sich heraus, daß alle \* ebenfalls positiv

würden, dies auf unmittelbarem Wege zu tun, wie wir 30 sind und Gleichung (4.9) gehorchen. Umgekehrt, wenn

es für die anderen Elemente im Abschnitt »Elemente alle \* und eines der Gk, sagen wir Gk, gegeben sind,

und QueKen« getan haben, wurden wir zwei Multipli- kann das übrigbleibende Gk berechnet werden mit

zierer brauchen. Tatsächlich aber kann ein solcher Hilfe der Beziehung

Transformator als eine Kaskade zweier Gyratoren G IG ' — χ Ix '

realisiert werden, die die Gyrationswiderstände R₁ bzw. 35

R₂ haben, dergestalt, daß κ — R₁IR₂. Auf diese Weise die auf einfache Weise aus Gleichung (4.8) hergeleitet

erhalten wir das Wellenflußdiagramm der Fig. 16b, werden kann.

wobei wir von dem Ergebnis von F i g. 8 Gebrauch Wenn also Gk ebenso wie die Werte «„ x₂ ... «„_, gemacht haben und wo einer der Widerstände R₁ und positive gegebene Konstanten sind, und wenn -Y_n, das R₂ willkürlich gewählt werden kann. Um in Uberein- 40 sich aus Gleichung (4.9) herleiten läßt, ebenfalls positiv Stimmung zu sein mit unserer Annahme R > 0, die ist, dann stellt sich heraus, daß alle Gk positiv sind,
wir im Zusammenhang mit F i g. 8 gemacht haben, Wenn das Tor η ein abhängiges Tor ist, wie wir anmüssen wir jetzt annehmen, daß n>0 ist; jedoch genommen haben, so ist der Koeffizient λ« inplizit bekann das entsprechende Resultat f ür η < 0 auf ein- stimmt durch die übrigen λ* durch die Gleichung (4.9). fache Weise mit Hilfe von F i g. 7 erhalten werden. 45 Das heißt, wenn die Summe dieser verbleibenden

_D π 1 κ η Größen ·** nahe bei 2 liegt, d. h. wenn α« klein ist,

parallelschaltung _{k£mn er auf djese Weise nur mjt einem großen Feh},_er

Wir betrachten « Tore 1, 2, ...,«, mit den Tor- bestimmt werden. Um die höchstmögliche Genauig-

widerständen R₁, R bzw. R_n. Die Wellen stehen keit zu gewährleisten, sollte man deshalb als abhängiges

mit den Spannungen und Strömen gemäß Gleichung 50 Tor dasjenige wählen, dessen entsprechender Faktor λ*

(4.1 a, b) in Beziehung, nur bedeutet jetzt fc = l,2,...,n. am größten ist.

Wenn diese Tore parallel gs-schaltet werden „ ..

(Fig. 17a), gilt Reihenschaltung

_v __v _ — ,, ,· 4 .· ι 1 ,· -rw4naM ^w'^r betrachten η Tore, wie indem Unterabschnitt 4.2,

¹ · ";' "' ' + '■ + ···+'·-» l⁴·⁰⁸· DJ _{55 aber wir schalten sie jetzt in Reihe (Si F} j _g. _{19a)i Wir}

Wenn wir die v* und »* aus den Gleichungen haben dann

(4.1a, b) und (4.6) eliminieren, erhalten wir . _ . _ . , ■ . , .„ _λ miiqH

/j — Jj — ... — in, Vitv₂t ... TVn —υ. y*. 11 d, D^

_{4 7} ... Wenn wir die v* und ι* aus den Gleichungen(4.1 a, b)

_k—j ' ' 60 und (4.11) eliminieren, erhalten wir

wo u ο - - _ ^... (4_{12aj b})

ock = 2CtKG₁ + G₂ -h ..., + G_n) Gk = 1/Äfc. (4.8a,b)

wo

Diese Gleichungen definieren ein Wellen-7i-Tor, das 65 ß_k _ 2RkI(R₁ + R₂ + ... + R_n) (413)
wir einen Parallel-Adapter oder genauer einen n-Tor-

Parallel-Adapter nennen. Wir stellen ihn schematisch, Diese Gleichungen definieren ein Wellen-n-Tor, das

wie in Fig. 17b gezeigt, dar, wobei sich die beiden wir einen Reihen-Adapter oder präziser, einen n-Tor-

k 15

% Reaer_f Adapter nennen. Wir stellen es schematisch niemals mit den Zweitoren, die in den F i g. 5b, 6b, \ dar. wie in Fig 19b gezeigt. Das Symbol innerhalb 12b oder 13b dargestellt sind. In ähnlicher Weise f des Kastens begeht sich auf die Reihenschaltung. können wir immer mit einem solchen Tor eines der ! , Wenn wir Gleichung (4 12) als solche verwenden Wellenleiter^ die in F i g. 10b dargestellt sind, verwurden, wurden wir wieder zusammen «Multipli- 5 binden, aber niemals einen anderen Adapter. Schließ- »' aerer brauchen. In der Tat haben wir die Beziehung lieh sind Wel'enTweitore und Vieltore, wie die in den ßi + ßs ^ · ·· + ßn ~ 2, (4-14) Fig. 7 b, 8 b und 9 b nur bedingt akzeptabel, d.h., sie . , _ ..„ verursachen nicht von vornherein das Auftreten ver- < so da» eine der Großen ß_k, sagen wir ß_n, eliminiert zögerung freier Rückkopplungsschleifen, sondern tun werden kann. Dies kann z. B. dadurch geschehen, daß ίο es nur in dem FaUe, daß sie nicht geeignet an den ver- * wir Gleichung (4.12) fur die Indexwerte * = 1,2 ..., bleibenden Toren abgeschlossen sind. Aus dieser η - 1 benutzen und dann den Wert A_n mit Hilfe des Diskussion können wir den Schluß ziehen, daß inr-er-Ausdruckes, den wir von (4.12) und (4.14) ableiten halb der Theorie, die wir hier gegeben haben, zwei aufkönnen, einanderfolgende Adapter stets in der einen oder ,1 £ _ ___a _ X^t ¹S anderen Weise durch ein Wellenzweitor, das einem ί "ο gj^ k, Einheitselement entspricht, getrennt werden müssen. Um die Konsequenzen dieser Schlußfolgerung zu U berechnen; das Tor η wird dann wieder das abhängige prüfen, werden wir im Unterabschnitt »Realisierung Tor genannt. Die Zahl der Multiplizierer kann weiter von Reaktanzen« die Realisierung von Reaktanz-Einleduziert werden, wenn einige der ß_k gleich sind, d. h. ao toren studieren und in den Unterabschnitten »Realiwenn einige der R_k gleich sind. Für die ß_k können sierung von Allpaßschaltungen« und »Realisierung von ähnliche Bemerkungen gemacht werden, wie für die <x_k Filterschaltungen« die Realisierung von Reaktanzam Ende des Unterabschnittes »Parallelschaltung«. Zweitoren.

Als Beispiel ist das ausführliche Wellenflußdiagramm Wo immer es möglich ist, und insbesondere in allen

für η - 3, das den Gleichungen (4.12 a) und (4.15) ent- 25 Wellenflußdiagrammen, werden wir ausschließlich

spricht, in F i g. 20 dargestellt. Für jedes k = 1,2,3 momentane Wellengrößen wie a_k und b_k benützen,

enthält es einen Pfad, der von a_k nach b_k führt, aber es Es ist klar, daß wir gleicherweise die komplexen

enthält keine Rückkopplungsschleife; diese Schluß- Wellenamplituden A_k und Bt verwenden können, aber

folgerungen bleiben offensichtlich auch gültig für be- dann sollte eine Verzögerung T ersetzt werden durch

liebige Werte von n. 30 eine Übertragungsfunktion ζ"¹ = e*⁷", und eine Ver-

Man überzeugt sich leicht, daß für η - 2 der Par- zögerung T!2 sollte ersetzt werden durch eine Uber-

aliel- und der Reihen-Adapter äquivalentjdem Adapter tragungsfunktion ζ 'Λ sind, der im Unterabschnitt »Einfache Änderung des

Referenzwiderstandes« diskutiert worden ist. Realisierung von Reaktanzen

Realisierung von Schaltungen Reihenresonanzkreis

... „ ,. Wir nehmen an, daß der in Fig. 21 dargestellte

Allgemeine Grundlagen Reihenkreis zu realisieren sei. Wenn er Bestandteil

In den Abschnitten »Elemente und Quellen« und einer Reihenschaltung ist, für die ein Reihenadapter

»Zusammenschaltung von Toren« haben wir gesehen, 40 benutzt werden kann, dann gibt es keinerlei Probleme:

wie verschiedene Typen von Elementen, Quellen und Wir haben einfache zwei der Wellentore dieses Adap-

Adaptern gebaut werden können, die als Bausteine für ters durch Welleneintore abzuschließen, die einer In-

die zu realisierenden Wellenflußdiagramme dienen. duktivität der Impedanz R¹W und bzw. einer Kapazität

Beim Zusammenhalten dieser Bausteine müssen die der Impedanz Κ'\Ψ entsprechen. Wenn jedoch der

folgenden Grundsätze beachtet werden: 45 Reihenresonanzkreis in einen Querzweig geschaltet

1. Die Bausteine müssen Tor für Tor zusammenge- ^{werden so11}' ^wa* häufig geschieht ist eine solche schaltet werden, d. h., die zwei Wellenklemmen Realisierungsmethode nicht anwendbar, da sie eine eines Wellentores müssen verbunden werden mit unmittelbare Verbindung eines Reihenadapters mit den zwei Wellenklemmen von genau einem ande- ^ein"" Paralleladapter erfordern wurde.

ren Wellentor ⁵° ^Diese Schwierigkeit kann vermieden werden, indem

2. Für jedes Paar von Wellenklemmen, die verbun- man von der Äquivalenz eines Reihenresonanzkreises den sind, müssen die entsprechenden Wellen korn- ^{mit d}« Kettenschaltung zweier Einheitselemente Gepatibel sein, d. h., sie müssen in die gleiche Rieh- brauch macht, die an dem Ausgangstor 4 (F 1 g 21 b tune fließen leerlaufen. Die charakteristischen Widerstände R_t unc

3. Die Regel, die in Abschnitt »Allgemeine Grund- 55 Λ₂ dieser Einheitselemente hängen mit den Größen R lagen« erwähnt ist, muß beachtet werden, d. h., ^und ^R ^{uber die} Beziehungen

das resultierende Wellenflußdiagramm muß reali- R₁ --■- R' ->- R", R_t = (R' + Λ")Λ"/Λ' (5.1a, b) sierbar sein. zusammen. Die Wellen a„ b_x, a_t und ft_? sind für einei

Die ersten beiden dieser Grundsätze können offen- 60 Torwiderstand R₁ definiert, während die Wellen a_3t b sichtlich relativ einfach befolgt werden. Der dritte hat und o₄ und Z>₄ für einen Torwiderstand R₁ definier jedoch weitreichende Konsequenzen. In der Tat haben sind. Infolgedessen muß im Wellenflußdiagramm ent wir gesehen, daß für jedes Tor eines Adapters stets ein sprechend Fig. 21 b ein Zweitor-Adapter benüta innerer Pfad existiert, der von der einfallenden Welle werden, um von R₁ zu R₂ überzugehen. Indem wir di zu der reflektierten Welle führt. Daraus folgt, daß wir 65 Ergebnisse der F i g. 5, 10 und 14 verwenden und ar ein Wellentor eines Adapters sicherlich immer mil nehmen, daß die Wellen α, und ^₁ für einen Torwidei irgendeinem der Welleneintore verbinden können, die stand R₁ definiert bleiben, erhalten wir also ein Wellei in'F ig. 2c, 3c, 4b oder lic dargestellt sind, aber flußdiagramm, wie in Fig. 21c dargestellt. Es erfo

dert also nur einen Multiplizierer, der entsprechende man Viertor-Zirkulatoren an SteUe von Dreitor-Zirku-

Parsunetera ist durch Gleichung (4.4) gegeben, d.h. latoren verwendet.

wegen Gleichung (5.1), durch Einen Allpaß behebigen Grades kann man auch

dadurch erhalten, daß man Glieder erster und zweiter _α _ tj? _ T")I(R' + R") (5 2) 5 Ordnung in Kette schaltet. Da alle einzelnen Glieder

den gleichen Zirkulationswiderstand hahßn müssen,

Das WeUenflußdiagramm von F i g. 21 c kann ofen- sind in diesem Falle keine Adapter zwischen den GliesichUich nicht nur für die Realisierung von Quer- dem erforderlich. Schließlich gilt folgendes: Wenn der zweigen verwendet werden, sondern auch in einer jeden zu realisierende Allpaß unüateral ist, und wenn wir Reihenanordnung. Es ist zwar richtig, daß es eine io mit ihm eine Quelle verbinden mit einem Wider-Rückkopplungsschleife enthält, aber dies macht es stand R, und auch einen Lastwiderstand, ebenfalls vom nicht unrealisierbar, da diese Schleife eine Verzöge- Widerstand R, dann zeigen die Ergebnisse nach den rung T umfaßt Darüber hinaus ist eine jede zusatz- F ■ g. 11 und 4, daß kein Signal in den Rückwärtspfad liehe Rückkopplungsschleife, die durch die Verbin- fließt, so daß dieser einfach vernachlässigt werden dung der F i g. 21 emit irgendeinem anderen Wellentor 15 kann. Ein Beispiel zeigt F i g. 25, wo A₁ und R₂ wieder entsteht, ebenfalls zulässig, da sie notwendigerweise die durch Gleichung (5.1) gegeben sind. beiden Verzögerungen Tß enthält. Realisierung von Filterschaltungen

Parallelresonanzkreis _{Von der} Theorie der Mikrowellenleitungsfilter ist es

Das Problem, einen Parallelresonanzkreis zu reali- 20 bekannt, daß man stets Filter auf diese Weise realisieren, ist in einem gewissen Sinne dual zu dem eben sieren kann, daß man eine gewisse Zahl von Einheitsdiskutierten Problem. Wir können uns deshalb hier elementen mit verschiedenem Wellenwiderstand in sehr kurz ausdrücken und einfach auf Fig. 22 ver- Kette schaltet. Solche Filter führen immer zu realisierweisen, die ohne weitere Erklärung verständlich sein baren Wellenflußdiagrammen. Wenn η die Zahl der dürfte. Die resultierenden Schlußfolgerungen sind die- 25 Einheitselemente ist, ist die Zahl der erforderlichen selben. Man bemerke jedoch, daß die Gleichung (5.1) Multiplizierer η + 1. Ein Beispiel zeigt F i g. 26. ersetzt werden müssen durch die Gleichungen Von besonderem Interesse sind in der Mikrowellen-

D _ ß'R"UB· -L ß"\ R — ο"2ΐίρ· ι n<<\ theorie allgemeinere Filter, die von einem Reaktanz-

K₁-RR HR +R), R₂-R 1(R +R), ^.^ ^ ^^ ^ _{einer genügend großen Zah}, _VQn

obwohl Gleichung (5.2) gültig bleibt. 30 Einheitselementen^ abgeleitet werden können. Indem «,in ·· 1- ι. r, , man von den Äquivalenz-Transformationen nach Willkürliche Reaktanzen K u r ο d a und Levy Gebrauch macht, können Wie an sich bekannt, kann jede beliebige Reaktanz solche Strukturen in neue, andere Kettenstrukturen vom Grade η realisiert werden mit Hilfe einer entweder transformiert werden, die wir in folgendem Einheitsleerlaufenden oder kurzgeschlossenen Kette von 35 element-Abzweigstrukturen nennen, in denen Ein- n Einheitselementen. Indem wir die Ergebnisse der heitselemente mit entweder Längs- oder Querreak-Fig. 21 und 22 verallgemeinern, können wir leicht tanzen abwechseln. Tatsächlich interessiert man sich einsehen, daß ein WeUenflußdiagramm, das einer im Bereich der Mikrowellenschaltungen aus technosolchen Kette entspricht, stets mit Hilfe von η — 1 logischen Gründen in erster Linie für solche Unter-Zweitoradaptern realisiert werden kann, also η — 1 40 klassen dieser Strukturen, in denen nur Querreaktan-Multiplizierer erfordert. Ein solches Wellenflußdia- zen auftreten. In unserem Falle existiert jedoch keine gramm enthält stets η — 1 Rückkopplungsschleifen, solche Beschränkung, da, wie wir im Abschnitt »Zuvon denen alle die Regel von Abschnitt »Allgemeine sammenschaltung von Toren« gesehen haben, es ebenso Grundlagen« erfüllen. Darüber hinaus bleibt es richtig, einfach ist, Reihenschaltungen nachzubilden, wie daß das Eingangswellentor willkürlich verbunden wer- 45 Parallelschaltungen. Mit anderen Worten, jede Einden kann mit irgendeinem weiteren Wellentor, ohne heitselement-Abzweigstruktur führt zu einem realisierdiese Regel zu verletzen. baren Wellenfiußdiagramm. Ein Beispiel entsprechend _De„,- . a 11 ο 1 ■ einem Bandpaßfilter ist in F i g. 27 gezeigt, A₇ und R_x Reahs.erung von Allpaßschaltungen _{sind dabd} ^_{n GIeichungen} Entsprechend Gleichung

Ein unilaterales Allpaßglied vom ersten Grade kann 50 (5.1) gegeben.

stets mit Hilfe eines Dreitor-Zirkulators zusammen Wenn wir mit m die Zahl der reaktiven Elemente mit einer Kapazität oder einer Induktivität realisiert und mit η die Zahl der Einheitselemente in der Cinwerden. Es genügt, wenn wir den ersten dieser beiden heitselement-Abzweigstruktur bezeichnen, ist die Zahl Fälle betrachten (F i g. 23a). Indem wir die Ergebnisse der erforderlichen Multiplizierer m -)■ « + 1. Die Tatder F i g. 3 und 9 benützen, erhalten wir unmittelbar 55 sache, daß wir auf diese Weise für jedes Einheitsclas <--«sprechende Weilenzweitor, das in Fig. 23b element einen Multiplizierer aufwenden müssen, bedargestellt ist; es enthält einen Zweitoradapter, erfor- deutet jedoch nicht, daß dieser Aufwand zu keinem dert also nur eiuen Multiplizierer. Filtereffekt führt. Tatsächlich können wir beim Ent-

Ein unilaterales Allpaßglied zweiter Ordnung kann wurf des unrsprünglichen Filters stets vollen Gebrauch

in ähnlicher Weise realisiert werden, indem wir z. B. 60 von den Filtereigenschaften machen, die den Einheits-

von dem Resultat nach Fig. 21 Gebrauch machen. elementen inhärent sind (vgl. F i g. 26). Die Zahl

Dies führt zu dem Ergebnis gemäß F i g. 24, wo R₁ m + η + 1 ist gewöhnlich auch gleich der Zahi der

und R_t durch die Gleichung (5.1) gegeben sind. Es ist unabhängigen Koeffizienten in der Ubertragungs-

klar, daß die gleiche Prozedur verwendet werden kann funktion (Transmittanz) des Netzwerkes. In diesem

für die Realisierung unilateraler Allpaßglieder beliebi- 65 Sinne können wir sagen, daß die Zahl der Multipli-

gen Grades, indem man entsprechende Reaktanzen zierer kanonisch ist.

höheren Grades verwendet. Schließlich können bi- Zu beachten ist, daß es keineswegs notwendig ist,

laterale Allpaßglieder stets erhalten werden, indem zuerst explizit die zuerst genannte Struktur zu ent-

Jen, von der die Einheitselement-Abzweigstruktur gleitet worden ist. In der Tat kann der Synthesetzeß in solcher Weise geführt werden, daß die zu- % genannte Struktur unmittelbar erhalten wird.

Zusätzliche Bemerkungen

. Da ein Einheitselement zwei Verzögerungen Tß erfordert, während eine Induktivität oder eine Kapazität nur eine Verzögerung T erfordert, mag es scheine.!, daß ein Einheitselement aufwendiger zu realisieren ist. Tatsächlich muß jedoch eine Verzögerung T immer durch eine Kettenschaltung zweier Verzögerungen von der Größe Tß realisiert werden, um eine Zwischenspeicherung möglich zu machen; dies ist notwendig, da der Einschreib- und Leseprozeß nicht gleichzeitig für ein einzelnes Speicherelement durchgeführt werden kann. Bei einem Einheitselement fällt jedoch der Schreib- und Leseprozeß niemals zusammen, da diese Prozesse immer einen zeitlichen Abstand Tß haben; daher ist eine Unterteilung der Verzögerung Tß nicht erforderlich. Wir schließen aus dieser Tatsache, daß für ein digitales Filter, das Ot reaktive Elemente und η Einheitselemente enthält, die Zahl der Verzögerungen Tß (d. h. die Zahl der Speicherelemente), die erforderlich sind, gleich 2 (m + ri) ist.

2. Im Abschnitt »Zusammenschaltung von Toren« haben wir gesehen, daß die Widerstände positiv bleiben, solange die Größen α, «*, /3* gewisse sehr unkritische Bedingungen erfüllen. Aus diesem Grunde bleiben die Schaltungen stets passiv, mit Ausnahme bei enremen Abweichungen der Multiplizierer; insbesondere kann die Schaltung normalerweise nicht instabil werden, und die sehr geringe Empfindlichkeit gegenüber Elementevariationen, die in der Einleitung diskutiert worden ist, bleibt normalerweise erhalten.

3. Bisher haben wir stets vorausgesetzt, daß die Widerstandsparameter, die den verschiedenen Elementen entsprechen, stets positiv sind. Tatsächlich aber bleiben die verschiedenen Gleichungen, die wir abgeleitet haben, gültig, selbst wenn irgendeine Zahl dieser Widerstände negativ ist.

Es ist allerdings richtig, daß in diesem Fall unser Argument, das die geringe Durchlaßbereichsempfindlichkeit garantiert, nicht notwendigerweise gültig ist. Es ist jedoch auch bekannt, daß in LC-Strukturen, insbesondere in LC-Abzweigstrukturen, negative Elemente erscheinen dürfen, die, sofern ihre Werte innerhalb gewisser Grenzen bleiben, die Gesamtstruktur passiv erhalten. Zu bemerken ist, daß Ungleichungen, wie

die früher stets gültig waren, keineswegs gültig sein müssen, wenn einige der /?* negativ sind, und das gleiche gilt offensichtlich auch für die Schlußfolgerungen, die wir aus diesen Ungleichungen abgeleitet haben.

4. Da ein Einheitselement einen Multiplizierer und zwei Verzögerungen Tß erfordert, ebenso wie eine Induktivität ode» eine Kapazität, sind seine Kosten im wesentlichen die gleichen. Es ist jedoch bekannt, daß das Filtervermögen eines in Kette geschalteten Einheitselements geringer ist als das eines quer- oder längsgeschalteten reaktiven Elementes. Aus diesem Grunde wird man inter-

essiert sein, den Multiplizierer eines Einheitselementes möglichst einsparen zu können, ohne die Verzögerungen aufzugeben, da diese notwendig sind, um das Signalflußdiagramm realisierbar zu machen. Dieses Ziel kann erreicht werden, indem man den Wellenwiderstand eines Einheitselementes mit einem der anderen Widerstände gleichsetzt, die zu den angrenzenden Adaptern gehören. Wir haben in den Unterabschnitten »Parallelschaltung« und »Serienschaltung« in der Tat schon gesehen, daß es ein solches Vorgehen immer erlaubt, die Zahl der Multiplizierer, die erforderlich sind, zu reduzieren. Es ist natürlich richtig, daß dies darauf hinausläuft, auf die Filtereigenschaften des Einheitselementes vollständig zu verzichten, aber ein solches Vorgehen kann trotzdem wirtschaftlich sein. Es ist ebenso richtig, daß die klassischen Filterentwurfsmethoden in diesem Fall nicht mehr ohne weiteres angewendet werden können, da solche Methoden in der Praxis niemals von sich aus die erforderlichen Nebenbedingungen liefern. Aus diesem Grunde wird man eine geeignete Optimierung im Entwurfsverfahren vornehmen müssen.

5. Über die Elemente, die wir in dem Abschnitt »Elemente und Quellen studiert haben, hinaus ist es auch möglich, quasi-reziproke Leitungen (QUARL s) und die zugehörigen gyrierenden und zirkulierenden Bauelemente zu realisieren, die aus der Resonanzübertragungstheorie bekannt sind. Es scheint jedoch, daß uns dies keinen Vorteil bringen würde, da der Gyrator und der Zirkulator, die im Unterabschnitt »Elemente mit frequenzunabhängigem Verhalten« behandelt worden sind, uns bereits größere Flexibilität bieten, doch kommt es auf den Einzelfall an.

6. Um ein digitales Filter zu realisieren, das ein LC-Filter nachbildet, mag man an das folgende Verfahren denken, das augenscheinlich viel einfacher ist als das oben beschriebene. Wir gehen von einem gegebenen abgeschlossenen verlustlosen Zweitor aus, das m Induktivitäten und Kapazitäten enthält und dazu eine gewisse Zahl nichtreaktiver Elemente. Wenn wir diese Induktivitäten und Kapazitäten entfernen, ebenso wie auch die Abschlüsse, dann bleibt ein frequenzabhängiges (m -i- 2) Tor übrig. Jedem Tor ordnen wir als Torwiderstand den Widerstand des entsprechenden Elementes oder der entsprechenden Quelle zu. Dann drücken wir die m + 2 reflektierten Wellen durch die m \- 2 einfallenden Wellen aus. Dadurch ist ein (m + 2)-Toradapter bestimmt, der im allgemeinen weder vom Parallelnoch vom Reihentyp ist. Nichtsdestoweniger enthält dieser keine inneren Rückkopplungsschleifen, so daß wir ein realisierbares Wellenflußdiagramm erhalten, indem wir seine Wellentore mit den Wellentoren der einzelnen Elemente und der Quellen verbinden. Ein offensichtlicher Nachteil besteht jedoch darin, daß der (m -f 2)-Toradapter im allgemeinen die große Zahl von (m + iy Multiplizierer erfordert. Trotzdem kann ein solches Vorgehen nützlich sein, um kleinere Untereinheiten einer größeren Struktur zu synthetisieren. Im Prinzip kann dieses Verfahren auch angewendet werden, wenn das Zweitor auch Widerstände enthält, obwohl dieser Fall von geringerer praktischer Bedeutung ist.

7. Alle Zweitore, die wir bisher behandelt haben, betreffen Filter, die auf beiden Seiten resistiv abgeschlossen sind. Es sollte jedoch klar werden, daß dieselben Grundsätze auch angewendet werden können, ,ium digitale Filter zu entwerfen, die klassische Leerlauf- oder Kurzschlußfilter nachbilden.

8. Digitale Wellenfilter können in gleicher Weise wie konventionelle Filter in entsprechende digitale JV-Pfad-Filter transformiert werden, indem man zu jeder Verzögerung 7/2 eine Verzögerung (N- Y)T/! addiert, während zur gleichen Zeit die Taktfrequenz des Filters gleich F=HT bleibt.

Hierzu 10 Blatt Zeichnungen

Claims

Patentansprüche:

1. Filter mit frequenzabhängigen Übertragungseigenschaften für elektrische Analogsignale, die in quantisierter oder codierter Form "erliegen, bei dem die Bauelemente durch Torschaltungen realisiert sind, dadurch gekennzeichnet, daß, ausgehend von einer LC-Filtergrundschaltung, die die gewünschten frequenzabhängigen Übertragungseigenschafteji aufweist, vorzugsweise einer Abzweigschaltung, die reaktiven Zwelpolschaltelemente dieser Grundschaltung (induktivität, Kapazität) als laufzeitbehaftete Eintorschaltungen und Leitungselemente als laufzeitbehaftete Zweitorsnhaltungen ausgebildet sind, die nichtreaktiven Zweipolschaltelemente dieser Grundschaltung (Widerstand, Leerlaufwiderstand, Kurzschlußwiderstand, widerstandsfreie und widerstandsbehaftete Quelle) als laufzeitfreie Eintorschaltungen und die nichtreaktiven Mehrtorelemente (Transformator, Gyrator, Zirkulator) als laufzeitfreie Mehrtorschaltungen ausgebildet sind, und daß zur Zusammenschaltung der Tore der Torschaltungen Adapter vorgesehen sind, über die die Torwiderstände der zusammengeschalteten Tore aneinander angepaßt sind.

2. Filter nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die als Induktivität wirkende laufzeitbehaftete Eintorschaltung aus der Reihenschaltung eines Speichergliedes und eines Vorzeicheninverters besteht (Fig. 2).

3. Filter nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die als Kapazität wirkende laufzeitbehaftete Zweipolschaltung aus einem Speicherglied besteht (F i g. 3).

4. Filter nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die als Leitungselement wirkende laufzeitbehaftete Zweitorschaltung aus zwei Übertragungswegen gegensinniger Übertragungsrichtung besteht und in jedem der beiden Übertragungswege ein Speicherglied mit einer Speicherzeit eingeschaltet ist, die der Hälfte der geforderten Gesamtlaufzeit entspricht (F i g. 10).

5. Filter nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die als Widerstand wirkende laufzeitfreie Eintorschaltung als Absorber ausgebildet ist (F i g. 4).

6. Filter nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die als Leerlaufwiderstand wirkende laufzeitfreie Eintorschaltung als Zweipol ausgebildet ist, der in ihn eingespeiste Wellen phasengleich reflektiert (Fig. 5).

7. Filter nach Anspruch 1, dadurch gekennzei, net, daß die als Kurzschlußwiderstand wirkende laufzeitfreie Eintorschaltung als Zweipol ausgebildet ist, der einen Vorzeicheninverter für am Zweipol reflektierte Wellen enthält (F i g. 6).

8. Filter nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die als Gyrator wirkende laufzeitfreie Mehrtorschaltung als Zweitorschaltung ausgebildet ist, bei der in den übertragungsweg für reflektierte Wellen ein Vorzeicheninverter eingeschaltet ist (F i g. 8).

9. Filter nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die als Zirkulator wirkende Mehrpolschaltung eine wenigstens drei Tore aufweisende Mehrtorschaltung ist, bei der eine derartige

Reihenschaltung der Anschlußklemmen der ein-

,SEelaen Tore vorgesehen ist, daß der für die Wellen-

einspeisung in ein Tor maßgebliche Anschluß in

den Anschluß des nächsten Tores übergeht, aus dem in diesem Tor Wellen austreten (F i g. 9).

10. Filter nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die als Transformator wirkende laufzeitfreie Mehrtorschaltung für den Fall eines Übersetzungsverhältnisses vcn —1/1 aus einer Zweitor-

o schaltung besteht, bei der in die beiden Übertragungswege (für hinlaufende und rücklaufende Wellen) jeweils ein Vorzeicheninverter eingeschaltet ist (F i g. 7).

11. Filter nach Anspruch 1, dadurch gekennis zeichnet, daß die als Transformator wirkende laufzeitfreie Mehrtorschaltung für den Fall eines Spannungsübersetzungsverhältnisses von njl aus zwei Zweitorschaltungen besteht, von denen jeder in einer Übertragungsrichtung einen Vorzeichen-

ao inverter enthält, und die über einen Zweitoradapter in Kette geschaltet sind, dessen Torwiderstände dem geforderten Spannungsübersetzungsverhältnis entsprechen (F i g. 16).

12. Filter nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß der Adapter als Zweitoradapter ausgebildet ist, bei dem die einspeisenden Anschlüsse jedes Tores mit einem gemeinsamen Addierer verbunden sind unter Einfügung eines Vorzeicheninverters in eine dieser Zuleitungen, daß mit jedem der beiden Einspeisungsanschlüsse je ein weiterer Addierer verbunden ist, denen als zusätzliche Einspeisung der Ausgang des gemeinsamen Addierers unter Zwischenschaltung eines Multiplizierers zugeführt ist, und daß die Ausgangsanschlüsse der beiden weiteren Addierer die Ausspeisungsklemmen der beiden Tore bilden (Fig. 15).

13. Filter nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß der Adapter als Drei- oder Mehrtorschaltung ausgebildet ist, mit η — 1 Multiplizierern (/! — Anzahl Tore) und in Parallelschaltung (F i g. 18) oder Serienschaltung (F i g. 20) und daß eist Tor als abhängiges Tor vorgesehen ist.
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14. Filter nach Anspruch 13, dadurch gekennzeichnet, daß das abhängige Tor dem Multiplizierer mit dem höchsten Multiplikationsfaktor zugeordnet ist.

15. Filter nach Anspruch 13 oder 14, dadurch gekennzeichnet, daß für den Adapter eine Anzahl von Torwiderständen untereinander gleich gewählt sind und die Anzahl der Multiplizierer dementsprechend geringer gewählt ist.

16. Filter nach einem der Ansprüche 1 bis 4, dadurch gekennzeichnet, daß die laufzeitbehafteten Eintor- und Zweitorschakungen in Abtasttechnik ausgeführt sind.

17. Filter nach einem der Ansprüche 1 bis 11, dadurch gekennzeichnet, daß die laufzeitfreien Mehrtorschaltungen in Abtasttechnik ausgeführt sind.

Die Erfindung bezieht sich auf ein Filter mit frequenzabhängigen Übertragungseigenschaften für elektrische Analogsignale, die in quantisierter oder codierter Form, z. B. in PAM-Signalform, in PCM-Signalform oder als Pulsdeltamodulationssignal vorliegen.