DE102018118673B3 - Vorrichtung und Verfahren zum Identifizieren einer Trägheitsmatrix eines Raumfahrzeugs - Google Patents

Abstract

Zum Identifizieren einer Trägheitsmatrix (12) eines Raumfahrzeugs (2) werden Komponenten sowohl eines Winkelgeschwindigkeit-Vektors des Raumfahrzeugs (2) über mindestens einen Zeithorizont als auch eines externes Drehmoment-Vektors von externen Drehmomenten, die auf das Raumfahrzeug (2) während des Zeithorizonts einwirken, bestimmt. Ein konvexes Problem, das Werte, die aus den bestimmten Komponenten des Winkelgeschwindigkeit-Vektors berechnet wurden, und die bestimmten Komponenten des äußeres Drehmoment-Vektors als Eingangsdaten aufweist, wird definiert und numerisch gelöst, um die Trägheitsmatrix zu identifizieren. Die aus den bestimmten Komponenten des Winkelgeschwindigkeit-Vektors berechneten Werte bestehen aus Unterschieden zwischen gleichen Komponenten des Winkelgeschwindigkeit-Vektors zu Beginn und am Ende des Zeithorizonts und Integralen von Produkten von gleichen und unterschiedlichen Komponenten des Winkelgeschwindigkeit-Vektors über den Zeithorizont.

Description

• TECHNISCHES GEBIET DER ERFINDUNG
• Die vorliegende Erfindung bezieht sich auf ein Verfahren zum Identifizieren einer Trägheitsmatrix eines Raumfahrzeugs. Genauer bezieht sich die vorliegende Erfindung auf ein Verfahren gemäß dem Oberbegriff des Anspruchs 1. Weiterhin bezieht sich die Erfindung auf eine Vorrichtung zur Durchführung des Verfahrens und auf ein Raumfahrzeug mit solch einer Vorrichtung.
• Eine genaue Kenntnis der Trägheitsmatrix eines Raumfahrzeugs erlaubt es, realistische Simulationen durchzuführen, die das Verhalten der Fluglage des Raumfahrzeugs vorhersagen Die Kenntnis der Trägheitsmatrix kann deshalb verwendet werden, um Steuersysteme und Navigationslösungen eines Raumfahrzeugs besser abzustimmen.
• STAND DER TECHNIK
• Ein übliches Verfahren zum Identifizieren einer Trägheitsmatrix eines Raumfahrzeugs ist es, die Trägheitsmatrix unter Verwendung eines Computer Aided Drawing (CAD)-Programms zu berechnen, das nummerische gitterbasierte Integrationstechniken verwendet. Es ist jedoch ein zeitaufwendiger Prozess, alle Elemente des zu analysierenden Raumfahrzeugs ordnungsgemäß in sein Computermodell einzuzeichnen, einzuschließen und zu integrieren.
• Ein weiteres Verfahren zum Identifizieren einer Trägheitsmatrix eines Raumfahrzeugs besteht in dem Erzeugen hochgenauer Abschätzungen unter Verwendung von ad-hoc Testaufbauten. Dieses Verfahren kann sehr teuer sein und es kann nicht während des realen Flugbetriebs angewandt werden.
• Aus A. Y. Lee und J. A. Wertz, „In-Flight Estimation oft he Cassini Spacecraft's Inertia Tensor", Journal of Spacecraft and Rockets, Vol. 39, Nr. 1, S. 153-155, Jan. 2002, verfügbar online: http://doi.org/10.2514/2.3795 ist es bekannt, eine Trägheitsmatrix eines Raumfahrzeugs durch Auswerten der Drehmomenterhaltung während eines Schwenkmanövers zu identifizieren. Die Elemente der Trägheitsmatrix werden eines nach dem anderen abgeschätzt.
• J. Keim et al., „Spacecraft inertial estimation via constrained least squares", in 2006 IEEE Aerospace Conference schlugen eine konvexe Formulierung des Problems vor. Das vorgeschlagene Verfahren verwendet semidefinites Programmieren (SDP) um eine Abschätzung der Trägheitsmatrix eines Raumfahrzeugs unter Verwendung von Reaktionsrädern als Aktuatoren zu erhalten. Das Problem des Differenzierens von verrauschten Daten wird durch Low-Pass-Filtern der Winkelgeschwindigkeiten vermieden. Messungen werden mit Quaternionen kombiniert, und die Schätzung wird durch das Einschließen unterer Grenzen in den Algorithmus unterstützt.
• U. Lee et al., „Fast inertia property estimation via convex optimization of the asteroid redirect mission" in 53rd IEEE Conference on Decision and control, Dezember 2014, S. 3364-3369 schlagen eine konvexe Struktur vor, um die dynamischen Terme direkt in einen konvexen kleinste Quadrate-Operator einzubauen. Auch dieses Verfahren stützt sich auf eine perfekte Kenntnis aller kinematischen und dynamischen Variablen, wie Winkelpositionen, Geschwindigkeiten, Beschleunigung und externen Drehmomente, die auf das Raumfahrzeug einwirken.
• Aus der EP 2 340 998 A1 ist eine Onlineträgheitsabschätzung zur Verwendung bei der Steuerung eines Raumfahrzeugs bekannt. Ein System zum Steuern des Raumfahrzeugs, das die Onlineträgheitsabschätzung anwendet, umfasst einen Fluglagesensor, um eine Fluglage des Raumfahrzeugs zu messen. Das System umfasst weiterhin einen Prozessor an Bord des Raumfahrzeugs. Ein Trägheitsabschätzer des Prozessors erzeugt eine Onlineträgheitsabschätzung des Raumfahrzeugs. Ein Raten- und Fluglagenabschätzer des Prozessors bestimmt eine Winkelposition und eine Winkelgeschwindigkeit des Raumfahrzeugs unter Verwendung der Fluglagemessung des Raumfahrzeugs und der Onlineträgheitsabschätzung zur Steuerung von Bewegung und Orientierung des Raumfahrzeugs ohne Rückgriff auf Drehraten des Raumfahrzeugs.
• AUFGABE DER ERFINDUNG
• Es ist die Aufgabe der Erfindung, ein Verfahren zum und eine Vorrichtung für das Identifizieren einer Trägheitsmatrix eines Raumfahrzeugs aufzuzeigen, die mit verrauschten Winkelgeschwindigkeitsmessungen und geschätzten auf das Raumfahrzeug einwirkenden Drehmomenten zurechtkommen und die dennoch in der Lage sind, die Trägheitsmatrix während des Flugs des jeweiligen Raumfahrzeugs in Echtzeit zu identifizieren.
• LÖSUNG
• Gemäß der vorliegenden Erfindung wird die Aufgabe der Erfindung durch die Merkmale des Verfahrensanspruchs 1 und die Merkmale des Vorrichtungsanspruchs 10 gelöst.
• Bevorzugte Ausführungsformen des erfindungsgemäßen Verfahrens und der erfindungsgemäßen Vorrichtung sind in den abhängigen Patentansprüchen definiert. Der abhängige Patentanspruch 14 bezieht sich auf ein Raumfahrzeug mit der erfindungsgemäßen Vorrichtung.
• BESCHREIBUNG DER ERFINDUNG
• Ein Verfahren zum Identifizieren einer Trägheitsmatrix eines Raumfahrzeugs weist die folgenden Schritte auf: Bestimmen von Komponenten eines Winkelgeschwindigkeit-Vektors des Raumfahrzeugs über mindestens einen Zeithorizont; Bestimmen von Komponenten eines externes Drehmoment-Vektors von externen Drehmomenten, die auf das Raumfahrzeug während des mindestens einen Zeithorizonts einwirken; Definieren eines konvexen Problems mit Werten, die aus den bestimmten Komponenten des Winkelgeschwindigkeit-Vektors berechnet wurden, und den bestimmten Komponenten des externes Drehmoment-Vektors als Eingabedaten; und numerisches Lösen des konvexen Problems, um die Trägheitsmatrix zu identifizieren. Gemäß der vorliegenden Erfindung wird das konvexe Problem so definiert, dass die aus den bestimmten Komponenten des Winkelgeschwindigkeit-Vektors berechneten Werte aus Differenzen zwischen denselben Komponenten des Winkelgeschwindigkeit-Vektors am Anfang und am Ende des mindestens einen Zeithorizonts und aus Integralen der Produkte von gleichen und unterschiedlichen Komponenten des Winkelgeschwindigkeit-Vektors über den mindestens einen Zeithorizont bestehen. Die von den bestimmten Komponenten des Winkelgeschwindigkeit-Vektors berechneten Werte, die die Eingangsdaten des konvexen Problems bereitstellen, umfassen keine Werte, die durch Differenzierung oder direkte Verwendung irgendwelcher Komponenten des rohen Winkelgeschwindigkeit-Vektors erhalten werden. So beeinträchtigt jegliches Rauschen, das in den bestimmten Komponenten des Winkelgeschwindigkeit-Vektors enthalten ist, die berechneten Werte nicht stark. Vielmehr wird die Auswirkung von jeglichem Rauschen durch die Integration der bestimmten Komponenten des Winkelgeschwindigkeit-Vektors über den mindestens einen Zeithorizont abgeschwächt.
• Genauer kann das konvexe Problem, das zum Identifizieren der Trägheitsmatrix gelöst wird, als ein Second-Order Cone Programming (SOCP)-Problem definiert werden, das einen kleinste Quadrate-Schätzer aufweist. Solch ein Problem kann für die Komponenten der Trägheitsmatrix zusätzlich bestehende Einschränkungen einbeziehen, und es kann vollständig definiert werden, so dass es einfach mit einer Standardsoftware wie ECOS oder SDPT3 gelöst werden kann.
• Die Integrale des Produkts derselben und der unterschiedlichen Komponenten des Winkelgeschwindigkeit-Vektors über den mindestens einen Zeithorizont können durch unkomplizierte numerische Integration der Produkte derselben und der unterschiedlichen Komponenten des Winkelgeschwindigkeit-Vektors berechnet werden.
• Die Bestimmung der Komponenten des Winkelgeschwindigkeit-Vektors kann insbesondere das Messen tatsächlicher Winkelgeschwindigkeiten des Raumfahrzeugs umfassen. Diese gemessenen tatsächlichen Winkelgeschwindigkeiten des Raumfahrzeugs können Kalmangefiltert werden, um die Komponenten des interessierenden Winkelgeschwindigkeit-Vektors zu bestimmen. Die tatsächlichen Winkelgeschwindigkeiten des Raumfahrzeugs können z. B. mit gyroskopischen Sensoren gemessen werden, die typischerweise in einem Raumfahrzeug zum Messen einer Fluglageänderungen vorhanden sind. Externe Drehmomente auf das Raumfahrzeug können nicht direkt gemessen werden. Die Komponenten des externes Drehmoment-Vektors können jedoch mit einer geeigneten Genauigkeit aus einem Steuersignal abgeschätzt werden, das während des mindestens einen Zeithorizonts von einem Steuersystem zum Steuern des Raumfahrzeugs bereitgestellt wird. Genauer können die Komponenten des externes Drehmoment-Vektors unter Berücksichtigung der bestimmten Komponenten des externes Drehmoment-Vektors und/oder der Eigenschaften des Aktuators des Raumfahrzeugs, dem das Steuersignal zugeordnet ist, aus diesem Steuersignal bestimmt werden.
• Vorzugsweise werden die Schritte des erfindungsgemäßen Verfahrens nicht nur einmal für nur einen Zeithorizont durchgeführt. Vielmehr werden die Komponenten des Winkelgeschwindigkeit-Vektors und die Komponenten des externes Drehmoment-Vektors vorzugsweise über mindestens drei oder mindestens fünf oder mindestens zehn oder mindestens fünfzehn Zeithorizonte bestimmt. Es besteht jedoch wenig Nutzen darin, die Komponenten des Winkelgeschwindigkeit-Vektors und des externes Drehmoment-Vektors für eine sehr große Anzahl von Zeithorizonten zu bestimmen. Daher ist es bevorzugt, diese Komponenten über nicht mehr als 200 oder 160 Zeithorizonte zu bestimmen. Eine Anzahl der Zeithorizonte von ungefähr 20 bis 50 wird unter den meisten Bedingungen geeignet sein.
• Falls die Komponenten des Winkelgeschwindigkeit-Vektors und des externes Drehmoment-Vektors über mehrere Zeithorizonte bestimmt werden, kann das konvexe Problem die für alle Zeithorizonte aus den bestimmten Komponenten des Winkelgeschwindigkeit-Vektors berechneten Werte und die für alle Zeithorizonte bestimmten Komponenten des externes Drehmoment-Vektors als Eingangsdaten aufweisen. Im Ergebnis wird die Lösung des konvexen Problems die interessierende Trägheitsmatrix mit einer verbesserten Genauigkeit identifizieren.
• In einer besonderen Ausführungsform des Verfahrens gemäß der vorliegenden Erfindung, weist das konvexe Problem mindestens eine Schlupfvariable auf, die zum Lösen des konvexen Problems zu minimieren ist. Solch eine Schlupfvariable ist ein Standardwerkzeug zum Umformen einer Ungleichheitsbedingung in eine Gleichheitsbedingung.
• Eine Vorrichtung gemäß der vorliegenden Erfindung zum Identifizieren einer Trägheitsmatrix eines Raumfahrzeugs weist eine Steuerung, wie beispielsweise eine Central Processing Unit (CPU) auf, die zum Ausführen des Verfahrens gemäß der vorliegenden Erfindung programmiert ist.
• Typischerweise wird die Vorrichtung gemäß der vorliegenden Erfindung Sensoren zum Messen der tatsächlichen Winkelgeschwindigkeiten des Raumfahrzeugs aufweisen. Weiterhin kann die Vorrichtung ein Kalman-Filter zum Kalman-Filtern der gemessenen tatsächlichen Winkelgeschwindigkeiten des Raumfahrzeugs aufweisen.
• In einer Ausführungsform weist die Vorrichtung gemäß der vorliegenden Erfindung einen Eingang auf, der konfiguriert ist, um ein Steuersignal zu empfangen, das von einem Steuersystem zum Steuern des Raumfahrzeugs bereitgestellt wird, wobei das Signal ausgewertet wird, um die Komponenten des äußeres Drehmoment-Vektors zu bestimmen.
• Ein Raumfahrzeug gemäß der vorliegenden Erfindung weist die Vorrichtung gemäß der vorliegenden Erfindung auf. Damit ist es möglich, die aktuelle Trägheitsmatrix des Raumfahrzeugs für eine verbesserte Steuerung des Raumfahrzeugs zu identifizieren. Die Trägheitsmatrix eines Raumfahrzeugs wird z. B. abhängig von dem verbrauchten Treibstoff, von von dem Raumfahrzeug freigesetzt Objekten, von geänderte Positionen von Elementen, Fracht oder Besatzung des Raumfahrzeugs variieren.
• Die Anzahl von Merkmalen, die in den Patentansprüchen und in der Beschreibung erwähnt ist, ist so zu verstehen, dass sie diese genaue Anzahl und eine größere Anzahl als die erwähnte Anzahl abdeckt, ohne dass das Adverb „mindestens“ explizit verwendet werden muss. Wenn z. B. ein Kalman-Filter erwähnt ist, ist dies so zu verstehen, dass es genau ein Kalman-Filter oder zwei Kalman-Filter oder mehr Kalman-Filter gibt. Zusätzliche Merkmale können zu den in den Patentansprüchen angeführten Merkmalen hinzugefügt werden, oder diese Merkmale können die einzigen Merkmale des jeweiligen Verfahrens oder Produkts sein.
• Die Bezugszeichen, die in den Patentansprüchen enthalten sind, beschränken den Umfang des von den Patentansprüchen geschützten Gegenstands nicht. Ihre einzige Funktion besteht darin, die Patentansprüche leichter verständlich zu machen.
• Figurenliste
• Im Folgenden wird die Erfindung unter Bezugnahme auf bevorzugte beispielhafte Ausführungsformen, die in den Zeichnungen illustriert sind, weiter erläutert und beschrieben.
• 1 zeigt schematisch eine Vorrichtung zum Identifizieren einer Trägheitsmatrix eines Raumfahrzeugs, die an Bord eines Raumfahrzeugs angeordnet ist.
• 2 zeigt verrauschte und wahre Winkelgeschwindigkeiten, die in einem Anwendungsbeispiel des Verfahrens gemäß der vorliegenden Erfindung verwendet werden, und
• 3 zeigt verrauschte und tatsächliche Drehmomente, die in dem Anwendungsbeispiel des Verfahrens gemäß der vorliegenden Erfindung verwendet werden.
• BESCHREIBUNG VON BEVORZUGTEN AUSFÜHRUNGSFORMEN DER ERFINDUNG
• Einer der wichtigsten Parameter, die von einem Raumfahrzeug bekannt sein müssen, ist seine Trägheitsmatrix. Eine genaue Kenntnis dieser Matrix erlaubt es, realistische Simulationen durchzuführen, die das Verhalten der Fluglage des Systems vorhersagen. Die Kenntnis der Trägheitsmatrix kann deshalb verwendet werden, um Steuersysteme des Raumfahrzeugs und Navigationslösungen für das Raumfahrzeug besser abzustimmen.
• Die Rotationsdynamik eines Raumfahrzeugs, das äußeren Drehmomenten ausgesetzt ist, wird durch den folgenden Satz von nichtlinearen Gleichungen beschrieben $${\rm I}\cdot \dot{\omega }={\rm T}-\omega \times {\rm I}\cdot \omega$$

  
• Hier ist die 3 × 3 Matrix I eine symmetrische, positiv definite Matrix, die die Trägheit des Raumfahrzeugs wiedergibt, d. h. die Trägheitsmatrix des Raumfahrzeugs. Der 3 × 1 Vektor T ist das äußere Drehmoment, das auf das Raumfahrzeug einwirkt, d. h. der äußeres Drehmoment-Vektor, und der 3 × 1 Vektor ω ist der Winkelgeschwindigkeit-Vektor, beide ausgedrückt im Körperbezugssystem. Es besteht die Aufgabe, die Trägheitsmatrix I abzuschätzen, während man eine Kenntnis der Winkelgeschwindigkeiten und der Drehmomente über der Zeit hat. Bei diesem Abschätzungsprozess treten einige Probleme auf.
• • Die Trägheitsmatrix muss symmetrisch, positiv definit sein.
• • Die Winkelgeschwindigkeiten und Drehmomente sind aufgrund von Ungewissheiten wie Rauschen und Skalierungsfaktoren innerhalb gewisser Grenzen bekannt.
• • Die Winkelbeschleunigungen des Raumfahrzeugs sind unbekannt, da die meisten Sensoren, die derzeit in Raumfahrtanwendungen verwendet werden (z. B. Gyros) Fluglageänderungen und keine Fluglagebeschleunigung messen.
• • Eine nummerische Differenzierung des Signals ist ebenfalls nicht zu empfehlen, da die Winkelgeschwindigkeiten verrauscht sind.
• Die vorliegende Erfindung stellt ein Verfahren bereit, das sich nicht auf die Kenntnis oder Abschätzung von Winkelbeschleunigungen oder die Kenntnis der Fluglage verlässt. Weiterhin sind die definite Positivität und die Symmetrie der Trägheitsmatrix durch das Verfahren selbst sichergestellt. Letztlich ist das Verfahren in der Lage, mit Rauschen und Skalierungsfaktoren zurecht zu kommen, was zu einem reduzierten Einfluss auf die Qualität der Resultate führt.
• Ein Gesamtschema, wie das Verfahren bei einer Vorrichtung 1 an Bord eines Raumfahrzeugs 2 implementiert werden kann, ist in 1 dargestellt. Die Vorrichtung weist eine Central Processing Unit (CPU) 3 auf. Sensoren 4 bis 6 senden Informationen an ein Kalman-Filter 7, das in der CPU 3 programmiert ist. Das Kalman-Filter 7 vereinigt die Informationen von den Sensoren 4 bis 6, um die Komponenten des Winkelgeschwindigkeit-Vektors ω (und die Fluglage) des Raumfahrzeugs 2 zu bestimmen. Der Winkelgeschwindigkeit-Vektor ω wird an ein Führungs- und Steuermodul 8 des Steuersystems 13 des Raumfahrzeugs 2 gesendet, das ein ideales Steuersignal T_ideal berechnet. Das Steuersignal T_ideal wird in einem Steuerungszuordnungsmodul 9 gemäß den bei dem Raumfahrzeug 2 verfügbaren Aktuatoren zugeordnet. Die Aktuatoren werden eine Steueraktion Tact erzeugen. Weitere Ungewissheiten, die in einem Ungewissheitenmodul 10 modelliert werden, werden die Steuerung beeinträchtigen, was zu dem äußeres Drehmoment-Vektor T führt. Dieser äußeres Drehmoment-Vektor T wird zusammen mit dem Winkelgeschwindigkeit-Vektor ω von dem Verfahrensmodul 11 verarbeitet, das die Trägheitsmatrix I ausgibt. Die Trägheitsmatrix I, kann dann z B. von dem Führungs- und Steuermodul 8 verwendet werden.
• Wenn die Komponenten des Trägheitstensors (ausgedrückt in KG m²) als $${\rm I}=\left[\begin{array}{ccc}{I}_{11}& I_{12}& I_{13}\\ I_{21}& I_{22}& I_{23}\\ I_{31}& I_{32}& I_{33}\end{array}\right],$$

  

  die Winkelgeschwindigkeiten im Körperbezugsystem ω (in rad/s) als $$\omega ={\left[\begin{array}{ccc}{\omega }_1& {\omega }_2& {\omega }_3\end{array}\right]}^T$$

  

  und die Komponenten des äußeren Drehmoments (in Nm), das auf das Raumfahrzeug einwirkt als $${\rm T}={\left[\begin{array}{ccc}{T}_1& T_2& T_3\end{array}\right]}^T$$

  

  definiert werden, gibt der folgende Satz von Differenzialgleichungen die Bewegungsgleichungen in eindeutiger Form wieder. $$\begin{array}{ccc}{I}_{11}{\dot{\omega }}_1+I_{12}{\dot{\omega }}_2+I_{13}{\dot{\omega }}_3& =& T_1+{\omega }_3\left(I_{21}{\omega }_1+I_{22}{\omega }_2+I_{23}{\omega }_3\right)+\\ & & -{\omega }_2\left(I_{31}{\omega }_1+I_{32}{\omega }_2+I_{33}{\omega }_3\right)\end{array}$$

  

  $$\begin{array}{ccc}{I}_{21}{\dot{\omega }}_1+I_{22}{\dot{\omega }}_2+I_{23}{\dot{\omega }}_3& =& T_2+{\omega }_1\left(I_{31}{\omega }_1+I_{32}{\omega }_2+I_{33}{\omega }_3\right)+\\ & & -{\omega }_3\left(I_{11}{\omega }_1+I_{12}{\omega }_2+I_{13}{\omega }_3\right)\end{array}$$

  

  $$\begin{array}{ccc}{I}_{31}{\dot{\omega }}_1+I_{32}{\dot{\omega }}_2+I_{33}{\dot{\omega }}_3& =& T_3+{\omega }_2\left(I_{11}{\omega }_1+I_{12}{\omega }_2+I_{13}{\omega }_3\right)+\\ & & -{\omega }_1\left(I_{21}{\omega }_1+I_{22}{\omega }_2+I_{23}{\omega }_3\right)\end{array}$$

  
• Umformen der obigen Gleichungen und Berücksichtigen, dass $$\begin{array}{cc}{I}_{ij}=I_{ji},& i,j=\mathrm{1,2,3}\end{array}$$

  

  resultiert in $$\begin{array}{l}\begin{array}{ccc}{T}_1& =& {\dot{\omega }}_1{I}_{11}-{\omega }_2{\omega }_3{I}_{22}+{\omega }_2{\omega }_3{I}_{33}+\left({\dot{\omega }}_2-{\omega }_1{\omega }_3\right)I_{12}+\\ & & +\left({\dot{\omega }}_3+{\omega }_1{\omega }_2\right)I_{13}+\left({\omega }_2{\omega }_2-{\omega }_3{\omega }_3\right)I_{23}\end{array}\\ \begin{array}{ccc}{T}_2& =& {\omega }_1{\omega }_3{I}_{11}+{\dot{\omega }}_2{I}_{22}-{\omega }_1{\omega }_3{I}_{33}+\left({\dot{\omega }}_1+{\omega }_2{\omega }_3\right)I_{12}+\\ & & +\left({\omega }_3{\omega }_3-{\omega }_1{\omega }_1\right)I_{13}+\left({\dot{\omega }}_3-{\omega }_1{\omega }_3\right)I_{23}\end{array}\\ \begin{array}{ccc}{T}_3& =& -{\omega }_1{\omega }_2{I}_{11}+{\omega }_1{\omega }_2{I}_{22}+{\dot{\omega }}_3{I}_{33}+\left({\omega }_1{\omega }_1-{\omega }_2{\omega }_2\right)I_{12}+\\ & & +\left({\dot{\omega }}_1-{\omega }_2{\omega }_3\right)I_{13}+\left({\dot{\omega }}_2+{\omega }_1{\omega }_3\right)I_{23}\end{array}\end{array}$$

  

  oder, in äquivalenter Matrixform, in $$\Gamma \cdot {{\rm I}}_v={\rm T}$$

  

  wobei die Elemente der Matrix Γ $${\Gamma }_{11}\triangleq {\dot{\omega }}_1$$

  

  $${\Gamma }_{12}\triangleq -{\omega }_2{\omega }_3$$

  

  $${\Gamma }_{13}\triangleq +{\omega }_2{\omega }_3$$

  

  $${\Gamma }_{14}\triangleq {\dot{\omega }}_2-{\omega }_1{\omega }_3$$

  

  $${\Gamma }_{15}\triangleq {\dot{\omega }}_3+{\omega }_1{\omega }_2$$

  

  $${\Gamma }_{16}\triangleq {\omega }_2{\omega }_2-{\omega }_3{\omega }_3$$

  

  $${\Gamma }_{21}\triangleq {\omega }_1{\omega }_3$$

  

  $${\Gamma }_{22}\triangleq +{\dot{\omega }}_2$$

  

  $${\Gamma }_{23}\triangleq -{\omega }_1{\omega }_3$$

  

  $${\Gamma }_{24}\triangleq {\dot{\omega }}_1+{\omega }_2{\omega }_3$$

  

  $${\Gamma }_{25}\triangleq {\omega }_3{\omega }_3-{\omega }_1{\omega }_1$$

  

  $${\Gamma }_{26}\triangleq {\dot{\omega }}_3-{\omega }_1{\omega }_2$$

  

  $${\Gamma }_{31}\triangleq -{\omega }_1{\omega }_2$$

  

  $${\Gamma }_{32}\triangleq +{\omega }_1{\omega }_2$$

  

  $${\Gamma }_{33}\triangleq +{\dot{\omega }}_3$$

  

  $${\Gamma }_{34}\triangleq {\omega }_1{\omega }_1-{\omega }_2{\omega }_2$$

  

  $${\Gamma }_{35}\triangleq {\dot{\omega }}_1-{\omega }_2{\omega }_3$$

  

  $${\Gamma }_{36}\triangleq {\dot{\omega }}_2+{\omega }_1{\omega }_3$$

  

  und $${{\rm I}}_v={\left[\begin{array}{cccccc}{I}_{11}& I_{22}& I_{33}& I_{12}& I_{13}& I_{23}\end{array}\right]}^T$$

  

  sind.
• Bemerke, dass, während die Dynamik bei ω nicht linear ist, die Elemente der Trägheitsmatrix I in linearer Form erscheinen. Bemerke jedoch, dass in Gleichung (2) die Winkelbeschleunigungen ω̇_i erscheinen. Die Kenntnis dieser Variablen ist normalerweise nicht verfügbar, und deshalb werden wir sie bei dem Schätzvorgang nicht verwenden. Stattdessen können wir beide Seiten der Gleichung (2) von einem Zeitschritt k über einen gegebenen finiten Zeithorizont [t_k, t_k+l] integrieren. $${\displaystyle \underset{t_k}{\overset{t_{k+1}}{\int }}\Gamma \cdot {{\rm I}}_v}dt={\displaystyle \underset{t_k}{\overset{t_{k+1}}{\int }}{\rm T}}dt$$

  

  und unter der Annahme, dass das Trägheitsmoment konstant ist, kann diese Gleichung umgeschrieben werden als $${\Omega }^{k,l}\cdot {{\rm I}}_v={\Theta }_{k,l}$$

  

  wobei $${\Omega }^{k,l}\begin{array}{cc}\triangleq {\displaystyle \underset{t_k}{\overset{t_{k+1}}{\int }}\Gamma dt},& {\Theta }^{k,l}\triangleq {\displaystyle \underset{t_k}{\overset{t_{k+1}}{\int }}{\rm T}}dt\end{array}$$

  
• Die Komponenten der Matrix Θ_k,l können direkt definiert werden als $${\Theta }_{11}^{k,l}\triangleq \mathrm{\Delta }{\omega }_1^{k,l}$$

  

  $${\Theta }_{12}^{k,l}\triangleq -\mathrm{\Delta }{\omega }_{\mathrm{2,3}}^{k,l}$$

  

  $${\Theta }_{13}^{k,l}\triangleq \mathrm{\Delta }{\omega }_{\mathrm{2,3}}^{k,l}$$

  

  $${\Theta }_{14}^{k,l}\triangleq {\left(\mathrm{\Delta }{\omega }_2-\mathrm{\Delta }{\omega }_{\mathrm{1,3}}\right)}^{k,l}$$

  

  $${\Theta }_{15}^{k,l}\triangleq {\left(\mathrm{\Delta }{\omega }_3\mathrm{+\Delta }{\omega }_{\mathrm{1,2}}\right)}^{k,l}$$

  

  $${\mathrm{\Theta }}_{16}^{k,l}\triangleq {\left(\Delta {\omega }_{\mathrm{2,2}}-\Delta {\omega }_{\mathrm{3,3}}\right)}^{k,l}$$

  

  $${\mathrm{\Theta }}_{21}^{k,l}\triangleq \Delta {\omega }_{\mathrm{1,3}}^{k,l}$$

  

  $${\mathrm{\Theta }}_{22}^{k,l}\triangleq \Delta {\omega }_2^{k,l}$$

  

  $${\mathrm{\Theta }}_{23}^{k,l}\triangleq -\Delta {\omega }_{\mathrm{1,3}}^{k,l}$$

  

  $${\mathrm{\Theta }}_{24}^{k,l}\triangleq {\left(\Delta {\omega }_1+\Delta {\omega }_{\mathrm{2,3}}\right)}^{k,l}$$

  

  $${\mathrm{\Theta }}_{25}^{k,l}\triangleq {\left(\Delta {\omega }_{\mathrm{3,3}}-\Delta {\omega }_{\mathrm{1,1}}\right)}^{k,l}$$

  

  $${\mathrm{\Theta }}_{26}^{k,l}\triangleq {\left(\Delta {\omega }_3-\Delta {\omega }_{\mathrm{1,2}}\right)}^{k,l}$$

  

  $${\mathrm{\Theta }}_{31}^{k,l}\triangleq -\Delta {\omega }_{\mathrm{1,2}}^{k,l}$$

  

  $${\mathrm{\Theta }}_{32}^{k,l}\triangleq +\Delta {\omega }_{\mathrm{1,2}}^{k,l}$$

  

  $${\mathrm{\Theta }}_{33}^{k,l}\triangleq \Delta {\omega }_3^{k,l}$$

  

  $${\mathrm{\Theta }}_{34}^{k,l}\triangleq {\left(\Delta {\omega }_{\mathrm{1,1}}-\Delta {\omega }_{\mathrm{2,2}}\right)}^{k,l}$$

  

  $${\mathrm{\Theta }}_{35}^{k,l}\triangleq {\left(\Delta {\omega }_1-\Delta {\omega }_{\mathrm{2,3}}\right)}^{k,l}$$

  

  $${\mathrm{\Theta }}_{36}^{k,l}\triangleq {\left(\Delta {\omega }_2+\Delta {\omega }_{\mathrm{1,3}}\right)}^{k,l}$$

  

  mit $$\begin{array}{c}\Delta {\omega }_i\triangleq {\omega }_i^{k+l}-{\omega }_i^k\\ \Delta {\omega }_{i,j}\triangleq {\displaystyle \underset{t_k}{\overset{t_{k+l}}{\int }}{\omega }_i{\omega }_{j}dt}\end{array},i,j=\mathrm{1,2,3}$$

  
• Bemerke, dass während für die Elemente Δω_i,j, mit i, j = 1,2,3 eine numerische Integration erforderlich ist, es für die Δω_i ausreichend ist, die Differenz zwischen den entsprechenden Winkelgeschwindigkeiten zu den Zeitpunkten t_k und t_k+l zu nehmen. Deshalb ist das Differenzierungsproblem vollständig entfernt, und der Effekt des Rauschens ist durch das Kalman-Filtern des Signals stark abgeschwächt. Gleichung (3) kann in einen kleinste Quadrate-Schätzer gegossen werden. Der Nutzen des Ausdrückens der Dynamik in Integralform, wie durch die Gleichung (3) angegeben, ist, dass die Symmetrie der Matrix direkt in die Formulierung des Problems eingeschlossen ist, und deshalb keine weiteren Bedingungen der Form I_ij = I_ji erfordert, was außerdem eine Verdopplung der Variablen implizieren würde. Weiterhin erfordert diese Formulierung nicht die Differenzierung der verrauschten Signale, die die Winkelgeschwindigkeiten wiedergeben. Letztlich wird der Effekt des Rauschens auf die Abschätzung der Trägheitsmatrix abgeschwächt. Weitere einzuschließende Bedingungen, die von den physikalischen Eigenschaften jeder Trägheitsmatrix herrühren, sind die triangulären Ungleichungen, die ihre Diagonalelemente betreffen. $$\begin{array}{c}{I}_1<I_2+I_3\\ I_2<I_3+I_1\\ I_3<I_1+I_2\end{array}$$

  
• Letztlich können, falls bestimmte obere oder untere Werte für die Elemente des Trägheitstensors verfügbar sind (beispielsweise durch CAD-Zeichnungen oder experimentelle Aufbauten, diese in die Struktur einfach als $$I_{v,i,lower}\le I_{v,i}\le I_{v,i,upper},i=\mathrm{1,}\dots 6$$

  

  eingebaut werden.
• Das Problem des Abschätzens der Trägheitsmatrix kann wie folgt formuliert werden. Ein Satz von Schlupfvariablen s₀ ,..., s_n wird eingeführt, wobei n die Anzahl der einzuschließenden Integrationshorizonte ist.
• Der Zustandsvektor unseres konvexen Problems ist definiert als $$\mathbf{X}\triangleq {\left[I_{11}{I}_{22}{I}_{33}{I}_{12}{I}_{13}{I}_{23}{\text{ s}}_0{\text{ s}}_1\dots s_n\right]}^T,$$

  

  was wie folgt interpretiert werden kann. Die ersten sechs Elemente entsprechen der zu identifizierenden Trägheitsmatrix. Die Variable so ist eine globale Schlupfvariable, während s₁ ,...,s_n lokale Schlupfvariablen sind, die eine obere Grenze für die Norm der Reste sind, welche aus der Gleichung (3) kommen, gemeint im Sinne kleinster Quadrate. Das Problem ist daher das Folgende. Wir sind daran interessiert, die positive Slackvariable so zu minimieren, $$\text{minimize }J=s_0$$

  

  unter Berücksichtigung der linearen Bedingungen $$\left[\begin{array}{cccccc}1& -1& -1& 0& \dots & 0\\ -1& 1& -1& 0& \dots & 0\\ 1& 1& -1& 0& \dots & 0\end{array}\right]\mathbf{X}\le \left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right],$$

  

  die die triangulären Ungleichungen der Gleichung (4) wiedergeben. Dann können wir für jeden der n Integrationshorizonte die Minimierung der drei Reste $${\Omega }^{k,l}{I}_v-{\Theta }^{k,l}$$

  

  in Form eines vierdimensionalen Konus einführen $${\Vert {\mathbf{A}}_k\mathbf{X}+{\mathbf{b}}_k\Vert }_k\le {\mathbf{c}}_k\mathbf{X}+d_k,k=\mathrm{1,}\dots ,n$$

  

  mit $${\mathbf{A}}_k=\left[{\Omega }_{k,l}{\mathbf{O}}_{\mathrm{3,}n+1}\right]$$

  

  $${\mathbf{b}}_k=-{\Theta }^{k,l}$$

  
• Der Vektor c_k hat Dimensionen [(6 + n + 1) × 1] und ein einziges Elemente ungleich null, das der k. Schlupfvariable s_k entspricht. $${\mathbf{c}}_k\left[6+1+k\right]=\mathrm{1,}\forall k=\mathrm{1,}\dots ,n$$

  
• Letztlich ist d k gleich 0. Der Satz der Gleichungen erlaubt es, einzuführen, dass jeder der betrachteten Horizonte durch die entsprechenden positiven Schlupfvariablen s₁ , s₂ , ... , s_n begrenzt ist. Die letzte Bedingung, die wir benötigten, ist, dass alle diese Reste durch die Schlupfvariable so begrenzt sind. Dies kann dadurch getan werden, dass wir einen n + 1-dimensionalen Konus verwenden $$\Vert {\mathbf{O}}_{n\times \left(6+1\right)}{\mathbf{I}}_{n\times n}\Vert \mathbf{X}\le \left[{\mathbf{O}}_{1\times 6}1{\mathbf{O}}_{1\times n}\right]\mathbf{X}$$

  
• Falls in Gleichung (5) definierte Grenzen bekannt sind, können sie einfach in die Matrixform als lineare Ungleichungen $$\mathbf{GX}\le \mathbf{h}$$

  

  eingebaut werden, wobei $$\mathbf{G}={\mathbf{I}}_{6\times 6}$$

  

  $$\mathbf{h}={\mathbf{I}}_{v,upper}$$

  

  zum Einführen der oberen Grenze und $$\mathbf{G}=-{\mathbf{I}}_{6\times 6}$$

  

  $$\mathbf{h}=-{\mathbf{I}}_{v,lower}$$

  

  für die untere Grenze. Das Problem ist vollständig definiert und kann mit einer verfügbaren Standardsoftware gelöst werden, wie ECOS oder SDPT3.
• Als Beispiel weist ein Raumfahrzeug die folgende Trägheitsmatrix auf und zeigt die folgenden Winkelgeschwindigkeiten. $${\mathbf{I}}_{true}=\left[\begin{array}{ccc}1.20& 0.20& -0.15\\ 0.20& 1.25& 0.16\\ -0.15& 0.16& 2.10\end{array}\right]{\text{ Kg m}}^2$$

  

  $$\omega \left(t_0\right)={\left[\begin{array}{ccc}0.0006& 0.001& -0.0004\end{array}\right]}^T$$

  
• Die auf das Raumfahrzeug einwirkenden Drehmomente sind wie folgt definiert. $$T=\left[\begin{array}{c}0.12\text{ sin }\left(\frac{\pi }{2}t\right)\text{ cos }\left(2\pi t\right)\\ -0.15\text{ sin }\left(4\pi t\right)\text{ cos }\left(\pi t\right)\\ 0.18\text{ sin }\left(\pi t\right)\text{ cos }\left(\frac{4}{3}\pi t\right)\end{array}\right]\text{ N m}$$

  
• Ein gaußförmiges Rauschen (σ = 0.1°) wird den Winkelgeschwindigkeiten hinzugefügt, und ungefähr 1 % der Maximalamplitude wird zu den nominellen Werten des Drehmoments hinzugefügt. Weiterhin wird ein Skalierungsfaktor von 0,1% sowohl bei ω als auch T eingeschlossen. Die entsprechenden Winkelgeschwindigkeiten- und Drehmomentprofile sind in den 2 und 3 dargestellt.
• Wenn wir den Algorithmus über 50 Horizonte, die jeweils 10 s lang sind, laufen lassen, erhalten wir $$\widehat{I}=\left[\begin{array}{ccc}1.1624& 0.1974& -0.1360\\ 0.1974& 1.2449& 0.1646\\ -0.1360& 0.1646& 2.1124\end{array}\right]{\text{ Kg m}}^2$$

  
• Und der Fehler in % ist $$\Delta \widehat{I}\left(\text{\%}\right)=\left[\begin{array}{ccc}-3.1317& -1.3236& 2.8850\\ -1.3236& -0.4092& 2.8850\\ -9.3105& 2.8850& 0.5889\end{array}\right]$$

  
• Alle diese Fehler liegen unter 4 %, außer das Element I₁₃, das ein bisschen größer ist, aber begrenzt (weniger als 10 %).
• Bezugszeichenliste

1

Vorrichtung

2

Raumfahrzeug

3

Prozessor

4

Sensor

5

Sensor

6

Sensor

7

Kalman-Filter

8

Führungs- und Steuermodul

9

Steuerungszuordnungsmodul

10

Ungewissheitenmodul

11

Verfahrensimplementierungsmodul

12

Trägheitsmatrix

13

Steuersystem

Claims (14)

1. Verfahren zum Identifizieren einer Trägheitsmatrix (12) eines Raumfahrzeugs (2), wobei das Verfahren aufweist - Bestimmen von Komponenten eines Winkelgeschwindigkeit-Vektors des Raumfahrzeugs (2) über mindestens einen Zeithorizont, - Bestimmen von Komponenten eines äußeres Drehmoment-Vektors von äußeren Drehmomenten, die während des mindestens einen Zeithorizonts auf das Raumfahrzeug (2) einwirken, - Definieren eines konvexen Problems mit - Werten, die aus den bestimmten Komponenten des Winkelgeschwindigkeit-Vektors berechnet werden, und - den bestimmten Komponenten des äußeres Drehmoment-Vektors als Eingangsdaten und - numerisch Lösen des konvexen Problems, um die Trägheitsmatrix zu identifizieren, dadurch gekennzeichnet, - dass das konvexe Problem so definiert wird, dass die aus den bestimmten Komponenten des Winkelgeschwindigkeit-Vektors berechneten Werte bestehen aus - Unterschieden zwischen gleichen Komponenten des Winkelgeschwindigkeit-Vektors am Anfang und am Ende des wenigstens einen Zeithorizonts und - Integralen der Produkte von gleichen und unterschiedlichen Komponenten des Winkelgeschwindigkeit-Vektors über den mindestens einen Zeithorizont.
2. Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, dass das konvexe Problem als ein Second-Order Cone Programming (SOCP)-Problem definiert wird, das mindestens einen kleinste Quadrate-Schätzer aufweist.
3. Verfahren nach Anspruch 1 oder 2, dadurch gekennzeichnet, dass die Integrale des Produkts der gleichen und der unterschiedlichen Komponenten des Winkelgeschwindigkeit-Vektors über den mindestens einen Zeithorizont durch numerische Integration des Produkts der gleichen oder der unterschiedlichen Komponenten des Winkelgeschwindigkeit-Vektors berechnet werden.
4. Verfahren nach Anspruch 1, 2 oder 3, dadurch gekennzeichnet, dass das Bestimmen der Komponenten des Winkelgeschwindigkeit-Vektors das Messen tatsächlicher Winkelgeschwindigkeiten des Raumfahrzeugs umfasst.
5. Verfahren nach Anspruch 4, dadurch gekennzeichnet, dass das Bestimmen der Komponenten des Winkelgeschwindigkeit-Vektors Kaiman-Filtern der gemessenen tatsächlichen Winkelgeschwindigkeiten des Raumfahrzeugs umfasst.
6. Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass die Komponenten des äußeres Drehmoment-Vektors aus einem Steuersignal bestimmt werden, das von einem Steuersystem zum Steuern des Raumfahrzeugs während des mindestens einen Zeithorizonts bereitgestellt wird.
7. Verfahren nach Anspruch 6, dadurch gekennzeichnet, dass die Komponenten des äußeres Drehmoment-Vektors bestimmt werden unter Berücksichtigung mindestens einer von - den bestimmten Komponenten des äußeres Drehmoment-Vektors und - Eigenschaften von Aktuatoren des Raumfahrzeugs, denen das Steuersignal zugeordnet wird.
8. Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, - dass die Komponenten des Winkelgeschwindigkeit-Vektors und die Komponenten des äußeres Drehmoment-Vektors über mindestens fünf und nicht mehr als zweihundert Zeithorizonte bestimmt werden, und - dass das konvexe Problem die für alle Zeithorizonte aus den bestimmten Komponenten des Winkelgeschwindigkeit-Vektors berechneten Werte und die für alle Zeithorizonte bestimmten Komponenten des äußeres Drehmoment-Vektors als Eingangsdaten aufweist.
9. Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass das konvexe Problem mindestens eine Schlupfvariable aufweist, die zum Lösen des konvexen Problems zu minimieren ist.
10. Vorrichtung (1) zum Identifizieren einer Trägheitsmatrix (12) eines Raumfahrzeugs (2), wobei die Vorrichtung (1) einen Prozessor aufweist, der zum Ausführen des Verfahrens nach einem der vorhergehenden Ansprüche programmiert ist.
11. Vorrichtung (1) nach Anspruch 10, gekennzeichnet durch Sensoren (4 bis 6), die zum Messen von tatsächlichen Winkelgeschwindigkeiten des Raumfahrzeugs (2) konfiguriert sind.
12. Vorrichtung (1) nach Anspruch 11, gekennzeichnet durch ein Kalman-Filter (7), das zum Kalman-Filtern der gemessenen tatsächlichen Winkelgeschwindigkeiten des Raumfahrzeugs (2) konfiguriert ist.
13. Vorrichtung (1) nach einem der Ansprüche 10 bis 12, gekennzeichnet durch einen Eingang, der zum Empfangen eines Steuersignals (Tideal) konfiguriert ist, das von einem Steuersystem (13) zum Steuern des Raumfahrzeugs (2) bereitgestellt wird.
14. Raumfahrzeug (2) mit der Vorrichtung (1) nach einem der Ansprüche 10 bis 13.

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