CN102221356A - 多普勒振镜正弦调制多光束激光外差二次谐波测量激光入射角度的装置及方法 - Google Patents

Abstract

多普勒振镜正弦调制多光束激光外差二次谐波测量激光入射角度的装置及方法，它涉及一种测量激光入射角度的装置及方法。它为解决现有激光外差动态测角法在测量激光入射角度时存在采集激光差频信号质量差和信号处理的运算速度慢的问题而提出。振镜做简谐振动；打开激光器；通过信号处理系统连续采集光电探测器输出的电信号，并对采集到的差频信号进行处理，根据激光外差信号的频率与激光入射至已知厚度的玻璃板的折射角的比例系数，获得待测的入射角。它具有采集激光差频信号质量高，信号处理的运算速度快的优点。它可广泛应用于超精密测量、检测、加工设备、激光雷达系统。

Description

多普勒振镜正弦调制多光束激光外差二次谐波测量激光入射角度的装置及方法

技术领域

本发明涉及一种测量激光入射角度的装置及方法。

背景技术

精密角度测量是工程领域一直需要面对和解决的问题。随着科学技术的发展，角度测量设备和测量方法不断的推陈出新，如码盘、永磁同步电机、激光扫描仪、感应同步器、空间傅里叶光谱仪和四象限探测器测角等高准确度测角器件及利用这些器件开发的测角设备的大量应用，为工程设计和检测人员提供了大量角度测量问题的解决办法。测角方法包括CCD光学测角法、PIP干涉测量法、成像式光栅自准直测角法、基于莫尔条纹的自准直测角法等。利用这些方法一般都不能达到高准确度角度测量的要求。

由于光学测角由于具有非接触性、精度高和结构简单等特点而备受人们的重视，因此使用光学测角的方法得到了越来越广泛的应用。基于此，提出了一种基于多光束激光外差检测的动态测角算法，其特点是不需要动镜的方向信息，可以在满足精度的同时实现大范围倾角检测。

但是现有的激光外差动态测角法在测量激光入射角度时存在采集激光差频信号质量差和信号处理的运算速度慢的问题。

发明内容

本发明为了解决现有激光外差动态测角法在测量激光入射角度时存在采集激光差频信号质量差和信号处理的运算速度慢的问题，而提出的多普勒振镜正弦调制多光束激光外差二次谐波测量激光入射角度的装置及方法。

多普勒振镜正弦调制多光束激光外差二次谐波测量激光入射角度的装置，它包括H₀固体激光器、偏振分束镜PBS、四分之一波片、振镜、平面反射镜、已知厚度的玻璃板、会聚透镜、光电探测器和信号处理系统，

H₀固体激光器发出的线偏振光经偏振分束镜PBS反射后入射至四分之一波片，经所述四分之一波片透射后的光束入射至振镜的光接收面，经所述振镜反射的光束再次经四分之一波片透射后发送至偏振分束镜PBS，经该偏振分束镜PBS透射后的光束入射至平面反射镜的反射面，经该平面反射镜反射后的光束入射至已知厚度的玻璃板前表面，经该已知厚度的玻璃板前表面透射的光束在该已知厚度的玻璃板内，经该已知厚度的玻璃板后表面与前表面多次反射后获得多束反射光，该多束反射光经该已知厚度的玻璃板的前表面透射之后与经该已知厚度的玻璃板前表面反射后的光束均通过会聚透镜汇聚至光电探测器的光敏面上，所述光电探测器输出电信号给信号处理系统。

基于上述多普勒振镜正弦调制多光束激光外差二次谐波测量激光入射角度的装置测量激光入射角度的方法，它由如下步骤实现：

首先，打开振镜的驱动电源使振镜开始做简谐振动；同时，打开激光器；

然后通过信号处理系统连续采集光电探测器输出的电信号，并对采集到的差频信号进行处理，根据频率与已知厚度的玻璃板的折射角的关系：

f＝Kcosθ

获得激光入射至已知厚度的玻璃板的折射角θ：

cosθ＝f/K

式中f为激光外差信号的频率，K为激光外差信号的频率f与激光入射至已知厚度的玻璃板的折射角的比例系数，从而获得待测的入射角θ₀的大小为：

θ₀＝arcsin(nsinθ)

式中n为已知厚度的玻璃板的折射率。

本申请所述测量装置及方法不但具有传统光学测角技术具有非接触性、精度高和结构简单等优点，还具有采集的激光差频信号质量高和信号处理的运算速度快的突出优点。

针对传统的测量系统的特点和不足，本申请提出了一种基于振镜正弦调制多光束激光外差二次谐波测量激光入射角度的方法，通过在光路中加入振镜4，振镜4在正弦驱动信号作用下作简谐振动，可以对不同时刻入射到其前表面的光进行频率调制，把待测的角度信息加载到外差信号二次谐波的频率差中，通过傅里叶变化很容易就可以解调出待测角度信息，且测量精度极高。将激光外差技术和激光多普勒技术结合使用，将两种技术的优势很好的应用到了角度的检测上，使得调制、检测、处理简单易行。

仿真证明，本申请所述方法是一种良好的非接触测量角度的方法，可以应用在恶劣测量环境上。应用此方法测量角度时具有精度高，线形度好，测量速度快等优势。仿真结果表明，该方法在测量不同角度时，测量误差小于0.789677％，说明该方法应用是可行、可靠的，能够满足微小角度测量的要求，为许多工程领域提供了很好的测量手段，可以广泛的应用于激光雷达、机械、仪器仪表和电子产品制造业中，具有很好应用前景和价值。

附图说明

图1是本发明的多普勒振镜正弦调制多光束激光外差二次谐波测量激光入射角度的装置的结构示意图；图2是已知厚度的玻璃板中多光束激光干涉原理图；图3不同入射角测量对应的频谱图，图中曲线表示入射角的实际值从右至左依次为4.0mrad，4.5mrad，5.0mrad，5.5mrad，6.0mrad，6.5mrad，7.0mrad，7.5mrad。

具体实施方式

具体实施方式一：结合图1说明本实施方式，本实施方式所述多普勒振镜正弦调制多光束激光外差二次谐波测量激光入射角度的装置包括H0固体激光器1、偏振分束镜PBS2、四分之一波片3、振镜4、平面反射镜5、已知厚度的玻璃板6、会聚透镜7、光电探测器8和信号处理系统9，

H0固体激光器1发出的线偏振光经偏振分束镜PBS2反射后入射至四分之一波片3，经所述四分之一波片3透射后的光束入射至振镜4的光接收面，经所述振镜4反射的光束再次经四分之一波片3透射后发送至偏振分束镜PBS2，经该偏振分束镜PBS2透射后的光束入射至平面反射镜5的反射面，经该平面反射镜5反射后的光束入射至已知厚度的玻璃板6前表面，经该已知厚度的玻璃板6前表面透射的光束在该已知厚度的玻璃板6内，经该已知厚度的玻璃板6后表面与前表面多次反射后获得多束反射光，该多束反射光经该已知厚度的玻璃板6的前表面透射之后与经该已知厚度的玻璃板6前表面反射后的光束均通过会聚透镜7汇聚至光电探测器8的光敏面上，所述光电探测器8输出电信号给信号处理系统9。由于光束在已知厚度的玻璃板的前后表面之间会不断地反射和折射(如图2所示)，而这种反射和折射对于反射光和透射光在无穷远处或透镜焦平面上的干涉都有贡献，所以在讨论干涉现象时，必须考虑多次反射和折射效应，即应讨论多光束激光干涉。

但是，由于激光在已知厚度的玻璃板6前表面的反射光与玻璃后表面反射k次和k+1次后的透射出玻璃前表面的光混频，产生的两个差频信号的幅度相差2～3个数量级，经过傅里叶变换后，为了能够采集到较好的激光差频信号和提高信号处理的运算速度，所以在这里我们仅考虑所检测的k次反射透射出前表面的E_k光与后表面k+2次反射后透射出前表面的E_k+2光混频所产生的二次谐频差。

具体实施方式二：本实施方式与具体实施方式一不同点在于所述信号处理系统9由滤波器9-1、前置放大器9-2、模数转换器A/D和数字信号处理器DSP组成，所述滤波器9-1对接收到的光电探测器8输出的电信号进行滤波之后发送给前置放大器9-2，经前置放大器9-2放大之后的信号输出给模数转换器A/D，所述模数转换器A/D将转换后的数字信号发送给数字信号处理器DSP。其它组成和连接方式与具体实施方式一相同。

具体实施方式三：本实施方式与具体实施方式一或二不同点在于所述振镜4为多普勒振镜，所述振镜4的简谐振动方程为：

x(t)＝x₀cos(ω_ct)

振镜4的速度方程为：

v(t)＝-ω_cx₀sin(ω_ct)

式中，参数ω₀为激光角频率，参数x₀为振镜振动的振幅，参数ω_c为振镜的角频率，c为光速；t为时间。其它组成和连接方式与具体实施方式一或二相同。

具体实施方式四：基于具体实施方式一所述的多普勒振镜正弦调制多光束激光外差二次谐波测量角度的装置测量激光入射角度的方法，它由如下步骤实现：

首先，打开振镜4的驱动电源使振镜4开始做简谐振动；同时，H0固体激光器1；

然后通过信号处理系统9连续采集光电探测器8输出的电信号，并对采集到的差频信号进行处理，根据频率与已知厚度的玻璃板6的折射角的关系：

f＝Kcosθ

获得激光入射至已知厚度的玻璃板6的折射角θ：

cosθ＝f/K

式中f为激光外差信号的频率，K为激光外差信号的频率f与激光入射至已知厚度的玻璃板6的折射角的比例系数，从而获得待测的入射角θ₀的大小为：

θ₀＝arcsin(nsinθ)

式中n为已知厚度的玻璃板6的折射率。

具体实施方式五：本实施方式与具体实施方式四不同点在于通过信号处理系统9连续采集光电探测器8输出的电信号，并对采集到的差频信号进行处理，获得已知厚度的玻璃板6的入射角θ₀的过程中，激光外差信号的频率f和比例系数K是采用下述方法获得的：

由于激光在已知厚度的玻璃板6前表面的反射光与已知厚度的玻璃板6后表面反射k次和k+1次后的透射出玻璃前表面的光混频，产生两个幅度相差2～3个数量级的差频信号，上述方法所述的二次谐频差为已知厚度的玻璃板6后表面k次反射的E_k与已知厚度的玻璃板6后表面k+2次反射后的E_k+2光混频所产生的；

当激光以入射角θ₀斜入射已知厚度的玻璃板6前表面时的入射光场为

E(t)＝E_lexp(iω₀t)    公式1

振镜4的简谐振动方程

x(t)＝x₀cos(ω_ct)    公式2

振镜4的速度方程为

v(t)＝-ω_cx₀sin(ω_ct)    公式3

由于振镜4的运动，反射光的频率变为

ω＝ω₀(1-2ω_cx₀sin(ω_ct)/c)    公式4

上述各式中，参数ω₀为激光角频率，参数x₀为振镜4振动的振幅，参数ω_c为振镜4的角频率，c为光速；

则t-l/c时刻到达已知厚度的玻璃板6前表面的反射光场为：

E₀(t)＝αE_lexp{i[ω₀(1-2ω_cx₀sin(ω_c(t-l/c))/c)    公式5

(t-l/c)+ω₀x₀cos(ω_c(t-l/c))/c]}

式中，参数α₀＝r，r为已知厚度的玻璃板6的反射系数。l为振镜4到已知厚度的玻璃板6前表面的光程，E_l为振幅常数；

经已知厚度的玻璃板6透射的光在不同时刻被已知厚度的玻璃板6后表面反射m次而透射出已知厚度的玻璃板6后，获得m束透射光的表达式分别写成如下形式：

E₁(t)＝α₁E_lexp{i[ω₀(1-2ω_cx₀sin(ω_c(t-(l+2ndcosθ)/c))/c)

(t-(l+2ndcosθ)/c)+ω₀x₀cos(ω_c(t-(l+2ndcosθ)/c))/c]}

E₂(t)＝α₂E_lexp{i[ω₀(1-2ω_cx₀sin(ω_c(t-(l+4ndcosθ)/c))/c)

(t-(l+4ndcosθ)/c)+ω₀x₀cos(ω_c(t-(l+4ndcosθ)/c))/c]}

E₃(t)＝α₃E_lexp{i[ω₀(1-2ω_cx₀sin(ω_c(t-(l+6ndcosθ)/c))/c)

(t-(l+6ndcosθ)/c)+ω₀x₀cos(ω_c(t-(l+6ndcosθ)/c))/c]}    公式6

·

·

·

E_m(t)＝α_mE_lexp{i[ω₀(1-2ω_cx₀sin(ω_c(t-(l+2mndcosθ)/c))/c)

(t-(l+2mndcosθ)/c)+ω₀x₀cos(ω_c(t-(l+2mndcosθ)/c))/c]}

其中，参数α₁＝ββ’r’，...，α_m＝ββ’r’^(2m-1)，β为已知厚度的玻璃板6前表面的透射系数，β′为光透射出已知厚度的玻璃板6时的透射系数，r′为已知厚度的玻璃板6内部前后表面反射光的反射系数，θ为光束光从周围介质入射已知厚度的玻璃板6前表面时的折射角，下标m取值为0，1，2，......，n为已知厚度的玻璃板6的折射率，d为已知厚度的玻璃板6的厚度；

光电探测器8接收到的总光场表示为：

E(t)＝E₀(t)+E₁(t)+…+E_m(t)    公式7

则光电探测器8输出的光电流可以表示为：

$I=\frac{\mathrm{\ηe}}{\mathrm{hv}}\frac{1}{Z}\underset{S}{\∫\∫}\frac{1}{2}[E_0\left(t\right)+E_1\left(t\right)+...+E_m\left(t\right)+...]{[E_0\left(t\right)+E_1\left(t\right)+...+E_m\left(t\right)+...]}^{*}\mathrm{ds}$ 公式8

其中，参数e为电子电量，参数Z为光电探测器8表面介质的本征阻抗，参数η为量子效率，参数S为光电探测器8光敏面的面积，参数h为普朗克常数，参数v为激光频率，*号表示复数共轭；

整理得到激光外差二次谐波信号的中频电流为：

$I_{\mathrm{if}}=\frac{\mathrm{\ηe}}{2\mathrm{hv}}\frac{1}{Z}\underset{s}{\∫\∫}\underset{p=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=p+2}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}(E_p\left(t\right){E_j}^{*}\left(t\right)+{E_p}^{*}\left(t\right)E_j\left(t\right))\mathrm{ds}$ 公式9

将公式5和公式6代入公式9，最终结果为：

$I_{\mathrm{IF}}=\frac{\mathrm{\ηe}}{\mathrm{hv}}\frac{\mathrm{\π}}{Z}{E}_0^2\underset{p=0}{\overset{m-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=0}{\overset{m-p}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_{j+p}{\mathrm{\α}}_j\cos [\frac{8\mathrm{nd}\cos {\mathrm{\θ\ω}}_0{\mathrm{\ω}}_c^2{x}_0}{c^2}t+\frac{2{\mathrm{\ω}}_c{x}_0}{c}-\frac{4\mathrm{nd}{\mathrm{\ω}}_0\cos \mathrm{\θ}}{c}$

公式10

$-\frac{8\mathrm{nd}\cos \mathrm{\θ}{\mathrm{\ω}}_0{\mathrm{\ω}}_c^2{x}_0(l+2\mathrm{pnd}\cos \mathrm{\θ})}{c^3}]$

忽略1/c³的小项之后简化为：

$I_{\mathrm{IF}}=\frac{\mathrm{\ηe}}{\mathrm{hv}}\frac{\mathrm{\π}}{Z}{E}_0^2\underset{p=0}{\overset{m-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=0}{\overset{m-p}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_{j+p}{\mathrm{\α}}_j\cos (\frac{8\mathrm{nd}\cos {\mathrm{\θ\ω}}_0{\mathrm{\ω}}_c^2{x}_0}{c^2}t+\frac{{2\mathrm{\ω}}_0{x}_0-4\mathrm{nd}{\mathrm{\ω}}_0\cos \mathrm{\θ}}{c})$ 公式11

其中，p和j均为非负整数；

根据公式9，把激光外差二次谐波信号的频率记为：

$f=8\mathrm{nd}\cos {\mathrm{\θ\ω}}_0{\mathrm{\ω}}_c^2{x}_0/\left({2\mathrm{\πc}}^2\right)=4\mathrm{nd}\cos {\mathrm{\θ\ω}}_0{\mathrm{\ω}}_c^2{x}_0/\left({\mathrm{\πc}}^2\right)=K\cos \mathrm{\θ}$ 公式12

根据公式11和公式12得知，干涉信号的频率与已知厚度的玻璃板6折射角θ成反比，比例系数为：

$K=4\mathrm{nd}{\mathrm{\ω}}_0{\mathrm{\ω}}_c^2{x}_0/\left({\mathrm{\πc}}^2\right)$ 公式13

仿真实验：

取H₀固体激光器1波长λ＝2050nm，此激光对人眼安全；通常情况下已知厚度的玻璃板6的折射率n＝1.493983，已知厚度的玻璃板6厚度为2cm；光电探测器8的光敏面孔径为R＝1mm，光电探测器8的灵敏度为1A/W。振镜4的振幅x₀＝0.0001m。利用MATLAB仿真得到了多光束激光外差二次谐波测量不同入射角θ₀对应的多光束激光外差二次谐波信号傅里叶变换频谱如图3所示，从图3中可以看出，随着入射角的增加，频谱的相对位置向低频方向移动即随着角度的增加频率减小。在已知厚度的玻璃板6厚度不变的情况下，比例系数K为常数，由于频率f与比例系数K关系为f＝Kcosθ＝Kcos(arcsin(sinθ₀/n))，激光入射角度θ₀和频率f是成反比关系的，即当入射角θ₀增加时，频率f随之减小，频谱的相对位置向低频方向移动，图3很好地验证了前面理论分析的正确性。需要说明的是，由于外差探测是一种近衍射极限的探测方式，探测灵敏度极高，因此图3多光束激光外差二次谐波信号的信噪比非常高。

利用上述正弦调制多光束激光外差二次谐波测量法，连续模拟了八组数据，得到了不同入射角θ₀的仿真结果，如表1所示。

表1不同入射角θ₀的实际值和仿真值

需要说明的是：利用表1的仿真实验数据，最终可以得到模拟值的最大相对误差小于0.789677％，可以看出该方法的测量精度是非常高的。同时，分析数据还可以看出，环境带来的系统误差和读数误差在仿真中是可以忽略的，仿真实验中的误差主要来自于快速傅里叶变换(FFT)后的精度误差和计算过程中的舍入误差。

针对传统的测量系统的特点和不足，本申请提出了一种基于振镜正弦调制多光束激光外差二次谐波测量角度的方法，通过在光路中加入振镜4，振镜4在正弦驱动信号作用下作简谐振动，可以对不同时刻入射到其前表面的光进行频率调制，把待测的角度信息加载到外差信号二次谐波的频率差中，通过傅里叶变化很容易就可以解调出待测角度信息，且测量精度极高。将激光外差技术和激光多普勒技术结合使用，将两种技术的优势很好的应用到了角度的检测上，使得调制、检测、处理简单易行。

仿真证明，本申请所述方法是一种良好的非接触测量角度的方法，可以应用在恶劣测量环境上。应用此方法测量角度时具有精度高，线形度好，测量速度快等优势。仿真结果表明，该方法在测量不同角度时，测量误差小于0.789677％，说明该方法应用是可行、可靠的，能够满足微小角度测量的要求，为许多工程领域提供了很好的测量手段，可以广泛的应用于激光雷达、机械、仪器仪表和电子产品制造业中，具有很好应用前景和价值。

以上内容是结合具体的优选实施方式对本发明所作的进一步详细说明，不能认定本发明的具体实施只局限于这些说明。对于本所属技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干简单推演或替换，都应当视为属于本发明所提交的权利要求书确定的专利保护范围。

Claims (5)

1.多普勒振镜正弦调制多光束激光外差二次谐波测量激光入射角度的装置，其特征在于它包括H₀固体激光器(1)、偏振分束镜PBS(2)、四分之一波片(3)、振镜(4)、平面反射镜(5)、已知厚度的玻璃板(6)、会聚透镜(7)、光电探测器(8)和信号处理系统(9)，

H₀固体激光器(1)发出的线偏振光经偏振分束镜PBS(2)反射后入射至四分之一波片(3)，经所述四分之一波片(3)透射后的光束入射至振镜(4)的光接收面，经所述振镜(4)反射的光束再次经四分之一波片(3)透射后发送至偏振分束镜PBS(2)，经该偏振分束镜PBS(2)透射后的光束入射至平面反射镜(5)的反射面，经该平面反射镜(5)反射后的光束入射至已知厚度的玻璃板(6)前表面，经该已知厚度的玻璃板(6)前表面透射的光束在该已知厚度的玻璃板(6)内，经该已知厚度的玻璃板(6)后表面与前表面多次反射后获得多束反射光，该多束反射光经该已知厚度的玻璃板(6)的前表面透射之后与经该已知厚度的玻璃板(6)前表面反射后的光束均通过会聚透镜(7)汇聚至光电探测器(8)的光敏面上，所述光电探测器(8)输出电信号给信号处理系统(9)。

2.根据权利要求1所述的多普勒振镜正弦调制多光束激光外差二次谐波测量激光入射角度的装置，其特征在于所述信号处理系统(9)由滤波器(9-1)、前置放大器(9-2)、模数转换器(A/D)和数字信号处理器(DSP)组成，所述滤波器(9-1)对接收到的光电探测器(8)输出的电信号进行滤波之后发送给前置放大器(9-2)，经前置放大器(9-2)放大之后的信号输出给模数转换器(A/D)，所述模数转换器(A/D)将转换后的数字信号发送给数字信号处理器(DSP)。

3.根据权利要求1或2所述的多普勒振镜正弦调制多光束激光外差二次谐波测量激光入射角度的装置，其特征在于所述振镜(4)为多普勒振镜，所述多普勒振镜的简谐振动方程为：

x(t)＝x₀cos(ω_ct)

多普勒振镜的速度方程为：

v(t)＝-ω_cx₀sin(ω_ct)

式中，参数ω₀为激光角频率，参数x₀为振镜(4)振动的振幅，参数ω_c为振镜(4)的角频率，c为光速，t为时间；

4.基于权利要求1所述的多普勒振镜正弦调制多光束激光外差二次谐波测量激光入射角度的装置测量激光入射角度的方法，其特征在于它由如下步骤实现：

首先，打开振镜(4)的驱动电源使振镜(4)开始做简谐振动；同时，打开H₀固体激光器(1)； 

然后通过信号处理系统(9)连续采集光电探测器(8)输出的电信号，并对采集到的差频信号进行处理，根据频率与已知厚度的玻璃板(6)的折射角的关系：

f＝Kcosθ

获得激光入射至已知厚度的玻璃板(6)的折射角θ：

cosθ＝f/K

式中f为激光外差信号的频率，K为激光外差信号的频率f与激光入射至已知厚度的玻璃板(6)的折射角的比例系数，从而获得待测的入射角θ₀的大小为：

θ₀＝arcsin(nsinθ)

式中n为已知厚度的玻璃板(6)的折射率。

5.根据权利要求4所述的多普勒振镜正弦调制多光束激光外差二次谐波测量激光入射角度的方法，其特征在于通过信号处理系统(9)连续采集光电探测器(8)输出的电信号，并对采集到的差频信号进行处理，获得已知厚度的玻璃板(6)的入射角θ₀的过程中，激光外差信号的频率f和比例系数K是采用下述方法获得的：

由于激光在已知厚度的玻璃板(6)前表面的反射光与已知厚度的玻璃板(6)后表面反射k次和k+1次后的透射出玻璃前表面的光混频，产生两个幅度相差2～3个数量级的差频信号，上述方法所述的二次谐频差为已知厚度的玻璃板(6)后表面k次反射的E_k与已知厚度的玻璃板(6)后表面k+2次反射后的E_k+2光混频所产生的；

当激光以入射角θ₀斜入射已知厚度的玻璃板(6)前表面时的入射光场为

E(t)＝E_lexp(iω₀t)    公式1

振镜(4)的简谐振动方程

x(t)＝x₀cos(ω_ct)    公式2

振镜(4)的速度方程为

v(t)＝-ω_cx₀sin(ω_ct)    公式3

由于振镜(4)的运动，反射光的频率变为

ω＝ω₀(1-2ω_cx₀sin(ω_ct)/c)    公式4

上述各式中，参数ω₀为激光角频率，参数x₀为振镜(4)振动的振幅，参数ω_c为振镜(4)的角频率，c为光速，t为时间；

则t-l/c时刻到达已知厚度的玻璃板(6)前表面的反射光场为：

E₀(t)＝αE_lexp{i[ω₀(1-2ω_cx₀sin(ω_c(t-l/c))/c)

                                                   公式5

(t-l/c)+ω₀x₀cos(ω_c(t-l/c))/c]} 

式中，参数α₀＝r，r为已知厚度的玻璃板(6)的反射系数；l为振镜(4)到已知厚度的玻璃板(6)前表面的光程，El为振幅常数；

经已知厚度的玻璃板(6)透射的光在不同时刻被已知厚度的玻璃板(6)后表面反射m次而透射出已知厚度的玻璃板(6)后，获得m束透射光的光场分别为：

E₁(t)＝α₁E_lexp{i[ω₀(1-2ω_cx₀sin(ω_c(t-(l+2ndcosθ)/c))/c)

(t-(l+2ndcosθ)/c)+ω₀x₀cos(ω_c(t-(l+2ndcosθ)/c))/c]}

E₂(t)＝α₂E_lexp{i[ω₀(1-2ω_cx₀sin(ω_c(t-(l+4ndcosθ)/c))/c)

(t-(l+4ndcosθ)/c)+ω₀x₀cos(ω_c(t-(l+4ndcosθ)/c))/c]}

E₃(t)＝α₃E_lexp{i[ω₀(1-2ω_cx₀sin(ω_c(t-(l+6ndcosθ)/c))/c)

(t-(l+6ndcosθ)/c)+ω₀x₀cos(ω_c(t-(l+6ndcosθ)/c))/c]}    公式6

·

·

·

E_m(t)＝α_mE_lexp{i[ω₀(1-2ω_cx₀sin(ω_c(t-(l+2mndcosθ)/c))/c)

(t-(l+2mndcosθ)/c)+ω₀x₀cos(ω_c(t-(l+2mndcosθ)/c))/c]}

其中，参数α₁＝ββ’r’，...，α_m＝ββ’r’^(2m-1)，β为已知厚度的玻璃板(6)前表面的透射系数，β′为光透射出已知厚度的玻璃板(6)时的透射系数，r′为已知厚度的玻璃板(6)内部前后表面反射光的反射系数，θ为光束从周围介质入射已知厚度的玻璃板(6)前表面时的折射角，下标m取值为0，1，2，......，n为已知厚度的玻璃板(6)的折射率，d为已知厚度的玻璃板(6)的厚度；

光电探测器(8)接收到的总光场表示为：

E(t)＝E₀(t)+E₁(t)+…+E_m(t)    公式7

则光电探测器(8)输出的光电流可以表示为：

公式8

其中，参数e为电子电量，参数Z为光电探测器(8)表面介质的本征阻抗，参数η为量子效率，参数S为光电探测器(8)光敏面的面积，参数h为普朗克常数，参数v为激光频率，*号表示复数共轭；

整理得到激光外差二次谐波信号的中频电流为：

公式9

将公式5和公式6代入公式9，最终结果为： 

                        公式10

忽略1/c³的小项之后简化为：

公式11

其中，p和j均为非负整数；

根据公式9，把激光外差二次谐波信号的频率记为：

公式12

根据公式11和公式12得知，干涉信号的频率与已知厚度的玻璃板(6)入射角成反比，比例系数为：

公式13。 

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