CN101562591B - 基于相位旋转的训练序列的i/q失配估计和补偿方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于超宽带无线通信技术领域，具体为一种基于相位旋转的训练序列的I/Q失配估计和补偿方法。本发明针对原有ECMA-368训练序列附加一定的相位旋转，生成四个彼此关联的新训练序列，通过四个训练序列中能量较大部分作为估计信息，使得原有ECMA-368训练序列可以用于频域的I/Q失配估计，而且提高了用于估计I/Q失配参数信息的信噪比，使得I/Q失配补偿算法获得完整的分集增益，从而显著提高多带正交频分复用超宽带系统的误码率性能。

Description

基于相位旋转的训练序列的I/Q失配估计和补偿方法

技术领域

本发明属于超宽带无线通信技术领域，具体涉及一种基于相位旋转的训练序列的I/Q失配估计和补偿方法，该方法能显著提高多带正交频分复用超宽带系统(MB-OFDM UWB)的误码率性能。

背景技术

超宽带(Ultra-Wide Band，UWB)技术作为一种极具潜力的高速、短距离无线传输技术，近些年在学术界和工业界都引起了极大的关注。结合多带正交频分复用(MB-OFDM)技术，多带正交频分复用超宽带系统(MB-OFDM UWB)能有效地抵抗多径衰落和各种窄带干扰(Narrow-Band Interference，NBI)，在无线手持设备、个人电脑和外围设备及家庭消费电子类产品等领域有较广的应用前景。2005年，MB-OFDM被WiMedia联盟确定为超宽带系统的物理层协议ECMA-368。

直接变频接收机(Direct Conversion Receiver，DCR)具有结构简单、易于集成的优点，被广泛应用于各种无线通信系统中。但是这种接收机结构较传统的超外差接收机(Heterodyne Receiver)结构易受到I/Q失配的影响。基于MB-OFDM技术的收发机需要幅度相等、相位正交的I/Q两路分支信号，任何幅度或相位的不匹配体现为I/Q失配。由于芯片工艺存在的固有偏差，接收机I/Q失配现象普遍存在。UWB系统频带很宽，导致I/Q失配由两部分组成：第一部分是频率无关性失配。它由收发机的本地晶振信号失配产生，表现为I/Q两路本地晶振信号幅度和正交相位的失配。第二部分是频率相关性失配，主要由收发机I/Q两路元件的频率响应失配产生。I/Q失配引入理想信号的镜像频率干扰。在接收端如不进行I/Q失配估计和有效补偿，将严重影响系统性能，甚至产生误差基底，这种现象在高阶星座映射中尤其明显。

目前，国内针对I/Q失配的研究成果很少，国外大部分研究也只针对窄带系统中的I/Q失配现象。宽带系统中的I/Q失配估计和补偿方法既是当前学术界的热门话题，也是工业界亟需解决的实际问题。针对MB-OFDM系统中I/Q失配的特点，镜像频率干扰在经历频率选择性衰落信道后成为理想信号的分集信息。传统的I/Q失配估计和补偿方法忽略了这部分分集信息，因此未能实现系统性能的最优。而利用二阶统计信息的盲估计算法，复杂度较高，不利于低功耗、低成本芯片实现。利用I/Q失配引入的分集信息可以提升性能，但如果I/Q失配参数估计的精度不够，分集增益不明显。

发明内容

本发明的目的在于提供一种能提升I/Q失配参数估计的准确度，提高多带正交频率分复用超宽带系统误码率性能的I/Q失配估计和补偿方法。

本发明提出的基于相位旋转的训练序列的I/Q失配估计方法，只需要使用4个训练序列，不仅能有效地补偿I/Q失配干扰，而且还可以得到I/Q失配过程自有的分集信息，从而获得额外的分集增益。本方法采用了相位旋转的训练序列，故称为基于相位旋转的训练序列的I/Q失配估计和补偿方法。

本发明中，用黑斜体表示矩阵和列向量，

表示卷积运算，()^*表示共轭运算，()^T表示转置运算，F{}表示傅里叶变换，F^-1{}表示反傅立叶变换，E{}表示数学期望，频域信号X(n)的镜像信号表示为X(-n)。时域信号用小写字母表示，频域信号用大写字母表示。

宽带系统的I/Q失配模型如图1所示，其中r(t)为接收机输入信号，z′_I(t)为引入I/Q失配后I支路分量，z′_Q(t)为引入I/Q失配后Q支路分量。H_NOM(f)为归一化低通滤波器的频率响应，H_LPF，I(f)和H_LPF，Q(f)分别是I/Q两支路频率响应。综合两部分频响特性不同的I/Q失配干扰，引入I/Q失配后信号可以表示为(1)式。

$z^{\′}\left(t\right)=z\left(t\right)\⊗g_1\left(t\right)+z^{*}\left(t\right)\⊗g_2\left(t\right)---\left(1\right)$

$g_1\left(t\right)=\frac{1}{2}{F}^{-1}\left\{\right[H_{\mathrm{LPF},I}\left(f\right)+{\mathrm{ge}}^{-\mathrm{j\φ}}{H}_{\mathrm{LPF},Q}\left(f\right)\left]H\left(f\right)\right\}---\left(2\right)$

$g_2\left(t\right)=\frac{1}{2}{F}^{-1}\left\{\right[H_{\mathrm{LPF},I}\left(f\right)-{\mathrm{ge}}^{\mathrm{j\φ}}{H}_{\mathrm{LPF},Q}\left(f\right)\left]H^{*}(-f)\right\}---\left(3\right)$

H(f)＝F{h(t)}    (4)

其中，g₁(t)和g₂(t)为中间变量，z(t)为发送端基带信号，h(t)为信道冲击响应。

MB-OFDM UWB系统中一个OFDM符号内子载波数目N为128，其训练序列采用QPSK星座映射(如图2a所示)。

在ECMA-368中，直流子载波和第65号子载波未被用于数据传输。为方便表示，本发明中忽略这两个子载波，将训练序列分为各63子载波的两部分P₁(k)和P₂(k)，

Prmb＝[P₁(k)，P₂(k)]^T，1≤k≤63    (5)

P₁(k)和P₂(k)均为复数。在极坐标下，P₁(k)和P₂(k)可以分别表示如下：

$\left\{\begin{array}{c}{P}_1\left(k\right)=L\left(k\right)e^{\mathrm{j\α}\left(k\right)}\\ P_2\left(k\right)=L(-k)e^{-\mathrm{j\α}(-k)}\end{array}\right.---\left(6\right)$

其中L(k)为复数模，α(k)为复数俯角。由于训练序列为QPSK星座映射，设L(k)＝1， $\mathrm{\α}\left(k\right)\∈\{\frac{\mathrm{\π}}{4},-\frac{3\mathrm{\π}}{4}\}.$

对原有星座点加以适当相位旋转，可以在不影响星座符号总能量的基础上，重新分配实部和虚部能量(图2b)。在估计算法中利用能量较高部分的信息可显著提升系统性能。对原有训练序列分别附加相位旋转θi_，θ_i＝[θ，π/2-θ.-θ，-π/2+θ]， $0<\mathrm{\&theta;}<\frac{\mathrm{\&pi;}}{4}.$ 其中i为训练序列标号，并且1≤i≤4

则经过附加相位旋转的4个新训练序列分别为：

${\mathrm{Prmb}}_1=\left(\begin{array}{c}{P}_1\left(k\right)\\ P_2\left(k\right)\end{array}\right)e^{\mathrm{j\&theta;}}---\left(7a\right)$

${\mathrm{prmb}}_2=\left(\begin{array}{c}{P}_1\left(k\right)\\ P_2\left(k\right)\end{array}\right)e^{j(\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}-\mathrm{\&theta;})}---\left(7b\right)$

${\mathrm{Prmb}}_3=\left(\begin{array}{c}{P}_1\left(k\right)\\ P_2\left(k\right)\end{array}\right)e^{-\mathrm{j\&theta;}}---\left(7c\right)$

${\mathrm{prmb}}_4=\left(\begin{array}{c}{P}_1\left(k\right)\\ P_2\left(k\right)\end{array}\right)e^{j(-\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}+\mathrm{\&theta;})}---\left(7d\right)$

下面分析原有训练序列用于估计I/Q失配参数的信号信噪比(Signal to Noise Ratio，SNR)。不失一般性，设 $\mathrm{\&alpha;}\left(k\right)=\frac{\mathrm{\&pi;}}{4}.$ 对训练序列能量归一化，

$\mathrm{prmb}=\cos \left(\frac{\mathrm{\&pi;}}{4}\right)+j\sin \left(\frac{\mathrm{\&pi;}}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}(1+j)---\left(8\right)$

由于Prmb中实部和虚部能量相同，用其中任意部分估计失配参数都具有相同的SNR。如果假设信道的高斯白噪声能量为σ²，则用于估计信息的信噪比为 ${\mathrm{SNR}}_1={10l\mathrm{og}}_{10}[{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^2/{\mathrm{\&sigma;}}^2].$

类似的，分析附加相位旋转的训练序列中信号的SNR。取基于相位旋转的训练序列Prmb₁，

${\mathrm{prmb}}_1=\cos (\frac{\mathrm{\&pi;}}{4}+\mathrm{\&theta;})+j\sin (\frac{\mathrm{\&pi;}}{4}+\mathrm{\&theta;})=\frac{1}{\sqrt{D^2+1}}(1+\mathrm{Dj})---\left(9\right)$

其中D为中间变量， $D=\tan (\frac{\mathrm{\&pi;}}{4}+\mathrm{\&theta;}).$ 由于I/Q失配的镜像对称特性，可用2个训练序列，分别使用能量较高部分估计失配参数。在Prmb₁中，使用虚部作为估计信号。则用于估计I/Q失配参数的信号信噪比为 ${\mathrm{SNR}}_2={10l\mathrm{og}}_{10}[{\left(\frac{D}{\sqrt{D^2+1}}\right)}^2/{\mathrm{\&sigma;}}^2].$

容易推出，相比ECMA-368提出的训练序列，附加相位旋转的训练序列可以提升的信噪比G为：

$G={\mathrm{SNR}}_2-{\mathrm{SNR}}_1={10l\mathrm{og}}_{10}{\left(\frac{\sqrt{2}D}{\sqrt{D^2+1}}\right)}^2---\left(10\right)$

图3给出上式中附加相位旋转量与SNR提升量的关系。从图中可以看出，当D较大时，G＝3dB。在本发明实施例中，对原有ECMA-368中训练序列相位旋转 $\mathrm{\&theta;}=\frac{\mathrm{\&pi;}}{8}.$

下面介绍I/Q失配估计和补偿算法的具体实现步骤。

对(1)式两边取共轭，并写成矩阵形式，则得到UWB系统I/Q失配模型，

$\left(\begin{array}{c}{Z}^{\text{\&prime;}\left(l\right)}\\ Z^{\&prime;*}(-l)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{G}_1\left(l\right)& G_2\left(l\right)\\ G_2^{*}(-l)& G_1^{*}(-l)\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}Z\left(l\right)\\ Z^{*}(-l)\end{array}\right)---\left(11\right)$

与(5)式中将Prmb拆分为P₁(k)，P₂(k)类似，将G₁(l)和G₂(l)改写为，

$G_1\left(l\right)=\left(\begin{array}{c}{G}_{\mathrm{1,1}}\left(k\right)\\ G_{\mathrm{1,2}}\left(k\right)\end{array}\right),$ $G_2\left(l\right)=\left(\begin{array}{c}{G}_{\mathrm{2,1}}\left(k\right)\\ G_{\mathrm{2,2}}\left(k\right)\end{array}\right)---\left(12\right)$

将(7a)～(7d)式及(12)式代入(11)式，则引入信道衰落和I/Q失配后的Prmb_i为T_i＝(T_i，1，T_i，2)^T。其中i为训练序列标号，并且1≤i≤4。

$\left\{\begin{array}{c}{T}_{i,1}=P_1\left(k\right)e^{j{\mathrm{\&theta;}}_i}{G}_{\mathrm{1,1}}\left(k\right)+P_2^{*}(-k)e^{-j{\mathrm{\&theta;}}_i}{G}_{\mathrm{2,1}}\left(k\right)\\ T_{i,2}=P_2\left(k\right)e^{j{\mathrm{\&theta;}}_i}{G}_{\mathrm{1,2}}\left(k\right)+P_1^{*}(-k)e^{-j{\mathrm{\&theta;}}_i}{G}_{\mathrm{2,2}}\left(k\right)\end{array}\right.---\left(13\right)$

为简化表达，我们略去子载波标号k，并用L表示L(k)，L′表示L(-k)。注意到α(k)与θ的取值范围，存在下列数学关系，

sin(α(k)+θ)＝cos(α(k)-θ)

cos(α(k)+θ)＝sin(α(k)-θ)

                                         (14)

sin(α(-k)+θ)＝cos(α(-k)-θ)

cos(α(-k)+θ)＝sin(α(-k)-θ)

设中间变量β＝α(k)+θ，γ＝α(-k)+θ，则当i＝1，2时，(13)式可以表示为，

T_1，1＝L[cos(β)G_1，1+sin(β)G_2，1]

                                         (15a)

     +Lj[sin(β)G_1，1+cos(β)G_2，1]

T_2，1＝L[-cos(β)G_1，1+sin(β)G_2，1]

                                         (15b)

     +Lj[sin(β)G_1，1-cos(β)G_2，1]

T_1，2＝L′[sin(γ)G_1，2-cos(γ)G_2，2]

                                         (15c)

     +L′j[cos(γ)G_1，2-sin(γ)G_2，2]

T_2，2＝L′[sin(γ)G_1，2+cos(γ)G_2，2]

                                         (15d)

     +L′j[-cos(γ)G_1，2-sin(γ)G_2，2]

联合(15a)式～(15d)式，定义中间变量J₁，J₂，

J₁＝2Lsin(β)(G_2，1+jG_1，1)              (16a)

J₂＝2L′sin(γ)(G_1，2-jG_2，2)            (16b)

同理，引入信道衰落和I/Q失配后的Prmb₃、Prmb₄分别为J₃，J₄，

J₃＝2Lsin(β)(G_1，1+jG_2，1)              (16c)

J₄＝2L′sin(γ)(-G_2，2+jG_1，2)           (16d)

联合(16a)式～(16d)式，可以解得，

${\hat{G}}_{\mathrm{1,1}}=\frac{J_1+{\mathrm{jJ}}_3}{4\mathrm{jL}\sin \left(\mathrm{\&beta;}\right)}---\left(17a\right)$

${\hat{G}}_{\mathrm{2,1}}=\frac{J_1-{\mathrm{jJ}}_3}{4\mathrm{jL}\sin \left(\mathrm{\&beta;}\right)}---\left(17b\right)$

${\hat{G}}_{\mathrm{1,2}}=\frac{J_2-{\mathrm{jJ}}_4}{4j{L}^{\&prime;}\sin \left(\mathrm{\&gamma;}\right)}---\left(17c\right)$

${\hat{G}}_{\mathrm{2,2}}=\frac{J_2+{\mathrm{jJ}}_4}{-4j{L}^{\&prime;}\sin \left(\mathrm{\&gamma;}\right)}---\left(17d\right)$

其中，L、L′、β和γ为已知。因此，估计出的I/Q失配参数

为，

${\hat{G}}_1=\left(\begin{array}{c}{\hat{G}}_{\mathrm{1,1}}\\ {\hat{G}}_{\mathrm{1,2}}\end{array}\right),$ ${\hat{G}}_2=\left(\begin{array}{c}{\hat{G}}_{\mathrm{2,1}}\\ {\hat{G}}_{\mathrm{2,2}}\end{array}\right)---\left(18\right)$

将(17a)～(17d)式及(18)式代入(11)式，在接收端联合

对数据进行补偿，

$\left(\begin{array}{c}\hat{Z}\left(k\right)\\ {\hat{Z}}^{*}(-k)\end{array}\right)={\left(\begin{array}{cc}{\hat{G}}_1\left(k\right)& {\hat{G}}_2\left(k\right)\\ {\hat{G}}_2^{*}(-k)& {\hat{G}}_1^{*}(-k)\end{array}\right)}^{-1}\left(\begin{array}{c}{Z}^{\&prime;}\left(k\right)\\ Z^{\&prime;*}(-k)\end{array}\right)---\left(19\right)$

总结整个算法实现过程：首先在范围内确定相位旋转角度θ，根据θ和ECMA-368原有训练序列确定四个相位旋转的训练序列。在接收机中，经历过I/Q失配影响的训练序列可以表示为(15)式所示T_1，1～T_2，2。然后根据(16)式计算出中间变量J₁～J₄，则最终的I/Q失配参数

可以通过将J₁～J₄带入(17)式中计算得出。联合接收到数据和估计出的I/Q失配参数，利用(19)式可以完成失配均衡。

本发明针对原有ECMA-368训练序列附加一定的相位旋转，生成四个彼此关联的新训练序列，通过四个训练序列中能量较大部分作为估计信息，使得原有ECMA-368训练序列可以用于频域的I/Q失配估计，而且提高了用于估计I/Q失配参数信息的信噪比，提升了I/Q失配参数和信道响应的估计精度和系统性能。

附图说明

图1宽带系统中的正交接收机的I/Q失配模型。其中，r(t)为接收机输入信号，z′_I(t)为引入I/Q失配后I支路分量，z′_Q(t)为引入I/Q失配后Q支路分量。H_NOM(f)为归一化低通滤波器的频率响应，H_LPF，I(f)和H_LPF，Q(f)分别是I/Q两支路频率响应。

图2QPSK星座映射。(a)ECMA-368QPSK星座映射(b)相位旋转的QPSK星座映射。θ为附加相位旋转。在本发明中， $0<\mathrm{\&theta;}<\frac{\mathrm{\&pi;}}{4}.$

图3附加相位旋转量与SNR提升量关系。

图4I/Q失配估计算法流程。

具体实施方式

确定相位旋转角度 $\mathrm{\&theta;}=\frac{\mathrm{\&pi;}}{8},$ 则根据θ_i＝[θ，π/2-θ.-θ，-π/2+θ]，可以计算出四个训练序列的相位旋转角度分别为 ${\mathrm{\&theta;}}_i=[\frac{\mathrm{\&pi;}}{8},\frac{3\mathrm{\&pi;}}{8},-\frac{\mathrm{\&pi;}}{8},-\frac{3\mathrm{\&pi;}}{8}].$ 基于ECMA-368原有训练序列和相位旋转角度θ_i，i＝1，2，3，4，可以生成基于相位旋转的训练序列Prmb₁～Prmb₄，并使用prmb₁～Prmb₄作为帧头信息中的信道估计序列通过发射机发送出去。

在接收端，训练序列Prmb₁和Prmb₂经历过I/Q失配影响后可以如(15)式所示表示为T_1，1，T_1，2，T_2，1，T_2，2。然后根据(16)式计算出中间变量J₁和J₂。同理对训练序列Prmb₃和Prmb₄可以计算得中间变量J₃和J₄。则最终的I/Q失配参数

可以通过将J₁～J₄带入(17)式中计算得出。最后，联合接收到数据和估计出的I/Q失配参数，利用(19)式完成失配均衡。

Claims (1)

1.一种基于相位旋转的训练序列的I/Q失配估计和补偿方法，用黑斜体表示矩阵和列向量，表示卷积运算，()^*表示共轭运算，()^T表示转置运算，F{}表示傅里叶变换，F^-1{}表示反傅立叶变换，E{}表示数学期望，频域信号X(n)的镜像信号表示为X(-n)；时域信号用小写字母表示，频域信号用大写字母表示；

在宽带系统的I/Q失配模型中，设r(t)为接收机输入信号，z′_I(t)为引入I/Q失配后I支路分量，z′_Q(t)为引入I/Q失配后Q支路分量；H_NOM(f)为归一化低通滤波器的频率响应，H_LPF，I(f)和H_LPF，Q(f)分别是I/Q两支路频率响应；综合两部分频响特性不同的I/Q失配干扰，引入I/Q失配后信号表示为(1)式；

$g_1\left(t\right)=\frac{1}{2}{F}^{-1}\left\{\right[H_{\mathrm{LPF},I}\left(f\right)+{\mathrm{ge}}^{-\mathrm{j\&phi;}}{H}_{\mathrm{LPF},Q}\left(f\right)\left]H\left(f\right)\right\}---\left(2\right)$

$g_2\left(t\right)=\frac{1}{2}{F}^{-1}\left\{\right[H_{\mathrm{LPF},I}\left(f\right)+{\mathrm{ge}}^{-\mathrm{j\&phi;}}{H}_{\mathrm{LPF},Q}\left(f\right)]H*\left(f\right)\}---\left(3\right)$

H(f)＝F{h(t)}(4)

其中，

H_I(f)＝H_NOM(f)H_LPF，I(f)，H_Q(f)＝H_NOM(f)H_IPF，Q(f)；

g₁(t)和g₂(t)为中间变量，z(t)为发送端基带信号，h(t)为信道冲击响应；g为I/Q两支路间的幅度失配，H_I(f)和H_Q(f)分别为联合了H_NOM(f)与支路频率响应后实际接收端等效的I/Q两支路频率响应；

MB-OFDM UWB系统中一个OFDM符号内子载波数目N为128，其训练序列采用QPSK星座映射；

在ECMA-368中，将训练序列分为各63子载波的两部分P₁(k)和P₂(k)：

Prmb＝[P₁(k)，P₂(k)]^T，1≤k≤63(5)

P₁(k)和p₂(k)均为复数；在极坐标下，P₁(k)和P₂(k)分别表示为，

$\left\{\begin{array}{c}{p}_1\left(k\right)=L\left(k\right)e^{\mathrm{j\&alpha;}\left(k\right)}\\ P_2\left(k\right)=L\left(k\right)e^{-\mathrm{j\&alpha;}(-k)}\end{array}\right.---\left(6\right)$

其中L(k)为复数模，α(k)为复数复角；由于训练序列为QPSK星座映射，设L(k)＝1，

$\mathrm{\&alpha;}\left(k\right)\&Element;\{\frac{\mathrm{\&pi;}}{4},-\frac{3\mathrm{\&pi;}}{4}\};$ 其特征在于：

对原有训练序列分别附加相位旋转θ_i，θ_i=[θ，π/2-θ.-θ，-π/2+θ]，

；其中i为训练序列标号，并且1≤i≤4；

经过附加相位旋转的4个新训练序列分别为：

${\mathrm{Prmb}}_1=\left(\begin{array}{c}{P}_1\left(k\right)\\ P_2\left(k\right)\end{array}\right)e^{\mathrm{j\&theta;}}---\left(7a\right)$

${\mathrm{Prmb}}_2=\left(\begin{array}{c}{P}_1\left(k\right)\\ p_2\left(k\right)\end{array}\right)e^{j(\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}-\mathrm{\&theta;})}---\left(7b\right)$

${\mathrm{Prmb}}_3=\left(\begin{array}{c}{p}_1\left(k\right)\\ P_2\left(k\right)\end{array}\right)e^{-\mathrm{j\&theta;}}---\left(7c\right)$

${\mathrm{prmb}}_4=\left(\begin{array}{c}{P}_1\left(k\right)\\ p_2\left(k\right)\end{array}\right)e^{j(-\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}+\mathrm{\&theta;})}---\left(7d\right)$

对(1)式两边取共轭，并写成矩阵形式，则得到UWB系统I/Q失配模型：

$\left(\begin{array}{c}{Z}^{\&prime;}\left(l\right)\\ Z^{\&prime;*}(-l)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{G}_1\left(l\right)& G_2\left(l\right)\\ G_2^{*}(-l)& G_1^{*}(-l)\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}Z\left(l\right)\\ Z^{*}(-l)\end{array}\right)---\left(11\right)$

与(5)式中将Prmb拆分为P₁(k)，P₂(k)类似，将G₁(l)和G₂(l)改写为：

$G_1\left(l\right)=\left(\begin{array}{c}{G}_{\mathrm{1,1}}\left(k\right)\\ G_{1,2}\left(k\right)\end{array}\right),$ $G_2\left(l\right)=\left(\begin{array}{c}{G}_{\mathrm{2,1}}\left(k\right)\\ G_{\mathrm{2,2}}\left(k\right)\end{array}\right)---\left(12\right)$

将(7a)～(7d)式及(12)式代入(11)式，则引入信道衰落和I/Q失配后的Prmb_i为T_i=(T_i，1，T_i，2)^T；其中i为训练序列标号，并且1≤i≤4；

$\left\{\begin{array}{c}{T}_{i,1}=P_1\left(k\right)e^{j{\mathrm{\&theta;}}_i}{G}_{\mathrm{1,1}}\left(k\right)+P_2^{*}(-k)e^{-j{\mathrm{\&theta;}}_i}{G}_{\mathrm{2,1}}\left(k\right)\\ T_{i,2}=P_2\left(k\right)e^{j{\mathrm{\&theta;}}_i}{G}_{\mathrm{1,2}}\left(k\right)+P_1^{*}(-k)e^{-j{\mathrm{\&theta;}}_i}{G}_{\mathrm{2,2}}\left(k\right)\end{array}\right.---\left(13\right)$

为简化表达，略去子载波标号k，并用L表示L(k)，L′表示L(-k)；注意到α(k)与θ的取值范围，存在下列数学关系：

sin(α(k)+θ)=cos(α(k)-θ)

cos(α(k)+θ)=sin(α(k)-θ)                     (14)

sin(α(-k)+θ)=cos(α(-k)-θ)

cos(α(-k)+θ)：sin(α(-k)-θ)

设中间变量β＝α(k)+θ，γ＝α(-k)+θ，则当i＝1，2时，(13)式表示为：

T_1，1＝L[cos(β)G_1，1+sin(β)G_2，1](15a)

+Lj[sin(β)G_1，1+cos(β)G_2，1]

T_2，1＝L[-cos(β)G_1，1+sin(β)G_2，1](15b)

+Lj[sin(β)G_1，1-cos(β)G_2，1]

T_1，2＝L′[sin(γ)G_1，2-cos(γ)G_2，2](15c)

+L′j[cos(γ)G_1，2-sin(γ)G_2，2]

T_2，2＝L′[sin(γ)G_1，2+cos(γ)G_2，2](15d)

+L′j[-cos(γ)G_1，2-sin(γ)G_2，2]

联合(15a)式～(15d)式，定义中间变量J₁，J₂：

J₁＝2Lsin(β)(G_2，1+jG_1，1)(16a)

J₂＝2L′sin(γ)(G_1，2-jG_2，2)(16b)

同理，引入信道衰落和I/Q失配后的Prmb3、Prmb4分别为J3，J4：

J₃＝2Lsin(β)(G_1，1+jG_2，1)(16c)

J₄＝2L′sin(γ)(-G_2，2+jG_1，2)(16d)

联合(16a)式～(16d)式，解得：

${\hat{G}}_{\mathrm{1,1}}=\frac{J_1+{\mathrm{jJ}}_3}{4\mathrm{jL}\sin \left(\mathrm{\&beta;}\right)}---\left(17a\right)$

${\hat{G}}_{2,1}=\frac{J_1+{\mathrm{jJ}}_3}{4\mathrm{jL}\sin \left(\mathrm{\&beta;}\right)}---\left(17b\right)$

${\hat{G}}_{\mathrm{1,2}}=\frac{J_2-{\mathrm{jJ}}_4}{4j{L}^{\&prime;}\sin \left(\mathrm{\&gamma;}\right)}---\left(17c\right)$

${\hat{G}}_{\mathrm{2,2}}=\frac{J_2+{\mathrm{jJ}}_4}{-4j{L}^{\&prime;}\sin \left(\mathrm{\&gamma;}\right)}---\left(17b\right)$

其中，L、L′、β和γ为已知；因此，估计出的I/Q失配参数

为：

${\hat{G}}_1=\left(\begin{array}{c}{\hat{G}}_{\mathrm{1,1}}\\ {\hat{G}}_{\mathrm{1,2}}\end{array}\right),$ ${\hat{G}}_2=\left(\begin{array}{c}{\hat{G}}_{\mathrm{2,1}}\\ {\hat{G}}_{\mathrm{2,2}}\end{array}\right)---\left(18\right)$

将(17a)～(17d)式及(18)式代入(11)式，在接收端联合

对数据进行补偿：

$\left(\begin{array}{c}\hat{Z}\left(k\right)\\ {\hat{Z}}^{*}(-k)\end{array}\right)={\left(\begin{array}{cc}{\hat{G}}_1\left(k\right)& {\hat{G}}_2\left(k\right)\\ {\hat{G}}_2^{*}(-k)& {\hat{G}}_1^{*}(-k)\end{array}\right)}^{-1}\left(\begin{array}{c}{Z}^{\&prime;}\left(k\right)\\ Z^{\&prime;*(-k)}\end{array}\right).$

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