CN104596767A - 一种基于灰色支持向量机的滚动轴承故障诊断与预测的方法 - Google Patents

Abstract

一种基于灰色支持向量机的滚动轴承故障诊断与预测的方法，滚动轴承作为机械设备中的关键部件，其运行状态的优劣往往影响到整台设备的运行性能。本发明提出了基于GM(1，1)-SVM的滚动轴承故障诊断及预测方法。提取滚动轴承各类故障和正常状态下的振动信号时域及频域特征值，选取重要特征参数建立预测模型——灰色模型，进行特征值预测；使用轴承各类故障特征值和正常状态特征值训练二叉树支持向量机，构造滚动轴承决策树判别故障，实现对故障类型的分类，从而达到对轴承故障诊断，并通过预测值与所训练的支持向量机实现故障预测的目的。

Description

一种基于灰色支持向量机的滚动轴承故障诊断与预测的方法

技术领域

本发明属于轴承故障诊断领域，是针对滚动轴承开发的一种全面的故障诊断与预测模型GM(1，1)-SVM。

背景技术

滚动轴承是电力、石化、冶金、机械、航空航天以及一些军事工业部门中使用最广泛的机械零件，也是最易损伤的部件之一。它具有效率高、摩擦阻力小、装配方便、润滑易实现等优点，在旋转机械上的应用十分广泛，并起着关键作用。旋转机械设备的许多故障都与滚动轴承有着密切的关联。据有关资料统计，机械故障的70％是振动故障，而振动故障中有30％是由滚动轴承引起的。滚动轴承故障引起的后果轻则降低和失去系统的某些功能，重则造成严重的甚至是灾难性的后果。所以滚动轴承的故障诊断方法，一直是机械故障诊断中重点发展技术之一，本文致力于研究滚动轴承故障的监测及预测技术。

为解决轴承故障诊断与预测的问题，人们已经提出了各类算法模型，但是这些方法无法有效实现对轴承故障进行预测。因此需要提出一种不仅能实现对轴承故障的诊断而且要实现对故障有效预警的模型。

发明内容

本发明是基于灰色支持向量机GM(1，1)-SVM的轴承故障诊断与预警的方法，不仅能够实现对滚动轴承的故障诊断，而且能实现对故障的有效预警，有助于提高带有滚动轴承的旋转机械系统的安全运行。

本发明采用的技术方案如下，

本发明提供的基于灰色支持向量机GM(1，1)-SVM的轴承故障诊断与预警的方法，至少包括以下几个部分：

S1特征变量的提取及关联度分析。滚动轴承是典型的旋转机械，其振动信号的时域特征变量有均方根值、峰峰值、均值等，频域特征变量有基频、2倍频、3倍频、4倍频、8倍频等，他们包含丰富的故障信息。对比分析滚动轴承各类故障与正常时的振动信号时域和频域的特征变量，选取合适的特征变量。本文选取用于故障判别的特征变量为：

X＝(RMS，峰峰值，1x幅值，2x幅值，3x幅值、4x幅值，8x幅值)。

RMS为振动信号的均方根值，最能代表信号的整体特性，选取RMS时间序列作为参考序列，其余6个序列作为比较序列，求出参考序列和各比较序列的灰色关联度，去掉关联度低的2个特征变量。

设参考数列Y＝{y(k)|k＝1,2,…,n}，

比较数列X_i＝{X_i(k)|k＝1,2,…,n},i＝1,2,…,m

对变量进行无量纲化： $x_i\left(k\right)=\frac{X_i\left(k\right)}{X_i\left(1\right)},k=\mathrm{1,2},\·\·\·,n;i=\mathrm{1,2},\·\·\·,m---\left(1\right)$

参考数列与比较数列的灰色关联系数：

${\mathrm{\ξ}}_i\left(k\right)=\frac{\min \min |y\left(k\right)-x_i\left(k\right)|+\mathrm{\ρ}\max \max |y\left(k\right)-x_i\left(k\right)|}{|y\left(k\right)-x_i\left(k\right)|+\mathrm{\ρ}\max \max |y\left(k\right)-x_i\left(k\right)|}---\left(2\right)$

计算关联度： $r_i=\frac{1}{n}\underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ξ}}_i\left(k\right),k=\mathrm{1,2},\·\·\·,n---\left(3\right)$

排序关联度，若r_i＜r_j，那么x_j(k)比x_i(k)与参考数列y(k)更紧密。

S2建立预测模型，分别使用每种状态前10组特征值建立灰色模型和正交多项式作最小二乘拟合预测模型，后2组作为预测值的对比值，计算两种模型预测值的误差，选取误差更小的模型——灰色模型。

(1)灰色预测模型

灰色系统模型GM(1,1)通过单变量的时间序列{x_i}(i＝1,2,3,…)进行一次累加处理，对这个生成序列建立一阶微分方程来揭示其内部发展规律。

定义特征灰色系统 $X_i^{\left(o\right)}=[X^{\left(0\right)}\left(1\right),X^{\left(0\right)}\left(2\right),\·\·\·,X^{\left(0\right)}\left(n\right)]$

作: $X^{\left(1\right)}\left(t\right)=\underset{k=1}{\overset{t}{\mathrm{\Σ}}}{X}^{\left(0\right)}\left(k\right),$ 有 $\begin{array}{c}{X}^{\left(1\right)}=(X^1\left(1\right),X^{\left(1\right)}\left(2\right),\·\·\·,X^{\left(1\right)}\left(n\right))\\ =(X^0\left(1\right),X^1\left(1\right)+X^0\left(2\right),\·\·\·,X^1(n-1)+X^0\left(n\right))\end{array}$

对X⁽¹⁾建立如下的微分方程： $\frac{{\mathrm{dX}}^{\left(1\right)}}{\mathrm{dt}}+{\mathrm{aX}}^{\left(1\right)}=u---\left(4\right)$

记该一阶一个变量的微分方程为GM(1，1)

在上式中，a和u可以通过最小二乘法拟合得到： $\left[\begin{array}{c}a\\ u\end{array}\right]={\left(B^{T}B\right)}^{-1}{B}^T{Y}_M---\left(5\right)$

在式(5)中，Y_M为列向量Y_M＝[X⁰(2),X⁰(3),…,X⁰(n)]^T,

B为矩阵： $B=\left[\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}[X^1\left(1\right)+X^1\left(2\right)]& 1\\ -\frac{1}{2}[X^1\left(2\right)+X^1\left(3\right)]& 1\\ \·& \·\\ \·& \·\\ \·& \·\\ -\frac{1}{2}[X^1(n-1)+X^1\left(n\right)]& 1\end{array}\right]$

微分方程(5)所对应的时间相应函数 $X^{\left(1\right)}(t+1)=[X^{\left(0\right)}\left(1\right)-\frac{u}{a}]e^{-\mathrm{at}}\text{+}\frac{u}{a}---\left(6\right)$

由式(6)对一次累加生成数列的预测值：X⁽⁰⁾(t)＝X⁽¹⁾(t)-X⁽¹⁾(t-1)   (7)

(2)用正交多项式作最小二乘拟合预测

数据拟合是根据测定的数据间的相互关系，确定曲线y＝s(x；a₀,a₁,…,a_n)的类型，然后再根据在给定点上误差的平方和达到最小的原则，即求解无约束问题：

$\min F(a_0,a_1,\·\·\·,a_n)=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{(s(x_i;a_0,a_1,\·\·\·,a_n)-y_i)}^2---\left(8\right)$

确定出最优参数从而得到拟合曲线y＝s^*(x)。

设φ₀,φ₁,…,φ_n为n+1个函数，ω_i为系数，满足：

<math> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mtext>,</mtext> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>m</mi> </munderover> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mtext>j</mtext> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfenced open='&lt;' close=''> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mtd> <mtd> <mi>j</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>k</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>A</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>,</mo> </mtd> <mtd> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mi>k</mi> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>,</mo> <mo></mo> </mrow> </math> 即φ₀,φ₁,…,φ_n在X＝{x₁,x₂,…,x_m}上正交，

其中 $A_k=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&omega;}}_i{\left[{\mathrm{\&phi;}}_k{x}_i\right]}^2,$ 则正规方程(8)的解为： $a_k^{*}=\frac{\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&omega;}}_i{y}_i{\mathrm{\&phi;}}_{\text{k}}\left(x_i\right)}{A_k}---\left(9\right)$

S3支持向量机基于统计学习理论构建的典型神经网络，其建立一个最最优分类超平面，使得该平面两侧的两类样本之间的距离最大化，从而对分类问题提供很好的泛化能力。对于样本(x_i,y_i),i＝1,2,…,s，其中x_i∈R^m,y_i∈{+1,-1}，s为输入变量维数。用于分类的超平面方程为：ω·x+b＝0

将样本分为两类：ω·x+b≥0,(y＝+1)

ω·x+b≥0,(y＝-1)   (10)

支持向量机的最优超平面是一个使得分类边缘最大的超平面，即使得最大，所以求解最优超平面，即 $\min \mathrm{\&phi;}\left(\mathrm{\&omega;}\right)=\frac{1}{2}{\left|\right|\mathrm{\&omega;}\left|\right|}^2---\left(11\right)$ 其应满足约束条件：y_i(ω·x_i+b)-1≥0,i＝1,2,…,l

在非线性条件下，线性不可分支持向量机的最大化函数：

$\max W\left(\mathrm{\&alpha;}\right)=\underset{i=1}{\overset{l}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&alpha;}}_i-\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{l}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{i=1}{\overset{l}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&alpha;}}_i{\mathrm{\&alpha;}}_j{y}_i{y}_{j}K<x_i\&CenterDot;x_j>---\left(12\right)$

判别目标函数为：

训练支持向量机，针对滚动轴承的故障分类，本文选择两类SVM来构造多类分类器。由于两类SVM 1对多算法和1对1算法都存在各自的缺点，本文采用基于二叉树的支持向量机多类分类方法。基于二叉树的两类分类器构造步骤是：第i个分类器将第i类与第i+1，i+2，…，N类分开，构造SVMi，直到第N-1个分类器将N-1类与第N类分开。把N-1个SVM组成多类分类器，构造SVM决策树来识别N类故障。

与现有技术相比，本方法不仅能够实现对滚动轴承的故障诊断，而且能实现对故障的有效预警，有助于提高带有滚动轴承的旋转机械系统的安全运行。

附图说明

图1灰色支持向量机故障预测流程图。

具体实施方法

下面结合附图，对本发明的实施进行具体说明。

如图1所示，1.美国西储大学的滚动轴承故障实验，实验平台包括一个2马力的电机(左侧)，一个转矩传感器(中间)，一个功率计(右侧)和电子控制设备(没有显示)，被测试轴承支承电机轴。轴承型号为SKF轴承，使用电火花技术在轴承上布置了单点故障，故障直径分别为0.007、0.014、0.028英寸。实验中使用加速度传感器采集振动信号，传感器分别安装于电机壳体的驱动端和风扇端以及电机支撑底盘上。振动信号通过16通道的DAT记录器采集，数字信号采样频率为12000S/s。

本文采用的故障数据为在电机负载分别为0马力和1马力时，轴承的外圈故障数据、内圈故障数据、滚珠故障数据，每种故障的直径分别为0.007、0.014、0.021英寸，每种情况下的数据采集12组，共216组数据，选取电机负载为0到3马力的4种正常状态共48组数据，数据总数为264组。

2.特征变量的提取及关联度分析

滚动轴承是典型的旋转机械，其振动信号的时域特征变量有均方根值、峰峰值、均值等，频域特征变量有基频、2倍频、3倍频、4倍频、8倍频等。本文选取用于故障判别的特征变量为：

X＝(RMS，峰峰值，1x幅值，2x幅值，3x幅值、4x幅值，8x幅值)

记录滚动轴承在外圈故障0.007英寸、转速为1797、电机负载0马力的12组时间序列数据。对每组数据进行快速傅里叶变换，提取其频域特征值。提取特征变量得到12x7阶时间序列矩阵，如表1。

表1.滚动轴承在外圈故障0.007英寸、转速为1797、电机负载0马力12组时间序列数据

RMS代表整个信号的能量，选取RMS时间序列作为参考序列，其余6个序列作为比较序列，求出参考序列和各比较序列的灰色关联度，如表2。

表2.参考序列和各比较序列的灰色关联度

设参考数列Y＝{y(k)|k＝1,2,…,n}，比较数列X_i＝{X_i(k)|k＝1,2,…,n},i＝1,2,…,m

对变量进行无量纲化： $x_i\left(k\right)=\frac{X_i\left(k\right)}{X_i\left(1\right)},k=\mathrm{1,2},\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,n;i=\mathrm{1,2},\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,m---\left(14\right)$

参考数列与比较数列的灰色关联系数：

${\mathrm{\&xi;}}_i\left(k\right)=\frac{\min \min |y\left(k\right)-x_i\left(k\right)|+\mathrm{\&rho;}\max \max |y\left(k\right)-x_i\left(k\right)|}{|y\left(k\right)-x_i\left(k\right)|+\mathrm{\&rho;}\max \max |y\left(k\right)-x_i\left(k\right)|}---\left(15\right)$

计算关联度： $r_i=\frac{1}{n}\underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&xi;}}_i\left(k\right),k=\mathrm{1,2},\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,n---\left(16\right)$

排序关联度，若r_i＜r_j，那么x_j(k)比x_i(k)与参考数列y(k)更紧密。

计算得到，与RMS关联度较大的是峰峰值、基频幅值、8x幅值、2x幅值，3x幅值和4x幅值与RMS关联度较小，去掉3x和4x变量，使用RMS、峰峰值、基频幅值、8x幅值、2x幅值5个变量建立灰色模型GM(1，1)。

3.预测模型的建立

(1)灰色预测模型

灰色系统模型GM(1,1)通过单变量的时间序列{x_i}(i＝1,2,3,…)进行一次累加处理，对这个生成序列建立一阶微分方程来揭示其内部发展规律。

设有特征灰色系统 $X_i^{\left(o\right)}=[X^{\left(0\right)}\left(1\right),X^{\left(0\right)}\left(2\right),\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,X^{\left(0\right)}\left(n\right)]$

作: $X^{\left(1\right)}\left(t\right)=\underset{k=1}{\overset{t}{\mathrm{\&Sigma;}}}{X}^{\left(0\right)}\left(k\right),$ 有 $\begin{array}{c}{X}^{\left(1\right)}=(X^1\left(1\right),X^{\left(1\right)}\left(2\right),\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,X^{\left(1\right)}\left(n\right))\\ =(X^0\left(1\right),X^1\left(1\right)+X^0\left(2\right),\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,X^1(n-1)+X^0\left(n\right))\end{array}$

对X⁽¹⁾建立如下的微分方程： $\frac{{\mathrm{dX}}^{\left(1\right)}}{\mathrm{dt}}+{\mathrm{aX}}^{\left(1\right)}=u---\left(17\right)$

记该一阶一个变量的微分方程为GM(1，1)

在上式中，a和u可以通过最小二乘法拟合得到： $\left[\begin{array}{c}a\\ u\end{array}\right]={\left(B^{T}B\right)}^{-1}{B}^T{Y}_M---\left(18\right)$

在式(5)中，Y_M为列向量Y_M＝[X⁰(2),X⁰(3),…,X⁰(n)]^T,

B为矩阵： $B=\left[\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}[X^1\left(1\right)+X^1\left(2\right)]& 1\\ -\frac{1}{2}[X^1\left(2\right)+X^1\left(3\right)]& 1\\ \&CenterDot;& \&CenterDot;\\ \&CenterDot;& \&CenterDot;\\ \&CenterDot;& \&CenterDot;\\ -\frac{1}{2}[X^1(n-1)+X^1\left(n\right)]& 1\end{array}\right]$

微分方程(5)所对应的时间相应函数 $X^{\left(1\right)}(t+1)=[X^{\left(0\right)}\left(1\right)-\frac{u}{a}]e^{-\mathrm{at}}\text{+}\frac{u}{a}---\left(19\right)$

由式(6)对一次累加生成数列的预测值：X⁽⁰⁾(t)＝X⁽¹⁾(t)-X⁽¹⁾(t-1)   (20)

使用每种状态前10组特征值建立灰色模型GM(1，1)，后2组作为预测值的对比值，计算预测值的误差。轴承在1797转外圈故障为0.007英寸的10组特征值所建立的模型及预测精度见表3，10组数据的平均预测误差为4.94％。

(3)用正交多项式作最小二乘拟合预测

数据拟合是根据测定的数据间的相互关系，确定曲线y＝s(x；a₀,a₁,…,a_n)的类型，然后再根据在给定点上误差的平方和达到最小的原则，即求解无约束问题： $\min F(a_0,a_1,\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,a_n)=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(s(x_i;a_0,a_1,\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,a_n)-y_i)}^2---\left(21\right)$ 确定出最优参数从而得到拟合曲线y＝s^*(x)。

设φ₀,φ₁,…,φ_n为n+1个函数，ω_i为系数，满足 <math> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mtext>,</mtext> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>m</mi> </munderover> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mtext>j</mtext> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfenced open='&lt;' close=''> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mtd> <mtd> <mi>j</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>k</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>A</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>,</mo> </mtd> <mtd> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mi>k</mi> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>,</mo> <mo></mo> </mrow> </math> 即φ₀,φ₁,…,φ_n在X＝{x₁,x₂,…,x_m}上正交，其中

则正规方程(8)的解为： $a_k^{*}=\frac{\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&omega;}}_i{y}_i{\mathrm{\&phi;}}_{\text{k}}\left(x_i\right)}{A_k}---\left(22\right)$

用正交多项式对每种状态前10组特征值作最小二乘拟合，后2组数据作为预测值对比值，计算预测值的误差。轴承在1797转外圈故障为0.007英寸的10组特征值二乘拟合预测值及精度值见表3，10组数据的平均预测误差为7.05％。通过两种预测模型的比较，可以看出灰色模型的误差均值4.91％小于正交多项式作最小二乘拟合预测误差均值7.05％，因此选用灰色模型作为预测模型。

表3.轴承在1797转外圈故障为0.007英寸的10组特征值所建立的模型及预测精度

4.训练支持向量机

支持向量机基于统计学习理论构建的典型神经网络，其主要思想是建立一个最最优分类超平面，使得该平面两侧的两类样本之间的距离最大化，从而对分类问题提供很好的泛化能力。对于样本(x_i,y_i),i＝1,2,…,s，其中x_i∈R^m,y_i∈{+1,-1}，s为输入变量维数。用于分类的超平面方程为：ω·x+b＝0

将样本分为两类：ω·x+b≥0,(y＝+1)

ω·x+b≥0,(y＝-1)   (23)

支持向量机的最优超平面是一个使得分类边缘最大的超平面，即使得2/||w||²最大。所以求解最优超平面，即 $\min \mathrm{\&phi;}\left(\mathrm{\&omega;}\right)=\frac{1}{2}{\left|\right|\mathrm{\&omega;}\left|\right|}^2---\left(24\right)$

其应满足约束条件：y_i(ω·x_i+b)-1≥0,i＝1,2,…,l

在非线性条件下，线性不可分支持向量机的最大化函数：

$\max W\left(\mathrm{\&alpha;}\right)=\underset{i=1}{\overset{l}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&alpha;}}_i-\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{l}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{i=1}{\overset{l}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&alpha;}}_i{\mathrm{\&alpha;}}_j{y}_i{y}_{j}K<x_i\&CenterDot;x_j>---\left(25\right)$

判别目标函数为：

针对滚动轴承的故障分类，本文选择两类SVM来构造多类分类器。以滚动轴承外圈故障、内圈故障、滚珠故障、正常状态构造多类分类器。对每种故障取60组训练样本，12组测试样本，共有200组训练样本，40组测试样本；正常状态40组训练样本，8组测试样本。以外圈故障为例，构造外圈故障SVM1，其余两个SVM同理。将每类故障60组训练样本和40组正常样本构成训练集为{(x₁,y₁),(x₂,y₂),…,(x₂₂₀,y₂₂₀)}，其中，x_i∈R⁵，y_i＝{-1,1}，当y＝1时表示该样本有外圈故障，当y＝-1表示没有外圈故障。

本文采用LIBSVM工具包，训练的主要任务是根据样本选择适当的分类器参数，选择支持向量机的类型(s)、核函数类型(t)、核函数中的coef0设置(c)、核函数中的gamma函数设置(g)。选择向量机为C-SVC即s为0，,核函数为Gauss核函数即t为2，c为1.2，g为2.8。

以外圈故障为例，可得支持向量机对训练样本的识别率为99％。选取每类故障测试样本12组共36组和正常状态测试样本8组进行测试，得到故障辨识率为91％，同理，训练其余两个支持向量机，各个向量机对全体测试样本的其识别率如表4。

表4.各个向量机对全体测试样本的其识别率

最后，把单类故障的12组测试样本采用训练好的三类二叉树的支持向量机多类分类方法进行故障识别，记录为表5。从表5可见，采用基于二叉树的支持向量机分类方法，对单类故障识别率可达90％以上，因此对滚动轴承故障诊断是可行、高效的。

表5.单类故障测试数据的训练结果

将灰色模型的44组预测数据(36组故障数据和8组正常数据)带入训练好的三类二叉树支持向量机，记录每种轴承状态训练的结果，如表6。从表6可以得到，通过提取滚动轴承各个状态收集的振动数据的特征值，建立灰色模型，预测数据，带入由各个故障状态特征值训练的三类二叉树支持向量机里进行分类，可以有效的进行故障的预警，大大提高机械设备的安全运行状态。

表6.预测数据的训练结果

Claims (1)

1.一种基于灰色支持向量机的滚动轴承故障诊断与预测的方法，其特征在于：该方法的实施流程如下，

S1特征变量的提取及关联度分析；滚动轴承是典型的旋转机械，其振动信号的时域特征变量有均方根值、峰峰值、均值等，频域特征变量有基频、2倍频、3倍频、4倍频、8倍频等，他们包含丰富的故障信息；对比分析滚动轴承各类故障与正常时的振动信号时域和频域的特征变量，选取合适的特征变量；本文选取用于故障判别的特征变量为：

X＝(RMS，峰峰值，1x幅值，2x幅值，3x幅值、4x幅值，8x幅值)；

RMS为振动信号的均方根值，最能代表信号的整体特性，选取RMS时间序列作为参考序列，其余6个序列作为比较序列，求出参考序列和各比较序列的灰色关联度，去掉关联度低的2个特征变量；

设参考数列Y＝{y(k)|k＝1,2,…,n}，

比较数列X_i＝{X_i(k)|k＝1,2,…,n},i＝1,2,…,m

对变量进行无量纲化： $x_i\left(k\right)=\frac{X_i\left(k\right)}{X_i\left(1\right)},k=\mathrm{1,2},...,n;i=\mathrm{1,2},...,m---\left(1\right)$

参考数列与比较数列的灰色关联系数：

${\mathrm{\&xi;}}_i\left(k\right)=\frac{\min \min |y\left(k\right)-x_i\left(k\right)|+\mathrm{\&rho;}\max \max |y\left(k\right)-x_i\left(k\right)|}{|y\left(k\right)-x_i\left(k\right)|+\mathrm{\&rho;}\max \max |y\left(k\right)-x_i\left(k\right)|}---\left(2\right)$

计算关联度： $r_i=\frac{1}{n}\underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&xi;}}_i\left(k\right),k=\mathrm{1,2},...,n---\left(3\right)$

排序关联度，若r_i＜r_j，那么x_j(k)比x_i(k)与参考数列y(k)更紧密；

S2建立预测模型，分别使用每种状态前10组特征值建立灰色模型和正交多项式作最小二乘拟合预测模型，后2组作为预测值的对比值，计算两种模型预测值的误差，选取误差更小的模型——灰色模型；

(1)灰色预测模型

灰色系统模型GM(1,1)通过单变量的时间序列{x_i}(i＝1,2,3,…)进行一次累加处理，对这个生成序列建立一阶微分方程来揭示其内部发展规律；

定义特征灰色系统 $X_i^{\left(o\right)}=[X^{\left(0\right)}\left(1\right),X^{\left(0\right)}\left(2\right),...,X^{\left(0\right)}\left(n\right)]$

作: $X^{\left(1\right)}\left(t\right)=\underset{k=1}{\overset{t}{\mathrm{\&Sigma;}}}{X}^{\left(0\right)}\left(k\right),$ 有 $\begin{array}{c}{X}^{\left(1\right)}=(X^1\left(1\right),X^{\left(1\right)}\left(2\right),...,X^{\left(1\right)}\left(n\right))\\ =(X^0\left(1\right),X^1\left(1\right)+X^0\left(2\right),...,X^1(n-1)+X^0\left(n\right))\end{array}$

对X⁽¹⁾建立如下的微分方程： $\frac{{\mathrm{dX}}^{\left(1\right)}}{\mathrm{dt}}+{\mathrm{aX}}^{\left(1\right)}=u---\left(4\right)$

记该一阶一个变量的微分方程为GM(1，1)

在上式中，a和u可以通过最小二乘法拟合得到： $\left[\begin{array}{c}a\\ u\end{array}\right]={\left(B^{T}B\right)}^{-1}{B}^T{Y}_M---\left(5\right)$

在式(5)中，Y_M为列向量Y_M＝[X⁰(2),X⁰(3),…,X⁰(n)]^T,

B为矩阵： $B=\left[\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}[X^1\left(1\right)+X^1\left(2\right)]& 1\\ -\frac{1}{2}[X^1\left(2\right)+X^1\left(3\right)]& 1\\ .& .\\ .& .\\ .& .\\ -\frac{1}{2}[X^1(n-1)+X^1\left(n\right)]& 1\end{array}\right]$

微分方程(5)所对应的时间相应函数 $X^{\left(1\right)}(t+1)=[X^{\left(0\right)}\left(1\right)-\frac{u}{a}]e^{-\mathrm{at}}+\frac{u}{a}---\left(6\right)$

由式(6)对一次累加生成数列的预测值：X⁽⁰⁾(t)＝X⁽¹⁾(t)-X⁽¹⁾(t-1)   (7)

(2)用正交多项式作最小二乘拟合预测

数据拟合是根据测定的数据间的相互关系，确定曲线y＝s(x；a₀,a₁,…,a_n)的类型，然后再根据在给定点上误差的平方和达到最小的原则，即求解无约束问题：

$\min F(a_0,a_1,...,a_n)=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(s(x_i;a_0,a_1,...,a_n)-y_i)}^2---\left(8\right)$

确定出最优参数从而得到拟合曲线y＝s^*(x)；

设φ₀,φ₁,…,φ_n为n+1个函数，ω_i为系数，满足：

即φ₀,φ₁,…,φ_n在X＝{x₁,x₂,…,x_m}上正交，其中 $A_k=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&omega;}}_i{\left[{\mathrm{\&phi;}}_k{x}_i\right]}^2,$ 则正规方程(8)的解为： $a_k^{*}=\frac{\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&omega;}}_i{y}_i{\mathrm{\&phi;}}_k\left(x_i\right)}{A_k}---\left(9\right)$

S3支持向量机基于统计学习理论构建的典型神经网络，其建立一个最最优分类超平面，使得该平面两侧的两类样本之间的距离最大化，从而对分类问题提供很好的泛化能力；对于样本(x_i,y_i),i＝1,2,…,s，其中x_i∈R^m,y_i∈{+1,-1}，s为输入变量维数；用于分类的超平面方程为：ω·x+b＝0

将样本分为两类：ω·x+b≥0,(y＝+1)

ω·x+b≥0,(y＝-1)              (10)

支持向量机的最优超平面是一个使得分类边缘最大的超平面，即使得最大，所以求解最优超平面，即 $\min \mathrm{\&phi;}\left(\mathrm{\&omega;}\right)=\frac{1}{2}{\left|\right|\mathrm{\&omega;}\left|\right|}^2---\left(11\right)$

其应满足约束条件：y_i(ω·x_i+b)-1≥0,i＝1,2,…,l

在非线性条件下，线性不可分支持向量机的最大化函数：

$\max W\left(\mathrm{\&alpha;}\right)=\underset{i=1}{\overset{l}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&alpha;}}_i-\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{l}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{i=1}{\overset{l}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&alpha;}}_i{\mathrm{\&alpha;}}_j{y}_i{y}_{j}K<x_i\&CenterDot;x_j>---\left(12\right)$

判别目标函数为：

训练支持向量机，针对滚动轴承的故障分类，本文选择两类SVM来构造多类分类器；由于两类SVM 1对多算法和1对1算法都存在各自的缺点，本文采用基于二叉树的支持向量机多类分类方法；基于二叉树的两类分类器构造步骤是：第i个分类器将第i类与第i+1，i+2，…，N类分开，构造SVMi，直到第N-1个分类器将N-1类与第N类分开；把N-1个SVM组成多类分类器，构造SVM决策树来识别N类故障。