精神疾患で退職する場合

労働者の意志で即日退職は自由です。

そうではなくて、経営者が労働者を解雇するには３０日以上前に予告が必要です。
心配なら労基署に確認してよいと思います。
なお
障害年金に該当するかもしれません。
障害年金は退職後でも手続きは可能です。
大体の目安ですが、障害年金3級は、どこかの会社などに雇われて簡単な労働ならできる程度。
2級は、働くことが困難であるが、身の回りのことは自分でできる程度。
1級は、身の回りのことに関して他社から介護が必要な程度。
初診日が厚生年金の加入期間で2級であれば、年金額は百数十万円以上くらいだと思います。
初診日が国民年金の加入期間なら、2級で約78万円です。(障害基礎年金だけです)

自己都合退職をするには、退職予定日の２週間前に退職願を会社

に提出しなければなりません。これをしないと契約違反となり、
退職が認められても制裁金を徴収される恐れがあります。
２週間前と言うのは、労働法で決められた日数です。

軽いうつ病でも胃腸炎でも、２週間で完治する事はありません。
双方の診断書を医師に書いて貰います。その診断書があれば退職
する日まで病気として休めます。
通常は「一身上の都合にて」と退職理由を書きますが、今回の場
合だと一身上の都合では理由になりませんから、「診断書の通り
で直ぐには完治しませんから、病気治療に専念したいと考え、こ
れ以上は会社に迷惑をかけられませんので、退職届を受理されま
すようにお願いします」と書きましょう。

失業保険の受給には条件があります。２年間の期間で１２か月以
上の実務勤務期間が必要です。半年では後６か月足りません。
後１年半の内で半年だけ働けば受給資格はあります。
半年でも半年分の離職票は発行されますから、受給資格を得られ
るまで大事に保管して下さい。なお１年半を過ぎると無効になり
ますから、その時は２年間で１２か月以上働く事になります。

離職票は退職しないと会社からは発行されません。現在は在職中
ですから、手元にないのは当然です。

＞会社側的には、末日にいきなり退職したいと言われるのは迷惑なのでしょうか？

迷惑を通り越して非常識だし契約違反だけどね。

ただ、体調のことでもあるので、できるだけ早い段階で退職の意思を伝えて、退職することを願い出ることをお勧めする。
まずは直属の上司に直接か電話やメールなど口頭で退職の意思を伝えて、あとは体調と実務と契約内容などに応じて手続きを進めるようにする。

もう1日でも出勤したくない！という場合は、無断欠勤をすれば解雇されるので、それでいいのでは？
会社は困るだろうけど誰かが死ぬわけではないし、質問者の場合、病状によっては死ぬまでではなくても療養期間が長くなる。
長くなっても退職した会社がなにかしてくれるわけでもない。
自分の体調を優先で。

精神疾患＝精神障害者とまでの御方様なのでしょうか？もしそうであるならば会社とのやり取りは二の次の事です。

精神疾患とまでになられたその初診日、最初に診断をしてくださった日は覚えていますか？忘れないでいらっしゃいますか？日本というのは全てが縦社会なので横の事は自分自身で学ぶ等なさらなければ解らない社会です。精神障害者とまでの御方様になっていらっしゃるのであれば「障害年金」を国からいただけます。月ごとの金額はさほど多い金額ではないかもしれませんが、最初に診断をしてくださった御医者様、初診日の御医者様に障害年金受給のための診断書を書いていただいて年金課の窓口へ申請なさってみてはいかがでしょうか？

法律（民法第６２７条）では退職の意思を伝えれば２週間後に雇用契約は解消することになっています。

したがって法律論でいえば退職の意思を伝えてから２週間後に堂々と辞められることになります。

辞める理由は退職届には「一身上の理由により」で構いません。病気は個人情報ですので、あえて病名を伝えることは無いです。ただどうしても月末にやめたいときは会社と相談ですね。良いと言われれば良いし、あと２週間働けと言われれば従うしかないです。但し、体調が悪いことを理由に２週間欠勤することもあり得ます。またすぐやめる理由として診断書を添えることもありでしょう。しかし精神疾患と言う病名を出すのはできれば避けた方が良いと思います。現実問題として、すぐにも辞めたい人を２週間引っ張ることはあまりないでしょう。

会社からすると、突然辞められるのは困りますが、どうしてもやって行けないときは仕方ないんじゃないですか？今回は失業保険は出ません。

契約書を交わしているはずです。

通常、退職は数日前に申告が必要です。
ただしドクターストップがかかってる場合はその限りではありませんが、
即日退職は印象は激悪です。

＞会社側的には、末日にいきなり退職したいと言われるのは迷惑なのでしょうか？

週明け月曜にその旨を伝えるのがベターです。
出社して、即日辞めますは非常識。

失業保険は、確か2年間でトータル1年以上の雇用保険加入していれば
失業手当が出るはずです。つまり今の仕事の前にトータルで1年間働いていれば支給される可能性があります。当然、自己都合なので3か月後ですがね。

服務規程を確認してください。