exp(1/z)の原点のまわりでローラン展開について質問です。

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質問者：aptx5884
質問日時：2010/02/20 17:16
回答数：2件

exp(1/z)の原点のまわりでローラン展開について質問です。
私の見た書籍やwebページでは、exp(z)のマクローリン展開に、ｚの代わりに1/zを入れて
exp(1/z)=1+1/1!z+1/2!z^2+…
と展開できるという説明がされているんですが、このことで腑に落ちないところがあります。あくまでexp(1/z)のz=0での展開を考えているわけですから、例えば1/z=uとかおいて考えるのならば、z=0に対応するのはu=∞のはずです。だからexp(u)の展開に帰着させたいなら無限遠点の周りの展開を考えなければならない、ということにはならないのでしょうか？疑問に思っているのはここです。
しかしテイラー展開は円板状の領域内で使えるものであって、無限遠点まわりで、というわけにはいきませんよね。それで1/z=uとおき直してみるという作戦は結局上手くいかないのかなぁ、などと悩んでしまって…
どなたかお助けください。

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回答 (2件)

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No.1ベストアンサー

回答者： alice_44
回答日時：2010/02/20 18:37

よい点に気づかれたと思います。

ローラン展開といっても、極を中心とする展開ならば、
テイラー展開とあまり変わりがありませんが、
真性特異点を中心とするものは難しいことが多く、
関数によっては、どうやって展開したらよいか
解らないこともあります。

今回の問題で exp u のマクローリン展開に
u = 1/z を代入してよい理由は、
exp のマクローリン展開が収束半径 ∞ を持つからで、
そのために、z がどれだけ 0 に近づいても
exp u の級数表示が意味を持っているからです。

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この回答へのお礼

　お礼が遅れてしまって申し訳ありません。言い訳になってしまいますが、パソコンのトラブルでSSLページにアクセスできなくなっていました。
　u平面上どこでも、exp(u)の級数表示が意味を持っているというのは納得できました。　
　結局、「〇〇のまわりでの」展開というのは形だけの問題だ、と思ってもいいのでしょうか。最終的な形が、(z-a)のベキに展開できていれば、導出過程は問題にはならないのですね。確かにそもそも、係数を積分で求めずに済むように、というのが狙いなのだから考えてみれば当たり前のことだったかもしれません。
　ローラン展開、これで何とか使えるようになりそうです。ありがとうございました。

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お礼日時：2010/02/24 10:06

No.2

回答者： info22_
回答日時：2010/02/20 20:04

> exp(1/z)=1+1/(1!z)+1/(2!z^2)+1/(3!z^3)+ …

これが疑問なら、右辺を7項位で近似して
z=1, i, 1+i, 2 など代入してみてほぼ等しいか確認してみれば、正しいか確認できると思います。

当方でローラン展開が正しいか確認して見ました。
z=1の場合左辺=e=2.718282,右辺≒2.718254
z=iの場合左辺=e^(-i)=cos(1)-isin(1)=0.54030+i0.841471,
右辺≒0.54028+i0.841468
z=2の場合左辺=e^(1/2)=1.6487213,右辺≒1.6487212
z=1+iの場合左辺=e^((1-i)/2)=e^(1/2)(cos(1/2)-isin(1/2))=1.4468890-i0.7904391,
右辺≒1.4468874-i0.79043899
などほとんど一致しているのでローラン展開がz=0(特異点)以外で正しいことが確認できます。

質問者さん自身でも計算して確かめてみてください。