Analisi matematica

L’analisi es la branca dei matematicas derivada dau calcul infinitesimau desvolopat au sègle XVII. Es la disciplina matematica que tracta dei calculs implicant la nocion d'infinit. Compren de nocions fondamentalas coma lo limit, la continuitat, la derivacion e l'integracion tant per lei nombres reaus que complèxes. L'estudi deis espacis metrics e topologics, lo calcul dei variacions e la teoria dei foncions fan egalament partida de l'analisi. Existís donc un nombre important de sosbrancas coma l'analisi reala, l'analisi complèxa, l'estudi deis eqüacions diferencialas, l'analisi armonica ò l'analisi numerica.

L'analisi es probablament apareguda durant l'Antiquitat Auta amb lei calculs aprochats mesopotamians fondats sus de procès de calcul illimitats. En particular, lei Babilonians avián calculat una valor aprochada de √2 entre 1900 e 1600 avC^[1]. Entre 800 e 500 avC, de prèires indians trobèron tanben una approximacion racionala de √2^[2]. Pasmens, lei metòdes utilizats per realizar aquelei calculs èran encara limitats. Ansin, lei trabalhs dau Grèc Eron d'Alexàndria († sègle I apC) marquèron una evolucion importanta en permetent d'estimar la valor de la racina carrada d'un nombre que que siegue. Segon son metòde, èra possible de trobar la racine d'un nombre A a partir d'una approximacion arbitrària a₀ en calculant a₁ = (a₀ + A/a₀)/2. Lo calcul èra repetit amb la valor novèla fins a l'obtencion d'una precision sufisenta^[3].

La descubèrta dei nombres irracionaus es un autre element de basa de la fondacion de l'analisi. Es probablament anciana mai leis escrichs pus vièlhs que parlan clarament d'aqueu subjècte son grècs^[4]. Segon Aristòtel (384-322 avC), la pròva de l'existéncia d'aquelei nombres foguèt establida per lei pitagoricians a partir d'un estudi sus la valor de √2^[5]. L'estudi sistematic d'aquelei valors irracionalas foguèt realizada pus tard per Euclides (v. 325 - v. 265 avC) que definiguèt la nocion de rapòrt entre dos grandors. Dins aquò, la comprenença modèrna dei tèxtes grècs e dei descubèrtas dei matematicians dau periòde es malaisada en causa de l'usatge d'un vocabulari diferent dau lengatge modèrne dei matematicas. Ansin, certanei trabalhs grècs sus lei nombres irracionaus son desenant l'objècte d'interpretacions diferentas.

Lei problemas de geometria ocupèron una plaça importanta dins lo desvolopament de l'analisi car sei problemas principaus foguèron la causa de recèrcas importantas fins a la Renaissença. Entre aquelei problemas, tres tenguèron un ròtle major – la question de la tangenta, lei diorismes e lei volums de certaneis objèctes – car apareguèron durant la recèrca de la quadratura dau ceucle. Per la tengenta, lo problema èra liat a l'existéncia « l'angle de contingéncia », es a dire l'angle entre la corba que limita una figura e la tangenta a aquela corba. Euclides declarèt impossible lo passatge d'una drecha entre la corba e la tangenta (unicitat de la tangenta). Pasmens, leis otís matematicas de l'Antiquitat e de l'Edat Mejana èran insufisents per descriure corrèctament un tal angle. Aquò entraïnèt fòrça debats que venguèron l'implicacion de filosòfs. Dins aquò, permetèron tanben de melhorar la visualizacion d'objèctes fòrça pichons.

Lei diorismes son liats a la question dei tangentas. Lo cas pus important per lei Grècs èra probablament aqueu de la parabòla elliptica, valent a dire l'eqüacion cubic. D'efiech, una tala eqüacion a pas totjorn doas racinas e lei matematicians grècs e arabs s'interessèron au cas limit de l'eqüacion amb una racina unica. L'estudi geometrica dei conicas mostrèt de liames entre aqueu cas e l'estudi dei tangentas. Apollonius de Perge (v. 240 avC - v. 190 avC) foguèt una figura importanta de l'estudi d'aquelei problemas^[6]

La question dau calcul dei volums es egalament, en partida, liada a la question dei tangentas. Es principalament l'òbra de Democrit d'Abdèra (v. 460 - v. 370 avC) e d'Eudox de Cnide (408-355 avC). D'efiech, per calcular lo volum d'una piramida ò d'un còn, utilizèron d'aproximacions que prefiguran lo calcul infinitesimau^[7].

De la fin de l'Antiquitat a la fin de l'Edat Mejana, lei progrès en analisi foguèron febles. Pasmens, gràcias ai traduccions aràbias, una partida importanta dei sabers grècoromans foguèt pas perduda. De mai, quauquei progrès foguèron realizats en China e en Índia. Dins la premiera region, Zu Chongzhi (429-500) descurbiguèt lo principi de Cavalieri (ò metòde deis indivisibles) tre lo sègle V apC. Dich metòde deis indivisibles, aqueu principi consistís a devesir un volum en sosvolums simples per calcular pus aisament lo volum totau. Puei, dins la peninsula indiana, au sègle XII, Bhaskara II (v. 1114-1185) utilizèt la derivada e descurbiguèt lo teorèma de Rolle^[8]. En Euròpa, se fau egalament nòtar lei trabalhs dau matematician francés Nicole Oresme (v. 1320-1382) qu'aguèt l'idèa d'utilizar de representacions graficas per visualizar lei foncions. Demostrèt tanben la divergéncia de la seguida armonica dins un tractat publicat en 1360^[9]. Pasmens, aquelei descubèrtas demorèron isoladas e foguèron gaire esplechadas.

La represa dei progrès en analisi aguèt donc luòc en Euròpa a partir de la fin de la Renaissença. D'efiech, en 1635, Bonaventura Cavalieri (1598-1647) publiquèt Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota, un tractat que presentèt lo metòde deis indivisibles e que suscitèt un interès novèu per la disciplina au sen de l'elèit intellectuau dau continent^[10]. En particular, de personalitats coma René Descartes (1596-1650), Pèire de Fermat (1601-1665), Gilles Personne de Roberval (1602-1675) e Evangelista Torricelli (1608-1647) s'interessèron ai trabalhs de Cavalieri. Aquò menèt au perfecionnament de son metòde e a la descubèrta deis integralas^[11][12]. Pasmens, la premiera definicion de l'integrala èra unicament geometrica e foguèt encara necessari d'esperar 150 ans avans de veire la definicion modèrna d'aquela nocion.

Lei premierei basas dau calcul diferenciau foguèron descubèrtas durant d'estudis sus lo traçat dei tangentas ai corbas. Fermat e Roberval s'interessèron fòrça a aqueu subjècte. Per aquò, trabalhèron sus de polinòmis permetent de calcular lei racinas d'una eqüacion representar la tangenta en un ponch donat. Durant aquel estudi, Fermat estudièt lo cas de la drecha y = ax + b tangenta en x₀ a la corba descricha per lo polinòmi P(x). Per exprimir aquela tangenta, Fermat cerquèt lo zerò dau polinòmi P(x, ax + b).

Aquò li permetèt d'exprimir lo problema dei tangentas d'un biais novèu. Per eu, s'una foncion racionala R(x) a un extremom en x₀ e se a es pròche (mai diferent) de x₀, alora l'eqüacion R(x₀) = R(a) accèpta doas racinas a e a + e qu'enquadran x₀. Se se condidèra l'egalitat R(a) = R(a + e) en factorizant e, alora ven una eqüacion de la forma T(a, e) = 0. Se e es chausida egala a 0, l'eqüacion T(a, 0) = 0 permet alora de calcular l'extremom cercat. Un tau metòde prefigura largament lo calcul diferenciau qu'aparéis tanben dins lei trabalhs de Kepler ò de Descartes.

L'estudi dei seguidas conoguèt una certana popularitat en França e en Anglatèrra a partir dau sègle XIV amb de personalitats coma Richard Swineshead († 1354). Pasmens, lei progrès foguèron lents fins a la segonda mitat dau sègle XVII. Lei matematicians anglés aguèron un ròtle centrau durant aqueu periòde que veguèt de progrès tant dins la teoria dei seguidas (invencion dau tèrme « seguida convergenta » per James Gregory^[13]) que dins leis aplicacions concrètas d'aqueu concèpte (binòmi de Newton, desvolopament de foncions trigonometricas...). Puei, en 1715, Brook Taylor (1685-1731) establiguèt un liame entre lei seguidas e lo calcul diferenciau gràcias a l'estudi dei seguidas que pòrtan son nom^[14].

La descubèrta dau calcul diferenciau modèrne es atribuïda a Isaac Newton (1642-1727) e a Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Lo premier s'interessèt au subjècte en desvolopament leis idèas d'Isaac Barrow (1630-1677) qu'èra estat son professor^[15]. Barrow aviá sintetizat lei trabalhs de Fermat e imaginat l'utilizacion d'acreissements pichons per estudiar lo problema dei tangentas. Newton desvolopèt aquelei recèrcas per leis adaptar ai grandors fisicas liadas au temps e ai formas geometricas. Aquò li permetèt de desvolopar sei teorias mecanicas onte lo calcul diferenciau tèn un ròtle centrau.

Leibniz foguèt puslèu influenciat per lei trabalhs matematics de René Descartes e de Christiaan Huygens (1629-1695). Sa vision foguèt pus teorica e pus matematica. Son article principau sus lo calcul diferenciau, publicat en 1684 dins la revista Acta Eruditorum, establiguèt per lo premier còp d'un biais clar lei règlas de basas per la diferenciacion d'una soma, d'un produch e d'un quocient de variablas. En mai d'aquò, la màger part de son vocabulari e de sei notacions (« foncion », « diferenciala », dx, y = f(x), lo simbòl de l'integrala...) foguèt adoptada per l'ensemble de la comunautat scientifica. Lo trabalh de vulgarizacion de Guillaume de L'Hôpital (1661-1704) e lei descubèrtas majoras de sei discípols (lei fraires Bernoulli, Euler) aguèron un ròtle important dins aquela difusion. La descubèrta dau calcul diferenciau (ò calcul infinitesimau) marca la fondacion de l'analisi matematica modèrna.

Ja presenta dins leis escrichs de Barrow e de Newton, la nocion de foncion foguèt estructurada e difusada per lei trabalhs de Leibniz e de sei successors. D'efiech, de matematicians coma Sylvestre-François Lacroix (1765-1843), Daniel Bernoulli (1700-1782), Leonhard Euler (1707-1783), Jean Le Rond d'Alembert (1717-1783) e Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) definiguèron de nocions majoras (continuïtat, discontinuïtat...) e establiguèron de liames amb lei seguidas.

Lo sègle XIX es de còps considerat coma lo « sègle de la teoria dei foncions » en causa dei descubèrtas nombrosas dins aqueu domeni. Gaspard Monge (1746-1818), Joseph Fourier (1768-1830) e Augustin Cauchy (1789-1857) tenguèron un ròtle important dins la transicion entre lei matematicians dei Lutz e aquelei dau periòde seguent gràcias a sei descubèrtas sus lei foncions discontinuas e sus lo desvolopament dei foncions trigonometricas (seguidas de Fourier). Gustav Lejeune-Dirichlet (1805-1859) completèt la teoria de Fourier en 1837 e donèt la premiera definicion dei foncions unifòrmas. Aquò menèt, dins leis ans 1840, a l'adopcion de la definicion modèrna de la « foncion ». A son torn completat per Bernhard Riemann (1826-1866) e Georg Cantor (1845-1918), aqueu trabalh foguèt una fònt de la teoria deis ensembles que foguèt desvolopada per Camille Jordan (1838-1922), René Baire (1874-1932), Émile Borel (1871-1956) e Henri Lebesgue (1875-1941).

Durant la segonda mitat dau sègle XIX, de foncions novèlas foguèron egalament descubèrtas. Per exemple, en 1872, Karl Weierstrass (1815-1897) senhalèt l'existéncia d'una foncion continua qu'èra pas derivabla. En parallèl, se desvolopèt l'estudi dei foncions complèxas, çò que menèt ai foncions ellipticas. Aquela branca de l'analisi, relativament anciana, èra demorada marginala car Carl Friedrich Gauss (1777-1855), un dei sei pioniers importants, aviá pas publicat sei resultats. Dins aquò, de personalitats coma Niels Abel (1802-1829) e Carl Jacobi (1804-1851) capitèron de la popularizar. Tornèron tanben descubrir lei foncions ellipticas que foguèron pus tard estudiadas per Joseph Liouville (1809-1882), Arthur Cayley (1821-1895) e Charles Hermite (1822-1901). Aquò favorizèt la descubèrta dei foncions fuchsianas e automòrfas que foguèron l'objècte dei recèrcas d'Henri Poincaré (1854-1912) e de Felix Klein (1849-1925).

La descubèrta dau calcul infinitesimau permetèt de melhorar lo metòde deis indivisibles. Aquò menèt a la definicion modèrna de l'integrala tre la fin dau sègle XVII. De mai, lei notacions comencèron de s'estabilizar rapidament gràcias au trabalh de Leibniz, dei fraires Bernoulli, d'Euler e de Cauchy. Au sègle XIX, divèrsei matematicians, coma Riemann, s'interessèron a l'integracion dei foncions discontinuas. Finalament, la vision modèrna deis integralas definidas apareguèt a la fin dau sègle gràcias ai trabalhs de Gaston Darboux (1842-1917), de Thomas-Jan Stieltjes (1856-1894) e d'Henri Lebesgue.

Coma per leis integralas, la nocion de seguida prenguèt sa forma modèrna durant lo sègle XIX. Cauchy, Dirichlet e Riemann foguèron d'actors majors d'aquela evolucion. Per aquò, estudièron fòrça lei seguidas convergentas que venguèron un otís important dins mai d'una demonstracion matematica, especialament en analisi. Lei seguidas divergentas foguèron mens l'objècte de recèrcas car son aspècte divergent èra jutjat « òrre » per plusors matematicians^[16].

Lo calcul dei variacions es aparegut tre la fin dau sègle XVIII. Lo tèrme foguèt imaginat per Euler per descriure l'estudi dei minimoms e dei maximoms de certaneis integralas. Aguèt una gròssa importància en fisica e en quimia e foguèt estructurat per Lagrange. Uei, lo calcul dei variacions es un otís major de l'analisi foncionala, especialament dins lo quadre de l'estudi deis espacis vectoriaus.

Leis eqüacions diferencialas apareguèron durant la segonda mitat dau sègle XVII amb lei trabalhs de Newton e de Leibniz. Durant lo sègle XVIII, sa comprenança se melhorèt gràcias ai descubèrtas sus lei foncions e sus leis integralas. D'efiech, aquò permetèt pauc a pauc de preveire l'existéncia d'una solucion. En 1734, Euler imaginèt l'eqüacion diferenciala de derivadas parcialas. Element important dau calcul diferenciau, aquel objècte foguèt estudiat per d'Alembert a partir de 1747. La solucion sistematica deis eqüacions diferencialas de derivadas parcialas de premier e de segond òrdre foguèt trobada durant lo sègle XIX e de liames foguèron establits amb l'estudi dei superficias.

Lei nombres transcendants foguèron l'objècte d'un estudi sistematic a partir dau sègle XIX. Aperavans, π, conegut dempuei l'Antiquitat, èra estat lo subjècte de fòrça trabalhs assaiant de determinar sa natura e, mai que mai, sa valor precisa. Pasmens, en 1844, Liouville capitèt de construrre d'autrei nombres d'aqueu tipe. Durant lo periòde seguent, Cantor mostrèt l'existéncia d'un ensemble de nombres transcendants. Enfin, en 1872, la transcendància de e foguèt demonstrada. Encara mau comprés, lei nombres transcendants son totjorn fòrça estudiats per de matematicians modèrnas coma Kurt Mahler (1903-1988).

Un espaci metric es un ensemble onte la nocion de distància entre leis elements de l'ensemble es definida. Aqueleis elements son generalament dichs « ponchs »^[17]. Tot espaci metric es canonicament dotat d'una topologia. La màger part dei trabalhs d'analisi matematica an luòc dins d'espacis metrics coma l'espaci euclidian (lo pus famós amb sei tres dimensions x, y e z), lo plan complèxe, leis espacis vectoriaus ò la drecha reala.

Pasmens, l'usatge d'un espaci metric es pas indispensable a l'analisi matematica. Certanei brancas, coma l'analisi foncionala, an generalament pas besonh d'aqueu concèpte.

Una seguida es una familha d'elements, dichs « tèrmes », indexats per d'entiers naturaus. Pòu èsser finida ò infinida e lei tèrmes aver una natura reala ò complèxa. Lei seguidas son liadas a la mesura (mesuras d'un fenomèn enregistradas a d'intervals regulars de temps) e a l'analisi coma equivalemnt discrèt dei foncions numericas continuas. Lei nocions de convergéncia e de limit d'una seguida son fòrça importantas en analisi matematica car an d'aplicacions en topologia e dins leis espacis metrics.

L’analisi reala es la branca de l'analisi qu'estúdia leis ensembles de reaus e lei foncions de variablas realas. Per aquò, estúdia principalament de concèptes coma lei seguidas e sei limits, la continuitat, la derivacion, l'integracion e lei seguidas de foncions. Es un domeni vièlh dei matematicas qu'a d'aplicacions importantas en causa de son liame amb lo reau. De mai, es la basa d'autrei brancas de l'analisi matematica.

L'analisi complèxa es la branca de l'analisi qu'estúdia leis ensembles de nombres complèxes, especialament lei foncions de variablas complèxas que son derivablas a respècte d'au mens una variabla complèxa. Dins aqueu quadre, se fau nòtar l'importància dei foncions olomòrfas que son de foncions de valors complèxas definidas e derivablas en tot ponch d'un sosensemble dubèrt dau plan complèx ℂ. D'efiech, aquela condicion es pus fòrta que la derivabilitat reala e entraïna lo fach que la foncion es indefinidament derivabla e es egala a proximitat de cada ponch dau dubèrt a la sòma de sa seria de Taylor.

Leis aplicacions de l'analisi complèxa son nombrosas en causa de l'interès dei nombres complèxes dins lei calculs tecnics. Au nivèu matematic, mena a la definicion dei superficias de Riemann e a la geometria complèxa.

L'analisi foncionala es la branca de l'analisi qu'estúdia leis espacis de foncions. L'origina dau tèrme « foncionala » tròba son origina dins lo calcul dei variacions, dins l'estudi dei transformacions (transformacion de Fourier...) e dins l'estudi deis eqüacions diferencialas. A d'aplicacions nombrosas en causa de l'usatge massiu dei foncions dins lei domenis tecnics e scientifics. Lo succès pus importanta de la disciplina es probable sa demonstracion de l'estabilitat de l'atòm d'idrogèn.

L'analisi armonica es la branca de l'analisi qu'estúdia la representacion dei foncions ò dei sinhaus coma superposicion d'ondas de basa dichas « armonicas ». Es una extension e una generalizacion dei nocions de seguida e de transformada de Fourier. A d'aplicacions variadas en tractament dei sinhaus, en mecanica quantica ò en neurosciénciass e es considerada coma un aspècte major de l'engenhariá electronica modèrna.

Leis eqüacions diferencialas son d'eqüacions que seis inconegudas son de foncions e que se presenta coma una relacion entre aquelei foncions e sei derivadas successivas. N'existís dos tipes diferents :

• leis eqüacions diferencialas ordinàrias son constituïdas de foncions que despendon d'una meteissa variabla.
• leis eqüacions diferencialas de derivadas parcialas pòdon despendre de plusors variablas independentas.

Leis eqüacions diferencialas an un ròtle major dins lei sciéncias e lei tecnicas modèrnas car fòrça fenomèns pòdon èsser modelizats per una eqüacion d'aqueu tipe.

L'analisi numerica es la branca de l'analisi qu'estúdia la mesa en plaça e l'utilizacion de metòdes permetent de resòuvre, per lo mejan de calculs numerics, de problemas d'analisi matematica. Per aquò, s'interèssa fòrça ais algoritmes que permèton de calcular de problemas continüs gràcias a de calculs de ponchs. Uei, es donc una branca aplicada que se situa a l'interfàcia entre lei matematicas e l'informatica.

L'analisi vectoriala es la branca de l'analisi qu'estúdia lei camps d'escalars e de vectors pron regulars deis espacis euclidians, es a dire leis aplicacions diferenciablas d'un ensemble dubèrt d'un espaci euclidian E que sei valors se situan respectivament dins ${\displaystyle \mathbb {R} }$ e dins E. Per lei matematicians, l'analisi vectoriala es considerada coma una branca de la geometria diferenciala, domeni qu'inclutz d'otís pus poderós per analizar lei camps de vectors. Pasmens, l'analisi vectoriala es sovent classada coma una branca distinta en causa de son importància en fisica e dins lei sciéncias de l'engenhaire.