Harmonisk gjennomsnitt

Det harmoniske gjennomsnittet av to tall er definert ved at forholdet mellom det største tallet minus gjennomsnittet og gjennomsnittet minus det minste tallet, skal være lik forholdet mellom det største og minste tallet. Hvis det største tallet er a og det minste er b, så følger herav den matematematiske definisjonen av det harmoniske gjennomsnittet c fra ligningen

${\displaystyle {a-c \over c-b}={a \over b}}$

Denne tilsvarer den mer eksplisitte definsjonen

${\displaystyle {2 \over c}={1 \over a}+{1 \over b}}$

av det samme gjennomsnittet. Alternativt kan man finne det fra det ekvivalente uttrykket c = 2ab/(a + b). For eksempel, så er 4 det harmoniske gjennomsnitt av 3 og 6. I den harmoniske rekken 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... er hvert ledd 1/n det harmoniske gjennomsnittet av de to naboleddene 1/(n + 1)  og 1/(n - 1). Dette har gitt rekken sitt harmoniske navn.

Den harmoniske middelverdien ble benyttet sammen med de tilsvarende aritmetiske og geometriske middelverdier allerede av Pythagoras og skolen rundt ham i forbindelse med deres studier av geometri og musikk.

Det harmoniske gjennomsnittet H  av n  tall x₁, x₂, ..., x_n er definert ved

${\displaystyle {n \over H}={1 \over x_{1}}+{1 \over x_{2}}+\cdots +{1 \over x_{n}}}$

som også kan skrives som

${\displaystyle {H}={n \over {1 \over x_{1}}+{1 \over x_{2}}+\cdots +{1 \over x_{n}}}}$

For eksempel, så er det harmoniske gjennomsnittet av 2, 6 i 12

${\displaystyle {H}={3 \over {1 \over 2}+{1 \over 6}+{1 \over 12}}={3\cdot 12 \over 9}=4.}$

En bil kjører en strekning s  med en hastighet v₁  og tilbake samme vei med en annen hastighet v₂ . Hele turen frem og tilbake har da tatt en tid t = s/v₁ + s/v₂. Siden den i alt har tilbakelagt en strekning 2s, vil gjennomsnittshastigheten på hele strekningen bli v = 2s/t. Dette kan nå skrives som

${\displaystyle {2 \over v}={1 \over v_{1}}+{1 \over v_{2}}}$.

slik at gjennomsnittsfarten er gitt ved den harmoniske middelverdien av de to hastighetene til og fra. For eksempel, hvis v₁  = 60 km/h og v₂  = 120 km/h, så er ikke gjennomsnittshastigheten den aritmetiske middelverdien (v₁  + v₂)/2 = 90 km/h, men derimot den harmoniske middelverdien v  = 80 km/h.

De forskjellige middelverdier av to størrelser a  og b  er ikke uavhengige av hverandre. Da den aritmetiske middelverdien er A = (a + b)/2  og den geometriske middelverdien er G = √(ab), så følger det at G² = AH  hvor H = 2ab/(a + b)  er den harmoniske middelverdien.

Dette kan benyttes til å gi en geometrisk fremstilling av de relative størrelsesforholdene mellom disse forskjellige middelverdiene. Man konstruerer en halvsirkel med diameter a + b  som vist i figuren. Da er radius lik det aritmetiske gjennomsnittet A. Det geometriske gjennomsnittet G  er da gitt ved den røde linjen i figuren. Det følger fra definisjonen G² = ab og elementær trigonometri. På samme måte følger det også fra G² = AH  at det harmoniske gjennomsnittet H  er gitt ved den brune linjen da A  er radius i sirkelen.

Fra figuren følger det også at den grønne linjen har en lengde Q  gitt ved Pythagoras' setning ved ligningen

${\displaystyle Q^{2}=A^{2}+{\Big (}{a-b \over 2}{\Big )}^{2}={1 \over 2}{\big (}a^{2}+b^{2}{\big )}}$

Derfor er Q  det kvadratiske gjennomsnittet av størrelsene a  og b. Det er det største av alle gjennomsnittene,

${\displaystyle Q\geq A\geq G\geq H,}$

noe som kan leses direkte ut av figuren. Man kan vise at disse relative størrelsesforholdene også er gyldige når de forskjellige gjennomsnittene omhandler mer enn to variable som i det geometriske eksemplet her.

• Gjennomsnitt
• Aritmetisk gjennomsnitt
• Geometrisk gjennomsnitt
• Kvadratisk gjennomsnitt
• Vektet gjennomsnitt
• Effektivverdi
• Median

• Wolfram MathWorld, Harmonic Mean.