Kovarians

Samvariasjon eller kovarians er et mål på den lineære avhengigheten mellom to varierende størrelser.^[1]

Teoretisk kovarians er et mål på den underliggende lineære avhengigheten mellom to stokastiske variabler. Kovariansen mellom ${\displaystyle X}$ og ${\displaystyle Y}$ noteres ofte som ${\displaystyle \sigma _{XY}}$. For to stokastiske variabler ${\displaystyle X}$ og ${\displaystyle Y}$ er kovariansen definert som

${\displaystyle \operatorname {Cov} [X,Y]=E[(X-E[X])(Y-E[Y])]}$

der ${\displaystyle E[\cdot ]}$ er forventning.

Empirisk kovarians er et estimat av teoretisk kovarians. En estimator for den empiriske kovariansen er

${\displaystyle {\widehat {\operatorname {Cov} }}[X,Y]={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}}_{n})(y_{i}-{\bar {y}}_{n})}$

der ${\displaystyle {\bar {x}}_{n}}$ er gjennomsnittet av ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ og ${\displaystyle {\bar {y}}_{n}}$ er gjennomsnittet av ${\displaystyle y_{1},y_{2},\dots ,y_{n}}$.

Kovariansen er avhengig av måleskalaen, slik at om skalaen endres vil kovariansen endres. Derfor er korrelasjon, som ikke er avhengig av skala, et godt alternativ til å måle lineær avhengighet.

For vilkårlige konstanter ${\displaystyle a}$ og ${\displaystyle b}$ og stokastiske variabler ${\displaystyle X}$ og ${\displaystyle Y}$ gjelder

1. ${\displaystyle \operatorname {Cov} [X,Y]=E[XY]-E[X]E[Y]}$
2. ${\displaystyle \operatorname {Cov} [aX+b,cY+d]=ac\,\operatorname {Cov} [X,Y]}$

• Kovarians