Grassmann-algebra

Grassmann-algebra eller ytre algebra er definert i et lineært vektorrom over en gitt tallkropp som inneholder et enhetselement. Algebraen er utstyrt med et antisymmetrisk produkt som betegnes med symbolet ∧ og kalles et ytre produkt, alternativt hakeprodukt eller helst kileprodukt som blir mest brukt. Det kombinerer to vektorer u og v til produktet u ∧ v = - v ∧ u som kalles en 2-vektor eller bivektor. Den er null hvis vektorene er like. Produktet er også distributivt slik at u ∧ (v + w) = u ∧ v + u ∧ w.

Kileproduktet er assosiativt slik at man kan multiplisere en bivektor med en ny vektor w med et entydig resultatet

${\displaystyle (\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} )\wedge \mathbf {w} =\mathbf {u} \wedge (\mathbf {v} \wedge \mathbf {w} )=\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \wedge \mathbf {w} }$

som er en 3-vektor, eventuelt trivektor. Ved ombytte av to vektorer skifter produktet fortegn. Hvis to av dem er like, er det derfor null.

Det er lett å tolke slike ytre produkt geometrisk. På samme måte som en bivektor u ∧ v kan identifiseres med et parallellogram med sidekanter u og v, kan en trivektor identifiseres med et parallellepiped. Slik kan man fortsette multiplikasjonen opp til en grense satt av dimensjonen til det underliggende vektorrommet.

Kileproduktet av to vektorer har flere likheter med det vanlige kryssproduktet u × v i vektoranalysen. Kileproduktet er veldefinert i vektorrom av vilkårlig dimensjon, mens kryssproduktet eksisterer bare for vektorer i tre dimensjoner.

Grassmann-algebra har fått sitt navn etter Hermann Grassmann som utviklet den på midten av 1800-tallet som en del av et program for å beskrive geometriske objekter i rom av vilkårlig høye dimensjoner. Algebraen fikk sin viktigste anvendelse på begynnelsen av 1900-tallet da Élie Cartan innførte differensielle former for bruk i differensialgeometrien. Dette var en utvidelse av den vanlige tensoranalysen og er i stor grad uavhengig av et underliggende koordinatsystem.

Siden har dette matematiske apparatet fått flere anvendelser innen teoretisk fysikk, spesielt i forbindelse med gaugetransformasjoner som danner grunnlaget for standardmodellen som beskriver elementærpartiklene. En mulig supersymmetri mellom disse gjør bruk av antikommuterende tall som danner en Grassmann-algebra og omtales som «Grassmann-tall».

I et todimensjonalt, euklidske rom R² med basisvektorer e₁ og e₂, kan man betrakte vektorene u = (a,b) og v = (c,d). Tilsammen definerer de et parallellogram. Da kileproduktet er definert å være antisymmetrisk, vil e₁ ∧ e₂ = - e₂ ∧ e₁ slik at man også har e₁ ∧ e₁ = e₂ ∧ e₂ = 0. Dette gjelder selv om basisvektorene ikke er ortonormerte. Dermed har man generelt at

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {u} }\wedge {\mathbf {v} }&=(a\,{\mathbf {e} }_{1}+b\,{\mathbf {e} }_{2})\wedge (c\,{\mathbf {e} }_{1}+d\,{\mathbf {e} }_{2})\\&=\left(ad-bc\right){\mathbf {e} }_{1}\wedge {\mathbf {e} }_{2}\end{aligned}}}$

Med ortonormerte basisvektorer er ad - bc arealet av parallellogrammet som u og v danner. Dette kan uttrykkes ved determinanten det(u,v). Den basale bivektoren e₁ ∧ e₂ kan da identifiseres med et elementært kvadrat med areal lik 1 og en positiv omdreiningsretning gitt ved høyrehåndsregelen.

I det generelle tilfellet med et skjevvinklet koordinatsystem, vil størrelsen av kileproduktet u ∧ v ta samme form og fremdeles være et utrykk for arealet av det tilsvarende parallellogrammet. Men da vil produktet angi dette målt i forhold til arealet av det elementære parallellogrammet e₁ ∧ e₂. På den måten kan man si at kileproduktet gjør det mulig å angi areal eller volum til geometriske objekt uavhengig av valg av basisvektorer eller koordinatsystem.^[1]

Når de to vektorene u og v befinner seg i det tredimensjonale rommet R³, beskriver bivektoren u ∧ v fremdeles et parallellogram. Men kileproduktet har nå tre komponenter

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} &=(u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2}+u_{3}\mathbf {e} _{3})\wedge (v_{1}\mathbf {e} _{1}+v_{2}\mathbf {e} _{2}+v_{3}\mathbf {e} _{3})\\&=(u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1})\,\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}+(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2})\,\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}+(u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3})\,\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{1}\end{aligned}}}$

Hver av dem angir arealet til projeksjonen av parallellogrammet ned i koordinatflatene definert ved bivektorene e₁ ∧ e₂, e₂ ∧ e₃ og e₃ ∧ e₁. De kan betraktes som basisbivektorer i et nytt, tredimensjonalt vektorrom.^[1]

Med en tredje vektor w i det opprinnelige vektorrommet R³ kan man danne en trivektor u ∧ v ∧ w. Da dette trippelproduktet er antisymmetrisk under ethvert ombytte av to vektorer, vil det bare ha en komponent da e₁ ∧ e₂ ∧ e₃ = - e₁ ∧ e₃ ∧ e₂ = e₂ ∧ e₃ ∧ e₁ og så videre. En direkte utregning gir dermed

${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \wedge \mathbf {w} =(u_{1}v_{2}w_{3}+u_{2}v_{3}w_{1}+u_{3}v_{1}w_{2}-u_{1}v_{3}w_{2}-u_{2}v_{1}w_{3}-u_{3}v_{2}w_{1})\,\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}}$

hvor komponenten kan uttrykkes ved en determinant med komponentene til de tre vektorene som kolonner. Trivektoren kan derfor skrives på den kompakte formen

${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \wedge \mathbf {w} =\det(\mathbf {u} ,\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\,\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}=\mathbf {u} \cdot (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )\,\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}}$

hvor det skalare trippelproduktet u ⋅(v × w) = det(u,v,w) angir volumet til parallellepipedet som disse tre vektorer definerer.

Både 2-vektoren u ∧ v og 3-vektoren u ∧ v ∧ w er eksempler på multivektorer. I det tredimensjonale rommet R³ kan man ikke danne mer sammensatte vektorer en 3-vektorer da kileproduktet av fire eller mer basisvektorer alltid vil være null.

I det generelle tilfellet med vektorer i den n-dimensjonale rommet Rⁿ kan man gjennomføre de samme beregninger helt på samme måte. Bivektoren u ∧ v vil også der representere et parallellogram, men da med n (n -1)/2 komponenter på basisvektorer e_i ∧ e_j = - e_j ∧ e_i hvor nå indeksene i og j går fra 1 til n. Likedan vil trivektoren u ⋅(v × w) kunne identifiseres med et tredimensjonalt parallellepiped, men med et volum som man kun kan beregne komponentene av under projeksjon på basistrivektorene e_i ∧ e_j ∧ e_k. Kun det n-dimensjonale parallellepipedet v₁ ∧ v₂ ∧ ... ∧v_n har et entydig volum gitt ved determinanten det(v₁,v₂, ... v_n). Mens det normale vektorproduktet og det vektorielle trippelproduktet bare eksisterer i tre dimensjoner og der kan identifiseres med de tilsvarende kileproduktene, kan dette anvendes og gis en geometrisk tolkning i rom med vilkårlig høy dimensjon.^[2]

Sitt hovedverk Die Lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik publiserte Hermann Grassmann i 1844. Det inneholdt flere banebrytende, nye idéer i tillegg til det som senere er blitt omtalt som Grassmann-algebra. Den var basert på egenskapene til et vektorrom som i seg selv var nytt på den tiden. I dette rommet som kunne ha et vilkårlig antall dimensjoner, kunne man ved bruk av sin algebra beskrive geometriske forhold som tidligere alltid ble gjort i det tredimensjonale, euklidske rommet. Hans ytre produkt av vektorer viste seg å ha likheter med det produktet som Hamilton hadde oppdaget omtrent på samme tidspunkt ved multiplikasjon av kvaternioner.^[3]

For å demonstrere fordelen med sitt vektorprodukt anvendte Grassmann det året etterpå i beskrivelsen av magnetiske krefter og forenklet dermed Ampères kraftlov. Dette førte til den moderne utgaven av Biot-Savarts lov for det magnetiske feltet skapt av en elektrisk strøm. Men likevel forble hans fundamentale bidrag til matematikken stort sett ignorert av både fysikere og matematikere i årene som fulgte. Grassmann fikk ikke den anerkjennelse som behøvdes for å få en stilling ved et universitet og begynte etterhvert å bevege seg inn i studiet av gamle språk som sanskrit. Her fikk han etter hvert kanskje mer berømmelse og sitt navn knyttet til Grassmanns lov.^[3]

Likevel hadde han ikke gitt opp sine matematiske arbeid. I 1862 publiserte han Die Ausdehnungslehre: Vollständig und in strenger Form bearbeitet som skulle gi en mer pedagogisk fremstilling til sin geometriske algebra. Men den viste seg også i stor grad å bli oversett av hans egen samtid. Først da Élie Cartan på begynnelsen av 1900-tallet begynte å studere Lie-grupper og deres geometriske innhold, fikk Grassmanns oppdagelser gradvis større betydning. De fikk sin naturlige plass da Cartan introduserte fiberbunter som i dag kommer til anvendelse i gaugeteorier i elementærpartikkelfysikken.^[4] I mellomtiden hadde Cartan også vist at egenskaper ved fiberbunter er tett knyttet til krumningstensoren i Riemanns differensialgeometri. Slik har også Grassmanns algebra funnet nye anvendelser i generell relativitetsteori.^[5]

Det antisymmetriske kileproduktet ${\displaystyle \wedge }$ er en spesiell utgave av det direkte produktet ${\displaystyle \otimes }$ eller tensorproduktet som kombinerer flere vektorer til en tensor. For eksempel kan to vektorer u og v multipliseres sammen til å gi tensoren

${\displaystyle \mathbf {T} =\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} =u_{i}v_{j}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}}$

når man bruker Einsteins summekonvensjon og summerer over par med like indekser. Den har komponentene T_ij = u_i v_j  som kan splittes opp som T_ij = A_ij + S_ij  i en antisymmetrisk del

${\displaystyle A_{ij}={1 \over 2}(u_{i}v_{j}-u_{j}v_{i})}$

og en tilsvarende symmetrisk del S_ij = S_ji. De antisymmetriske komponentene utgjør nå en ny tensor

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=A_{ij}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}={1 \over 2}A_{ij}(\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}-\mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {e} _{i})\\&={1 \over 2!}A_{ij}\mathbf {e} _{i}\wedge \mathbf {e} _{j}\end{aligned}}}$

som er en 2-vektor. Her blir kileproduktet mellom to vektorer definert som

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\wedge \mathbf {e} _{j}=\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}-\mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {e} _{i}}$

Ved bruk av tensorproduktet har man derfor at bivektoren ${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} =\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} -\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} \,.}$ Denne konstruksjonen gjelder i vektorrom med vilkårlig høy dimensjon n og tillater konstruksjon av generelle k-vektorer med rang k ≤ n. For eksempel vil en fullstendig antisymmetrisk tensor av tredje rang med komponenter P_ijk  skrives som en 3-vektor

${\displaystyle \mathbf {P} ={1 \over 3!}P_{ijk}\,\mathbf {e} _{i}\wedge \mathbf {e} _{j}\wedge \mathbf {e} _{k}}$

Hvis det underliggende vektorrommet er tredimensjonalt slik at n = 3, er der bare en slik trivektor med basis

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\wedge \mathbf {e} _{j}\wedge \mathbf {e} _{k}=\varepsilon _{ijk}\,\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}}$

når Levi-Civita-symbolet i tre dimensjoner ε_ijk  benyttes. Denne spesielle basisvektoren kan eksplisitt skrives ut som den fullstendig antisymmetriske kombinasjonen av 6 = 3! direkte produkt av formen ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {e} _{k}.}$ Det ytre produktet av tre vektorer er derfor

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \wedge \mathbf {w} &=u_{i}v_{j}w_{k}\,\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {e} _{k}=\varepsilon _{ijk}u_{i}v_{j}w_{k}\,\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\\&=\det(\mathbf {u} ,\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\,\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\end{aligned}}}$

Man kan gå frem på samme måte i rom med høyere dimensjoner. Der vil også det tilsvarende Levi-Civita-symbolet spille en viktig rolle.^[4]

Vektorer som u og v tilhører i det generelle tilfellet det n-dimensjonale vektorrommet Rⁿ med basisvektorer e₁,e₂, ... ,e_n. Ytre produkt som u ∧ v tilhører et nytt vektorrom for 2-vektorer hvor basis består av alle produkt e_i ∧ e_j hvor i ≠ j. Betegnes dette vektorrommet med Λ²(Rⁿ), har det en dimensjon som er

${\displaystyle \dim \Lambda ^{2}\!(\mathbf {R} ^{n})={n \choose 2}={n! \over (n-2)!2!}={1 \over 2}n(n-1)}$

når man benytter notasjonen for binomialkoeffisienten.^[4] Slik kan man fortsette å lage treprodukt av stadig høyere rang. Et produkt av k vektorer tilhører et vektorrom Λ^k(Rⁿ) med basisvektorer av formen e₁ ∧ e₂ ∧...∧ e_k og dimensjon n!/(n - k)!k!. Men det største produktet man kan danne består av n vektorer og utgjør det endimensjonale vektorrommet Λⁿ(Rⁿ).

Ved en direkte summasjon av alle disse vektorrommene fremstår vektorrommet

${\displaystyle \Lambda (\mathbf {R} ^{n})=\Lambda ^{0}\!(\mathbf {R} ^{n})\oplus \Lambda ^{1}\!(\mathbf {R} ^{n})\oplus \Lambda ^{2}\!(\mathbf {R} ^{n})\oplus \dots \oplus \Lambda ^{n}\!(\mathbf {R} ^{n})}$

hvor alle mulige produkt kan fremstilles. Her er Λ¹(Rⁿ) det samme som Rⁿ. Den globale dimensjonen for dette store vektorrommet er

${\displaystyle \dim \Lambda (\mathbf {R} ^{n})=1+{n \choose 1}+{n \choose 2}+\cdots +{n \choose n}=2^{n}}$

som følger fra binomialformelen for (1 + 1)ⁿ. Her er 1 dimensjonen til tallkroppen Λ⁰(Rⁿ) som benyttes for komponentene til multivektorene. Det altomfattende vektorrommet Λ(Rⁿ) danner nå en ytre algebra som er lukket under multiplikasjon. Når n = 3 er dimensjonen til algebraen 1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2³ hvor det andre tretallet er dimensjonen til rommet av bivektorer.^[2]

Et produkt av en p-vektor med en q-vektor vil generelt gi en (p + q)-vektor. Selv om kileproduktet av to vektorer er antikommutativt, vil ikke produktet av to slike multivektorer i allminnelighet være antikommutativt. For eksempel, (u ∧ v)∧ w = - u ∧ w∧ v = w ∧ (u ∧ v) slik at kileproduktet av en 1-vektor med en 2-vektor kommuterer. På samme måte kan man vise at for det generelle produktet mellom en p-vektor P og en q-vektor Q gjelder

${\displaystyle \mathbf {P} \wedge \mathbf {Q} =(-1)^{pq}\mathbf {Q} \wedge \mathbf {P} }$

Er p + q større en dimensjonen n til det underliggende vektorrommet Rⁿ, er dette produktet lik med null.^[1]

Vektorrommene Ω^k(Rⁿ) og Ω^n-k(Rⁿ) har samme dimensjon og derfor like mange basisvektorer selv om disse har forskjellig rang. Det er da mulig å relatere disse entydig til hverandre slik at man kan danne en (n-k)-vektor fra en k-vektor og omvendt. Dette kalles for dualitet og de to multivektorene sies å være duale til hverandre.^[4]

Fra kileproduktet B = u ∧ v eller

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {B} &=u_{i}v_{j}\,\mathbf {e} _{i}\wedge \mathbf {e} _{j}={1 \over 2}(u_{i}v_{j}-u_{j}v_{i})\,\mathbf {e} _{i}\wedge \mathbf {e} _{j}\\&={1 \over 2!}B_{ij}\,\mathbf {e} _{i}\wedge \mathbf {e} _{j}\end{aligned}}}$,

ser man at denne bivektoren har komponenter B_ij = u_iv_j - u_jv_i. I det spesielle tilfellet at det underliggende vektorrommet er R³ med n = 3 dimensjoner og når basisvektorene e₁, e₂ og e₃ er ortonormerte, utgjør disse komponentene resultatet av det ordinære vektorproduktet u × v. Denne vektoren er den duale til 2-formen B og skrives som *B og er en 1-vektor når man definerer transformasjonen ved

${\displaystyle *(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2})=\mathbf {e} _{3},\;\;\;*(\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3})=\mathbf {e} _{1},\;\;\;*(\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{1})=\mathbf {e} _{2}.}$

På den måten blir

${\displaystyle *\mathbf {B} =B_{12}\mathbf {e} _{3}+B_{23}\mathbf {e} _{1}+B_{31}\mathbf {e} _{2}=(u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1})\mathbf {e} _{3}+(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2})\mathbf {e} _{1}+(u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3})\mathbf {e} _{2}}$

som er vektorproduktet av u og v. Komponentene til vektoren finnes direkte fra bruk av Levi-Civita-symbolet som

${\displaystyle (*\mathbf {B} )_{i}={1 \over 2!}\varepsilon _{ijk}B_{jk}}$

I n = 3 dimensjoner har man dermed sammenhengen

${\displaystyle *(\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} )=\mathbf {u} \times \mathbf {v} }$

når man benytter en ortonormal basis. I rom med akkurat denne dimensjonen er den duale av en 2-vektor en 1-vektor som står vinkelrett på planet som bivektoren definerer. Omvendt blir den duale av en 1-vektor en 2-vektor som definerer et plan vinkelrett på vektoren.

For multivektorer mer generelt i Rⁿ med ortonormal basis foretas dualiseringen ved

${\displaystyle *(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \cdots \wedge \mathbf {e} _{k})=\mathbf {e} _{k+1}\wedge \mathbf {e} _{k+2}\wedge \cdots \wedge \mathbf {e} _{n}}$

og tilsvarende for andre, positive permutasjoner av indeksene {1, 2, 3, .. , n}. Det kan leses ut fra verdiene til Levi-Civita-symbolet. Ved bruk av dette er den generelle regel for dualisering gitt ved^[2]

${\displaystyle *(\mathbf {e} _{\mu _{1}}\wedge \mathbf {e} _{\mu _{2}}\wedge \cdots \wedge \mathbf {e} _{\mu _{k}})={1 \over (n-k)!}\varepsilon _{\mu _{1}\mu _{2}\cdots \mu _{k}\mu _{k+1}\cdots \mu _{n}}\mathbf {e} _{\mu _{k+1}}\wedge \cdots \wedge \mathbf {e} _{\mu _{n}}}$

I tillegg har man ${\displaystyle *(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \cdots \wedge \mathbf {e} _{n})=1}$ og ${\displaystyle *1=\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \cdots \wedge \mathbf {e} _{n}}$ når man antar en positiv orientering av vektorene i produktet. Dette representerer volumet av et elementært, n-dimensjonalt parallellepiped i Rⁿ.

En generell k-vektor i dette rommet kan uttrykkes ved sine komponenter som

${\displaystyle \mathbf {K} ={1 \over k!}K_{\mu _{1}\mu _{2}\cdots \mu _{k}}\mathbf {e} _{\mu _{1}}\wedge \mathbf {e} _{\mu _{2}}\wedge \cdots \wedge \mathbf {e} _{\mu _{k}}}$

Den duale av denne multivektoren blir (n-k)-vektoren

${\displaystyle *\mathbf {K} ={1 \over k!}K_{\mu _{1}\mu _{2}\cdots \mu _{k}}\!*\!(\mathbf {e} _{\mu _{1}}\wedge \mathbf {e} _{\mu _{2}}\wedge \cdots \wedge \mathbf {e} _{\mu _{k}})}$

Setter man inn uttrykket for den duale av dette hakeproduktet, kan man skrive resultatet som

${\displaystyle *\mathbf {K} ={1 \over (n-k)!}(*\mathbf {K} )_{\mu _{k+1}\cdots \mu _{n}}\mathbf {e} _{\mu _{k+1}}\wedge \cdots \wedge \mathbf {e} _{\mu _{n}}}$

hvor komponentene til den duale multivektoren er

${\displaystyle (*\mathbf {K} )_{\mu _{k+1}\cdots \mu _{n}}={1 \over k!}\varepsilon _{\mu _{1}\mu _{2}\cdots \mu _{k}\mu _{k+1}\cdots \mu _{n}}K_{\mu _{1}\mu _{2}\cdots \mu _{k}}}$

Hakeproduktet av ${\displaystyle \mathbf {K} }$ med den duale ${\displaystyle *\mathbf {K} }$ har bare en komponent som er langs volumelementet ${\displaystyle *1=\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \cdots \wedge \mathbf {e} _{n}.}$

Dobbelt bruk av denne stjerne-operasjonen på en k-vektor K  i n dimensjoner gir

${\displaystyle *\!*\!\mathbf {K} =(-1)^{k(n-k)}\mathbf {K} }$

som følger fra det foregående.^[4]

For n = 2 dimensjoner er Levi-Civita-symbolet ε₁₂ = - ε₂₁ = 1. Det betyr at når ${\displaystyle *\mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{2}}$, så vil ${\displaystyle *\mathbf {e} _{2}=-\mathbf {e} _{1}}$. Det betyr at den dobbelduale ${\displaystyle *\!*\!\mathbf {e} _{1}=-\mathbf {e} _{1}}$.

Dette betyr at i n = 3 dimensjoner er ${\displaystyle *\mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}}$ og ${\displaystyle *\!*\!\mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{1}}$ og tilsvarende for de to andre basisvektorene. For n = 4 kommer et fortegnsskifte inn. Da er ${\displaystyle *\mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4}}$ slik at ${\displaystyle *\!*\!\mathbf {e} _{1}=-\mathbf {e} _{1}}$ da {2,3,4,1} ikke er en positiv permutasjon av {1,2,3,4}, det vil si ε₂₃₄₁ = - ε₁₂₃₄ = -1. Det samme fortegnsskifte skjer for de andre basisvektorene i overensstemmelse med hva den generelle formelen for dobbeldualisering sier. I det samme rommet er ${\displaystyle *(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2})=\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4}}$ med ${\displaystyle *\!*\!(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2})=*(\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4})=\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}}$ fordi {3,4,1,2} er en positiv permutasjon da ε₃₄₁₂ = ε₃₁₂₄ = ε₁₂₃₄ = 1.

Denne bruk av dualisering kan benyttes i det firedimensjonale Minkowski-rommet ved anvendelser av kovariant elektromagnetisme. Det opptrer da et ekstra fortegn ved dualisering da metrikken i dette rommet har en eller tre negative komponenter.^[5]

I et n-dimensjonalt vektorrom med basisvektorer e₁, e₂, ... ,e_n, kan man alltid konstruere en dual basis e¹, e², ... ,eⁿ  som gir opphav til et indre produkt.^[6] Det er definert slik at

${\displaystyle \mathbf {e} ^{\mu }\cdot \mathbf {e} _{\nu }=\delta _{\;\nu }^{\mu }}$

hvor Kronecker-deltaet på høyre side er en hvis de to indeksene er like, null hvis ikke. Dette kan for eksempel eksplisitt gjennomføres med et skjevvinklet koordinatsystem i et euklidsk rom. En vektor kan dermed uttrykkes ved sine komponenter som v = v^μ e_μ eller v = v_μ e^μ. Det er derfor nødvendig å skille mellom dens kontravariante komponenter v^μ = e^μ⋅v og dens kovariante komponenter v_μ = e_μ⋅v som er vanlig i tensoranalysen.

Hvis vektorrommet i tillegg inneholder en metrikk gitt ved en metriske tensor definert ved indreproduktet g_μν = e_μ⋅e_ν, vil denne forbinde de to komponentene skrevet med indekser oppe eller nede. Det følger fra v_μ = e_μ⋅v = e_μ⋅e_ν v^ν = g_μν v^ν. Likedan kan man heve en indeks slik at v^μ = g^μν v_ν hvor de kontravariante komponentene g^μν av metrikken kan finnes fra betingelsen g_μν g^νλ = δ_μ^λ. Når g_μν skrives som en n × n matrise, er derfor g^μν komponentene i den inverse matrisen.^[7]

Ved å danne kileprodukt i den duale basisen, fremkommer en ny Grassmann-algebra. For å skille den fra den opprinnelige kalles disse multivektorene for former hvorav den enkleste er 1-formen v = v_μ e^μ. Mens 1-vektoren v = v^μ e_μ kan illustreres med en pil, er det naturlig å tenke seg 1-formen v = v_μ e^μ som parallelle flater vinkelrett på denne vektoren da e^μ står vinkelrett på koordinatflaten x^μ = konstant.^[5]

Fra to slike 1-former kan man konstruere en 2-form

${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} =u_{\mu }v_{\nu }\,\mathbf {e} ^{\mu }\wedge \mathbf {e} ^{\nu }={1 \over 2}(u_{\mu }v_{\nu }-u_{\nu }v_{m}u)\,\mathbf {e} ^{\mu }\wedge \mathbf {e} ^{\nu }}$

hvor kileproduktet ${\displaystyle \mathbf {e} ^{\mu }\wedge \mathbf {e} ^{\nu }}$ utgjør basisformene for slike 2-former. En generell p-form

${\displaystyle \mathbf {P} ={1 \over p!}P_{\mu _{1}\mu _{2}\cdots \mu _{p}}\mathbf {e} ^{\mu _{1}}\wedge \mathbf {e} ^{\mu _{2}}\wedge \cdots \wedge \mathbf {e} ^{\mu _{p}}}$

har komponenter som er de kovariante komponentene av en antisymmetrisk tensor. Tilsvarende former kan etableres på vilkårlige mangfoldigheter. Basisformene er opprinnelige differensial som da opptrer som differensialformene e^μ = dx^μ. Disse inngår som en viktig del av moderne differensialgeometri.^[8]

Levi-Civita-symbolet ε_{μ1μ2 ...μn}  er ikke noen vanlig tensor da det under koordinattransformasjoner involverer determinanten g = det(g_μν). Det er derfor naturlig å definere

${\displaystyle e_{\mu _{1}\mu _{2}\dots \mu _{n}}={\sqrt {g}}\,\varepsilon _{\mu _{1}\mu _{2}\dots \mu _{n}}}$

som transformerer som en vanlig tensor.^[5]. Det betyr at man alltid har e_{12 ... n} = √g. Komponentene til den duale av p-formen P kan nå finnes fra

${\displaystyle (*\mathbf {P} )_{\mu _{p+1}\cdots \mu _{n}}={1 \over p!}e_{\mu _{1}\mu _{2}\cdots \mu _{p}\mu _{p+1}\cdots \mu _{n}}P^{\mu _{1}\mu _{2}\cdots \mu _{p}}}$

der de kontravariante komponentene på vanlig måte er gitt som

${\displaystyle P^{\mu _{1}\mu _{2}\cdots \mu _{p}}=g^{\mu _{1}\nu _{1}}g^{\mu _{2}\nu _{2}}\cdots g^{\mu _{p}\nu _{p}}P_{\nu _{1}\nu _{2}\cdots \nu _{p}}}$

Det tilsvarer at dualisering av de basale hakeproduktene nå følger fra

${\displaystyle *(\mathbf {e} ^{\mu _{1}}\wedge \mathbf {e} ^{\mu _{2}}\wedge \cdots \wedge \mathbf {e} ^{\mu _{p}})={1 \over (n-p)!}g^{\mu _{1}\nu _{1}}g^{\mu _{2}\nu _{2}}\cdots g^{\mu _{p}\nu _{p}}e_{\nu _{1}\nu _{2}\cdots \nu _{p}\mu _{p+1}\cdots \mu _{n}}\mathbf {e} ^{\mu _{p+1}}\wedge \cdots \wedge \mathbf {e} ^{\mu _{n}}}$

Bortsett fra de metriske komponentene har dette uttrykket samme form som i det ortogonale tilfellet. Med denne generaliseringen oppfyller fremdeles den duale av en dualisert form at ${\displaystyle *\!*\!\mathbf {P} =(-1)^{p(n-p)}\mathbf {P} .}$ Når vektorrommet er utstyrt med en firedimensjonal Minkowski-metrikk som er diagonal med komponenter (1, -1, -1, -1), vil et ekstra minustegn opptre i denne formelen for dobbeltdualisering sammen med at g må erstattes med -g.^[5]

Denne formalismen er spesielt egnet for Riemanns differensialgeometri som gjelder for krumme flater og rom der den gir en koordinatuavhengig fremstilling og samtidig forenkler mange utregninger. Basisvektorene befinner seg da i et tangentrom som er forskjellig fra sted til sted på mangfoldigheten. Vektorrommet kan derfor bare benyttes lokalt og de tilsvarende basisformene varierer med posisjonen i rommet. De må derfor beskrives som differensielle former som automatisk inneholder de antisymmetriske egenskapene bygget inn i tensorene som beskriver rommets krumning.^[8]

Kvantefeltteori omhandler to klasser av elementærpartikler, nemlig bosoner og fermioner. mens den første klassen kan beskrives ved bruk av reelle eller komplekse tall, må fermioner beskrives av tall som atantikommuterer med hverandre. De skyldes at slike partikler må oppfylle Paulis eksklusjonsprinsipp. For deres matematiske beskrivelse benyttes da Grassmann-tall som danner en Grassmann-algebra.^[9]

I denne sammenhengen ser man bort fra det opprinnelige, geometriske bildet av vektorene e₁, e₂, ... ,e_n som basis i et n-dimensjonalt rom. Mest vanlig er det da å betegne dem med greske bokstaver som θ₁, θ₂, ... ,θ_n. De skal da antikommutere som

${\displaystyle \theta _{i}\theta _{j}=-\theta _{j}\theta _{i}}$

da det her ikke er vanlig å benytte symbolet for hakeproduktet. Den totale algebraen har dermed fremdeles dimensjon 2ⁿ. Mer generelt dropper man noen ganger indeksene og betegner dem som α, β, ... , θ eller andre greske bokstaver.

Dette er nå en slags tall da de og deres produkt kan adderes og multipliseres med hverandre. Man kan da danne polynomer av dem og tenke seg funksjoner av disse størrelsene som antas å ha en Taylor-utvikling. Denne vil da ha bare to ledd hvis funksjonen inneholder bare et slikt tall,

${\displaystyle f(\theta )=a+b\,\theta }$

da θ² = 0. Likedan vil en funksjon av to Grassmann-tall gi fire ledd i en Taylor-utvikling,

${\displaystyle f(\theta _{1},\theta _{2})=a+b\,\theta _{1}+bc\,\theta _{2}+d\,\theta _{1}\theta _{2}}$

Eksponentialfunksjonen av θ har derfor bare to ledd, e^θ = 1 + θ.

For slike funksjoner av Grassmann-tall kan man også benytte derivasjon og integrasjon.^[10] Disse defineres ut fra antagelsene

${\displaystyle {d \over d\theta }\theta =1,\;\;\;{d \over d\theta }1=0}$

hvor operasjonen d /dθ skal virke fra venstre. For en funksjon f(θ,φ) = a + bθ + cφ + dθφ vil da

${\displaystyle {df \over d\theta }=b+d\phi ,\;\;\;{df \over d\phi }=c-d\theta }$

da θφ = - φθ  og d /dφ virker fra venstre.

Ifølge analysens fundamentalteorem skal derivasjon og integrasjon av en funksjon være knyttet sammen med hverandre slik at den ene operasjonen opphever den andre. For funksjoner av Grassmann-tall har man en tilsvarende sammenheng uttrykt ved de to fundamentale integralene

${\displaystyle \int d\theta \,\theta ={d \over d\theta }\theta =1,\;\;\;\int d\theta \,1={d \over d\theta }1=0.}$

Dette er konsistent med at i integralet

${\displaystyle \int d\theta f(\theta )=\int d\theta (a+b\,\theta )=b}$

skal man kunne skifte integrasjonsvariabel θ → θ + φ  uten at det skifter verdi.^[10]

Ved bruk av reelle og komplekse tall er Gauss-integralet ofte av betydning. Det spiller også en sentral rolle kvantefeltteori.^[9] Med Grassmann-tall er det analoge integralet

${\displaystyle \int d\theta \,\exp(-{1 \over 2}a\theta ^{2})=0}$

da θ² = 0. Men når man har to slike tall kan man danne det tilsvarende integralet

${\displaystyle I=\int d\theta \,\exp(-{1 \over 2}\theta ^{T}A\,\theta )}$

der A er en 2×2 matrise og θ^T = (θ₁,θ₂). Skriver man da ut eksponenten θ^TAθ, ser man at bare den antisymmetriske delen av matrisen A vil bidra, det vil si at bare elementene A₁₂ = - A₂₁ vil bidra. Integralet reduseres dermed til

${\displaystyle I=\int d\theta _{1}d\theta _{2}{\big (}1-A_{12}\theta _{1}\theta _{2}{\big )}=A_{12}}$

og kan skrives som

${\displaystyle \int d\theta \,\exp(-{1 \over 2}\theta ^{T}A\,\theta )=(\det A)^{1/2}}$

Dette resultatet kan lett generaliseres til at A er en N ×N matrise hvor N må være et like tall. Det er det grunnleggende integralet som ligger til grunn for all bruk av Grassmann-tall i kvantefeltteori for fermionfelter.^[9]

Hvis man i tillegg antar en supersymmetri blandt elementærpartiklene der fermioner og bosoner kombineres, er den også formulert ved bruk av slike antikommuterende tall. Denne utvidete symmetrien tilsvarer at det firedimensjonale tidrommet har et tilsvarende antall ekstra koordinater som er Grassmann-tall og sammen med de opprinnelige koordinatene beskriver et superrom.^[10]

• E.W. Weisstein, Exterior Algebra, Wolfram MathWorld
• J. Browne, Grassmann algebra, intro for bok med samme navn.