Vektoranalyse

Vektoranalyse er en del av matematikken som omhandler derivasjon og integrasjon av vektorfelt. Denne delen av matematisk analyse kan formuleres ved grunnleggende formler som har de fleste praktiske anvendelser i tre dimensjoner. Dette gjelder særlig innen hydrodynamikk og elektromagnetisme.

Noe av den vanlige vektoranalysen kan benyttes i høyere dimensjoner. Den inngår da som en del av den mer generelle tensoranalysen. En lignende generalisering kan også gjøres ved bruk av differensielle former.

Vektoranalyse har sitt utgangspunkt i oppdagelsen til William Hamilton av kvaternioner på midten av 1800-tallet. Denne matematiske formalismen ble benyttet av James Maxwell et par tiår senere ved utarbeidelsen av teorien for elektromagnetiske felt.

På slutten av århundret innførte Josiah Willard Gibbs den moderne vektoranalysen som Oliver Heaviside gjorde bruk av til å gi Maxwells ligninger den moderne formen de har i dag. Gjennom boken Vector Analysis til en av Gibbs' studenter fikk denne nye formuleringen en internasjonal utbredelse og ble raskt tatt i bruk. I dag er vektoranalytiske metoder og beregninger standard innen matematikk, fysikk og de fleste ingeniørfag.

Ved derivasjon kan man beregne hvordan en funksjon av flere variable F(x₁,x₂,...,x_N) varierer med hensyn til forandringer i disse. Med N variable kan man danne N slike partielle deriverte av funksjonen. Disse kan skrives på den kompakte formen

${\displaystyle \partial _{n}F={\partial F \over \partial x_{n}}(x_{1},x_{2},...,x_{N})}$

for n = 1, 2, ..., N. De utgjør komponentene til en vektor V = (V₁,V₂,...,V_N) hvor V_n = ∂_nF og kalles for gradienten til funksjonen.^[1]

Funksjonen F(x₁,x₂,...,x_N) kan betraktes som et skalart felt på en mangfoldighet eller rom med N dimensjoner hvor hvert punkt er angitt ved koordinatene (x₁,x₂,...,x_N). Gradienten V(x₁,x₂,...,x_N) er da et vektorfelt som står vinkelrett på ekvipotensialflater der funksjonen F(x₁,x₂,...,x_N) = konstant.

I et tredimensjonalt, euklidsk rom hvor punkter angis i et kartesisk koordinatsystem (x, y, z) med basisvektorer e_x, e_y og e_z, kan gradienten av funksjonen F(x, y, z)  uttrykkes ved nabla-operatoren ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}}$ og skrives som

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}F={\partial F \over \partial x}\mathbf {e} _{x}+{\partial F \over \partial y}\mathbf {e} _{y}+{\partial F \over \partial z}\mathbf {e} _{z}}$

Da nabla er en vektoroperator, kan den virke på et vektorfelt A(x, y, z) = A_x e_x + A_y e_y + A_z e_z på to forskjellige måter.^[2] Enten kan den kombineres med dette ved et skalert indreprodukt eller ved et vektorielt kryssprodukt. Den første muligheten gir opphav til divergensen

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {A} ={\partial A_{x} \over \partial x}+{\partial A_{y} \over \partial y}+{\partial A_{z} \over \partial z}}$

av vektorfeltet som er en skalar størrelse. Derimot ved bruk av den andre muligheten basert på vektorproduktet, finner man curl av feltet som er et nytt vektorfelt. Fra definisjonen av kryssproduktet kan denne vektorderivasjonen skrives som

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} &=\left({\frac {\partial A_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {e} _{x}+\left({\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {e} _{y}+\left({\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {e} _{z}\\&=\left|{\begin{matrix}\mathbf {e} _{x}&\mathbf {e} _{y}&\mathbf {e} _{z}\\\partial _{x}&\partial _{y}&\partial _{z}\\A_{x}&A_{y}&A_{z}\end{matrix}}\right|\end{aligned}}}$

Hvis vektoren A er en gradient slik at man kan skrive A = ∇ F, vil curl til vektoren bli null. Da er hver komponent gitt som A_k = ∂_kF slik at den første komponenten til dens curl er (∇ × A)_x = ∂_yA_z - ∂_zA_y = (∂_y∂_z - ∂_z∂_y )F = 0 da rekkefølgene til de partiellderiverte er uten betydning. Dermed er denne komponenten null og på samme måte de andre. Man har da generelt

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\nabla }}F=0}$

Divergensen av en gradient er ikke lik med null, men definerer Laplace-operatoren

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}F=\nabla ^{2}F={\partial ^{2}F \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}F \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}F \over \partial z^{2}}}$

Derimot er divergensen av en curl alltid lik null. Det følger fra identiteten

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} )=0}$

som vises ved å eksplisitt skrive ut divergensen til vektoren som er curl av A. Den består av seks termer som gjensidig kansellerer hverandre.^[2]

Det vektorielle produktet av to vektorer eksisterer bare i rom med tre dimensjoner. Man kan derfor ikke uten videre benytte curl i rom med høyere dimensjoner enn N = 3. Denne begrensningen eksisterer ikke for divergensen av vektorfelt som kan defineres på samme måte som i tre dimensjoner.^[1]

Fra produktregelen for derivasjon følger at gradienten av produktet av to skalare funksjoner er

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}(FG)=F{\boldsymbol {\nabla }}G+G{\boldsymbol {\nabla }}F}$

Samme regel gjør det også mulig å beregne effekten av nabla-operatoren når den virker på produkt av skalere og vektorielle felt. For eksempel er divergensen av produktet mellom skalarfeltet F og vektorfeltet A gitt som

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot (F\mathbf {A} )=F\,{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {A} +\mathbf {A} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}F}$

Likedan kan curl til det samme produktet finnes og er

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times (F\mathbf {A} )=F\,{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} -\mathbf {A} \times {\boldsymbol {\nabla }}F,}$

mens divergensen til et produkt av to vektorfelt blir

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )=({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -\mathbf {A} \cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} )}$

Herav kan utledes tilsvarende uttrykk for mer kompliserte produkt.^[2]

Slike derivasjonsregler er enklest å komme frem til ved å benytte metoder fra den enkleste tensorregning basert på Einsteins summekonvensjon. Den sier at i hvert uttrykk hvor to ulike indekser opptrer, skal man summere over disse. Slike indekser kalles derfor også for «summasjonsindekser».^[3] Notasjonsmessig er det da enklest å la de være tall slik at 1 tilsvarer x₁ = x, 2 tilsvarer x₂ = y og 3 tilsvarer x₃ = z i tre dimensjoner. En vektor med komponentene (V₁,V₂,V₃) kan da skrives som V = V_k e_k = V₁ e₁ + V₂ e₂ + V₃ e₃ når man summerer uttrykket over indeksen k for veridiene 1, 2 og 3. Resultatet er uavhengig av navnet til summasjonsindeksen og kunne like godt være skrevet som V_i e_i eller V_j e_j

Gradienten til den skalare funksjonen F(x,y,z) blir nå ∇F = e_i ∂_iF, mens divergensen til vektorfeltet A(x,y,z) er ∇ ⋅ A = ∂_j A_j. Herav følger for eksempel at

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot (F\mathbf {A} )&=\partial _{i}(FA_{i})=(\partial _{i}F)A_{i}+F(\partial _{i}A_{i})\\&=({\boldsymbol {\nabla }}F)\cdot \mathbf {A} +F\,{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {A} \end{aligned}}}$

ved bruk av den vanlige regelen for derivasjon av et produkt og at indreproduktet til to vektorer A = A_i e_i  og B = B_j e_j  nå er A ⋅ B = A_k B_k.

På samme måte som at kryssproduktet av to vektorer A og B kan uttrykket ved det antisymmetriske Levi-Civita-symbolet som A × B = ε_ijkA_i B_j e_k der ε₁₂₃ = +1, kan curl til et vektorfelt skrives på den kompakte måten

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} =\varepsilon _{ijk}\partial _{i}A_{j}\mathbf {e} _{k}}$

hvor man summerer over tre par med indekser.^[3] For eksempel kan man herav regne ut direkte curl til produktet F A. Det blir

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times (F\mathbf {A} )=\varepsilon _{ijk}\partial _{i}(FA_{j})\mathbf {e} _{k}=\varepsilon _{ijk}(\partial _{i}F)A_{j}\mathbf {e} _{k}+\varepsilon _{ijk}F(\partial _{i}A_{j})\mathbf {e} _{k}}$

Her representerer den første termen vektorproduktet (∇F) × A, mens den andre termen er F (∇ × A) slik at den tidligere formelen er etablert.

For utledningen av bølgeligningen for elektromagnetiske felt behøves formelen

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} )={\boldsymbol {\nabla }}({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {A} )-\nabla ^{2}\mathbf {A} }$

På komponentform følger dette fra

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} )=\varepsilon _{ijk}\partial _{i}({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} )_{j}\mathbf {e} _{k}=\varepsilon _{ijk}\partial _{i}(\varepsilon _{mnj}\partial _{m}A_{n})\mathbf {e} _{k}}$

Her tilfredsstiller Levi-Civita-symbolet identiteten

${\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon _{mnj}=\delta _{in}\delta _{km}-\delta _{im}\delta _{kn}}$

hvor Kronecker-symbolet δ_mn er 1 eller 0 avhengig av om de to indeksene er like eller ulike. Dermed blir

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} )=\mathbf {e} _{k}\partial _{k}({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {A} )-\mathbf {e} _{k}\nabla ^{2}A_{k}}$

som er resultatet. Ved bruk av den samme identiteten for Levi-Civita-symbolet kombinert med produktregelen finner man på samme vis det mer kompliserte resultatet

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )=\mathbf {A} ({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} )-\mathbf {B} ({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {A} )+(\mathbf {B} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {A} -(\mathbf {A} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {B} }$

og andre, lignende resultat.^[4]

Slike formler er her utledet ved bruk av kartesiske koordinater. Men de kan omskrives til å være gyldige også i krumlinjete koordinater ved standard koordinattransformasjoner. Summekonvensjonen til Einstein og de tilsvarende tensormetodene som dermed kan benyttes, gjør da beregningene enda mer oversiktlige.^[2]

Gradienten av en skalar funksjon F(x,y,z)  kan lett integreres langs en kurve C = C(t ). Fra definisjonen av gradienten blir da linjeintegralet av ∇F  langs denne kurven fra punktet p til punktet q dermed

${\displaystyle \int _{p}^{q}\!d\mathbf {r} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}F=\int _{p}^{q}\!dF=F(q)-F(p)}$

Det er gitt ved differansen av funksjonsverdiene i randpunktene til integrasjonsveien. Lignende integrasjonsteorem finnes også når integrasjonsområdet har dimensjon større enn en som det har her.^[1]

Divergensteoremet forbinder integralet av en divergens til vektorfeltet A  over et volum V  med verdien av feltet på overflaten S = ∂V  til volumet. Ved bruk av nabla-operatoren kan det skrives på den kompakte formen som

${\displaystyle \int _{V}\!dV\,{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {A} =\oint _{\!\!\!\partial V}d\mathbf {S} \cdot \mathbf {A} }$

hvor d S  er en vektor som står vinkelrett på flateelementet dS og er rettet ut av volumet. Dette teoremet er knyttet til Carl Friedrich Gauss og går under navnet Gauss' lov i elektrostatikken.^[4]

Ved å uttrykke vektorfeltet A  på forskjellige måter ved skalare felt, kan divergensteoremet benyttes til å utlede ulike former av Greens identitet.

Stokes' teorem gjelder for integralet av curl til vektorfeltet A  over en flate S og har formen

${\displaystyle \int _{S}\!d\mathbf {S} \cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} )=\oint _{\!\!\!\partial S}d\mathbf {r} \cdot \mathbf {A} }$

der linjeintegralet på høyre side er langs kurven C = ∂S som er randen eller omkretsen til flaten S. Det har mange anvendelser i hydrodynamikk og elektromagnetisme der det forbinder Faradays induksjonslov med Maxwells tredje ligning.

Ved bruk av differensielle former kan Stokes' teorem generaliseres til å gjelde i alle dimensjoner. Hvis M er en mangfoldighet av dimensjon n og ω er en differensialform av orden n - 1, så har man generelt at

${\displaystyle \int _{M}\mathrm {d} \omega =\int _{\partial M}\omega }$

hvor operasjonen d står for den ytre deriverte av en slik form og ∂M  er randen til mangfoldigheten M. Divergensteoremet i tre dimensjoner er også en konsekvens av denne generelle formuleringen av Stokes' teorem.^[5]

I det spesielle tilfellet med integrasjon over en curl av et vektorfelt i to dimensjoner, med komponenter P(x,y) og Q(x,y) forenkles Stokes' teorem slik at det kan skrives på formen

${\displaystyle \int _{S}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\,dxdy=\int _{\partial S}(P\,dx+Q\,dy)}$

Det omtales da vanligvis som Greens teorem. Det kan også utledes fra divergensteoremet på lignende måte.^[3]

• J. Willard Gibbs, Vector Analysis, Charles Scribner, New York (1901).