근계

리 군 이론에서, 근계(根系, 영어: root system)는 일련의 기하학적 성질을 만족하는 유한 차원 벡터의 집합이다. 근계의 원소인 벡터는 근(根, 영어: root)이라고 부른다. 주어진 근계에 대하여 특정 성질을 만족하는 부분집합인 단순근(單純根, 영어: simple root)의 집합을 고를 수 있고, 이를 딘킨 도표(영어: Dynkin diagram)로 나타내어 분류할 수 있다. 반단순 리 군에 근계를 대응시킬 수 있으며, 이를 통해 반단순 리 군들을 분류할 수 있다.

모든 근계는 기약 근계(旣約根系, 영어: irreducible root system)의 합으로 나타낼 수 있다. 기약 근계(의 동형류)는 복소수체 위의 단순 리 대수(의 동형류)와 일대일로 대응한다.

유한 차원 실수 내적 공간 ${\displaystyle (V,(\cdot ,\cdot ))}$ 속의 부분 집합 ${\displaystyle \Phi \subseteq V}$가 다음 다섯 조건들을 모두 만족시킨다면, 근계라고 한다.

• (선형 생성) ${\displaystyle V=\operatorname {Span} _{\mathbb {R} }\Phi }$. 즉, ${\displaystyle V}$의 모든 원소는 ${\displaystyle \Phi }$의 원소들의 선형 결합으로 나타낼 수 있다. (이는 유일하지 않을 수 있다.)
• (스칼라배의 제한) ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$라면, ${\displaystyle -\alpha \in \Phi }$이고, 그 밖의 다른 스칼라배 ${\displaystyle t\Phi }$ (${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$)는 ${\displaystyle \Phi }$의 원소가 아니다.
• (반사에 대한 닫힘) 임의의 ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Phi }$에 대하여, ${\displaystyle \alpha }$에 대하여 수직인 초평면에 대한 ${\displaystyle \beta }$의 반사${\displaystyle \beta -2\alpha (\alpha ,\beta )/(\alpha ,\alpha )}$도 ${\displaystyle \Phi }$의 원소다. 즉, 근들은 다른 근에 대한 반사에 대하여 닫혀 있다.
• (정수성) ${\displaystyle 0\not \in \Phi }$이며, ${\displaystyle \forall \alpha ,\beta \in \Phi \colon 2(\alpha ,\beta )/(\alpha ,\alpha )\in \mathbb {Z} }$
• 유한 집합이다.

근계의 원소는 근이라고 부른다. 근계의 계수(階數, 영어: rank)는 ${\displaystyle V}$의 차원이다.

두 실수 내적 공간 ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle V'}$ 및 그 속의 근계 ${\displaystyle \Phi \subseteq V}$, ${\displaystyle \Phi '\subseteq V'}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle f(\Phi )=\Phi '}$가 되는 전단사 실수 선형 변환 ${\displaystyle f\colon V\to V'}$이 존재하며, 또한

${\displaystyle {\frac {(f(\alpha ),f(\beta ))_{V'}}{(f(\alpha ),f(\alpha ))_{V'}}}={\frac {(\alpha ,\beta )_{V}}{(\alpha ,\alpha )_{V}}}\qquad \forall \alpha ,\beta \in \Phi }$

라면, ${\displaystyle (V,\Phi )}$와 ${\displaystyle (V',\Phi ')}$를 서로 동형이라고 한다.

특히, 동형이 등거리 변환일 필요는 없다. 예를 들어, 항등 함수 ${\displaystyle (V,(-,-))\to (V,2(-,-))}$ 역시 허용된다. 이 때문에, 통상적으로, 근계에서 가장 긴 근의 노름을 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$로 놓는다. (이에 따라, 더 짧은 근의 노름은 ${\displaystyle 1}$ 또는 ${\displaystyle {\sqrt {2/3}}}$이다.)

통상적으로, 다음과 같은 표기를 사용한다.

${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle ={\frac {2(\alpha ,\beta )}{(\alpha ,\alpha )}}}$

(이는 물론 쌍선형 형식을 이루지 못한다.)

근계 ${\displaystyle \Phi }$의 양근의 집합(陽根의 集合, 영어: set of positive roots) ${\displaystyle \Phi ^{+}\subset \Phi }$는 다음을 만족하는 부분집합이다.

• 임의의 ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$에 대하여, ${\displaystyle \alpha \in \Phi ^{+}}$이거나 ${\displaystyle -\alpha \in \Phi ^{+}}$이지만, ${\displaystyle \{\alpha ,-\alpha \}\subset \Phi ^{+}}$는 아니다.
• ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Phi ^{+}}$이고, ${\displaystyle \alpha +\beta \in \Phi }$이면 ${\displaystyle \alpha +\beta \in \Phi ^{+}}$이다.

양근의 집합의 원소를 양근(陽根, 영어: positive root)이라고 한다. 양근의 집합 ${\displaystyle \Phi ^{+}\subseteq \Phi }$이 주어졌을 때, 격자

${\displaystyle \{v\in V\colon \forall \alpha \in \Phi \colon \alpha ^{\vee }(v)\in \mathbb {Z} \}}$

위에 다음과 같은 부분 순서를 줄 수 있다.

${\displaystyle u\leq v\iff \forall \alpha \in \Phi ^{+}\colon \alpha ^{\vee }(v-u)\geq 0}$

이 구성은 리 대수의 표현론에 등장하며, 이 경우 위의 격자는 정수 무게의 격자에 해당한다.

어떤 양근의 집합이 주어졌을 때, 단순근(單純根, 영어: simple root)은 두 양근의 합으로 나타낼 수 없는 근이다. 단순근들의 집합은 ${\displaystyle V}$의 기저를 이룬다.

근계 ${\displaystyle \Phi }$와 그 위의 순서를 매긴 단순근의 열 ${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{r}}$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이에 대응하는 카르탕 행렬(영어: Cartan matrix) ${\displaystyle M}$은 다음과 같은 ${\displaystyle r\times r}$ 정사각 행렬이다.

${\displaystyle M=(M_{ij})_{i,j=1,\dots ,r}}$

${\displaystyle M_{ij}=2{\frac {(\alpha _{i},\alpha _{j})}{(\alpha _{i},\alpha _{i})}}}$

정의에 따라, 카르탕 행렬의 대각선 성분의 값은 모두 2이다.

카르탕 행렬이 주어지면, 이에 대응하는 근계 (및 복소수 반단순 리 대수)를 재구성할 수 있다.

각 근계 ${\displaystyle (V,\Phi )}$에 대하여, 딘킨 도표(Дынкин圖表, 영어: Dynkin diagram)라는, 일종의 유향 그래프를 대응시킬 수 있다. 우선, 임의로 ${\displaystyle (V,\Phi )}$의 양근의 집합 ${\displaystyle \Phi ^{+}\subseteq \Phi }$를 고르자.

• 딘킨 도표는 각 단순근에 대응하는 꼭짓점을 갖는다.
• 두 꼭짓점 사이에는 0개, 1개, 2개, 또는 3개의 변(邊)이 존재할 수 있다. 변이 2개 또는 3개인 경우, 변은 방향을 가지며, 이 방향은 항상 더 짧은 단순근을 가리킨다. (이 경우 두 단순근의 길이는 항상 다르다.)
• 두 꼭짓점 사이의 변의 수는 두 단순근 사이의 각도에 대응하며, 다음 표를 따른다.

근 사이 각 (라디안)	근 사이 각 (°)	변의 종류
${\displaystyle \pi /2}$	90°	변 없음
${\displaystyle 2\pi /3}$	120°	하나의 변
${\displaystyle 3\pi /4}$	135°	두 개의 변 + 화살표
${\displaystyle 5\pi /6}$	150°	세 개의 변 + 화살표

딘킨 도표는 단순근의 선택에 관계없이 동일하다.

기약 근계의 딘킨 도표는 연결되어 있다. 딘킨 도표의 연결 성분 분해는 근계의 (기약 근계들로의) 직합 분해와 같다.

근계의 정수성은 두 근 사이의 각들을 제한한다. 정수성 공리에 따라, 두 근 사이의 각의 코사인은 정수의 제곱근의 반이어야 한다.

${\displaystyle \mathbb {Z} \ni 2{\frac {(\alpha ,\beta )}{(\alpha ,\alpha )}}\cdot 2{\frac {(\alpha ,\beta )}{(\beta ,\beta )}}=4{\frac {(\alpha ,\beta )^{2}}{\vert \alpha \vert ^{2}\vert \beta \vert ^{2}}}=4\cos ^{2}(\theta )=(2\cos(\theta ))^{2}.}$

${\displaystyle 2\cos(\theta )\in [-2,2]}$이므로,

${\displaystyle \cos \theta =0,\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {\sqrt {2}}{2}},\pm {\tfrac {\sqrt {3}}{2}},\pm 1}$

이다. 즉, ${\displaystyle \theta }$는 90°, 60° 또는 120°, 45° 또는 135°, 30° 또는 150°, 0° 또는 180°이다.

근계 ${\displaystyle (V,\Phi )}$ 및 임의의 실수 ${\displaystyle t\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}$ 및 임의의 직교 행렬 ${\displaystyle M\in \operatorname {O} (V;\mathbb {R} )}$에 대하여, ${\displaystyle (V,tM\Phi )}$ 역시 근계를 이루며, 이는 원래 근계 ${\displaystyle (V,\Phi )}$와 동형이다.

두 근계 ${\displaystyle (V,\Phi )}$, ${\displaystyle (V',\Phi ')}$가 주어졌을 때, 그 직합 ${\displaystyle \Phi \oplus \Phi '}$은 다음과 같은 근계이다.

${\displaystyle \Phi \oplus \Phi '=\iota (\Phi )\cup \iota '(\Phi ')}$

${\displaystyle V{\xrightarrow {\iota }}V\oplus V'{\xleftarrow {\iota '}}V'}$

여기서 ${\displaystyle \iota }$와 ${\displaystyle \iota '}$은 직합의 정의에 등장하는 표준 포함 사상이다.

기약 근계(旣約根系, 영어: irreducible root system)는 두 (자명하지 않은) 근계의 합이 아닌, 자명하지 않은 근계다. 모든 근계는 기약 근계의 합으로 유일하게 나타낼 수 있다.

기약 근계의 근은 모두 길이가 같거나, 길이가 두 가지가 있다. 길이가 두 가지가 있을 경우는 긴 것은 긴 근(영어: long root), 짧은 것은 짧은 근(영어: short root)으로 분류한다. (만약 길이가 모두 같다면, 모든 근이 긴 근이다.) 이 경우, 긴 근과 짧은 근의 노름의 비는 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$이다. (통상적으로, 긴 근의 노름은 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$로, 짧은 근의 노름은 (만약 존재한다면) ${\displaystyle 1}$로 잡는다.)

근계 ${\displaystyle (V,\Phi )}$의 쌍대 근계(雙對根系, 영어: dual root system)는 다음과 같다.

• ${\displaystyle V^{\vee }}$는 ${\displaystyle V}$의 (대수적) 쌍대 공간이다. 물론, 내적을 사용하여 표준적인 동형 사상 ${\displaystyle V\to V^{\vee }}$이 존재한다.
• ${\displaystyle \Phi ^{\vee }=\{\alpha ^{\vee }\colon \alpha \in \Phi \}}$
• 임의의 ${\displaystyle u,v\in V}$에 대하여, ${\displaystyle u^{\vee }\in V^{*}}$, ${\displaystyle u^{\vee }(v)=\langle u,v\rangle =2(u,v)/(u,u)}$

그렇다면 ${\displaystyle (V^{\vee },\Phi ^{\vee })}$ 역시 근계를 이룬다.

임의의 근계 ${\displaystyle (V,\Phi )}$는 그 이중 쌍대 근계 ${\displaystyle (V^{\vee \vee },\Phi ^{\vee \vee })}$와 표준적으로 동형이다.

단순 근계 가운데, ${\displaystyle B_{n}}$의 쌍대 근계는 ${\displaystyle C_{n}}$이다. 다른 단순 근계들(${\displaystyle A_{n}}$, ${\displaystyle D_{n}}$, ${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}}$)은 스스로의 쌍대 근계이다.

기약 근계는 다음과 같이 분류한다. 고전 근계(영어: classical root system)는 네 개의 족 ${\displaystyle A_{n}}$, ${\displaystyle B_{n}}$, ${\displaystyle C_{n}}$, ${\displaystyle D_{n}}$으로 나뉘고, 나머지로 다섯 개의 예외 근계(영어: exceptional root system) ${\displaystyle G_{2},F_{4},E_{6},E_{7},E_{8}}$이 있다. 그 아래첨자는 근계의 계수다. 고전 근계는 고전군(직교군, 특수 유니터리 군, 심플렉틱 군)의 리 대수(의 복소화)의 근계이나, 예외 근계는 그렇지 않다. 아래 표에서는 관례를 따라 긴 근의 길이가 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$가 되도록 정규화하였다.^[1]

근계	근의 수	짧은 근 수	긴 근 부분격자의 지표	카르탕 행렬식	바일 군의 크기	콕서터 수 ${\displaystyle h}$	이중 콕서터 수 ${\displaystyle h^{\vee }}$	딘킨 도표	콕서터 라벨[2]:43	이중 콕서터 라벨[2]:43
An (n ≥ 1)	n(n + 1)			n + 1	(n + 1)!	${\displaystyle n+1}$		${\displaystyle \bullet -\bullet -\cdots -\bullet }$	${\displaystyle 1-1-\cdots -1}$
Bn (n ≥ 2)	2n2	2n	2	2	2n n!	${\displaystyle 2n}$	${\displaystyle 2n-1}$	${\displaystyle \bullet -\bullet -\cdots -\bullet \Rightarrow \bullet }$	${\displaystyle 1-2-\cdots -2\Rightarrow 2}$	${\displaystyle 1-2-\cdots -2\Rightarrow 1}$
Cn (n ≥ 3)	2n2	2n(n − 1)	2	2	2n n!	${\displaystyle 2n}$	${\displaystyle n+1}$	${\displaystyle \bullet -\bullet -\cdots -\bullet \Leftarrow \bullet }$	${\displaystyle 2-2-\cdots -2\Leftarrow 1}$	${\displaystyle 1-1-\cdots -1\Leftarrow 1}$
Dn (n ≥ 4)	2n(n − 1)			4	2n − 1 n!	${\displaystyle 2n-2}$		${\displaystyle \bullet -\bullet -\cdots -\bullet <{\bullet \atop \bullet }}$	${\displaystyle 1-2-\cdots -2<{1 \atop 1}}$
E6	72			3	27×34×5	12		${\displaystyle {\bullet -\bullet \atop \bullet -\bullet }>\bullet -\bullet }$	${\displaystyle {1-2 \atop 1-2}>3-2}$
E7	126			2	210×34×5×7	18		${\displaystyle {\bullet \atop {}}{- \atop {}}{\bullet \atop \bullet }>\bullet -\bullet -\bullet -\bullet }$	${\displaystyle {2 \atop {}}{- \atop {}}{3 \atop 2}>4-3-2-1}$
E8	240			1	214×35×52×7	30		${\displaystyle {\bullet \atop {}}{- \atop {}}{\bullet \atop \bullet }>\bullet -\bullet -\bullet -\bullet -\bullet }$	${\displaystyle {2 \atop {}}{- \atop {}}{4 \atop 3}>6-5-4-3-2}$
F4	48	24	4	1	27×32	12	9	${\displaystyle \bullet -\bullet \Rightarrow \bullet -\bullet }$	${\displaystyle 2-3\Rightarrow 4-2}$	${\displaystyle 2-3\Rightarrow 2-1}$
G2	12	6	3	1	22×3	6	4	${\displaystyle \bullet \Rrightarrow \bullet }$	${\displaystyle 2\Rrightarrow 3}$	${\displaystyle 2\Rrightarrow 1}$

${\displaystyle A_{n}}$형 근계의 단순근은 다음과 같다. (편의상 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$의 원소로 표기하였다.)

${\displaystyle \alpha ^{1}=(1,-1,0,\dots ,0,0)}$

${\displaystyle \alpha ^{2}=(0,1,-1,\dots ,0,0)}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle \alpha ^{n}=(0,0,\dots ,1,-1)}$

${\displaystyle B_{n}}$형 근계의 단순근은 다음과 같다.

${\displaystyle \alpha ^{1}=(1,-1,0,\dots ,0,0)}$

${\displaystyle \alpha ^{2}=(0,1,-1,\dots ,0,0)}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle \alpha ^{n-1}=(0,0,\dots ,1,-1)}$

${\displaystyle \alpha ^{n}=(0,0,\dots ,0,1)}$

${\displaystyle C_{n}}$형 근계의 단순근은 다음과 같다.

${\displaystyle \alpha ^{1}=(1,-1,0,\dots ,0,0)}$

${\displaystyle \alpha ^{2}=(0,1,-1,\dots ,0,0)}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle \alpha ^{n-1}=(0,0,\dots ,1,-1)}$

${\displaystyle \alpha ^{n}=(0,0,\dots ,0,2)}$

${\displaystyle D_{n}}$형 근계의 단순근은 다음과 같다.

${\displaystyle \alpha ^{1}=(1,-1,0,\dots ,0,0)}$

${\displaystyle \alpha ^{2}=(0,1,-1,\dots ,0,0)}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle \alpha ^{n-1}=(0,0,\dots ,1,-1)}$

${\displaystyle \alpha ^{n}=(0,0,\dots ,1,1)}$

예외적 기약 근계는 E₆, E₇, E₈, F₄, G₂ 총 5개가 있다. 이들의 단순근들은 다음과 같다.

E₈

1	-1	0	0	0	0	0	0
0	1	-1	0	0	0	0	0
0	0	1	-1	0	0	0	0
0	0	0	1	-1	0	0	0
0	0	0	0	1	-1	0	0
0	0	0	0	0	1	-1	0
0	0	0	0	0	1	1	0
-½	-½	-½	-½	-½	-½	-½	-½

F₄

1	-1	0	0
0	1	-1	0
0	0	1	0
-½	-½	-½	-½

G₂

${\displaystyle {\sqrt {2/3}}}$	0
${\displaystyle -{\sqrt {3/2}}}$	${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$

0차원 근계는 (자명하게) 하나 밖에 없다.

1차원 근계는 하나 밖에 없으며, ${\displaystyle \{-{\sqrt {2}},{\sqrt {2}}\}\subset \mathbb {R} }$이다.

2차원 근계는 총 4개가 있으며, 이들 가운데 3개는 기약 근계이다. (아래 표에서, ${\displaystyle B_{2}}$와 ${\displaystyle C_{2}}$는 서로 동형이며, ${\displaystyle A_{1}\times A_{1}}$과 ${\displaystyle D_{2}}$ 역시 서로 동형이다.)

${\displaystyle A_{1}\times A_{1}}$	${\displaystyle A_{2}}$	${\displaystyle B_{2}}$
${\displaystyle C_{2}}$	${\displaystyle D_{2}}$	${\displaystyle G_{2}}$

3차원 기약 근계는 세 가지가 있으며, 이들은 정육면체·정팔면체의 모양을 가진다.

복소수체 위의 반단순 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ 및 그 카르탕 부분 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}}$가 주어졌다고 하자. ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$는 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 킬링 형식을 통해 자연스럽게 유한 차원 실수 내적 공간을 이룬다.

그렇다면, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 딸림표현에 대응하는 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$-무게들

${\displaystyle \Phi =\{\alpha \in {\mathfrak {h}}^{\vee }\colon {\mathfrak {g}}_{\alpha }\neq 0\}\subseteq {\mathfrak {h}}^{\vee }}$

을 생각하자. 그렇다면, ${\displaystyle ({\mathfrak {h}}^{\vee },\Phi )}$는 근계를 이룬다. 또한, 다음이 성립한다.

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 단순 리 대수들로의 직합 분해는 ${\displaystyle ({\mathfrak {h}}^{\vee },\Phi )}$의 기약 근계들로의 직합 분해와 대응한다.
• 특히, 단순 리 대수에 대응하는 근계는 기약 근계이다.
• 두 반단순 리 대수가 서로 동형일 필요 충분 조건은 그 대응하는 근계가 서로 동형인 것이다.

근계의 이론은 복소수 반단순 리 대수의 표현론에서 비롯하였다. 각 반단순 리 대수에는 근계를 대응시킬 수 있으며, 단순 리 대수에 대응되는 근계는 기약 근계이다.

카르탕 행렬의 개념은 엘리 카르탕이 도입하였다. 딘킨 도표의 개념은 예브게니 딘킨이 도입하였다.

• Dynkin, E. B. The structure of semi-simple algebras. Uspehi Matem. Nauk (N.S.) 2, (1947). no. 4(20), 59–127.

• “Root system”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Dynkin diagram”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Root system”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Dynkin diagram”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• 이철희. “루트 시스템 (root system)과 딘킨 다이어그램 (Dynkin diagram)”. 《수학노트》. 
• McKay, John (2001년 1월 1일). “A Rapid Introduction to ADE Theory” (영어). 
• Proctor, R. A. (1993년 12월). “Two amusing Dynkin diagram graph classifications”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 100 (10): 937–941. doi:10.2307/2324217. ISSN 0002-9890. JSTOR 2324217. 

• 무게 (표현론)
• 콕서터 군