리 군

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대수 구조
군 관련 범주  · 마그마  · 반군  · 모노이드  · 준군  · 아벨 군  · 위상군  · 리 군
환 관련 유사환  · 가환환  · 정역  · 데데킨트 정역  · 유일 인수 분해 정역  · 주 아이디얼 정역  · 유클리드 정역  · 위상환
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가군 관련 아벨 군 · 자유 가군 · 사영 가군 · 평탄 가군 · 벡터 공간
대수 관련 등급환 · 교대 대수 · 결합 대수 · 리 대수 · 요르단 대수 · 호프 대수 · 양자군
격자 관련 반격자 · 모듈러 격자 · 분배 격자 · 완비 격자 · 헤이팅 대수 · 불 대수
v t e

리 군(Lie群, 영어: Lie group)은 매끄러운 다양체인 위상군이다. 즉 군의 연산이 매끄러움 구조에 따라 매끄러운 경우다. 소푸스 리의 이름을 땄다. 연속적인 대칭을 나타내기 위하여 쓰인다.

위상군 ${\displaystyle G}$에 매끄러운 다양체의 구조가 갖추어지고, 또한 군의 곱셈과 역원

${\displaystyle \cdot \colon G\times G\to G}$

${\displaystyle ^{-1}\colon G\to G}$

역시 매끄러운 함수라고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle G}$를 리 군이라고 한다. (사실, 힐베르트의 5번째 문제(영어: Hilbert’s Fifth Problem)의 해에 따라 다양체 · 매끄러운 다양체 · 해석다양체를 구분할 필요가 없다.) 범주론적으로, 이를 매끄러운 다양체의 범주에서의 군 대상으로 정의할 수도 있다. 리 군의 사상(영어: morphism)은 매끄러운 함수인 군 준동형이다.

짝수 차원 리 군 ${\displaystyle G}$에 복소다양체의 구조가 갖추어지고, 또한 군의 곱셈과 역원

${\displaystyle \cdot \colon G\times G\to G}$

${\displaystyle ^{-1}\colon G\to G}$

이 정칙 함수라고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle G}$를 복소수 리 군(영어: complex Lie group)이라고 한다. 복소수 리 군의 사상(영어: morphism)은 정칙 함수인 군 준동형이다.

리 군 G의 유한 차원 실수 또는 복소수 벡터 공간 V 위에서의 표현(表現, 영어: representation)은 매끄러운 군 준동형 ${\displaystyle G\to \operatorname {GL} (V)}$이다. 힐베르트 공간 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 위의 표현일 경우, 대개 가역 유계 작용소의 군 ${\displaystyle B({\mathcal {H}})}$으로 가는 매끄러운 준동형 ${\displaystyle G\to B({\mathcal {H}})}$로 정의한다.

반단순 리 군의 유한 차원 표현은 기약 표현의 직합으로 나타내어진다.

리 군은 다음과 같은 방법들로 구성 할 수 있다. 즉, 주어진 리 군들에 대해 다음 목록에 나오는 연산을 한 결과도 리 군이다.

• 유한 개의 리 군의 곱공간은 리 군을 이룬다. (무한 개의 리 군의 곱공간은 무한 차원이므로, 매끄러운 다양체의 정의에 속하지 않는다.)
• (카르탕 닫힌 부분군 정리 영어: Cartan’s closed subgroup theorem) 리 군의 (위상적으로) 닫힌 부분군의 부분 공간 위상은 매끄러운 다양체이며, 따라서 이에 국한하면 리 군을 이룬다.^[1]:§26
• 리 군의 닫힌 정규 부분군에 대한 몫군은 리 군이다.
• 리 군의 범피복 공간은 자연스러운 리 군의 구조를 갖춘다. (범피복 공간이 아닌 다른 피복 공간에서는 군 구조가 매끄럽지 않을 수 있다.)

국소적으로 유클리드 공간과 위상동형인 위상군은 항상 하우스도르프 공간이다.^{[2]:9, Exercise 1.1.6} 따라서, 파라콤팩트 조건만을 추가하면 자동적으로 다양체를 이룬다.

힐베르트의 5번째 문제(영어: Hilbert’s Fifth Problem)의 해에 따르면, 임의의 국소적으로 유클리드 공간과 위상동형인 파라콤팩트 위상군에 대하여, 이와 위상동형이자 군으로서 동형인 리 군이 존재한다.^{[2]:9, Theorem 1.1.13} 또한, 이러한 리 군은 유일하다.^{[2]:38, Corollary 1.2.23} 즉, 리 군을 정의할 때, 다양체와 매끄러운 다양체를 굳이 구분할 필요가 없다.

또한, 리 군의 경우, 항상 해석다양체(추이 사상이 항상 해석함수인 매끄러운 다양체)로 만들 수 있으며, 그 군 연산 또한 해석함수가 되게 할 수 있다.^{[2]:45, Exercise 1.2.21}

두 리 군 사이의 연속 군 준동형은 항상 매끄러운 함수이자 해석함수이다.^{[2]:45, Exercise 1.2.21}

연결 공간이 아닌 리 군 ${\displaystyle G}$는 다음과 같이 이산군과 연결 리 군으로 분해할 수 있다. ${\displaystyle G_{0}}$을 단위원을 포함하는 최대 연결 부분군이라고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle G/G_{0}}$은 이산군이다. 다시 말해, 모든 리 군은 연결 리 군의 이산군에 대한 확대이다. 모든 연결 리 군은 또한 (범피복군을 취하여) 단일 연결 리 군 ${\displaystyle {\tilde {G}}}$의 몫군 ${\displaystyle G_{0}={\tilde {G}}/N}$ (여기서 ${\displaystyle N}$은 이산 중심 정규 부분군)으로 나타내어진다. 따라서 리 군의 분류는 단일 연결 리 군의 분류로 귀결된다.

(유한 차원) 단일 연결 리 군은 그 리 대수로 완전히 결정된다. 리 대수는 그 가해 부분 대수와 단순 부분 대수로 분해된다. 단순 리 군은 분류가 완료되었으나, 가해 리 군의 분류는 매우 어렵다.

• 2×2 실수 가역 행렬은 GL(2, R) 또는 GL ₂ ( R )로 표시되는 곱셈 군을 형성한다.

${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbf {R} )=\left\{A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:\,\det A=ad-bc\neq 0\right\}.}$이것은 4차원 비콤팩트 실수 리 군이다. 이는 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$의 열린 부분집합이다. 이 군은 연결공간이 아니다. 행렬식의 양수 값과 음수 값에 해당하는 두 개의 연결 성분이 있다.

• 회전 행렬은 SO(2, R) GL(2, R), R )의 부분 군을 형성한다. 이는 그 자체로 리 군이다. 구체적으로 말하면 원과 형태가 다른 1 차원 콤팩트 연결 리 군이다. 회전 각도 사용 ${\displaystyle \varphi }$ 매개변수로서 이 군은 다음과 같이 매개변수화 될 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {SO} (2,\mathbf {R} )=\left\{{\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}:\,\varphi \in \mathbf {R} /2\pi \mathbf {Z} \right\}.}$각도의 덧셈은 SO(2, R) 원소의 곱셈에 해당하고, 반대 각도를 취하는 것은 반전에 해당한다. 따라서 곱셈과 역산은 모두 미분 가능한 사상이다.

• 1차원의 아핀 군은 2차원 행렬 리 군으로 구성된다. ${\displaystyle 2\times 2}$ 실수 상부 삼각 행렬. 첫 번째 대각선 항목은 양수이고 두 번째 대각선 항목은 1이다. 따라서 군은 다음 형식의 행렬로 구성된다.

${\displaystyle A=\left({\begin{array}{cc}a&b\\0&1\end{array}}\right),\quad a>0,\,b\in \mathbb {R} .}$

이제 특정 위상에서 리 군이 아닌 셀 수 없이 많은 원소를 가진 군의 예를 제시한다. 고정된 무리수 ${\displaystyle a\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$에 대해,

${\displaystyle H=\left\{\left({\begin{matrix}e^{2\pi i\theta }&0\\0&e^{2\pi ia\theta }\end{matrix}}\right):\,\theta \in \mathbb {R} \right\}\subset \mathbb {T} ^{2}=\left\{\left({\begin{matrix}e^{2\pi i\theta }&0\\0&e^{2\pi i\phi }\end{matrix}}\right):\,\theta ,\phi \in \mathbb {R} \right\},}$

는 원환면 ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$의 부분 군이다. ${\displaystyle H}$에 부분 공간 위상이 주어지면 이는 리 군이 아니다.^[3]예를 들어 ${\displaystyle h\in H}$의 어떤 작은 이웃 ${\displaystyle U}$을 취한다면, ${\displaystyle U}$에 안에 있는 부분은 연결 공간이 아니다. 군 ${\displaystyle H}$는 나선의 이전 점에 도달하지 못한 채 원환체 주위를 반복적으로 감아서 ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$의 조밀 부분 군을 형성한다.

그러나 군 ${\displaystyle H}$에 대해 두 점 ${\displaystyle h_{1},h_{2}\in H}$ 사이의 거리가 ${\displaystyle h_{1}}$와 ${\displaystyle h_{2}}$를 연결하는 군 ${\displaystyle H}$ 안의 최단 경로의 길이로 정의되는 다른 위상이 주어질 수 있다. 이 위상에서는 ${\displaystyle H}$는 각 원소를 ${\displaystyle H}$의 정의에서 실수 ${\displaystyle \theta }$로 식별하여 실수 직선과 위상동형이 된다. 이 위상을 사용하면 ${\displaystyle H}$는 단지 실수 덧셈 군이므로 리 군이다.

위의 군 ${\displaystyle H}$는 리 군의 닫힌 집합이 아닌" 리 부분 군"의 예이다.

${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$는 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 성분 ${\displaystyle n\times n}$ 가역 행렬들의 군을 나타낸다. ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$의 임의의 닫힌 부분 군은 리 군이다.^[4] 이러한 종류의 리 군을 행렬 리 군이라고 한다. 리 군의 흥미로운 사례 대부분은 행렬 리 군으로 표현될 수 있기 때문에 홀, ^[5] 로스만,^[6] 및 스틸웰의 교재들을 포함하여 일부 교과서에서는 관심을 행렬 리 군으로 제한한다.^[7] 행렬 리 군에 주의를 제한하면 리 대수와 지수 사상의 정의가 단순화된다. 다음은 행렬 리 군의 표준 예이다.

• ${\displaystyle \mathbb {R} }$과 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 위의 특수 선형 군은 각각 ${\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {R} )}$과 ${\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {C} )}$이다. 이들은 행렬식이 1인 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 또는 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 성분 ${\displaystyle n\times n}$ 행렬들이 이루는 군이다.
• 유니터리 군 ${\displaystyle {\text{U}}(n)}$은 ${\displaystyle U^{*}=U^{-1}}$이 성립하는 ${\displaystyle n\times n}$ 복소 행렬들이 이루는 군이고 특수 유니터리 군 ${\displaystyle {\text{SU}}(n)}$은 ${\displaystyle {\text{U}}(n)}$의 원소들 중에 ${\displaystyle \det(U)=1}$이 성립하는 행렬들이 이루는 군이다.
• 직교군 ${\displaystyle {\text{O}}(n)}$은 ${\displaystyle R^{\mathrm {T} }=R^{-1}}$이 성립하는 ${\displaystyle n\times n}$ 실수 행렬들이 이루는 군이고 특수 직교군 ${\displaystyle {\text{SO}}(n)}$은 ${\displaystyle {\text{O}}(n)}$의 원소들 중 ${\displaystyle \det(R)=1}$인 행렬들이 이루는 군이다.

앞의 모든 예는 고전 군이라고 부른다.

1차원 연결 리 군은 실수 직선 덧셈군 ${\displaystyle \mathbb {R} }$과 원군 ${\displaystyle S^{1}}$ 절대값 1인 복소수 곱셈군 밖에 없다. ${\displaystyle S^{1}}$군은 종종 ${\displaystyle 1\times 1}$ 유니터리 행렬군 ${\displaystyle U(1)}$과 같이 표시된다.

2차원에서 단일 연결 군은 리 대수로 분류된다. 2차원의 리 대수는 두 개뿐이다. 관련 단일 연결 리 군은 덧셈 군 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$과 1차원 아핀 군이다. 이전 절의 "첫 번째 예"에서 설명했다.

• 군 SU(2)은 행렬식이 ${\displaystyle 1}$인 ${\displaystyle 2\times 2}$ 유니터리 행렬들의 군이다. 위상적으로, ${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$은 ${\displaystyle 3}$-구 ${\displaystyle S^{3}}$이다; 군으로서 단위 사원수 군으로 식별될 수 있다.
• 하이젠베르크 군은 ${\displaystyle 3}$차원 연결 멱영 리 군이다. 양자 역학에서 핵심적인 역할을 한다.
• 로런츠 군은 민코프스키 공간의 선형 등거리 사상들이 이루는 6차원 리 군이다.
• 푸앵카레 군은 민코프스키 공간의 아핀 등거리사상들이 이루는 10차원 리 군이다.
• G ₂, F ₄, E ₆, E ₇, E ₈ 유형의 예외적인 리 군은 각각 14, 52, 78, 133, 248 차원이다. 단순 리 군의 ABCD 열과 함께 예외 군은 단순 리 군 목록을 완성한다.
• 심플렉틱 군 ${\displaystyle {\text{Sp}}(2n,\mathbb {R} )}$은 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ 위의 심플렉틱 형식을 보존하는 ${\displaystyle 2n\times 2n}$ 행렬들이 이루는 ${\displaystyle 2n^{2}+n}$ 차원 연결 리 군이다.

모든 리 군에 기본 선형 공간이 항등원에서 리 군의 접공간이고 리 군의 국소 구조를 완전히 포착하는 리 대수를 연관시킬 수 있다. 대략적으로 리 대수의 원소를 항등원에 "무한히 가까운" 군의 원소로 생각할 수 있으며, 리 대수의 리 괄호는 그러한 두 무한소 원소들의 교환자와 관련된다. 추상적 정의를 제시하기 전에 몇 가지 예를 제시한다.

• 선형 공간 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$의 리 대수는 다음과 같이 주어진 리 괄호 $${\displaystyle [u,v]:=0}$$가 주어진 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$이다 (일반적으로 연결 리 군의 리 괄호가 0임과 리 군이 아벨군임이 동치이다.)
• 복소 가역 행렬들이 이루는 일반 선형 군

${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$의 리 대수는 리 괄호가 다음과 같이 주어진 정사각 행렬의 벡터 공간 ${\displaystyle {\text{M}}(n,\mathbb {C} )}$이다.$${\displaystyle [A,B]:=AB-BA}$$

• ${\displaystyle G}$가 ${\textstyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$의 닫힌 부분 군인 경우 ${\displaystyle G}$의 리 대수는 대략적으로 ${\displaystyle 1+\varepsilon m\in G}$인 ${\textstyle {\text{M}}(n,\mathbb {C} )}$의 행렬 ${\displaystyle m}$으로 볼 수 있다. 여기서 ${\displaystyle \varepsilon }$은 ${\textstyle \varepsilon ^{2}=0}$인 무한소 양수이다.(물론 그러한 실수 ${\displaystyle \varepsilon }$은 존재하지 않는다). 예를 들어, 직교 군 ${\textstyle \operatorname {O} (n,\mathbb {C} )}$은 ${\textstyle AA^{T}=1}$인 행렬들로 구성되므로 리 대수는 ${\textstyle (1+\varepsilon m)(1+\varepsilon m)^{T}=1}$인 행렬 ${\displaystyle m}$으로 구성된다. ${\textstyle \varepsilon ^{2}=0}$이므로, 이는 ${\textstyle m+m^{T}=0}$과 동일하다.
• 앞의 설명은 다음과 같이 더욱 엄밀해질 수 있다. ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$의 닫힌 부분군 ${\displaystyle G}$의 리 대수는 다음과 같이 계산될 수 있다.$${\displaystyle \operatorname {Lie} (G)=\{X\in M(n;\mathbb {C} )|\operatorname {exp} (tX)\in G{\text{ for all }}t{\text{ in }}\mathbb {\mathbb {R} } \}}$$^{[8] [5]}여기서 exp(tX)는 행렬 지수 함수를 사용하여 정의된다. 그러면 ${\displaystyle G}$의 리 대수는 대괄호 연산 ${\textstyle [X,Y]=XY-YX}$하에서 닫혀 있는 실수 선형 공간이라는 것을 알 수 있다.^[9]

행렬 군에 대해 위에 제공된 구체적인 정의는 다루기 쉬우나 몇 가지 사소한 문제가 있다. 이를 사용하려면 먼저 리 군을 행렬 군으로 표현해야 하지만 모든 리 군이 이런 방식으로 표현될 수는 없다. 더욱이 리 대수는 표현에 독립적인지 조차 분명하지 않다.^[10] 이러한 문제를 해결하기 위해 리 군의 리 대수에 대한 일반적인 정의를 제공한다.

1. 임의의 매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$의 벡터장은 다양체의 매끄러운 함수 환의 미분 ${\displaystyle X}$로 볼 수 있으므로, 리 괄호 ${\textstyle [X,Y]:=XY-YX}$에 대해 리 대수이다. 왜냐하면 두 미분의 리 괄호도 미분이기 때문이다.
2. ${\displaystyle G}$가 다양체 ${\displaystyle M}$에서 매끄럽게 작용하는 군인 경우 이는 벡터장에 작용하고 군에 의해 고정된 벡터장들의 선형 공간은 리 괄호 연산에 대해 닫혀 있으므로 리 대수를 형성한다.
3. 다양체 ${\displaystyle M}$이 리 군 ${\displaystyle G}$의 기본 공간인 경우에, 왼쪽 곱 ${\textstyle L_{g}(h)=gh}$으로 ${\displaystyle G}$가 ${\textstyle G=M}$에 작용하는 구성을 한다. 이때 왼쪽 곱은 매끄러운 사상이다. 이는 왼쪽 불변 벡터장(${\textstyle (L_{g})_{*}(X_{h})=X_{gh}\quad \forall h\in G}$를 만족하는 벡터장. 여기서 L_g*는 L_g에서 정의된 밂을 나타냄)의 공간은 리 군에서 벡터장의 리 괄호가 주어진 리 대수임을 보여준다.
4. 리 군의 항등원에 접한 임의의 접벡터는 접벡터를 다양체의 다른 점으로 왼쪽으로 변환함으로써 왼쪽 불변 벡터장으로 확장될 수 있다. 구체적으로, 항등식에서 접공간의 원소 v의 왼쪽 불변 확장은 v^_g = L_g*v 로 정의되는 벡터장이다. 이는 항등원의 접공간 T_eG를 왼쪽 불변 벡터 체의 공간으로 식별하고 따라서 항등식의 접공간을 일반적으로 Fraktur로 표시되는 ${\displaystyle G}$의 리 대수라고 불리는 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$로 만든다. 리 괄호는 [v , w] = [v^, w^]_e.

이 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$는 유한 차원이며 다양체 ${\displaystyle G}$와 동일한 차원을 갖는다. ${\displaystyle G}$의 리 대수는 ${\displaystyle G}$를 "국소 동형"을 기준으로 결정한다. 여기서 두 리 군은 항등원 근처에서 동일하게 보이는 경우 국소적 동형이라고 한다. 리 군에 대한 문제는 먼저 리 대수에 대한 해당 문제를 해결함으로써 해결되는 경우가 많으며, 군에 대한 결과는 일반적으로 쉽게 유도된다. 예를 들어 단순 리 군은 일반적으로 해당 리 대수를 먼저 분류하여 분류된다.

왼쪽 불변 벡터장 대신 오른쪽 불변 벡터장을 사용하여 T_e 에 대한 리 대수 구조를 정의할 수도 있다. 이것은 동일한 리 대수로 이어진다. 왜냐하면 G 역 사상은 오른쪽 불변 벡터장과 왼쪽 불변 벡터장 동일시 하는 데 사용될 수 있고 접공간 T_e 에서 −1에 해당하기 때문이다.

T_e의 리 대수 구조는 다음과 같이 설명 될 수 있다. G × G에서 교환자 연산 (x, y) → xyx ^{− 1} y ^{− 1}

은 (e , e)를 e로 보낸다. 그래서 미분은 T_eG 위에서 쌍선형 연산을 생성한다. 이 쌍선형 연산은 실제로 영 사상이지만 접공간의 적절한 식별 하에서 2차 도함수는 리 괄호의 공리를 충족하는 연산을 생성하며 이는 왼쪽 불변 벡터장을 통해 정의된 것의 두 배와 같다.

리 군의 이론은 노르웨이의 수학자 소푸스 리가 1873년 경에 미분 방정식의 대칭성을 연구하기 위하여 "변환군"(독일어: Transformationsgruppe 트란스포르마치온스그루페^[*])이라는 이름으로 도입하였다.^{[11][12][13][14][15][16]} 그러나 리의 논문들은 (처음 하나를 제외하고) 모두 독일 저널이 아닌 노르웨이 저널에 출판되었기 때문에, 수학계에서 별다른 관심을 받지 못하였다. 1884년에 젊은 독일 수학자 프리드리히 엥겔(독일어: Friedrich Engel)이 리의 이론에 관심을 갖게 되었다. 리와 엥겔은 리 이론에 대한 총 3권의 책 《변환군론》(독일어: Theorie der Transformationsgruppen)을 1888년~1893년에 독일어로 출판하였고,^[17][18][19] 이후 리 이론은 수학에서 중요한 위치를 차지하게 되었다.

1888년~1890년 동안 빌헬름 킬링은 리 군과 리 대수의 개념을 독자적으로 재발견하였고, 반단순 리 군의 구조론을 제창하였다.^{[20][21][22][23]} 1893년에 리의 제자 아르튀르 트레스(프랑스어: Arthur Tresse)는 "리 군"(프랑스어: groupe de Lie)이라는 용어를 최초로 사용하였다.^[24]:3 엘리 카르탕은 1894년 박사 학위 논문에서 킬링의 구조론을 개량·정리하였다.^[25] 카르탕은 1930년에 카르탕 닫힌 부분군 정리를 증명하였다.^[1]:§26

헤르만 바일은 반단순 리 군의 기약 표현들을 무게로서 분류하였고, 이에 대한 바일 지표 공식을 증명하였으며, 이를 양자역학에 응용하였다. 그 뒤 클로드 슈발레와 하리시찬드라 역시 리 군의 이론에 큰 공헌을 하였고, 이는 이후 로버트 랭글랜즈의 랭글랜즈 프로그램으로 이어졌다.

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리 군

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• 아벨 군
• 리 대수
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• 위상군

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