Criteri di divisibilità

In aritmetica, i criteri di divisibilità sono degli algoritmi utilizzati per determinare la divisibilità di un numero intero per un certo fattore, senza la necessità di eseguire una divisione esplicita.

Questi criteri si basano su una serie di operazioni eseguite sulle cifre che compongono il numero. Tali operazioni dovrebbero essere sufficientemente semplici da potersi fare a mente o comunque essere più veloci rispetto alla divisione.

Poiché i criteri di divisibilità operano direttamente sulle cifre del numero, la loro applicabilità dipende dalla base in cui il numero è espresso. In pratica, si considerano solamente i criteri per i numeri espressi in base 10. Quando un criterio si riferisce alle "ultime cifre", si intende sempre quelle posizionate più a destra.

Alcuni criteri si limitano a dare un risultato sì/no, mentre altri permettono anche di determinare il resto della divisione, poiché calcolano il modulo, e il numero dato è divisibile se e solo se tale resto è 0. Può essere necessaria una lieve modifica rispetto alla loro formulazione tradizionale. Ad esempio, il criterio di divisibilità per 2 può essere espresso nella forma: il resto della divisione di un numero ${\displaystyle n}$ per 2 è uguale al resto della divisione dell'ultima cifra di ${\displaystyle n}$ per 2 (quindi ${\displaystyle n}$ è divisibile per 2 se e solo se tale resto è 0).

Inoltre, vale la regola generale secondo cui, se un numero ${\displaystyle n}$ è divisibile per ${\displaystyle m,}$ allora ${\displaystyle n}$ è divisibile anche per ogni divisore di ${\displaystyle m.}$ Viceversa, se ${\displaystyle n}$ è divisibile per ${\displaystyle m_{1}}$, ${\displaystyle m_{2},\ldots ,m_{l}}$, allora ${\displaystyle n}$ è divisibile anche per il minimo comune multiplo di ${\displaystyle m_{1}}$, ${\displaystyle m_{2},\ldots ,m_{l}}$. Ad esempio, un numero è divisibile per 6 se e solo se è divisibile sia per 2 sia per 3. Usando questa regola, se la fattorizzazione di ${\displaystyle m}$ in primi distinti è ${\displaystyle m=p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\cdots p_{l}^{e_{l}}}$, allora un numero è divisibile per ${\displaystyle m}$ se e solo se è divisibile per ognuno dei fattori ${\displaystyle p_{1}^{e_{1}},p_{2}^{e_{2}},\cdots ,p_{l}^{e_{l}}}$. È quindi sufficiente considerare i criteri di divisibilità per i numeri primi e per le potenze di primi. Ad esempio, poiché ${\displaystyle 792=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 11}$, un numero è divisibile per 792 se e solo se è divisibile per 8, per 9 e per 11.

Nessun numero è divisibile per 0.

Tutti i numeri sono divisibili per 1.

Un numero è divisibile per 2 se e solo se è pari, ovvero se la sua ultima cifra è 0, 2, 4, 6 oppure 8.

• Dimostrazione: si consideri un numero ${\displaystyle N}$; le sue cifre decimali sono i coefficienti a_i che compaiono nella somma:

${\displaystyle N=a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+a_{3}10^{3}+\cdots +a_{k}10^{k}}$

i termini ${\displaystyle a_{i}10^{i}}$ sono tutti divisibili per 2 se ${\displaystyle i>0}$, quindi se ${\displaystyle N}$ è divisibile per 2 lo è anche:

${\displaystyle N-(a_{1}10+a_{2}10^{2}+a_{3}10^{3}+\cdots +a_{k}10^{k})}$

cioè ${\displaystyle a_{0}}$, che quindi è 0, 2, 4, 6 o 8.

Viceversa se ${\displaystyle a_{0}}$ è 0, 2, 4, 6 o 8, una volta che lo sommiamo al numero:

${\displaystyle (a_{1}10+a_{2}10^{2}+a_{3}10^{3}+\cdots +a_{k}10^{k})}$

che è anch'esso divisibile per 2, otteniamo ancora un multiplo di 2, dunque ${\displaystyle N}$ sarà divisibile per 2.

Esempio: 26 è divisibile per 2 perché finisce con 6.

Vedi anche divisione per due.

La divisibilità o meno per 2, divide i numeri interi in due categorie: i numeri pari, che sono divisibili per 2, e i numeri dispari, che non lo sono.

Più in generale, un numero è divisibile per ${\displaystyle 2^{k}}$ se lo è il numero costituito dalle ${\displaystyle k}$ cifre più a destra del numero.

• Dimostrazione: si rappresenti un qualunque numero naturale ${\displaystyle n}$ nella forma ${\displaystyle n=m_{k}10^{k}+n_{k}}$ dove ${\displaystyle n_{k}}$ indica il numero costituito dalle prime k cifre di destra ed ${\displaystyle m_{k}}$ il numero costituito dalle rimanenti cifre alla sinistra di ${\displaystyle n_{k}}$. Se si dividono entrambi i membri per ${\displaystyle 2^{k}}$ risulta, poiché ${\displaystyle m_{k}{\frac {10^{k}}{2^{k}}}=m_{k}5^{k}}$ è un numero intero, che la divisibilità di ${\displaystyle n}$ per ${\displaystyle 2^{k}}$ dipende solo dalla divisibilità di ${\displaystyle {\frac {n_{k}}{2^{k}}}}$.

Un numero è divisibile per 3 se la somma di tutte le sue cifre è pari a 3 o ad un suo multiplo (6, 9); nel caso in cui tale somma sia un numero maggiore di 9, se ne sommano nuovamente le cifre e si verifica che quest'ultimo risultato sia divisibile per 3.

Esempio: per verificare se 493827 è divisibile per 3, sommando le cifre che compongono il numero (4+9+3+8+2+7), si ottiene 33, che è maggiore di 9, quindi si sommano le cifre di 33 (3+3), ottenendo 6: poiché 6 è un multiplo intero di 3, il numero di partenza è divisibile per 3.

Altro esempio: per verificare se 32565 è divisibile per 3, basta eseguire la somma: 3+2+5+6+5 = 21, che è maggiore di 9, e sommando nuovamente le sue cifre si ha 2+1 = 3; dato che 3 è divisibile per 3, allora anche 32565 lo è.

• Dimostrazione: si consideri un numero ${\displaystyle N,}$; le sue cifre decimali sono i coefficienti ${\displaystyle a_{i}}$ che compaiono nella somma:

${\displaystyle N=a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+a_{3}10^{3}+\cdots +a_{k}10^{k}}$.

Supponiamo che la somma

${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{k}}$

sia divisibile per 3; questo si può tradurre in aritmetica modulare dicendo che:

${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{k}\equiv 0{\pmod {3}}}$

ovvero:

${\displaystyle a_{0}\equiv -(a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{k}){\pmod {3}}}$.

Sostituendo in ${\displaystyle N}$ si ha:

${\displaystyle N\equiv -(a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{k})+a_{1}10+a_{2}10^{2}+a_{3}10^{3}+\cdots +a_{k}10^{k}\equiv 9a_{1}+99a_{2}+\cdots +(10^{k}-1)a_{k}\;\;,}$

che risulta essere un multiplo di 3.

Un numero è divisibile per 4 se le ultime due cifre sono due zeri oppure formano un numero multiplo di 4, oppure se le ultime due cifre sono tali che la penultima è dispari e l'ultima è 2 oppure 6, oppure la sua penultima cifra è pari e l'ultima è 0, 4 oppure 8.

• Dimostrazione: sia un numero ${\displaystyle N;}$ le sue cifre decimali sono i coefficienti ${\displaystyle a_{i}}$ che compaiono nella somma:

${\displaystyle N=a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+a_{3}10^{3}+\cdots +a_{k}10^{k}}$.

Se il numero finisce per 00 è divisibile per 100, che a sua volta è divisibile per 4.

Supponiamo che le ultime due cifre

${\displaystyle a_{0}+a_{1}10}$

formino un multiplo di 4; in ogni caso anche le cifre rimanenti:

${\displaystyle a_{2}10^{2}+a_{3}10^{3}+\cdots +a_{k}10^{k}}$

formeranno un multiplo di 4 (in quanto formano un multiplo di 100) quindi anche la loro somma, cioè ${\displaystyle N,}$ è multiplo di 4.

Esempio: 424 è divisibile per 4 perché le ultime 2 cifre sono 2 e 4, che formano 24, che è multiplo di 4.

Un numero è divisibile per 5 se la sua ultima cifra è 0 oppure 5.

• Dimostrazione: si consideri un numero ${\displaystyle N;}$ le sue cifre decimali sono i coefficienti ${\displaystyle a_{i}}$ che compaiono nella somma:

${\displaystyle N=a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+a_{3}10^{3}+\cdots +a_{k}10^{k}}$

i termini ${\displaystyle a_{i}10^{i}}$ sono tutti divisibili per 5 se ${\displaystyle i>0,}$ quindi se ${\displaystyle N}$ è divisibile per 5 lo è anche:

${\displaystyle N-(a_{1}10+a_{2}10^{2}+a_{3}10^{3}+\cdots +a_{k}10^{k})}$

cioè ${\displaystyle a_{0}}$, che quindi è 0 o 5.

Viceversa se ${\displaystyle a_{0}}$ è 0 o 5 una volta che lo si somma al numero:

${\displaystyle (a_{1}10+a_{2}10^{2}+a_{3}10^{3}+\cdots +a_{k}10^{k})\;\;,}$

che è anch'esso divisibile per 5, si ottiene ancora un multiplo di 5, dunque ${\displaystyle N}$ sarà divisibile per 5.

Esempio: 565 è divisibile per 5 perché finisce con 5.

Similmente al caso con le potenze di 2, un numero è divisibile per ${\displaystyle 5^{k}}$ se lo è il numero formato dalle ${\displaystyle k}$ cifre più a destra del numero.

Analizzeremo di seguito tre differenti criteri di divisibilità per questo caso, con il primo caso suddivisibile in due sottovarianti.

Vale la pena anticipare che, per rapidità di calcolo, l'uso del secondo criterio B) risulta essere il migliore, ancor più se accoppiato alla variante per i Numeri Grandi, come verrà mostrato.

A.1) Primo criterio, prima variante: con separazione dell'ultima cifra (quella delle unità).

Enunciato: "Un numero è divisibile per 7 se la somma tra il numero ottenuto escludendo la cifra delle unità (prenumero) e il quintuplo della cifra delle unità (coda numerica) è multiplo di 7".

Esempio: 68089; calcoliamo 6808 + 9×5 = 6853; non sapendo se 6853 sia divisibile per 7 basta ripetere la procedura. 685 + 3×5 = 700, che è evidentemente un multiplo di sette. Pertanto 68089 è multiplo di 7.

• Dimostrazione: si consideri un numero ${\displaystyle N;}$ le sue cifre decimali sono i coefficienti ${\displaystyle a_{i}}$ che compaiono nella somma:

${\displaystyle N=a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+a_{3}10^{3}+\cdots +a_{k}10^{k}\;\;,}$

che possiamo scrivere più sinteticamente:

${\displaystyle N=a_{0}+10\times b}$.

Nel linguaggio dell'aritmetica modulare è noto che ${\displaystyle N}$ è divisibile per 7 se e solo se:

${\displaystyle N\equiv 0{\pmod {7}}\;\;,}$

ovvero:

${\displaystyle a_{0}+10\times b\equiv 0{\pmod {7}}}$.

Se si moltiplica tutto per 5 (che è l'inverso aritmetico di 10 modulo 7) abbiamo:

${\displaystyle 5\times a_{0}+5\times 10\times b\equiv 0{\pmod {7}}\;\;,}$

ovvero:

${\displaystyle 5\times a_{0}+b+{\cancel {49\times b}}\equiv 0{\pmod {7}}}$

da cui:

${\displaystyle 5\times a_{0}+b\equiv 0{\pmod {7}}}$.

Dato che ${\displaystyle -2}$ appartiene alla stessa classe resto di 5 modulo 7, il criterio sopra definito può essere modificato in una seconda variante, secondo quanto segue.

A.2) Primo criterio, seconda variante: con separazione dell'ultima cifra (quella delle unità).

Enunciato: "Un numero è divisibile per 7 se la differenza tra il numero ottenuto escludendo la cifra delle unità (prenumero) ed il doppio della cifra delle unità (coda numerica) è multiplo di 7".

Utilizzando lo stesso esempio "68089" è possibile infatti vedere che: 6808-9×2=6790; 679-0×2=679; 67-9×2=49, numero divisibile per 7: da cui la divisibilità del numero iniziale per 7 è confermata.

Va ricordato che questi criteri (al contrario dei successivi) non consentono il calcolo del resto della divisione per 7, solo la verifica della divisibilità.

Un altro metodo per determinare la divisibilità per 7, come quello per 13, sfrutta anche il fatto che 1001 è fattorizzabile come 7 × 11 × 13, e quindi si può iniziare a ridurre il numero dato a uno con al più tre cifre (vedi sotto il criterio di divisibilità per 1001). Tali cifre, prese da destra a sinistra, devono essere moltiplicate rispettivamente per 1, 3 e 2 (mnemonicamente si può vedere la cosa come "legge 132") e i risultati sommati tra di loro.

La divisibilità per 7 può anche essere determinata prendendo la cifra più a sinistra del numero, moltiplicarla per 3 e sommarla a quella immediatamente più a destra, eliminando eventuali fattori 7 e continuando fino alla cifra più a destra.

Nell'esempio del numero 493827, le operazioni da compiere sono:

×4 × 3 + 9 = 21 ${\displaystyle \rightarrow }$ 0;

×0 × 3 + 3 = 3;

×3 × 3 + 8 = 17 ${\displaystyle \rightarrow }$ 3;

×3 × 3 + 2 = 11 ${\displaystyle \rightarrow }$ 4;

×4 × 3 + 7 = 19 ${\displaystyle \rightarrow }$ 5.

Il risultato finale è proprio il resto della divisione del numero per 7: se tale risultato è 0 il numero è dunque divisibile per 7. La stessa operazione si può anche fare da destra a sinistra; in questo caso il moltiplicatore è 5.

Per Numeri Grandi, è possibile dividerli in gruppi di tre cifre da destra a sinistra, inserendo segni alternati fra ogni gruppo: il risultato deve essere divisibile per 7.

Esempio: vediamo se 1491826 è divisibile per 7.

Scomponiamo il numero in gruppi di tre cifre, partendo da destra, alternandone i segni: 1491826: 826 - 491 + 1 = 336 e, utilizzando uno dei criteri precedenti, 33 + (6 × 5) = 63 quindi è divisibile.

Un ulteriore criterio di divisibilità per 7 è il seguente, assai facile da usare:

• si divide il numero in esame in gruppi di tre cifre operando da destra verso sinistra e di ciascuno si calcola il resto della divisione per 7;
• si sommano i resti dei gruppi di posto dispari e dei gruppi di posto pari: se la differenza delle due somme è nulla o un multiplo di 7 il numero di partenza è divisibile per 7.

Si consideri come esempio il numero 123457789: il resto di 123:7 è 4, il resto di 457:7 è 2, il resto di 789:7 è 5; la somma dei resti dei gruppi di posto dispari è 4+5=9 e la somma dei resti dei gruppi di posto pari è 2 (c'è un solo gruppo); poiché 9-2=7 il numero di partenza è divisibile per 7. Per calcolare il resto della divisione di un numero per 7 si ricordi che il resto non cambia se si sottrae al numero di partenza un multiplo di 7: ad esempio 723:7 dà lo stesso resto di (723-700):7 ovvero 23:7 il cui resto è assai più facile da calcolare.

Si può anche dividere il numero in esame in due gruppi di cifre, le tre cifre di destra e le rimanenti cifre, ed applicare il medesimo criterio. Sia il numero 123457789 (già considerato sopra): il resto di 123457:7 è 5, il resto di 789:7 è 5; la differenza dei resti è nulla e pertanto il numero di partenza è divisibile per 7.

Per i numeri non divisibili per 7, la citata differenza tra le somme dei resti dei gruppi di posto dispari e dei gruppi di posto pari fornisce anche il resto della divisione del numero di partenza per 7 (con l'accortezza di aggiungere 7 in caso di differenza negativa e di sottrarre 7 - o multipli di 7 - in caso di differenza maggiore di 6).

B) Secondo criterio: con separazione delle ultime due cifre (quella della decina e quella delle unità)

Enunciato: "Un numero è divisibile per 7 se e solo se la somma tra il doppio del numero ottenuto escludendo le ultime due cifre (decine ed unità) e il numero composto dalle sole ultime due cifre è 7 o un multiplo di 7; il criterio può essere ripetuto ricorsivamente".

Esempio: verificare se 53158 sia divisibile per 7.

53158: 531×2 + 58 = 1120;

e, ricorsivamente:

1120: 11×2 + 20 = 42;

poiché 42 è divisibile per 7, anche 53158 lo sarà.

• Dimostrazione:

senza perdita di generalità sulla lunghezza del numero iniziale, potremmo dire che il numero ${\displaystyle N}$ di cui vogliamo verificare la divisibilità per 7 si può scrivere come abcdef, dove ogni lettera rappresenta una cifra numerica (se il numero ${\displaystyle N}$ fosse più lungo o più corto è sufficiente prendere in considerazione ulteriori lettere per rappresentarlo). In simboli, sia ${\displaystyle N}$ = abcedf, allora:

${\displaystyle N}$ = abcdef = abcd × 100 + ef = abcd × (98 + 2) + ef = 98 × abcd + 2 × abcd + ef = 98 × abcd + ${\displaystyle M}$,

dove si è posto ${\displaystyle M}$ = 2 × abcd + ef.

Siccome 98 × abcd è divisibile per 7 (per ben due volte dato che è divisibile anche per 49), ${\displaystyle N}$ è divisibile per 7 se e solo se lo è anche ${\displaystyle M,}$ che è proprio quanto sostenuto in questo criterio di divisibilità.

C) terzo criterio: con somma delle cifre moltiplicate per opportuni scalari.

Enunciato: "Un numero è divisibile per sette se lo è la somma delle somme con segni alterni: delle cifre di posizione congrua a zero (mod 3), delle cifre di posizione congrua a 1 (mod 3) per tre e delle cifre di posizione congrua a 2 (mod 3) per due".

Esempio: verificare che il numero 777213213 sia divisibile per 7.

(3-3+7)+3*(1-1+7)+2*(2-2+7)=42

poiché 42 è divisibile per 7, anche 777213213 lo sarà.

• Dimostrazione:

Sia ${\displaystyle N=a_{0}10^{0}+a_{1}10^{1}+a_{2}10^{2}+...+a_{k}10^{k}}$ si ha:

${\displaystyle 10^{0}\equiv 1\;(mod\,\,7)}$

${\displaystyle 10^{1}\equiv 3\,(mod\,\,7)}$

${\displaystyle 10^{2}\equiv 2\,(mod\,\,7)}$

${\displaystyle 10^{3}\equiv 6\equiv -1\,(mod\,\,7)}$

${\displaystyle 10^{4}\equiv 4\equiv -3\,(mod\,\,7)}$

${\displaystyle 10^{5}\equiv 5\equiv -2\,(mod\,\,7)}$

${\displaystyle 10^{6}\equiv 1\,(mod\,\,7)}$ per il Piccolo teorema di Fermat

${\displaystyle 10^{7}=10^{1}\cdot 10^{6}\equiv 10^{1}\equiv 3\,(mod\,\,7)}$

${\displaystyle 10^{8}=10^{2}\cdot 10^{6}\equiv 10^{2}\equiv 2\,(mod\,\,7)}$

e così via...

quindi ${\displaystyle N\equiv a_{0}+3a_{1}+2a_{2}-a_{3}-3a_{4}-2a_{5}+a_{6}+3a_{7}+2a_{8}+...=(a_{0}-a_{3}+a_{6}-...)+3(a_{1}-a_{4}+a_{7}-...)+2(a_{2}-a_{5}+a_{8}-...).}$

Curiosità: il metodo C) consente il calcolo del resto della divisione di N per 7.

Curiosità: in modo analogo al metodo B) si deriva un altro criterio di divisibilità per il numero 17; l'unica differenza che il numero residuale ef (cioè quello composto dalle sole cifre della decina e dell'unità) deve essere sottratto e non aggiunto; attenzione: in questo caso il risultato finale potrebbe venire negativo, ma questo non deve preoccupare, il risultato finale può essere considerato in valore assoluto.

Il criterio appena esposto ben si adatta ad una rapida determinazione della divisibilita` per 7 sui Numeri Grandi.

Infatti in maniera del tutto identica a quanto scritto nel primo criterio, è possibile dividerli in gruppi di tre cifre da destra a sinistra, inserendo segni alternati fra ogni gruppo: il risultato dev'essere divisibile per 7.

Esempio: vediamo se 1491826 è divisibile per 7.

Scomponiamo il numero in gruppi di tre cifre, partendo da destra, alternandone i segni:

1491826: +826 - 491 + 1 = 336;

e, utilizzando il secondo criterio appena esposto:

3×2 + 36 = 42 che, essendo divisibile per 7, conferma la divisibilità per 7 anche del numero di partenza.

Altro esempio: analizziamo la divisibilità per 7 di 123457789:

123457789: +789 -457 +123 = 455;

e, per il secondo criterio B):

455: 4×2 + 55 = 63, ovvero il numero di partenza è divisibile per 7.

Un numero è divisibile per 8 se termina con tre zeri o se lo è il numero formato dalle sue ultime 3 cifre. Per esempio: 1128 è divisibile per 8 perché anche 128 lo è.

Un'altra possibilità è data dal prendere la terz'ultima cifra, raddoppiarla, sommarla alla penultima, raddoppiare il risultato e sommarlo all'ultima: se il risultato finale è multiplo di 8, allora anche il numero originale lo è.

Esempio: 15736. Si esegue il conto: 7×2 = 14; 14+3 = 17; 17×2 = 34; 34+6 = 40. Dato che 40 è un multiplo di 8, anche 15736 lo è.

Un numero è divisibile per 9 se la somma delle sue cifre è divisibile per nove. Nel caso tale somma sia un numero maggiore di 9, si può reiterare l'operazione.

Si consideri ad esempio il numero 493827: sommando le sue cifre si ottiene 33. Ripetendo ulteriormente l'operazione si ottiene 6, da cui risulta che il numero 493827 non è divisibile per 9. Il risultato dell'operazione (6 nell'esempio) è pari al resto modulo 9 (dividendo il risultato per 3 si otterrebbe il resto modulo 3). Da notare che non è necessario sommare eventuali cifre 9 presenti nel numero.

Dal criterio appena descritto si ricava una delle tante proprietà curiose legate al numero 9. Se si sottrae ad un qualunque numero la somma delle sue cifre prese singolarmente si ottiene sempre un numero divisibile per 9. Riprendendo l'esempio precedente, se a 493827 si sottraggono le sue cifre si ottiene: 493827-(4+9+3+8+2+7)=493794, la cui divisibilità per 9 può facilmente essere dimostrata col precedente criterio. Questo è dovuto al fatto che, come descritto in precedenza, la somma delle cifre di un numero è pari proprio al resto modulo 9.

Vedi anche Prova del nove e Radice numerica.

Un numero è divisibile per 10 quando la sua ultima cifra è zero.

Un numero è divisibile per ${\displaystyle 10^{m}}$ (10, 100, 1000, ...) quando le sue ultime ${\displaystyle m}$ (1, 2, 3, ..., rispettivamente) cifre a destra sono tutti zeri. Ad esempio, 40 è divisibile per 10, 300 è divisibile per 100 e 4000 è divisibile per 1000.

• Dimostrazione: un generico numero naturale ${\displaystyle N}$ è, infatti, sempre esprimibile nella forma

${\displaystyle N=a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{k-1}10^{k-1}+a_{k}10^{k}}$

in cui i coefficienti ${\displaystyle a_{i}}$ sono le ${\displaystyle k+1}$ cifre decimali di ${\displaystyle N}$. La precedente somma può essere scritta anche come

${\displaystyle N=N_{m}+10^{m}\times b}$

avendo posto

${\displaystyle b\triangleq a_{m}+a_{m+1}10+a_{m+2}10^{2}+\cdots +a_{k-1}10^{k-1-m}+a_{k}10^{k-m}}$

ed

${\displaystyle N_{m}\triangleq a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{m-2}10^{m-2}+a_{m-1}10^{m-1}}$

dove ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2}\cdots ,a_{m-2},a_{m-1}}$ sono le ultime ${\displaystyle m}$ cifre a destra di ${\displaystyle N}$ (${\displaystyle m\in \mathbb {N^{+}} }$).

Pertanto, ${\displaystyle N}$ sarà divisibile per ${\displaystyle 10^{m}}$ quando lo è il numero ${\displaystyle N_{m}}$ composto dalle sue ultime ${\displaystyle m}$ cifre a destra; d'altronde, essendo tutti i coefficienti ${\displaystyle a_{i}}$ minori di 10 (in quanto cifre decimali), ${\displaystyle N_{m}}$ potrà essere divisibile per ${\displaystyle 10^{m}}$ soltanto quando è nullo, il che richiede che le ${\displaystyle m}$ cifre ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2}\cdots ,a_{m-2},a_{m-1}}$ siano tutte pari a zero.

Un numero è divisibile per 11 se la differenza tra la somma delle sue cifre di posto dispari e la somma delle sue cifre di posto pari dà come risultato 0, 11 o un multiplo (anche intero) di 11. Ad esempio, "8.291.778" è divisibile per 11 perché: (8+9+7+8)-(2+1+7) = 32-10 = 22.

Un numero è divisibile per 13 se la somma tra il numero ottenuto escludendo la cifra delle unità (prenumero) e il quadruplo della cifra delle unità (coda numerica) è 0, 13 o un suo multiplo.

Esempio: 12285; calcoliamo 1228 + 5×4 = 1248; non sapendo se 1248 sia divisibile per 13 basta ripetere la procedura. 124 + 8×4 = 156. Anche qui si ripete la procedura: 15 + 6×4 = 39, cioè 13×3. Pertanto 12285 è multiplo di 13.

• Dimostrazione: consideriamo un numero ${\displaystyle N}$, le sue cifre decimali sono i coefficienti ${\displaystyle a_{i}}$ che compaiono nella somma

${\displaystyle N=a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+a_{3}10^{3}+\cdots +a_{k}10^{k}}$

che possiamo riscrivere come

${\displaystyle N=a_{0}+10(a_{1}+a_{2}10+a_{3}10^{2}+\ldots +a_{k}10^{k-1})}$

nel linguaggio dell'aritmetica modulare sappiamo che ${\displaystyle N}$ è divisibile per 13 se e solo se

${\displaystyle N\equiv 0{\pmod {13}}}$

ovvero

${\displaystyle a_{0}+10(a_{1}+a_{2}10+a_{3}10^{2}+\ldots +a_{k}10^{k-1})\equiv 0{\pmod {13}}}$

e se moltiplichiamo tutto per 4 abbiamo

${\displaystyle 4a_{0}+40(a_{1}+a_{2}10+a_{3}10^{2}+\ldots +a_{k}10^{k-1})\equiv 0{\pmod {13}}}$

poiché

${\displaystyle 40\equiv 1{\pmod {13}}}$

si ha

${\displaystyle 4a_{0}+a_{1}+a_{2}10+a_{3}10^{2}+\ldots +a_{k}10^{k-1}\equiv 0{\pmod {13}}}$

Va ricordato che questo criterio, non consente il calcolo del resto della divisione per 13, ma solo la verifica della divisibilità.

Un ulteriore criterio di divisibilità per 13 è il seguente, assai facile da usare:

• si divide il numero in esame in gruppi di tre cifre (da destra a sinistra) e di ciascuno si calcola il resto della divisione per 13;
• si sommano i resti dei gruppi di posto dispari e dei gruppi di posto pari: se la differenza delle due somme è nulla o un multiplo di 13 il numero di partenza è divisibile per 13.

Si consideri per esempio il numero 123457789: il resto di 123:13 è 6, il resto di 457:13 è 2, il resto di 789:13 è 9; la somma dei resti dei gruppi di posto dispari è 6+9=15 e la somma dei resti dei gruppi di posto pari è 2 (c'è un solo gruppo); poiché 15-2=13, il numero di partenza è divisibile per 13. Per calcolare facilmente il resto della divisione di un numero per 13 si ricordi che il resto non cambia se si sottrae al numero di partenza un multiplo di 13: ad esempio 543:13 dà lo stesso resto di (543-520):13 ovvero 23:13 il cui resto è assai più facile da calcolare.

Si può anche dividere il numero in esame in due gruppi di cifre, le tre cifre di destra e le rimanenti cifre, ed applicare il medesimo criterio. Sia il numero 123457789 (già considerato sopra): il resto di 123457:13 è 9, il resto di 789:13 è 9; la differenza dei resti è nulla e pertanto il numero di partenza è divisibile per 13.

Per i numeri non divisibili per 13, la citata differenza tra le somme dei resti dei gruppi di posto dispari e dei gruppi di posto pari fornisce anche il resto della divisione del numero di partenza per 13 (con l'accortezza di aggiungere 13 in caso di differenza negativa e di sottrarre 13 - o multipli di 13 - in caso di differenza maggiore di 12).

Primo metodo:

Un numero è divisibile per 17 se il valore assoluto della differenza fra il numero ottenuto eliminando la cifra delle unità e il quintuplo della cifra delle unità è 0, 17 o un multiplo di 17. Per esempio: 1 003 è divisibile per 17 se lo è il numero ${\displaystyle |100-5\cdot 3|=85}$. Questo è divisibile per 17 se lo è il numero ${\displaystyle |8-5\cdot 5|=17}$

• Dimostrazione: esprimiamo ${\displaystyle N}$ come ${\displaystyle N={\overline {a_{k}a_{k-1}a_{k-2}\ldots a_{1}a_{0}}}=a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+a_{3}10^{3}+\ldots +a_{k}10^{k}}$, quindi ${\displaystyle N}$ sarà divisibile per 17 se e solo se ${\displaystyle N\equiv _{17}0}$

1. ${\displaystyle a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+a_{3}10^{3}+\cdots +a_{k}10^{k}\equiv _{17}0}$ (il coefficiente di ${\displaystyle a_{0}}$ può essere sostituito con un altro numero appartenente alla classe di equivalenza di 1, cioè ${\displaystyle [1]_{17}=[18]_{17}}$ );
2. ${\displaystyle 18a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+a_{3}10^{3}+\cdots +a_{k}10^{k}\equiv _{17}0}$ (si dividono entrambi i membri per 2: cosa possibile visto che 2 e 17 sono coprimi);
3. ${\displaystyle 9a_{0}+5(a_{1}+a_{2}10+a_{3}10^{2}+\cdots +a_{k}10^{k-1})\equiv _{17}0}$ (si sostituisce al coefficiente di ${\displaystyle a_{0}}$ un altro numero appartenente alla classe di equivalenza di 9, cioè ${\displaystyle [9]_{17}=[-25]_{17}}$ );
4. ${\displaystyle -25a_{0}+5(a_{1}+a_{2}10+a_{3}10^{2}+\cdots +a_{k}10^{k-1})\equiv _{17}0}$ (si dividono entrambi i membri per 5: cosa possibile visto che 5 e 17 sono coprimi);
5. ${\displaystyle -5a_{0}+a_{1}+a_{2}10+a_{3}10^{2}+\cdots +a_{k}10^{k-1}\equiv _{17}0}$ cioè ${\displaystyle {\overline {a_{k}a_{k-1}a_{k-2}\ldots a_{1}}}-5a_{0}=17k\qquad k\in \mathbb {Z} }$

Quindi con questo criterio è possibile ottenere 17 quando ${\displaystyle k=1}$, oppure qualche multiplo di 17: in questo caso il criterio può essere reiterato con il numero appena ottenuto (proprio come nell'esempio qua sopra).

Secondo metodo:

Un numero è divisibile per 17, se la somma tra il numero ottenuto dall'unità moltiplicata per 9 (si parte da 1 a 10, escludendo lo zero) e il restante numero (dedotto di uno nel caso si consideri prima il numero 10) moltiplicato per 5 è divisibile per 17. È possibile rifare il calcolo.

Esempio:

Sia il numero 143990:

(10×9) + (14398×5) = 90 + 71990 = 72080

Si reitera il conto con il numero appena ottenuto (e via di seguito): 72080

(10×9) + (7207×5) = 90 + 36035 = 36125

36125:

(5×9) + (3612×5) = 45 + 18060 = 18105

18105:

(5×9) + (1810×5) = 45 + 9050 = 9095

9095:

(5×9) + (909×5) = 45 + 4545 = 4590

4590:

(10×9) + (458×5) = 90 + 2290 = 2380

2380:

(10×9) + (237×5) = 90 + 1185 = 1275

1275:

(5×9) + (127×5) = 45 + 635 = 680

680:

(10×9) + (67×5) = 90 + 335 = 425

425:

(5×9) + (42×5) = 45 + 210 = 255

255:

(5×9) + (25×5) = 45 + 125 = 170

170 è divisibile per 17.

Un numero è divisibile per 20 se è composto da almeno due cifre e le sue ultime due cifre a destra sono 00, 20, 40, 60, 80.

Un numero è divisibile per 25, se è composto da almeno due cifre e le sue ultime 2 cifre a destra sono 00, 25, 50 o 75. Ad esempio 1550 è divisibile per 25 perché le ultime 2 cifre, 50, formano un numero divisibile per 25.

Per verificare se un numero è divisibile per 27, lo si divide in terzetti di cifre (a partire da destra). Se la somma di tutti i terzetti dà come risultato un multiplo di 27 allora il numero di partenza è divisibile per 27. In alternativa, se risulta più agevole, si possono calcolare i resti delle divisioni per 27 dei vari terzetti e sommare infine tutti i resti ottenuti: se tale somma dà come risultato un multiplo di 27 allora il numero di partenza è divisibile per 27.

Ad esempio 514.291.761 è divisibile per 27 perché: 761+291+514 = 1566 che è un multiplo di 27; ovvero, in alternativa, 761=28x27+5 291=10x27+21 514=19x27+1 e 5+21+1=27.

Analogamente per verificare se un numero è divisibile per 37, lo si divide in terzetti di cifre (a partire da destra). Se la somma di tutti i terzetti dà come risultato un multiplo di 37 allora il numero di partenza è divisibile per 37. In alternativa, se risulta più agevole, si possono calcolare i resti delle divisioni per 37 dei vari terzetti e sommare infine tutti i resti ottenuti: se tale somma dà come risultato un multiplo di 37 allora il numero di partenza è divisibile per 37. Ad esempio 514.291.749 è divisibile perché: 749+291+514 = 1554 che è un multiplo di 37; ovvero, in alternativa, 749=20x37+9 291=7x37+32 514=13x37+33 e 9+32+33=74 che è evidentemente un multiplo di 37. Per comprendere la similarità dei criteri di divisibilità per 27 e per 37 e capire perché per tali criteri si dividono i numeri in gruppetti di tre cifre si fa riferimento alla scomposizione di 999 che è pari a 27x37.

Per verificare se un numero è divisibile per 101, lo si divide in coppie di cifre a partire da destra. Se, contando da destra verso sinistra, la differenza tra la somma delle coppie che occupano posto dispari e la somma delle coppie che occupano posto pari dà come risultato 0, 101, un multiplo di 101 (anche intero), allora il numero di partenza è divisibile per 101.

Ad esempio 514.300.787 è divisibile perché: (87+30+5)-(7+14) = 122-21 = 101.

Per verificare se un numero è divisibile per 1001, lo si divide in terzetti di cifre a partire da destra. Se contando da destra verso sinistra, la differenza tra la somma dei terzetti che occupano posto dispari e la somma dei terzetti che occupano posto pari dà come risultato un multiplo intero di 1001, allora il numero di partenza è divisibile per 1001. Se non è della forma ${\displaystyle 1001k}$, con ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$, il numero ottenuto (compreso tra 1 e 1000) è il resto della divisione per 1001 (se lo otteniamo negativo dobbiamo aggiungere 1001). Questo criterio può essere utilizzato per verificare anche la divisibilità per 7, 11 e 13 quando il numero ha molte cifre (si può utilizzare questo criterio per ridurre il numero di cifre fino a 4 e poi terminare con i criteri sopra esposti).

Ad esempio 514.291.778 è divisibile perché: (778+514)-(291) = 1292-291 = 1001.

Sia ${\displaystyle n}$ un numero espresso in base ${\displaystyle b}$, e sia ${\displaystyle m}$ un divisore di ${\displaystyle b}$. Si possono generalizzare il criterio di divisibilità per le potenze di 2, 5, 10 e il criterio di divisibilità per 9 (o per 3) nel modo seguente:

• il resto della divisione di ${\displaystyle n}$ per ${\displaystyle m^{e}}$ è lo stesso della divisione delle ultime ${\displaystyle e}$ cifre di ${\displaystyle n}$ per ${\displaystyle m^{e}}$;
• il resto della divisione di ${\displaystyle n}$ per ${\displaystyle b-1}$ (o un divisore di ${\displaystyle b-1}$) è lo stesso della divisione della somma delle cifre di ${\displaystyle n}$ per ${\displaystyle b-1}$.

Anche il criterio di divisibilità per 11 può essere facilmente generalizzato a ${\displaystyle b+1}$.

È possibile considerare la divisibilità anche su altri anelli oltre agli interi.

Tenendo presente che 2 e 5 si scompongono in fattori primi come ${\displaystyle 2=-i(1+i)^{2}}$ e ${\displaystyle 5=(2-i)(2+i),}$ si possono dare criteri di divisibilità per gli interi di Gauss: ${\displaystyle 1+i}$ (ed equivalentemente per ${\displaystyle 1-i=-i(1+i)}$), ${\displaystyle 2-i}$ e ${\displaystyle 2+i}$. Infatti, un intero di Gauss è divisibile:

• per ${\displaystyle 1+i}$ se e solo se la somma della parte reale e di quella immaginaria è divisibile per 2,
• per ${\displaystyle 2-i}$ se e solo se la differenza del doppio della parte reale con quella immaginaria è divisibile per 5,
• per ${\displaystyle 2+i}$ se e solo se la somma del doppio della parte reale e di quella immaginaria è divisibile per 5.

Il teorema del resto fornisce un criterio di divisibilità dei polinomi per polinomi di grado 1.

• Divisore

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sui criteri di divisibilità

• divisibilita, criteri di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.

V · D · M Algebra
Numeri	Naturali · Interi · Razionali · Irrazionali · Algebrici · Trascendenti · Reali · Complessi · Numero ipercomplesso · Numero p-adico · Duali · Complessi iperbolici
Principi fondamentali	Principio d'induzione · Principio del buon ordinamento · Relazione di equivalenza · Relazione d'ordine · Associatività della potenza
Algebra elementare	Equazione · Disequazione · Polinomio · Triangolo di Tartaglia · Teorema binomiale · Teorema del resto · Lemma di Gauss · Teorema delle radici razionali · Regola di Ruffini · Criterio di Eisenstein · Criterio di Cartesio · Disequazione con il valore assoluto · Segno · Metodo di Gauss-Seidel · Polinomio simmetrico · Funzione simmetrica
Elementi di Calcolo combinatorio	Fattoriale · Permutazione · Disposizione · Combinazione · Dismutazione · Principio di inclusione-esclusione
Concetti fondamentali di Teoria dei numeri	Primi Numero primo · Teorema dell'infinità dei numeri primi · Crivello di Eratostene · Crivello di Atkin · Test di primalità · Teorema fondamentale dell'aritmetica Divisori Interi coprimi · Identità di Bézout · MCD · mcm · Algoritmo di Euclide · Algoritmo esteso di Euclide · Criteri di divisibilità · Divisore Aritmetica modulare Teorema cinese del resto · Piccolo teorema di Fermat · Teorema di Eulero · Funzione φ di Eulero · Teorema di Wilson · Reciprocità quadratica
Teoria dei gruppi	Gruppi Gruppo (finito · ciclico · abeliano) · Gruppo primario · Gruppo quoziente · Gruppo nilpotente · Gruppo risolubile · Gruppo simmetrico · Gruppo diedrale · Gruppo semplice · Gruppo sporadico · Gruppo mostro · Gruppo di Klein · Gruppo dei quaternioni · Gruppo generale lineare · Gruppo ortogonale · Gruppo unitario · Gruppo unitario speciale · Gruppo residualmente finito · Gruppo spaziale · Gruppo profinito · Out(Fn) · Parola · Prodotto diretto · Prodotto semidiretto · Prodotto intrecciato Teoremi Alternativa di Tits · Teorema di isomorfismo · Teorema di Lagrange · Teorema di Cauchy · Teoremi di Sylow · Teorema di Cayley · Teorema di struttura dei gruppi abeliani finiti · Lemma della farfalla · Lemma del ping-pong · Classificazione dei gruppi semplici finiti Sottoinsiemi Sottogruppo · Sottogruppo normale · Sottogruppo caratteristico · Sottogruppo di Frattini · Sottogruppo di torsione · Classe laterale · Classe di coniugio · Serie di composizione Omomorfismo · Isomorfismo · Automorfismo interno · Automorfismo esterno · Permutazione · Presentazione di un gruppo · Azione di gruppo
Teoria degli anelli	Anello (artiniano · noetheriano · locale) · Caratteristica · Ideale (primo · massimale) · Dominio (a fattorizzazione unica · a ideali principali · euclideo) · Matrice · Anello semplice · Anello degli endomorfismi · Teorema di Artin-Wedderburn · Modulo · Dominio di Dedekind · Estensione di anelli · Teorema della base di Hilbert · Anello di Gorenstein · Base di Gröbner · Prodotto tensoriale · Primo associato
Teoria dei campi	Campo · Polinomio irriducibile · Polinomio ciclotomico · Teorema fondamentale dell'algebra · Campo finito · Automorfismo · Endomorfismo di Frobenius Estensioni Campo di spezzamento · Estensione di campi · Estensione algebrica · Estensione separabile · Chiusura algebrica · Campo di numeri · Estensione normale · Estensione di Galois · Estensione abeliana · Estensione ciclotomica · Teoria di Kummer Teoria di Galois Gruppo di Galois · Teoria di Galois · Teorema fondamentale della teoria di Galois · Teorema di Abel-Ruffini · Costruzioni con riga e compasso
Altre strutture algebriche	Magma · Semigruppo · Corpo · Spazio vettoriale · Algebra su campo · Algebra di Lie · Algebra differenziale · Algebra di Clifford · Gruppo topologico · Gruppo ordinato · Quasi-anello · Algebra di Boole
argomenti	Teoria delle categorie · Algebra lineare · Algebra commutativa · Algebra omologica · Algebra astratta · Algebra computazionale · Algebra differenziale · Algebra universale

V · D · M Teoria dei numeri
Numeri più usati	Naturali · Interi · Pari e dispari
Principi generali	Principio d'induzione · Principio del buon ordinamento · Relazione di equivalenza
Successioni di interi	Fattoriale · Successione di Fibonacci · Numero di Catalan · Numero di Perrin · Numero di Eulero · Successione di Mian-Chowla · Successione di Thue-Morse
Caratteristiche dei numeri primi	Numero primo · Lemma di Euclide · Teorema dell'infinità dei numeri primi · Crivello di Eratostene · Test di primalità · Teorema fondamentale dell'aritmetica · Interi coprimi · Identità di Bézout · MCD · mcm · Algoritmo di Euclide · Algoritmo esteso di Euclide · Teorema dei numeri primi
Funzioni aritmetiche	Funzione moltiplicativa · Funzione additiva · Convoluzione di Dirichlet · Funzione φ di Eulero · Funzione di Möbius · Funzione tau sui positivi · Funzione sigma · Funzione di Liouville · Funzione di Mertens
Aritmetica modulare	Teorema cinese del resto · Piccolo teorema di Fermat · Teorema di Eulero · Criteri di divisibilità · Teorema di Fermat sulle somme di due quadrati · Teorema di Wilson · Legge di reciprocità quadratica
Congetture	Congettura di Goldbach · Congettura di Polignac · Congettura abc · Congettura dei numeri primi gemelli · Congettura di Legendre · Nuova congettura di Mersenne · Congettura di Collatz · Ipotesi di Riemann
Altro	Problema di Waring
Principali teorici	Fibonacci · Fermat · Gauss · Eulero · Legendre · Riemann · Dirichlet
Discipline connesse	Teoria algebrica dei numeri · Teoria analitica dei numeri · Crittografia · Teoria computazionale dei numeri