Ֆրակտալ

Ֆրակտալ (լատ.՝ fractus - մանրացված, կոտրված), բազմություն, որն ունի ինքնանմանության հատկություն (օբյեկտ, որը ճշգրիտ կամ մոտավորապես համապատասխանում է ինքն իր մի մասին, այսինքն՝ ամբողջը ունի նույն ձևը, ինչ մեկ կամ մի քանի մաս)։ Մաթեմատիկայում ֆրակտալը նշանակում է էվկլիդեսյան տարածության կետերի բազմություն, որոնք ունեն կոտորակային մետրական չափականություն (Մինկովսկու կամ Հաուսդորֆի իմաստով) կամ տոպոլոգիականից տարբերվող մետրական չափականություն^[4], այդ պատճառով դրանք պետք է տարբերվեն այլ երկրաչափական պատկերներից, որոնք սահմանափակված են սահմանափակ թվով կապերով։ Ինքնանման պատկերները, որոնք կրկնվում են վերջավոր թվով արտահայտվող անգամ, կոչվում են նախաֆրակտալներ։

Արտասովոր հատկություններով ինքնանման բազմությունների առաջին օրինակները հայտնվել են 19-րդ դարում՝ չդիֆերենցվող անընդհատ ֆունկցիաների ուսումնասիրության արդյունքում (օրինակ՝ Բոլցանոյի ֆունկցիան, Վեյերշտրասի ֆունկցիան, Կանտորի բազմությունը)^[5]։ «Ֆրակտալ» տերմինը ներմուծել է Բենուա Մանդելբրոտը 1975 թվականին։ Այն լայն տարածում է գտել 1977 թվականին Մանդելբրոտի «Բնության ֆրակտալ երկրաչափություն» գրքի հրատարակումով։ Ֆրակտալները հատկապես մեծ ժողովրդականություն են արժանացել համակարգչային տեխնոլոգիաների զարգացման շնորհիվ, ինչը հնարավորություն է տվել արդյունավետորեն պատկերել այս կառույցները։

«Ֆրակտալ» բառը օգտագործվում է ոչ միայն որպես մաթեմատիկական տերմին։ Ֆրակտալ կարող է կոչվել այն առարկան, որն ունի հետևյալ հատկություններից առնվազն մեկը.

• Այն բոլոր մասշտաբներում ունի ոչ տրիվիալ կառուցվածք։ Դրանով այն տարբերվում է կանոնավոր պատկերներից (օրինակ՝ շրջան, էլիպս, հարթ ֆունկցիայի գրաֆիկ)։ Եթե շատ մեծ մասշտաբով դիտեք սովորական ձևի փոքր հատվածը, ապա դա կարծես ուղիղ գծի հատված է։ Ֆրակտալի համար մասշտաբի բարձրացումը չի հանգեցնում կառուցվածքի պարզեցման, այսինքն՝ բոլոր մասշտաբների վրա կարելի է տեսնել հավասարապես բարդ պատկեր։
• Այն ինքնանման կամ մոտավորապես ինքնանման է։
• Այն ունի կոտորակային մետրական չափականություն կամ տոպոլոգիականից տարբերվող մետրական չափականություն։

Բնության շատ օբյեկտներ ունեն ֆրակտալ հատկություններ, օրինակ՝ ծովափ, ամպեր, ծառի սաղարթ, ձյան փաթիլներ, արյան շրջանառության համակարգ, ալվեոլներ։ Սակայն ֆրակտալները չեն սահմանափակվում միայն երկրաչափական նախշերով, այլ կարող են վերաբերել նաև ժամանակի ընթացքում կատարվող գործընթացներին^{[6][7][8][9][10][11]}։ Տարբեր աստիճանի ինքնանմանություն ունեցող ֆրակտալ նախշեր ներկայացվել կամ ուսումնասիրվել են պատկերների, կառուցվածքների և հնչյունների մեջ^[12] և գտնվել բնության մեջ^{[13][14][15][16][17]}, տեխնոլոգիայի բնագավառում^{[18][19][20][21][22]}, արվեստում^[23][24], ճարտարապետության^[25] և իրավունքի^[26] բնագավառներում։ Ֆրակտալները հատուկ նշանակություն ունեն քաոսի տեսության ոլորտում, քանի որ քաոսային գործընթացների մեծամասնության գրաֆիկները ֆրակտալներ են^[27]։

19-րդ դարի վերջից սկսած՝ մաթեմատիկայում հայտնվում են դասական վերլուծության տեսանկյունից պաթոլոգիական հատկություններ ունեցող ինքնանման առարկաների օրինակներ։ Դրանց թվին կարելի է դասել.

• Կանտորի հավաքածուն ոչ մի տեղ խիտ կենտ կատարյալ բազմություն է։ Ընթացակարգը փոփոխելով՝ կարելի է ստանալ նաև ոչ մի տեղ խիտ դրական երկարության բազմություն,
• Սերպինսկու եռանկյունին («սփռոց») և Սերպինսկու գորգ, Կանտորի բազմության անալոգները հարթության վրա,
• Մենգերի սպունգ^[6], Կանտորի բազմության անալոգը եռաչափ տարածության մեջ,
• Ոչ մի տեղ չդիֆերենցվող անընդհատ ֆունցկաների՝ Վայերշտրասի և Վան դեր Վարդենի օրինակները,
• Կոխի կոր, անսահման երկարության ոչ ինքնահատվող շարունակական կոր, որը չունի շոշափող ոչ մի կետում,
• Պեանոյի կոր, շարունակական կոր, որն անցնում է խորանարդի բոլոր կետերով,
• Բրոունյան մասնիկի հետագիծը նույնպես 1 հավանականությամբ ոչ մի կետում չի դիֆերենցվում։ Նրա Հաուսդորֆի չափը հավասար է երկուսի։

Գոյություն ունի հարթության վրա ֆրակտալ կորերի ստացման պարզ ռեկուրսիվ ընթացակարգ։ Որոշենք վերջավոր թվով հանգույցներով կամայական բեկյալ, որը կոչվում է գեներատոր։ Հաջորդիվ դրա մեջ յուրաքանչյուր հատվածը փոխարինենք գեներատորով (ավելի ճիշտ՝ գեներատորի նման բեկյալով)։ Արդյունքում ստացված բեկյալի յուրաքանչյուր հատվածը նորից փոխարինենք գեներատորով։ Շարունակելով մինչև անսահմանություն՝ ստանում ենք ֆրակտալ կոր։ Աջ կողմում գտնվող նկարում ցույց է տրված Կոխի կորի համար այդ ընթացակարգի առաջին, երկրորդ և չորրորդ քայլերը։

Նման կորերի օրինակներն են.

• Կոխի կոր (Կոխի փաթիլ),
• Լևիի կոր,
• Մինկովսկու կոր,
• Հիլբերտի կոր,
• Վիշապի բեկյալ (կոր) (Հարթեր-Հեյթուեյի ֆրակտալ),
• Պեանոյի կոր,
• Մյակիշևի կոր։

Նմանատիպ ընթացակարգի կիրառմամբ է ստացվում Պյութագորասի ծառը։

Ինքնանմանության հատկությունը կարող է մաթեմատիկորեն խստորեն արտահայտվել հետևյալ կերպ։ Դիցուք ${\displaystyle \psi _{i},\,i=1,\dots ,n}$ հարթության սեղմիչ արտացոլումներն են։ Դիտարկենք հետևյալ արտացոլումը հարթության բոլոր կոմպակտ (փակ և սահմանափակ) ենթաբազմությունների վրա. ${\displaystyle \Psi \colon K\mapsto \cup _{i=1}^{n}\psi _{i}(K)}$

Կարելի է ցույց տալ, որ ${\displaystyle \Psi }$ արտացոլումը սեղմիչ արտացոլում է հաուսդորֆյան մետրիկի հետ կոմպակտների բազմության վրա։ Հետևաբար, Բանախի թեորեմի համաձայն, այս արտացոլումն ունի եզակի անշարժ կետ։ Այս ֆիքսված կետը կլինի մեր ֆրակտալը։

Վերևում նկարագրված ֆրակտալ կորերի ստացման ռեկուրսիվ ընթացակարգը տվյալ կառուցվածքի մասնավոր դեպքն է։ Դրանում բոլոր արտացոլումները ${\displaystyle \psi _{i},\,i=1,\dots ,n}$ նմանության արտացոլումն են, իսկ ${\displaystyle n}$-ը՝ գեներատորի հանգույցների թիվը։

Սերպինսկու եռանկյան համար ${\displaystyle n=3}$ և ${\displaystyle \psi _{1}}$, ${\displaystyle \psi _{2}}$, ${\displaystyle \psi _{3}}$ արտացոլումները հեմոտետիաներ են կանոնավր եռանկյան գագաթներում գտնվող կենտրոններվ և 1/2 գործակիցով։ Հեշտ է տեսնել, որ Սերպինսկու եռանկյունին անցնում է իրեն ${\displaystyle \Psi }$ արտացոլման դեպքում։

Այն դեպքում, երբ ${\displaystyle \psi _{i}}$ արտացոլումները նմանության վերափոխումներ են ${\displaystyle r_{i}>0}$ գործակիցներով, ${\displaystyle s}$ ֆրակտալի չափականությունը (որոշ լրացուցիչ տեխնիկական պայմաններում) կարող է հաշվարկվել որպես ${\displaystyle r_{1}^{s}+r_{2}^{s}+\dots +r_{n}^{s}=1}$ հավասարման լուծում։ Այսպիսով, Սերպինսկու եռանկյան համար ստանում ենք՝ ${\displaystyle s=\ln 3/\ln 2}$։

Ըստ նույն Բանախի թեորեմի՝ սկսելով ցանկացած կոմպակտ բազմությունից և դրա նկատմամբ կիրառելով ${\displaystyle \Psi }$ արտացոլման իտերացիաները, կստանանք մեր ֆրակտալին մոտ (Հաուսդորֆի մետրիկայի իմաստով) կոմպակտների հաջորդականություն։

Ֆրակտալները բնական կերպով առաջանում են ոչ գծային դինամիկ համակարգերի ուսումնասիրության ժամանակ։ Առավել ուսումնասիրվել է այն դեպքը, երբ դինամիկ համակարգը սահմանվում է բազմանդամի կամ հոլոմորֆիկ ֆունկցիայի իտերացիաներով կոմպլեքս բեկյալով հարթության վրա։ Այս ոլորտում առաջին հետազոտությունները վերաբերում են 20-րդ դարի սկզբին և կապված են Ֆաթուի և Ժուլիայի անունների հետ։

Դիցուք ${\displaystyle F(z)}$ բազմանդամ է, ${\displaystyle z_{0}}$-ը՝ կոմպլեքս թիվ։ Դիտարկենք հետևյալ հաջորդականությունը.

${\displaystyle z_{0},z_{1}=F(z_{0}),z_{2}=F(F(z_{0}))=F(z_{1}),z_{3}=F(F(F(z_{0})))=F(z_{2}),...}$

Մեզ հետաքրքրում է այս հաջորդականության փոփոխությունը, երբ n-ը ձգտում է անսահմանության։ Այս հաջորդականությունը կարող է.

• ձգտել անսահմանության,
• ձգտել վերջնական սահմանին,
• ցույց տալ ցիկլային վարք որոշակի սահմաններում, օրինակ՝ ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},z_{1},z_{2},z_{3},...}$
• վարվել քաոսային կերպով, այսինքն՝ չցուցավերել վարքի նշված 3 տեսակներից որևէ մեկ։

${\displaystyle z_{0}}$-ի արժեքների բազմությունը, որոնց համար հաջորդականությունը ցույց է տալիս վարքի մեկ կոնկրետ տեսակ, ինչպես նաև կետերի բազմության երկատում տարբեր տիպերի միջև, հաճախ ունեն ֆրակտալ հատկություններ։

Այսպես, Ժուլիայի բազմությունը երկատման կետերի բազմության է ${\displaystyle F(z)=z^{2}+c}$ բազմանդամի համար (կամ այլ նման ֆունկցիայի), այսինքն՝ ${\displaystyle z_{0}}$ - ի այն արժեքները, որոնց համար ${\displaystyle z_{n}}$ հաջորդականության վարքը կարող է կտրուկ փոխվել ${\displaystyle z_{0}}$–ի կամայական փոքր փոփոխությունների դեպքում։

Ֆրակտալ ազմության ստացման մեկ այլ տարբերակ է պարամետրի ներմուծումը ${\displaystyle F(z)}$ բազմանդամում և պարամետրի այն արժեքների բազմության դիտարկումը, որոնց դեպքում ${\displaystyle z_{n}}$ հաջորդականությունը ցույց է տալիս որոշակի վարք ֆիքսված ${\displaystyle z_{0}}$ դեպքում։ Այսպես, Մանդելբրոտի բազմությունը բոլոր այն ${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$ բազմություն է, որոնց դեպքում ${\displaystyle z_{n}}$ ${\displaystyle F(z)=z^{2}+c}$-ի և ${\displaystyle z_{0}}$-ի համար չի ձգտում անսահմանության։

Այս տեսակի ևս մեկ հայտնի օրինակ է Նյուտոնի լողավազանները։

Տարածված է գեղեցիկ գրաֆիկական պատկերների ստեղծումը, որը հիմնված է կոմպլեքս դինամիկայի վրա՝ հարթության կետերը գունավորելու միջոցով՝ կախված համապատասխան դինամիկ համակարգերի վարքից։ Օրինակ, Մանդելբրոտի բազմութքյան լրացման համար կարելի է գունավորել կետերը՝ կախված ${\displaystyle z_{n}}$-ի անսահմանության ձգտման արագությունից (որը սահմանվում է, օրինակ, ամենափոքր ${\displaystyle n}$ համարը, որի դեպքում ${\displaystyle |z_{n}|}$ կգերազանցի ${\displaystyle A}$ ֆիքսված մեծությանը)։

Բիոմորֆները ֆրակտալներ են, որոնք կառուցված են բարդ դինամիկայի հիման վրա և նման են կենդանի օրգանիզմների։

Բնական օբյեկտները հաճախ ունենում են ֆրակտալ ձև։ Դրանց մոդելավորման համար կարող են օգտագործվել ստոխաստիկ (պատահական) ֆրակտալները։ Ստոխաստիկ ֆրակտալների օրինակներ.

• Բրոունյան շարժման հետագիծը հարթության վրա և տարածության մեջ,
• Բրոունյան շարժման հետագծի սահմանը հարթության վրա։ 2001 թվականին Լոուլերը, Շրամը և Վերները ապացուցել են Մանդելբրոտի ենթադրությունն այն մասին, որ դրա չափականությունը 4/3 է։
• Շրամ-Լյովներիի էվոլյուցիաները Կոնֆորմ արտապատկերվող ֆրակտալ կորեր են, որոնք ծագում են Վիճակագրական մեխանիկայի կրիտիկական երկչափական մոդելներում, օրինակ՝ Իզինգի մոդելում և պերկոլյացիայում։
• Տարբեր տեսակների պատահական ֆրակտալներ, այսինքն՝ ռեկուրսիվ ընթացակարգի միջոցով ստացված ֆրակտալներ, որտեղ ամեն քայլափոխի մտցվում է պատահական պարամետր։ Պլազման նման ֆրակտալի օգտագործման օրինակ է համակարգչային գրաֆիկայում։

Բնական օբյեկտները (քվազիֆրակտալները) իդեալական վերացական ֆրակտալներից տարբերվում են ոչ լիարժեքությամբ և կառուցվածքի կրկնության անճշտությամբ։ Բնության մեջ հանդիպող ֆրակտալանման կառույցների մեծ մասը (ամպերի սահմանները, ափերի գիծը, ծառերը, բույսերի տերևները, մարջանները) քվազիֆրակտալներ են, քանի որ որոշ փոքր մասշտաբում ֆրակտալ կառուցվածքը անհետանում է։ Բնական կառույցները չեն կարող լինել իդեալական ֆրակտալներ կենդանի բջիջների չափսերի սահմանափակումների և մոլեկուլների չափերի պատճառով։

• Կենդանի բնության մեջ։
  • Կորալներ
  • Ծովային աստղեր և ծովոզնիներ
  • Ծովային խեցիներ
  • Ծաղիկներ և բույսեր (բրոկկոլի, ծաղկակաղամբ)
  • Ծառերի սաղարթներ և բույսերի տերևներ
  • Մրգեր (արքայախնձոր)
  • Մարդկանց և կենդանիների արյան շրջանառության
• Clouds and rainfall areas^[28] և բրոնխների համակարգեր
  • Միկրոֆիլամենտներ^[29]
  • Ջրիմուռներ
  • Սպիտակուցներ^[30]
• Անկենդան բնություն.
  • Աշխարհագրական օբյեկտների սահմաններ (երկրներ, շրջաններ, քաղաքներ)
  • Ջրափնյա գիծ
  • Լեռնաշղթաներ
  • Ձյան փաթիլներ^[31]
  • Ամպեր
  • Կայծակ
  • Ձյան նախշեր պատուհանի ապակու վրա
  • Բյուրեղներ^[32]
  • Երկրաշարժներ^[33][34]
  • Խզումային խախտումներ
  • Օվկիանոսի ալիքներ^[35]
  • Սատուրնի օղակներ^[36][37]
  • Ստալակտիտներ, ստալագմիտներ, հելիկտիտներ։

1999 թվականից ավելի քան 10 գիտական խմբեր իրականացրել են ֆրակտալ վերլուծություն Ջեքսոն Փոլոքի (1912-1956) ավելի քան 50 գեղանկարների վերաբերյալ, որոնք ստեղծվել են ներկն ուղղակիորեն հորիզոնական կտավների վրա լցնելով^{[38][39][40][41][42][43][44][45][46][47][48][49][50]}։ Կոգնիտիվ նեյրոկենսաբանները ցույց են տվել, որ Փոլոքի ֆրակտալները նույնքան են նվազեցնում սթրեսը դիտորդների մոտ, որքան համակարգչի կողմից ստեղծված ֆրակտալներն ու բնության ֆրակտալները^[51]։

Ֆիզիկայում ֆրակտալները բնականորեն ձևավորվում են ոչ գծային գործընթացների մոդելավորման ժամանակ, ինչպիսիք են հեղուկի մրրկային հոսքը, դիֆուզիոն-ադսորբման բարդ գործընթացները, կրակը, ամպերը և այլն։ Ֆրակտալներն օգտագործվում է ծակոտկեն նյութերի մոդելավորման մեջ, օրինակ՝ նավթաքիմիական նյութերում։ Կենսաբանության մեջ դրանք օգտագործվում են պոպուլյացիաների մոդելավորելու և ներքին օրգանների համակարգերը (արյունատար անոթների համակարգը) նկարագրելու համար։ Կոխի կորի ստեղծումուց հետո առաջարկվել է այն օգտագործել ափագծի երկարությունը հաշվարկելու համար։

Ֆրակտալ երկրաչափության օգտագործումը ալեհավաքների նախագծման ժամանակ առաջին անգամ կիրառվել է ամերիկացի ինժեներ Նաթան Քոենի կողմից, որն այն ժամանակ ապրում էր Բոստոնի կենտրոնում, որտեղ արգելված էր արտաքին ալեհավաքների տեղադրումը շենքի վրա։ Նաթանն ալյումինե փայլաթիթեղից կտրել է Կոխի կորի տեսքով կազմվածքը և այն փակցրել թղթի վրա, այնուհետև միացրել ռադիոընդունիչին։

Քոենը հիմնել է իր սեփական ընկերությունը և սկսել իր ալեհավաքների սերիական թողարկումը։ Այդ ժամանակներից ի վեր ֆրակտալ ալեհավաքները տեսությունը շարունակում է ինտենսիվորեն զարգանալ^{[52][53] [54]}։ Նման ալեհավաքների առավելությունն այն է, որ դրանք բազմաբնույթ են և համեմատաբար լայնաշերտ։

Գոյություն ունեն ֆրակտալների միջոցով պատկերի սեղմման ալգորիթմներ։ Դրանք հիմնված են այն գաղափարի վրա, որ պատկերի փոխարեն կարելի է պահպանել սեղմող արտացոլումը, որի համար այդ պատկերը (կամ դրան մոտ պատկեր) անշարժ կետ է։ Այս ալգորիթմի տարբերակներից մեկն օգտագործվել է^[55] Microsoft ընկերության կողմից իր հանրագիտարանը հրատարակելիս, սակայն այդ ալգորիթմները մեծ տարածում չեն ստացել։

Ֆրակտալները լայնորեն կիրառվում են համակարգչային գրաֆիկայում բնական օբյեկտների պատկերներ կառուցելու համար, ինչպիսիք են ծառերը, թփերը, լեռնային լանդշաֆտները, ծովերի մակերևույթները և այլն։ Կան բազմաթիվ ծրագրեր, որոնք ծառայում են Ֆրակտալ պատկերների գեներացման համար։

Netsukuku ցանցում IP հասցեների նշանակման համակարգն օգտագործում է տեղեկատվության ֆրակտալ սեղմման սկզբունքը ցանցի հանգույցների մասին տեղեկատվության կոմպակտ պահպանման համար։ Netsukuku ցանցի յուրաքանչյուր հանգույց պահպանում է միայն 4 ԿԲ տեղեկատվություն հարևան հանգույցների կարգավիճակի մասին, միևնույն ժամանակ, ցանկացած նոր հանգույց միանում է ընդհանուր ցանցին առանց IP-հասցեների բաշխման կենտրոնական կարգավորման անհրաժեշտության, ինչը, օրինակ, բնորոշ է ինտերնետին։ Այսպիսով, տեղեկատվության ֆրակտալ սեղմման սկզբունքը երաշխավորում է ամբողջովին ապակենտրոնացված, և, հետևաբար, ամբողջ ցանցի առավել կայուն աշխատանքը։

• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 

• Системы Линденмайера (L-Системы). Онлайн инструмент для генерации геометрических фракталов.
• Фракталы в простых числах — Статья Сергея Герасимова на habrahabr
• Статья о фракталах. Приведены примеры расчёта и построения графической интерпретации некоторых алгебраических и геометрических фракталов. Имеются ссылки на онлайн генераторы и исходные коды на C#.
• Надежда Атаева, Фрактальные множества Արխիվացված 2011-06-16 Wayback Machine (Санкт-Петербургский государственный университет: ПМ-ПУ)
• Обаяние самоподобия. Лампочка Мандельброта и многое другое в галерее фракталов от Ленты. Ру // Лента. Ру, 27 фото.
• Фракталы — геометрия природы. Реализация фракталов в delphi и многое другое в Клубе программистов.
• «Фракталы. Поиски новых размерностей» (անգլ.՝ Fractals. Hunting The Hidden Dimension) — научно-популярный фильм, снятый в 2008 г.
• Фракталы на Элементы.ру
• J. J. O'Connor, E. F. Robertson (2009-02). MacTutor History of Mathematics archive. School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland History of Fractal Geometry http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/fractals.html%7Ctitle=A History of Fractal Geometry. {{cite web}}: Check |url= value (օգնություն); Missing or empty |title= (օգնություն)(չաշխատող հղում)

Վիքիպահեստն ունի նյութեր, որոնք վերաբերում են «Ֆրակտալ» հոդվածին։

Բառարաններ և հանրագիտարաններ Բրիտանիկա · Մեծ կատալոնական · Մեծ նորվեգական · Մեծ նորվեգական · MESH ID · Universalis   Չափորոշչային վերահսկողություն BNF: 119730272 · LCCN: sh85051147 · LNB: 000134137 · Microsoft: 40636538 · NDL: 00576561 · NKC: ph120342