Congruencia (álxebra)

En matemáticas, en particular en álxebra abstracta, unha relación de congruencia ou simplemente congruencia é unha relación de equivalencia que é compatíbel con algunhas operacións alxébricas.

O exemplo típico de congruencia é a congruencia sobre os enteiros da aritmética modular.

Na teoría de números, o termo congruencia úsase para designar que dous números enteiros ${\displaystyle a\,}$ e ${\displaystyle b\,}$ teñen o mesmo resto ao dividilos por un número natural ${\displaystyle m\,}$, chamado o módulo; isto exprésase utilizando a notación

${\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}}$

que se expresa dicindo que ${\displaystyle a\,}$ é congruente con ${\displaystyle b\,}$ módulo ${\displaystyle m\,}$. As seguintes expresións son equivalentes:

• ${\displaystyle a\,}$ é congruente con ${\displaystyle b\,}$ módulo ${\displaystyle m\,}$

${\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}}$

• O resto de ${\displaystyle a\,}$ entre ${\displaystyle m\,}$ é o resto de ${\displaystyle b\,}$ entre ${\displaystyle m\,}$

${\displaystyle a\;{\bmod {\;}}m=b\;{\bmod {\;}}m}$

• ${\displaystyle m\,}$ divide exactamente á diferenza de ${\displaystyle a\,}$ e ${\displaystyle b\,}$

${\displaystyle m\mid a-b}$

• ${\displaystyle a\,}$ pódese escribir como a suma de ${\displaystyle b\,}$ e un múltiplo de ${\displaystyle m\,}$

${\displaystyle \exists k\in \mathbb {Z} \quad a=b+km}$

O termo congruencia utilízase ademais con dous sentidos lixeiramente diferentes:

Por un lado, co sentido de identidade matemática. Como exemplo deste uso temos o pequeno teorema de Fermat que asegura que para cada primo ${\displaystyle p\,}$ e cada enteiro ${\displaystyle a\,}$ non divisíbel por ${\displaystyle p\,}$ temos a congruencia:

${\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}.}$

Por outro lado utilízase no sentido de ecuación, onde aparecen unha ou máis incógnitas, preguntámonos se unha congruencia ten solución e, en caso afirmativo, cales son todas as súas solucións. Por exemplo, a congruencia ${\displaystyle x^{2}-5\equiv 0{\pmod {11}}}$, ten solución, e todas as súas solucións veñen dadas por ${\displaystyle x\equiv 4{\pmod {11}}}$ e ${\displaystyle x\equiv 7{\pmod {11}}}$, é dicir ${\displaystyle x\,}$ pode ser calquera enteiro das sucesións ${\displaystyle 11k+4\,}$ e ${\displaystyle 11k+7\,}$. Contrariamente, a congruencia ${\displaystyle x^{2}-2\equiv 0{\pmod {11}}}$, non ten solución.

A notación e a relación foron introducidas na terminoloxía por Carl Friedrich Gauss no seu libro Disquisitiones Arithmeticae en 1801. A súa utilización estendeuse a moitos outros ámbitos nos que podemos falar de divisibilidade, por exemplo, a polinomios con coeficientes nun corpo, a ideais de aneis de números alxébricos etc.

A relación de congruencia ten moitas propiedades en común coa igualdade. Por citar algunhas:

• A congruencia para un módulo fixo ${\displaystyle m}$ é unha relación de equivalencia xa que se verifican as propiedades:

1. reflexividade: ${\displaystyle a\equiv a{\pmod {m}}}$
2. simetría: se ${\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}}$ entón tamén ${\displaystyle b\equiv a{\pmod {m}}}$
3. transitividade: se ${\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}}$ e ${\displaystyle b\equiv c{\pmod {m}}}$ entón tamén ${\displaystyle a\equiv c{\pmod {m}}}$.

• Se ${\displaystyle a\,}$ é coprimo con ${\displaystyle m\,}$ e ${\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}}$, entón ${\displaystyle b\,}$ tamén é coprimo con ${\displaystyle m\,}$.
• Se ${\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}}$ e ${\displaystyle k\,}$ é un enteiro, entón tamén se cumpre
  • ${\displaystyle a+k\equiv b+k{\pmod {m}}}$
  • ${\displaystyle ka\equiv kb{\pmod {m}}}$
  • ${\displaystyle a^{k}\equiv b^{k}{\pmod {m}}\qquad k>0}$
• Se ademais ${\displaystyle k\,}$ é coprimo con ${\displaystyle m\,}$, entón podemos encontrar un enteiro ${\displaystyle h^{-1}\,}$, tal que

${\displaystyle kh^{-1}\equiv 1{\pmod {m}}}$

e entón ten perfecto sentido falar da división e tamén é certo que

${\displaystyle {\frac {a}{k}}\equiv {\frac {b}{k}}{\pmod {m}}}$

onde por definición ponemos ${\displaystyle a/k=ak^{-1}\,}$.

• Como consecuencia do anterior, se temos dous congruencias con igual módulo:

${\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}}$ e ${\displaystyle c\equiv d{\pmod {m}}}$

podemos sumalas, restalas ou multiplicalas de forma que tamén se verifican as congruencias

${\displaystyle a+c\equiv b+d{\pmod {m}}}$ e ${\displaystyle ac\equiv bd{\pmod {m}}}$

• Aritmética modular
• Resolución de congruencias
• Clase de equivalencia

• Weisstein, Eric W. Congruence en MathWorld. Wolfram Research. (en inglés) Consultada o 23/12/20123.
• Congruencias. Lecciones de Algebra. Jaime Gutiérrez Gutiérrez y Carlos Ruiz de Velasco y Bellas. PDF Arquivado 21 de xuño de 2012 en Wayback Machine. (en castelán) Consultada o 23/12/20123.