Congruência (álgebra)

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Em álgebra diz-se que a é congruente a b módulo m se m|(a - b). Usamos como símbolo de a congruente a b modulo m :${\displaystyle a\equiv b(mod\;m)}$.

Carl Friedrich Gauss foi o grande introdutor da congruência, pois começou a mostrar ao mundo a congruência a partir de um trabalho realizado em 1801, Disquisitiones Arithmeticae, quando tinha apenas 24 anos de idade. Várias ideias usadas na teoria dos números foram introduzidas neste trabalho, até mesmo o símbolo usado na congruência atualmente foi o que Gauss usou naquela época.

• Se ${\displaystyle a\equiv b(mod\;m)}$ então existe um inteiro k tal que a = b + km.
• Sempre ${\displaystyle a\equiv a(mod\;m)}$;
• Se ${\displaystyle a\equiv b(mod\;m)}$, então: ${\displaystyle b\equiv a(mod\;m)}$;
• Se ${\displaystyle a\equiv b(mod\;m)}$ e ${\displaystyle b\equiv c(mod\;m)}$, então: ${\displaystyle a\equiv c(mod\;m)}$;
• Se ${\displaystyle a.c\equiv b(mod\;m)}$ e ${\displaystyle c\equiv d(mod\;m)}$ , então ${\displaystyle ad\equiv b(mod\;m)}$
• Se ${\displaystyle a\equiv b(mod\;m)}$, então: ${\displaystyle (a+c)\equiv (b+c)(mod\;m)}$, onde c é um inteiro;
• Se ${\displaystyle a\equiv b(mod\;m)}$, então: ${\displaystyle (a-c)\equiv (b-c)(mod\;m)}$, onde c é um inteiro;
• Se ${\displaystyle a\equiv b(mod\;m)}$, então: ${\displaystyle a.c\equiv b.c(mod\;m)}$, onde c é um inteiro;
• Se ${\displaystyle a\equiv b(mod\;m)}$ e ${\displaystyle c\equiv d(mod\;m)}$, então: ${\displaystyle a+c\equiv b+d(mod\;m)}$;
• Se ${\displaystyle a\equiv b(mod\;m)}$ e ${\displaystyle c\equiv d(mod\;m)}$, então: ${\displaystyle a-c\equiv b-d(mod\;m)}$;
• Se ${\displaystyle a\equiv b(mod\;m)}$ e ${\displaystyle c\equiv d(mod\;m)}$, então: ${\displaystyle a.c\equiv b.d(mod\;m)}$;

Observe que desta última propriedade acima deriva que:

• Se ${\displaystyle a\equiv b(mod\;m)}$ e ${\displaystyle n}$ é um número inteiro positivo, então: ${\displaystyle a^{n}\equiv b^{n}(mod\;m)}$;

• Se ${\displaystyle a.c\equiv b.c(mod\;m)}$, então: ${\displaystyle a\equiv b(mod\;m/d)}$, onde d é o máximo divisor comum de c e m.
• Se ${\displaystyle ab\equiv c(mod\;m)}$ e ${\displaystyle a\equiv a_{1}(mod\;m)}$ e ${\displaystyle b\equiv b_{1}(mod\;m)}$, então:

${\displaystyle {a_{1}}{b_{1}}\equiv c(mod\;m)}$;

${\displaystyle (m\pm a)(m\pm b)\equiv c(mod\;m)}$;

${\displaystyle (m\pm a_{1})(m\pm b_{1})\equiv c(mod\;m)}$

(Isto vale não apenas para dois fatores, como no caso, a e b).

Devido a uma propriedade das potências e outra das congruências já apresentadas:

• Se ${\displaystyle a^{b}\equiv c{\pmod {m}}}$, então ${\displaystyle a^{bn}\equiv c^{n}{\pmod {m}}}$.

Chamemos de congruência linear em uma variável x uma congruência da forma: ${\displaystyle a.x\equiv b(mod\;m)}$.

• Tenhamos uma congruência ${\displaystyle a.x\equiv b(mod\;m)}$ e seja d o MDC de a e m, então se d não divide b, não temos nenhuma solução, mas, se d|b então temos exatamente d soluções incongruentes modulo m.

Uma equação diofantina é uma equação da forma ${\displaystyle \;ax+by=c}$. Seja ${\displaystyle \;d}$ o MDC de ${\displaystyle \;a}$ e ${\displaystyle \;b}$, se ${\displaystyle \;d}$ não divide ${\displaystyle \;c}$ então não teremos nenhuma solução inteira, mas, se ${\displaystyle \;d|c}$ então existem infinitas soluções inteiras dadas pela forma: ${\displaystyle X=X_{0}+(b/d)k}$ e ${\displaystyle Y=Y_{0}-(a/d)k}$, onde ${\displaystyle X_{0}}$ e ${\displaystyle Y_{0}}$ são soluções particulares e ${\displaystyle \;k}$ é qualquer inteiro.

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