ZFC

ZFC estas mallongigo por la aroteorio laŭ Zermelo kaj Fraenkel, kun la aksiomo de elekto (angle choice, france choix).

En la jaro 1908, Ernst Zermelo proponis la Zermelo aroteorio kiel aksiomata matematika bazo. Tamen en la jaro 1925, Abraham Fraenkel skribis leteron al Ernst Zermelo kaj menciis ke ne la kardinala nombro ${\displaystyle \aleph _{\omega }}$ kaj la aro ${\displaystyle \{Z_{0},{\mathcal {P}}(Z_{0}),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(Z_{0})),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(Z_{0}))),...\},}$ (ĉi tie, ${\displaystyle Z_{0}}$ estas senfinia aro kaj ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ signifas aro de ĉiuj subaroj de ${\displaystyle X}$) ne estas konstruebla per lia teorio.

Kun Thoralf Skolem, ili proponis novajn aksiomojn, aldonis la aksiomon de reguleco, kaj anstataŭigis la aksiomon de specifio per la aksiomo de apartigo. Tiu aksiomaro estas konata kiel ZF. Kun la aksiomo de elekto, la aksiomaro nomiĝas ZFE (pli kutime ZFC laŭ la angla aŭ la franca).

Supozu ke ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, kaj ${\displaystyle c}$ estas aroj. Per la aksiomo de etendo oni povas difini la koncepton de egaleco de aroj. Unu aro egalas la alian aron se ĉiu elemento ekzistas en ambaŭ aroj:

${\displaystyle \forall a\forall b[\forall c(c\in a\Leftrightarrow c\in b)\implies a=b]}$

Supozu ke ${\displaystyle a}$ kaj ${\displaystyle b}$ estas aroj. Per la aksiomo oni povas eldoni elementon de aro se la aro havas pli ol nul elementojn:

${\displaystyle \forall a(a\neq \varnothing \implies \exists b(b\in a\land b\cap a=\varnothing ))]}$

Interesa demando estas kial oni bezonas ${\displaystyle b\cap a=\varnothing }$ en la formulo. La kialo estas la evito de la paradokso de Bertrand Russell.

Supozu ke ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, kaj la finia vico ${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{n}}$ estas aroj. Cetere supozu ke ${\displaystyle \varphi }$ estas predikato (petas arojn en rondaj krampoj kiel argumentoj kaj respondas pravon aŭ malpravon).

${\displaystyle \forall e_{1},\dots ,e_{n}\forall c\exists b\forall a(a\in b\iff [a\in c\land \varphi (a,e_{1},\dots ,e_{n},c)])}$

La ideo de la aksiomo estas ke per la predikato oni povas elekti subaro ${\displaystyle b}$ de la baza aro ${\displaystyle c}$.

Supozu ke ${\displaystyle a}$ kaj ${\displaystyle b}$ estas aroj. Oni povas krei superaro de elementoj de ${\displaystyle a}$ kaj ${\displaystyle b}$, nome ${\displaystyle c}$:

${\displaystyle \forall a\forall b\exists c((a\in c)\land (b\in c))}$

Supozu ke ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, kaj ${\displaystyle c}$ estas aroj. Supozu ke ${\displaystyle k}$ estas aro de aroj. La aksiomo diras ke oni povas elpreni ĉiu elemento de la aroj de ${\displaystyle k}$ kaj enmeti ĝin en kuna aro ${\displaystyle a}$:

${\displaystyle \forall k\exists a\forall b\forall c[(c\in b\land b\in k)\implies c\in a]}$

La signo ${\displaystyle \exists !}$ signifas ke akurate nur unu elementon ekzistas. Kontraŭe la signo ${\displaystyle \exists }$ signifas ke unu elemento aŭ pli da elementoj ekzistas.

Supozu ke ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle d}$, kaj ${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{n}}$ estas aroj. Cetere supozu ke ${\displaystyle \varphi }$ estas predikato.

${\displaystyle \forall a\forall e_{1},\dots ,e_{n}[\forall c(c\in a\implies \exists !\,d:\varphi (a,c,e_{1},\dots ,e_{n},d))\implies \exists b\forall c(c\in a\implies \exists d(d\in b\land \varphi (a,c,e_{1},\dots ,e_{n},d)))]}$

La aksiomo enkondukas la ideon de ĵeto. La funkcio ${\displaystyle f(n)=-n}$ reprezentas ke oni povas ĵeti la nombron 3 al -3 kaj la nombro 42 al -42. Sed oni devas difini la baza aro de la nombroj ${\displaystyle \{3,42\}}$ kaj ${\displaystyle \{-3,-42\}}$. En la aksiomo oni ne jam povas uzi la koncepton de funkcio sed la ideo estas ke ${\displaystyle a}$ estas la aro ${\displaystyle \{3,42\}}$ kaj ${\displaystyle b}$ estas la aro ${\displaystyle \{-3,-42\}}$. Per ${\displaystyle \varphi }$ oni povas ĵeti elementojn de ${\displaystyle a}$ al ${\displaystyle b}$.

Ni difinu la mallongigon ${\displaystyle S(n)}$ kiel ${\displaystyle \{d,\{d\}\}}$. Supozu ke ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, kaj ${\displaystyle c}$ estas aroj

${\displaystyle \exists a[\exists b(\forall c(c\not \in b)\land b\in a)\land \forall d(d\in a\implies S(d)\in a)]}$

Tielmaniere oni povas krei la naturajn nombrojn:

0	${\displaystyle \{\}}$	${\displaystyle \varnothing }$
1	${\displaystyle \{0\}}$	${\displaystyle \{\varnothing \}}$
2	${\displaystyle \{0,1\}}$	${\displaystyle \{\varnothing ,\{\varnothing \}\}}$
3	${\displaystyle \{0,1,2\}}$	${\displaystyle \{\varnothing ,\{\varnothing \},\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\}}$
4	${\displaystyle \{0,1,2,3\}}$	${\displaystyle \{\varnothing ,\{\varnothing \},\{\varnothing ,\{\varnothing \}\},\{\varnothing ,\{\varnothing \},\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\}\}}$

Supozu ke ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, kaj ${\displaystyle c}$ estas aroj:

${\displaystyle \forall a\exists b\forall c(c\subseteq a\implies c\in b)}$

Do por ĉiu subaro ${\displaystyle c}$, oni povas enmeti ĉi tiu subaro al ${\displaystyle b}$. Tiel oni povas kolekti la tutan aron de subaroj. Fakte oni kutime difinas funkcion ${\displaystyle P(a)}$ kiu kreas la aro de ĉiuj subaroj (kun la nomo ${\displaystyle P}$ ĉar alia nomo estas “potencaro”):

${\displaystyle P(\{1,2,3\})=\{\{\},\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}}$

Ĉi tiu aksiomo kontribuas la C en ZFC. Supozu ke ${\displaystyle a}$ kaj ${\displaystyle b}$ estas aroj kaj ${\displaystyle \varphi }$ estas predikato:

${\displaystyle \forall b(\forall a(a\in b)\implies a\neq \varnothing )\implies (\exists \varphi (\forall a(a\in b)\implies \varphi (a)\in a))}$

La aksiomo diras ke, por ĉiu aro kun pli ol unu elemento, oni povas trovi predikaton ${\displaystyle \varphi }$ kiu elektas elementon de la aro. Se vi havas la aron ${\displaystyle b}$ kiel ${\displaystyle \{\{1\},\{1,2\},\{1,3\}\}}$, la predikato ${\displaystyle \varphi (a):=1}$ plenumas la kriterion. Ĝenerale por entjeraj finiaj aroj, oni povas difini ${\displaystyle \varphi (a):=\operatorname {min} (a)}$. Sed la situacio pri senfinaj aroj estas malfacila kaj oni bezonas la aksiomon de elekto. Pli detale, la aksiomo estas diskutata en aparta artikolo.