Axiomas de Zermelo-Fraenkel

En lógica y matemáticas, los axiomas de Zermelo-Fraenkel, formulados por Ernst Zermelo y Adolf Fraenkel, son un sistema axiomático concebido para formular la teoría de conjuntos. Normalmente se abrevian como ZF o en su forma más común, complementados por el axioma de elección (axiom of Choice), como ZFC.

Durante el siglo XIX algunos matemáticos trataron de llevar a cabo un proceso de formalización de la matemática a partir de la teoría de conjuntos. Gottlob Frege intentó culminar este proceso creando una axiomática de la teoría de conjuntos. Bertrand Russell descubrió en 1901 una contradicción, la llamada paradoja de Russell. Consecuentemente, a principios del siglo XX se realizaron varios intentos alternativos y hoy en día ZFC se ha convertido en el estándar de las teorías axiomáticas de conjuntos.

La teoría de conjuntos es una rama de la matemática relativamente moderna cuyo propósito es estudiar unas entidades llamadas conjuntos, aunque otra parte de esta teoría es reconocida como los fundamentos mismos de las matemáticas. La teoría de conjuntos fue desarrollada por el matemático alemán Georg Cantor a finales del siglo XIX a partir de ciertas conclusiones hechas por él mismo al reflexionar en unos detalles de las series trigonométricas de Fourier. La teoría de conjuntos fue expuesta por Cantor en una serie de artículos y libros, de los cuales pueden destacarse sus Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre.

El propósito de Cantor era proporcionar un método para lidiar con asuntos relacionados al infinito actual, un concepto que fue rehuido y rechazado por algunos matemáticos (Kronecker) por considerarlo sin significado. Ciertamente Cantor tuvo éxito, si bien su teoría debía ser precisada y sometida a un sistema axiomático, un proyecto que luego fue llevado a cabo principalmente por Frege, Russell, Zermelo, Albert Skolem y Adolf Fraenkel.

Cantor partió de la convicción platonista de que era posible “comprimir” una colección o conjunto de objetos y considerarla como un todo (o mejor dicho, como una sola entidad), y al parecer, aceptando implícitamente los supuestos siguientes:

(i) Un conjunto es una reunión de objetos que cumplen con cierta propiedad (llamados los elementos de ese conjunto) y que, por tanto, queda definido por tal propiedad.

(ii) Un conjunto es una sola entidad matemática, de modo que puede a su vez ser contenido por otro conjunto.

(iii) Dos conjuntos que tengan los mismos elementos son iguales. Así, puede decirse que un conjunto está determinado por sus elementos.

De este modo, Cantor pudo desarrollar su teoría de una forma que en aquel entonces parecía lo suficientemente satisfactoria. Sin embargo, el sistema de Cantor era tan permisivo que dio lugar a resultados contradictorios. Gottlob Frege, que ideó un sistema más preciso, intentó fundamentar adecuadamente la teoría de conjuntos (y por tanto todas las matemáticas), pero, para su desaliento, Bertrand Russell descubrió una paradoja en la teoría de aquel (hoy llamada paradoja de Russell), con lo que el sistema de Frege parecía desbaratarse. A principios del siglo XX, fue el matemático alemán Ernst Zermelo quien puso la teoría de conjuntos sobre una base aceptable reduciéndola a un sistema axiomático más restringido que no permitía la obtención de la Paradoja de Russell. Las ideas de Zermelo fueron después precisadas por Thoralf Skolem y Abraham Fraenkel, resultando de ello la primera teoría axiomática de conjuntos, conocida como teoría de Zermelo-Fraenkel, aunque sería más adecuada llamarla teoría de Zermelo-Fraenkel-Skolem. John von Neumann, Paul Bernays y Kurt Gödel desarrollaron después otra teoría de conjuntos que evitaba las paradojas de la teoría cantoriana: la teoría de von Neumann-Bernays-Gödel.

El concepto de conjunto se encuentra a un nivel tan elemental que no es posible dar una definición precisa del mismo. Palabras como colección, reunión, agrupación, y algunas otras de significado similar, se usan en un intento de describir a los conjuntos, pero no pueden constituir una definición, pues son simplemente un reemplazo de la palabra conjunto. Con todo, en la teoría intuitiva de conjuntos lo anterior es admisible, y se acepta la existencia de un universo o dominio de objetos a partir del cual se construyen los conjuntos, así como también permite tratar conjuntos como una entidad singular. No es de importancia la naturaleza de los objetos, sino el comportamiento de un conjunto como entidad matemática.

De lo dicho anteriormente, parece natural introducir una relación diádica de pertenencia. El símbolo usual para representar esta relación es el símbolo ${\displaystyle \in }$, una versión de la letra griega ${\displaystyle \epsilon }$ (épsilon). Los segundos argumentos de la relación ${\displaystyle \in }$ son llamados conjuntos, y los primeros argumentos son llamados elementos. Así, si la fórmula

${\displaystyle a\in X}$

se cumple, se dice que ${\displaystyle a}$ es un elemento del conjunto ${\displaystyle X}$. Si aceptamos que todo es un conjunto, entonces los primeros y segundos argumentos de ${\displaystyle \in }$ pertenecen al mismo dominio.

La negación de ${\displaystyle a\in X}$ se escribe ${\displaystyle a\notin X}$.

Bajo estos supuestos puede desarrollarse un poco la teoría de conjuntos. Sin embargo, la concepción intuitiva de conjuntos no permite llegar tan lejos como pudiera desearse, pues llega un momento en que, como sucede en otras áreas de las matemáticas, la intuición es de poca o ninguna ayuda (por ejemplo como pasa al hablar de la hipótesis del continuo, de espacios de dimensión mayor que tres, etc.). Es en momentos como ese en que se hace evidente la necesidad de axiomatizar y formalizar la teoría de conjuntos para poder llegar a resultados más profundos. Esto implica renunciar a una definición intuitiva de conjunto, y en su lugar postular una serie de principios que determinen el comportamiento de este, de tal forma que los resultados obtenidos no son ya consecuencia de razonamientos intuitivos flojos, sino que se obtienen a partir de tales principios.

En la teoría de Cantor, es posible formar un conjunto a partir de una propiedad determinada que deben cumplir sus elementos. En otras palabras, dada cualquier propiedad ${\displaystyle P}$, existe un conjunto ${\displaystyle X}$ cuyos elementos son precisamente los objetos que verifican ${\displaystyle P(a)}$. En símbolos, este conjunto se representa por

${\displaystyle \{a\mid P(a)\}.}$

Así, por ejemplo, considerando la fórmula ${\displaystyle a=a}$, se obtiene el conjunto

${\displaystyle V=\{a\mid a=a\},}$

que claramente lo contiene todo. Este conjunto recibe el nombre de Conjunto universal y no se le puede aplicar alguno de los resultados de Cantor, ya que esto conduce a ciertas paradojas. Como otro ejemplo más claro de conjuntos contradictorios debido a su 'gran tamaño', está el que da lugar a la paradoja de Russell. Consideremos el conjunto ${\displaystyle X}$ cuyos elementos son aquellos conjuntos que no se pertenecen a sí mismos. Esto es, el conjunto

${\displaystyle X=\{a\mid a\notin a\}.}$

La paradoja de Russell surge al preguntarse: ¿es ${\displaystyle X}$ un elemento de sí mismo? Si lo es, es decir, si ${\displaystyle X\in X}$, entonces ${\displaystyle X}$ no satisface la condición ${\displaystyle X\notin X}$, lo que es una contradicción. Si ${\displaystyle X\notin X}$, entonces ${\displaystyle X}$ satisface la condición para ser uno de sus elementos, y así ${\displaystyle X\in X}$, de nuevo una contradicción. Así, ${\displaystyle X}$ no puede ni ser un elemento de sí mismo ni no serlo. En un intento de eliminar esta paradoja, Russell y Whitehead desarrollaron la teoría de tipos y la expusieron en un libro titulado Principia Mathematica. Si bien esta teoría elimina la paradoja de Russell, resulta bastante complicada. La teoría de conjuntos de Zermelo, mucho más simple a nivel lógico, lograba eliminar tanto la paradoja de Russell como todas las demás que surgían en el sistema de Cantor y en el de Frege.

La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel toma como primitivos los conceptos de conjunto y de pertenencia y consta de los diez axiomas siguientes:

1. Axioma de extensionalidad. Dos conjuntos ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ son iguales (lo que se representa por ${\displaystyle X=Y}$) si contienen los mismos elementos. Más formalmente, y en la simbología usual, ${\displaystyle \forall a,\;(a\in X\leftrightarrow a\in Y)\Rightarrow X=Y}$

2. Axioma del conjunto vacío. Existe un conjunto (representado por Ø) sin elementos. Esto es, ${\displaystyle \exists \emptyset :\forall a,\;a\notin \emptyset }$.

3. Axioma de pares. Dados cualesquiera conjuntos ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$, existe otro conjunto, representado por ${\displaystyle \{x,y\}}$, cuyos elementos son únicamente ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$. Esto es, ${\displaystyle \forall x,y\;\exists z\;/\;(\forall a,\;a\in z\leftrightarrow a=x\lor a=y)}$.

4. Axioma de la unión. Dado cualquier conjunto ${\displaystyle C}$, existe un conjunto, representado por ${\displaystyle \bigcup C}$ y llamado unión de ${\displaystyle C}$, que contiene todos los elementos de cada elemento de ${\displaystyle C}$. Esto es, ∀X,∃Y/(∀a:a∈Y↔∃Z∈X∧a∈Z)

5. Axioma del conjunto potencia Para cualquier conjunto ${\displaystyle x}$ existe otro conjunto, representado por ${\displaystyle {\mathcal {P}}(x)}$, que contiene todos los subconjuntos de ${\displaystyle x}$. En símbolos, ∀X∃Y/(∀Z:Z∈Y↔(∀a∈Z→a∈X))

6. Esquema axiomático de especificación. Sea ${\displaystyle \phi (v)}$ una fórmula de un lenguaje de primer orden que contenga una variable libre ${\displaystyle v}$. Entonces, para cualquier conjunto ${\displaystyle x}$ existe un conjunto ${\displaystyle y}$ cuyos elementos son aquellos elementos ${\displaystyle a}$ de ${\displaystyle x}$ que cumplen ${\displaystyle \phi (a)}$. Formalmente, ∀X∃Y/(∀a:a∈Y↔a∈X∧P(a))

7. Esquema axiomático de reemplazo. Si ${\displaystyle \phi (a,b)}$ es una sentencia tal que para cualquier elemento ${\displaystyle a}$ de un conjunto ${\displaystyle x}$ el conjunto ${\displaystyle y=\{b\mid \phi (a,b)\}}$ existe, entonces existe una función f:x→y tal que f(a)=b. Formalmente, si P(x,y)/(∀x∈A∃y:P(x,y)) entonces ∀A,∃B/(∀x∈A∃y∈B/P(x,y)cierta)

8. Axioma de infinitud. Existe un conjunto ${\displaystyle x}$ tal que ${\displaystyle \emptyset \in x}$ y tal que si ${\displaystyle y\in x}$, entonces ${\displaystyle y\cup \{y\}\in x}$. En símbolos, ∃X/(Ø∈X∧(∀Y∈X:S(Y)∈X))

9. Axioma de regularidad. Para todo conjunto no vacío ${\displaystyle x}$ existe un conjunto ${\displaystyle y\in x}$ tal que ${\displaystyle x\cap y=\emptyset }$. Esto es, en términos formales, ∀X∃Y/(Y∈X∧X∩Y=∅)

10. Lema de Zorn. Dado un conjunto ordenado no vacío tal que todas sus cadenas tienen una cota superior, contiene al menos un elemento maximal.

En un principio Zermelo trató de probar el "Lema de Zorn" a partir de los otros nueve axiomas, pero no lo consiguió, además, posteriormente los Teoremas de Incompletitud de Gödel probaron que el Lema de Zorn no era demostrable a partir de los restantes axiomas. Por lo tanto se añadió como décimo axioma de la teoría.

Es equivalente a

Axioma de elección. Dada una familia de conjuntos no vacíos podemos elegir un elemento de cada conjunto. Este axioma puede expresarse de manera equivalente a, dado un conjunto cualquiera x, existe una función f que elige un elemento de cada conjunto no vacío de x:

${\displaystyle \forall x\exists f:x\to \cup x,\forall a(a\in x\wedge a\neq \emptyset \to f(a)\in a).}$

El axioma de extensionalidad dice que dos conjuntos son iguales si y solo si tienen los mismos elementos. En otras palabras, afirma que un conjunto está determinado por su extensión (todos sus elementos). Una relación más general que la igualdad es la inclusión (${\displaystyle \subseteq }$), que se define como sigue:

${\displaystyle x\subseteq y\ \equiv \ \forall a(a\in x\rightarrow a\in y)}$

A diferencia del signo de la igualdad, el símbolo ${\displaystyle \subseteq }$ no figura dentro del lenguaje de primer orden con el que se construye la teoría ZF, pues la definición antes dada debería en ese caso ser introducida como un axioma que establezca el empleo de ${\displaystyle \subseteq }$, cosa que no se ha hecho aquí. En su lugar, la simbología ${\displaystyle x\subseteq y}$ se emplea simplemente para representar la fórmula ${\displaystyle \forall a(a\in x\rightarrow a\in y)}$ del lenguaje de la teoría de conjuntos.

En vista del axioma de extensionalidad y de la definición anterior, resulta que puede probarse que dos conjuntos ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ son iguales si puede probarse que ${\displaystyle x\subseteq y}$ e ${\displaystyle y\subseteq x}$.

El axioma del conjunto vacío nos da un conjunto sin elementos. Este axioma se presentó usando el símbolo ${\displaystyle \emptyset }$. Esto está justificado, pues el axioma de extensionalidad nos dice que este conjunto es único.

Demostración

En efecto, si ${\displaystyle \emptyset }$ y ${\displaystyle \emptyset '}$ fueran dos conjuntos vacíos, entonces siempre verificarían ${\displaystyle a\notin \emptyset }$ y ${\displaystyle a\notin \emptyset '}$ para cualquier a, y por tanto también ${\displaystyle \forall a,\ a\in \emptyset \leftrightarrow a\in \emptyset '}$, de modo que, por el axioma de extensionalidad, ${\displaystyle \emptyset =\emptyset '}$.

El axioma del conjunto vacío puede deducirse de otro axioma más débil, que afirma la existencia de un conjunto, digamos ${\displaystyle x}$, y del esquema de especificación con la fórmula ${\displaystyle a\neq a}$ aplicada a este conjunto ${\displaystyle x}$. Así, el conjunto vacío es el conjunto

${\displaystyle \{a\in x\mid a\neq a\},}$

con el término ${\displaystyle a\in x\mid a\neq a}$ una descripción impropia.

EL axioma de pares, un axioma de la teoría de Zermelo-Fraenkel, establece que, dados cualesquiera dos conjuntos ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$, existe otro conjunto, representado por ${\displaystyle \{x,y\}}$, cuyos elementos son únicamente ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$. Esto es,

(3)${\displaystyle \forall x,y\exists z\forall a(a\in z\ \leftrightarrow \ a=x\vee a=y).}$

Del axioma de pares se tiene, a partir de dos conjuntos ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$, el conjunto {${\displaystyle x,}$${\displaystyle y}$}. Este conjunto se llama par desordenado de ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$. Si se aplica el axioma de pares a un solo conjunto ${\displaystyle X}$, se obtiene el par {${\displaystyle x,x}$} cuyo único elemento es, obviamente, ${\displaystyle x}$, y por ello puede representarse como ${\displaystyle \{x\}}$. A este último conjunto puede aplicársele de nuevo el axioma de pares, dando lugar al conjunto {{${\displaystyle x}$}}, conjunto al cual puede aplicarse también el axioma de pares, obteniéndose el conjunto {{{${\displaystyle x}$}}}, y así sucesivamente. Este proceso de construcción de conjuntos puede aplicarse al único conjunto dado y conocido explícitamente, ${\displaystyle \emptyset }$, obteniéndose una serie infinita de conjuntos

${\displaystyle \emptyset ,\{\emptyset \},\{\{\emptyset \}\},\ldots }$

Si ${\displaystyle A}$ es una colección de conjuntos, entonces la unión ${\displaystyle \bigcup A}$ contiene aquellos y solo aquellos elementos que están en algún conjunto de ${\displaystyle A}$. Si ${\displaystyle A=\{x_{1},x_{2}\ldots x_{n}\}}$, un conjunto con ${\displaystyle n}$ elementos, entonces es común escribir

${\displaystyle x_{1}\cup \ x_{2}\cup \cdots \cup x_{n}}$

para representar la unión de los conjuntos de ${\displaystyle A}$. Es fácil ver que

${\displaystyle a\in x\cup y\ \leftrightarrow \ a\in x\vee a\in y,}$

de modo que el axioma de unión y el axioma de pares garantizan la existencia del conjunto ${\displaystyle x\cup y=\{a\mid a\in x\vee a\in y\}}$ para cualesquiera conjuntos ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$, un hecho que no puede deducirse simplemente del esquema de especificación junto con los axiomas restantes. A diferencia de la unión, la intersección de conjuntos es deducible a partir del axioma de pares y el esquema de especificación. Efectivamente, pues se define el conjunto ${\displaystyle x\cap y}$ mediante

${\displaystyle a\in x\cap y\ \leftrightarrow \ a\in x\wedge a\in y,}$

y por tanto ${\displaystyle x\cap y}$ existe. Más general, se define el conjunto

${\displaystyle \bigcap A=\{a\mid \forall y(y\in A\ \rightarrow \ a\in y\}.}$

El axioma del conjunto potencia nos da un conjunto que contiene a todos los subconjuntos de cualquier conjunto. Por tanto, ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\emptyset )=\{\emptyset \}}$. Puesto que ${\displaystyle x\in {\mathcal {P}}(x)}$ para cualquiera que sea el conjunto ${\displaystyle x}$, puede hacerse uso del esquema de especificación para obtener el conjunto

${\displaystyle \{x\}=\{a\in {\mathcal {P}}(x)\mid a=x\},}$

El esquema de especificación resulta ser una versión limitada o débil del axioma de Frege. Para este último, era posible tener un conjunto cuyos elementos satisfacían cierta propiedad. Con ello Frege garantizaba demasiado y daba lugar en su sistema a paradojas como la de Russell, entre otras. Por otra parte, el esquema de especificación va de acuerdo con una doctrina de reducción del tamaño. Permite obtener conjuntos a partir de otros, y cuyo tamaño es menor que el de aquellos de los que han sido obtenidos. Esto implica que, necesariamente, contemos con conjuntos previamente dados. Por tanto, nunca es posible pensar en la fórmula ${\displaystyle x\in x}$, pues el conjunto ${\displaystyle x}$ no puede ser obtenido sin más que sí mismo. La paradoja de Russell surge precisamente de considerar que conjuntos muy grandes pueden ser obtenidos de forma gratuita sin más que especificar cuales son sus elementos. Otras paradojas que tienen que ver con el gran tamaño de los conjuntos, quedan excluidas de ZF mediante el esquema de especificación. Ahora bien, el calificativo de esquema se debe a que no es un único axioma, sino que este afirma (metamatemáticamente) que cualquier expresión de la forma

${\displaystyle \forall x\exists y\forall a(a\in y\ \leftrightarrow \ a\in x\wedge \phi (a)),}$

donde ${\displaystyle \phi (a)}$ es una fórmula del lenguaje de la teoría de conjuntos es un axioma de ZF. Así, si consideramos la existencia de un conjunto ${\displaystyle x}$ como un axioma, el conjunto vacío sería también un axioma resultante de aplicar el esquema de especificación al conjunto ${\displaystyle x}$ con la fórmula ${\displaystyle a\neq a}$.

El esquema de especificación no es independiente en ZF, pues se deduce del esquema de reemplazo, introducido por Fraenkel y Skolem el mismo año y de forma independiente.