Abstract
Most convergence concepts for discretizations of nonlinear stiff initial value problems are based on one-sided Lipschitz continuity. Therefore only those stiff problems that admit moderately sized one-sided Lipschitz constants are covered in a satisfactory way by the respective theory. In the present note we show that the assumption of moderately sized one-sided Lipschitz constants is violated for many stiff problems. We recall some convergence results that are not based on one-sided Lipschitz constants; the concept of singular perturbations is one of the key issues. Numerical experience with stiff problems that are not covered by available convergence results is reported.
Zusammenfassung
Die meisten Konvergenzkonzepte für Diskretisierungen nichtlinearer steifer Anfangswertprobleme basieren auf dem Begriff der einseitigen Lipschitz-Stetigkeit. Folglich sind durch diese theoretischen Konzepte nur steife Probleme mit moderater einseitiger Lipschitzkonstante abgedeckt. In der vorliegenden Arbeit zeigen wir, daß die Annahme moderater einseitiger Lipschitzkonstanten für viele steife Probleme verletzt ist. Wir weisen auf einige Konvergenzresultate hin, die nicht auf einseitigen Lipschitzkonstanten basieren; die Konzepte der singulären Störungstheorie sind hier von wesentlicher Relevanz. Wir berichten über einige numerische Erfahrungen mit steifen Problemen, die durch keine existierende Konvergenztheorie abgedeckt sind.
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Dedicated to Professor Hans J. Stetter on the occasion of his 60th birthday.
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Auzinger, W., Frank, R. & Kirlinger, G. A note on convergence concepts for stiff problems. Computing 44, 197–208 (1990). https://doi.org/10.1007/BF02262216
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02262216