Quotientenregel

Sind die Funktionen ${\displaystyle u(x)}$  und ${\displaystyle v(x)}$  von einem Intervall ${\displaystyle D}$  in die reellen oder komplexen Zahlen an einer Stelle ${\displaystyle x_{0}\in D}$  mit ${\displaystyle v(x_{0})\neq 0}$  differenzierbar, dann ist auch die Funktion ${\displaystyle f}$  mit

${\displaystyle f(x):={\frac {u(x)}{v(x)}}}$ 

an der Stelle ${\displaystyle x_{0}}$  differenzierbar und es gilt

${\displaystyle f'(x_{0})={\frac {u'(x_{0})\cdot v(x_{0})-u(x_{0})\cdot v'(x_{0})}{(v(x_{0}))^{2}}}}$ .

Ist ${\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}-1}{2-3x}}}$ , so erhält man für ${\textstyle x\neq {\frac {2}{3}}}$  durch Anwendung der Quotientenregel

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&={\frac {2x\cdot (2-3x)-(x^{2}-1)\cdot (-3)}{(2-3x)^{2}}}\\\end{aligned}}}$ .

Ausmultipliziert ergibt sich

${\displaystyle f'(x)={\frac {-3x^{2}+4x-3}{(2-3x)^{2}}}}$ .

 

Der Quotient ${\displaystyle u(x) \over v(x)}$  kann als Steigung in einem Steigungsdreieck gedeutet werden, dessen Katheten ${\displaystyle u(x)}$  und ${\displaystyle v(x)}$  sind (siehe Abbildung). Wenn ${\displaystyle x}$  um ${\displaystyle \Delta x}$  anwächst, ändert sich ${\displaystyle u}$  um ${\displaystyle \Delta u}$  und ${\displaystyle v}$  um ${\displaystyle \Delta v}$ . Die Änderung der Steigung ist dann

${\displaystyle {\begin{aligned}{\Delta \left({u \over v}\right)}&={{{u+\Delta u} \over {v+\Delta v}}-{u \over v}}\\&={{(u+\Delta u)\cdot v-u\cdot (v+\Delta v)} \over {(v+\Delta v)\cdot v}}\\&={{\Delta u\cdot v-u\cdot \Delta v} \over {v^{2}+\Delta v\cdot v}}\end{aligned}}}$ 

Dividiert man durch ${\displaystyle \Delta x}$ , so folgt

${\displaystyle {{\Delta \left({u \over v}\right)} \over {\Delta x}}={{{\Delta u \over \Delta x}\cdot v-u\cdot {\Delta v \over \Delta x}} \over {v^{2}+\Delta v\cdot v}}}$ .

Bildet man nun Limes ${\displaystyle \Delta x\to 0}$ , so folgt

${\displaystyle {\left({u \over v}\right)'}={{u'\cdot v-u\cdot v'} \over {v^{2}}}}$ .

Gegeben sei ${\displaystyle f(x)={\frac {u(x)}{v(x)}}.}$  Nach der Produktregel gilt:

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=\left(u(x)\cdot {\frac {1}{v(x)}}\right)'\\&=u'(x){\frac {1}{v(x)}}+u(x)\left({\frac {1}{v(x)}}\right)'.\end{aligned}}}$ 

Mit der Kehrwertregel

${\displaystyle \left({\frac {1}{v(x)}}\right)'=-{\frac {v'(x)}{v^{2}(x)}}}$ 

folgt

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=u'(x){\frac {1}{v(x)}}+u(x)\left(-{\frac {v'(x)}{v^{2}(x)}}\right)\\&={\frac {u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^{2}(x)}}.\end{aligned}}}$ 

Eine alternative Herleitung gelingt nur mit der Produktregel durch Ableiten der Funktionsgleichung ${\displaystyle f(x)\cdot v(x)=u(x)}$ . Allerdings wird hierbei implizit vorausgesetzt, dass ${\displaystyle f(x)}$  überhaupt eine Ableitung besitzt, das heißt, dass ${\displaystyle f'(x)}$  existiert.

${\displaystyle f'(x)\cdot v(x)+f(x)\cdot v'(x)=u'(x)}$ 

folglich:

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&={\frac {u'(x)}{v(x)}}-{\frac {u(x)}{v(x)}}\cdot {\frac {v'(x)}{v(x)}}\\&={\frac {u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^{2}(x)}}.\end{aligned}}}$ 

Die Quotientenregel für Funktionen wird in fast jedem Buch erläutert, das die Differentialrechnung in allgemeiner Form behandelt. Einige konkrete Beispiele sind:

• Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. 7. Auflage. Vieweg, Braunschweig 2004, ISBN 3-528-67224-2, S. 155–157 (Auszug (Google))
• Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4, S. 129
• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 1980, ISBN 3-519-02221-4 (17. aktualisierte Auflage. ebenda 2009, ISBN 978-3-8348-0777-9), S. 270–271 (Auszug (Google))

• Quotientenregel auf Wikibooks