몫 규칙

미적분학에서 몫 규칙(-規則, 영어: quotient rule) 또는 몫의 미분법은 두 함수의 몫을 미분할 때 쓰이는 공식이다.

두 함수 ${\displaystyle f,g\colon I\to \mathbb {R} }$가 ${\displaystyle x_{0}\in I\subseteq \mathbb {R} }$에서 미분 가능하다고 하자. 또한, ${\displaystyle g(x_{0})\neq 0}$이라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle f/g}$ 역시 ${\displaystyle x_{0}}$에서 미분 가능하며, 그 미분은 다음과 같다.

${\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'(x_{0})={\frac {f'(x_{0})g(x_{0})-f(x_{0})g'(x_{0})}{g(x_{0})^{2}}}}$

함수의 선형 근사 ${\displaystyle d(-)}$를 사용하여 표기하면 다음과 같다.

${\displaystyle \left.d\left({\frac {f}{g}}\right)\right|_{x=x_{0}}=\left.{\frac {gdf-fdg}{g^{2}}}\right|_{x=x_{0}}}$

• ${\displaystyle {\frac {(4x-2)}{(x^{2}+1)}}}$의 미분은:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}{\frac {4x-2}{x^{2}+1}}&={\frac {(x^{2}+1)(4)-(4x-2)(2x)}{(x^{2}+1)^{2}}}\\&={\frac {(4x^{2}+4)-(8x^{2}-4x)}{(x^{2}+1)^{2}}}\\&={\frac {-4x^{2}+4x+4}{(x^{2}+1)^{2}}}\end{aligned}}}$

위의 예제에서는

${\displaystyle g(x)=4x-2}$

${\displaystyle h(x)=x^{2}+1}$

로 지정했다.

• ${\displaystyle \sin(x)/x^{2}}$의 미분 (${\displaystyle x}$ ≠ 0 일 때):

${\displaystyle {\frac {\cos(x)x^{2}-\sin(x)2x}{x^{4}}}}$

또다른 예로 : ${\displaystyle f(x)={\frac {2x^{2}}{x^{3}}}}$를 미분할 경우에: ${\displaystyle g(x)=2x^{2}}$ and ${\displaystyle h(x)=x^{3}}$, and ${\displaystyle g'(x)=4x}$ and ${\displaystyle h'(x)=3x^{2}}$ 라는 것을 볼 수 있고, 따라서

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&={\frac {\left(4x\cdot x^{3}\right)-\left(2x^{2}\cdot 3x^{2}\right)}{\left(x^{3}\right)^{2}}}\\&={\frac {4x^{4}-6x^{4}}{x^{6}}}\\&={\frac {-2x^{4}}{x^{6}}}\\&=-{\frac {2}{x^{2}}}\end{aligned}}}$

이다.

만약 ${\displaystyle f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}}$이며

${\displaystyle h(x)\neq 0}$이 성립하고 ${\displaystyle g}$ 와 ${\displaystyle h}$는 미분 가능한 함수라면:

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {{\frac {g(x+\Delta x)}{h(x+\Delta x)}}-{\frac {g(x)}{h(x)}}}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {1}{\Delta x}}\left({\frac {g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x+\Delta x)}{h(x)h(x+\Delta x)}}\right)\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {1}{\Delta x}}\left({\frac {(g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x))-(g(x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x))}{h(x)h(x+\Delta x)}}\right)\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {1}{\Delta x}}\left({\frac {h(x)(g(x+\Delta x)-g(x))-g(x)(h(x+\Delta x)-h(x))}{h(x)h(x+\Delta x)}}\right)\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}h(x)-g(x){\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}}{h(x)h(x+\Delta x)}}\\&={\frac {\lim _{\Delta x\to 0}\left({\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\right)h(x)-g(x)\lim _{\Delta x\to 0}\left({\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}\right)}{h(x)h(\lim _{\Delta x\to 0}(x+\Delta x))}}\\&={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^{2}}}\end{aligned}}}$

만약 ${\displaystyle f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}}$ 라면

${\displaystyle g(x)=f(x)h(x)}$

${\displaystyle g'(x)=f'(x)h(x)+f(x)h'(x)}$

나머지는 간단한 방정식을 풀때와 비슷한 방법으로 ${\displaystyle f'(x)}$를 식 왼쪽의 유일한 항으로 만들어주면 되고, ${\displaystyle f(x)}$는 식 오른쪽에서 없애야 한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&={\frac {g'(x)-f(x)h'(x)}{h(x)}}\\&={\frac {g'(x)-{\frac {g(x)}{h(x)}}\cdot h'(x)}{h(x)}}\\&={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{\left(h(x)\right)^{2}}}\end{aligned}}}$

이어서

${\displaystyle f(x)={{g(x)} \over {h(x)}}}$에서

${\displaystyle g(x)=1}$일때

${\displaystyle (f(x))^{'}=\left({{1} \over {h(x)}}\right)^{'}}$

${\displaystyle \;\;\;={{\left(-h(x)\right)^{'}} \over {(h(x))^{2}}}}$

${\displaystyle \;\;\;=-{{h'(x)} \over {h^{2}(x)}}}$

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