Elementare Funktion

Meistens wird eine Funktion elementar genannt, wenn sie in der folgenden Liste auftaucht:

• konstante Funktionen: ${\displaystyle 2,\ \pi ,\ e,}$  etc.
• Potenzfunktionen: ${\displaystyle x,\ x^{2},\ x^{3},}$  etc.
• Wurzelfunktionen: ${\displaystyle {\sqrt {x}},\ {\sqrt[{3}]{x}},}$  etc.
• natürliche Exponentialfunktion: ${\displaystyle e^{x}}$ 
• natürlicher Logarithmus: ${\displaystyle \ln x}$ 
• Trigonometrische Funktionen: ${\displaystyle \sin x,\ \cos x,\ \tan x,}$  etc.
• Inverse trigonometrische Funktionen: ${\displaystyle \arcsin x,\ \arccos x,\arctan x}$  etc.
• Hyperbolische Funktionen: ${\displaystyle \sinh x,\ \cosh x,}$  etc.
• Inverse hyperbolische Funktionen: ${\displaystyle \operatorname {arsinh} x,\ \operatorname {arcosh} x,}$  etc.

oder sich aus Funktionen in dieser Liste in endlich vielen Schritten durch Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division oder Verkettung erzeugen lässt.^[1]

Man beachte, dass die Nebenbedingung „in endlich vielen Schritten“ wichtig ist, damit nicht zum Beispiel alle Potenzreihen elementar sind.

Aus der obigen Definition folgt direkt, dass folgende Funktionen alle elementar sind:

• Addition, z. B.

${\displaystyle x+1}$ 

• Multiplikation, z. B.

${\displaystyle 2\cdot x}$ 

• Polynomfunktionen, z. B.

${\displaystyle 7x^{5}+4x^{4}-9x^{2}+1}$ 

• Rationale Funktionen, z. B.

${\displaystyle {\frac {7x^{5}+4x^{4}-9x^{2}+1}{x^{4}+9}}}$ 

• Sonstige, z. B.

${\displaystyle {\dfrac {e^{\tan x}}{1+x^{2}}}\sin \left({\sqrt {1+(\ln x)^{2}}}\right)}$ 

Ein Beispiel für eine nichtelementare Funktion ist die Fehlerfunktion

${\displaystyle \operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t.}$ 

Dass diese Funktion nicht elementar ist, ist nicht offensichtlich, kann aber mit dem Risch-Algorithmus gezeigt werden.

Direkt aus der Definition folgt, dass die Klasse der elementaren Funktionen abgeschlossen ist unter Addition, Subtraktion, Produkt und Quotientenbildung, sowie Verkettung. Mit Hilfe der Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel sieht man auch schnell, dass die Ableitung einer elementaren Funktion immer wieder elementar ist (sofern die Funktion differenzierbar ist).

Stammfunktionen von elementaren Funktionen sind oft nicht elementar, wie z. B. die oben erwähnte Fehlerfunktion.

Die folgenden Funktionen sind alle elementar, besitzen aber keine elementare Stammfunktion:^[2] ${\displaystyle \exp(x^{2}),\ {\sqrt {\log(x)}},\ {\frac {\sin(x)}{x}},\ \exp(\exp(x)),\ \log(\log(x))}$ 

• Elementary functions at Encyclopaedia of Mathematics
• Eric W. Weisstein: Elementary function. In: MathWorld (englisch).

• J. H. Davenport: What Might "Understand a Function" Mean. In: M. Kauers, M. Kerber, R. Miner, W. Windsteiger: Towards Mechanized Mathematical Assistants. Springer, Berlin / Heidelberg 2007, S. 55–65. (semanticscholar.org)
• Maxwell Rosenlicht: Liouville's Theorem on Functions with Elementary Integrals. In: Pacific Journal of Mathematics. 24, No. 1, 1968, S. 153–161.
• Maxwell Rosenlicht: Integration in Finite Terms. In: The American Mathematical Monthly. 79, 1972, S. 963–972.

1. ↑ Ordinary Differential Equations. Dover, 1985, ISBN 0-486-64940-7, S. 17 (online). 
2. ↑ Elena Anne Marchisotto, Gholam-Ali Zakeri: An Invitation to Integration in Finite Terms