派遣会社から別の派遣会社に移籍し、同じ派遣先（今就業している会社）で働き続けることは可能です。
3年たったら同じ部署で働けないルールは同じなので、そこはがまん。
自分が契約を取り交わしている派遣会社において、有給取得制限や給与遅延が起こっている場合は、それを理由に派遣先との契約を解除するのは合理的な理由となります。
派遣先（今働いているところ）との関係が良好な場合は、責任者に「派遣会社で起こっている問題」について報告してみるのも問題解決のためのひとつの方法です。
責任者も「この派遣会社はやばいな」と感じていた場合は、移籍可能な、取引のある派遣会社を教えてもらえるかもしれません。
ただし、別の派遣会社に移籍したのち、必ず今働いている派遣先で就業できるかどうかは、ご自身と派遣先との関係性によるところが大きいので、そのリスクは負わなければなりません。
営業社員が自身の成績を落とさないために派遣スタッフの有給取得を制限するなど、派遣スタッフにまで悪影響が出ているブラックな派遣会社は、当然、内部でも大きな問題を抱えており、それが給与遅延など事務処理の不備につながっていますので、労働局に相談することもおすすめします。具体的な解決策を案内してもらえることもありますし、労働基準監督署につないでもらったり、労働局に「あっせん」に入ってもらったり、解決のための手段が増えます。
・有給取得をしぶる、日数制限をする、理由をしつこく尋ねる（すべて労働基準法違反）
・給与支払遅延が続く、給与明細到着が遅れる、公的手続に必要な書類が出てこない
・他の案件の紹介を依頼してもそもそも紹介できる案件を持っていない（優良な派遣先から愛想をつかされている可能性）
・社員の入れ替わりが激しい
今の職を失いたくない気持ちは理解できますが、明らかにやばいと感じる派遣元で働き続けてもよいことはないので、まずは別の派遣会社に登録し就職活動を始めるのがよいでしょう。