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集合論數學的其他分支中,一群集合併集(Union)[1],是以這群集合的所有元素來構成的集合。

A和B的併集

有限聯集

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聯集是由公理化集合論分類公理來確保其唯一存在的特定集合  

 

也就是直觀上:

「對所有    等價於   

舉例:

集合  的併集是 。數 不屬於素數集合 偶數集合 的併集,因為 既不是素數,也不是偶數。

更通常的,多個集合的併集可以這樣定義: 例如,  的併集含有所有 的元素,所有 的元素和所有 的元素,而沒有其他元素。形式上:

  的元素,當且僅當 屬於  屬於  屬於 

代數性質

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二元併集(兩個集合的併集)是一種結合運算,即

 。事實上, 也等於這兩個集合,因此圓括號在僅進行併集運算的時候可以省略。

相似的,併集運算滿足交換律,即集合的順序任意。

空集是併集運算的單位元。即 ,對任意集合 。可以將空集當作個集合的併集。

結合交集補集運算,併集運算使任意冪集成為布爾代數。例如,併集和交集相互滿足分配律,而且這三種運算滿足德·摩根律。若將併集運算換成對稱差運算,可以獲得相應的布爾環

無限併集

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公理化集合論併集公理,有唯一的集合   滿足:

 

也就是直觀上「對所有   和所有    等價於有某個   的下屬集合   ,使得 」。以上的   可以直觀的視為一個集合族,而把   看成對   內的集合取併集,但這個公理並沒有對   下屬集合的數量做出任何限制,所以這個   被俗稱為任意併集無限併集

  ,會稱    覆蓋(cover),也就是直觀上可以用   裡的所有集合疊起來蓋住  

例如:

   ,若  空集  也是空集。

無限併集有多種表示方法:

可模仿求和符號記為

 

但大多數人會假設指標集   的存在,換句話說

  

指標集  自然數系   的情況下,更可以仿無窮級數來表示,也就是說:

  

也可以更粗略直觀的將   寫作 

無限併集的性質

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定理(0) — 
 

證明
(1)   (空集公理)

(2)  (MP with A4, 1)

(3) (M0 with 2)

(4) (Equv with DN, 3)

(5) (Equv with De Morgan, 4)

(6) (GEN with   , 5)

(7) (Equv with DN, 6)

(8) (MP with 併集公理, A4)

(9) (MP with A4, 8)

(10) (MP with AND ,9)

(11) (MP with T, 10)

(12) (MP with 7, 11)

(13) (GEN with   , 12)

(14)  (E)

(15)  (GEN with   , 14)

(16) (MP with A4, 15)

(17)   (Equv with 13, 16)

比較性質

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定理(1) — 
 

證明
注意到可以從(AND)得到
 

換句話說,從演繹元定理

(u)  

(1)   (Hyp)

(2)  (MP with 1, A4)

(3)  (AND)

(4) (AND)

(5) (D1 with 2, 3)

(6) (u with 4, 5)

(7) (GENe with  , 6)

(8)  (MP with 併集公理, A4)

(9)  (MP with 併集公理, A4)

(10)   (MP with 8, A4)

(11)   (MP with 9, A4)

(12)  (D1 with 7, 10)

(13)  (D1 with 11, 12)

(14)  (GEN with   , 13)

覆蓋性質

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定理(2) — 
 

  正好就是其冪集的聯集」,這個定理直觀上可理解成,因為冪集   是以   子集為元素,所以   的聯集理當是  

證明
注意到可以從(AND)得到
 

換句話說,從演繹元定理

(u)  

(1) (MP with 併集公理, A4)

(2)  (冪集公理)

(3)  (MP with A4 ,2)

(4)   (Equv with 1, 3)

(5)  (AND)

(6)  (A4)

(7)  (D1 with 5, 6)

(8)  (AND)

(9)  (u with 7, 8)

注意到

 

再對上式套用(AND)就有

 (a)

(10')  (D1 with a, 9)

(11')  (GENe with  , 10')

(12')   (A4)

(13')   (MP with T, 12')

(14')   (I)

(15')   (GEN with   , 14')

注意到(AND)依據演繹定理可改寫為

 (b)

(16'')   (b with 15')

(17'')   (D1 with 13', 16'')

(18'')   (AND with 11', 17'')

(19'')  (Equv with 4, 18''')

定理(3) — 
 

直觀上,這個定理說「一群集合的聯集包含於   ,則它們個個都包含於  

證明
(1)   (Hyp)

(2)   (A4 and T)

(3)   (MP with 1, A4)

(4)   (D1 with 2, 3)

(5)   (MP with abb, 4)

(6)   (GEN with   , 5)

(7)   (MP with A5 , 6)

(8)   (GEN with   , 7)

定理(4) — 
 

直觀上,這個定理說「集族   的聯集為   ,則對   的每點   ,都可從   裡找到一個   的鄰域   ,且這個鄰域不會比   大 」

證明
注意到可以從(AND)得到
 

換句話說,從演繹元定理

(u)  

(1)   (Hyp)

(2)  (MP with 1, 定理3)

(3)  (MP with A4, 2)

(4)  (AND)

(5)  (AND)

(6)  (AND)

(7)   (D1 with 3, 4)

(8)  (a with 5, 6)

(9)  (a with 7, 8)

(10)  (GENe with  , 9)

(11)  (MP with A4, 1)

(12)  (AND with 11)

(13)  (D1 with 10, 12)

(14)  (GEN with  , 13)

(15) (冪集公理)

(16) (MP with A4, 15)

(17) (Equv with 14, 16)

(18)  (有限交集)

(19) (MP with A4, 18)

(20) (MP with A4, 19)

(21) (MP with A4, 20)

(22) (Equv with 17, 21)

(23) (MP with 併集公理, A4)

(24) (Equv with 22, 23)

運算性質

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定理(5) — 

 

 
證明
(1)  ( 的定義)

(2)  (MP with 併集公理, A4)

(3)  (有限交集)

(4) (MP with A4, 2)

(5)  (MP with A4, 1)

(6)  (Equv with 4, 5)

(7) (Equv with Ce, 6)

(8) (Equv with 量詞可交換性 ,7)

(9)  (E2)

(10) (AND)

(11)  (D1 with 9,10)

(12) 

 (MP with A2, 11)

(13) (I)

(14) (MP with 12, 13)

(15) (AND)

(16) (D1 with 14,15)

(17) (GENe with   then  )

(18)  (E1)

注意到配合(AND)和演繹定理

 (a)

(19) (a with 18)

(20) (A4)

(21) (MP with T, 20)

(22) (D1 with 19, 21)

(23) (GENe with  )

(24) (AND with 17, 23)

(25) (Equv with 8, 24)

(26)  (MP with A4, 3)

(27) (Equv with 25, 26)

(28) (Equv with Ce, 27)

(30)  (MP with A4, 2)

(31) (Equv with 28, 30)

(32) (MP with A4, 3)

(33) (Equv with 31, 32)

(34) (GEN with  , 33)

直觀上這個定理說,交集在「無限併集滿足分配律」,一般會不正式的寫為

 

定理(6) — 
 ,若對自然數   做以下的符號定義:

 
 
 

那有

 

這個定理一般會被不正式的寫為

 

參考

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參考文獻

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  1. ^ 程極泰. 集合论. 應用數學叢書 第一版. 國防工業出版社. 1985: 14. 15034.2766.