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空集合(英語:empty set)是不含任何元素的集合,數學符號為、∅或{ }。

符号

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空集符號源自北歐拉丁字母,不是希臘字母。

空集的标准符号由尼古拉·布尔巴基小組创造,寫作 ),首先見於他們在1939年出版的《數學原本卷一:集合論》(Éléments de mathématique. Livre 1. Théorie des ensembles. Fascicule de résultats)。這符號也可写作 ,有时候採用近似字符“Ø”,也可以使用大括號 表示。

这符号源自北欧语言的拉丁字母Ø」,但常被誤會為希腊字母φ”。(φ有兩個寫法:小寫的 和縮小了的大寫 ,後者常被誤用為空集符號。 的中間为一長豎,中間的圈也較小,與 的斜線和大圓不同。)。

提出用北歐字母為符號的,是布爾巴基小組成員安德烈·韦伊。他在自傳寫道:

空集符號∅的Unicode編碼為U+2205,TeX代碼是\emptyset\varnothing(後者是AMS符號,很多人較喜歡後者的字形[2])。

性质

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(这里采用数学符号)。

  • 对任意集合 ,空集是 子集
     
  • 对任意集合 ,空集和 并集 
     
  • 对任意集合 ,空集和 交集为空集:
     
  • 对任意集合 ,空集和 笛卡尔积为空集:
     
  • 空集的唯一子集是空集本身:
     
  • 空集的冪集是僅包含空集的集合:
     
  • 空集的元素个数(即它的)为;特別是,空集是有限的:
     

集合论中,两个集合相等,若它们有相同的元素;那么仅可能有一个集合是没有元素的,即空集是唯一的。

考慮空集為实数线(或任意拓扑空间)的子集,空集既是开集、又是闭集。空集的边界点集合是空集,是它的子集,因此空集是闭集。空集的内点集合也是空集,是它的子集,因此空集是开集。另外,空集是紧致集合,因为凡有限集合都是紧致的。

空集的闭包是空集。

空集和0

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根据定义,空集有0个元素,或者称其势为0。然而,这两者的关系可能更进一步:在标准的自然数的集合论定义中,0被定义为空集。

常见问题

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空集不是「无」;它是「内部」没有元素的集合,但這個集合是「存在」的,即「有」這個集合。这通常是初学者的一个难点。可以将集合想象成一个装有其元素的袋子──袋子可能是空的,但袋子本身确实是存在的。

有些人会想不通上述第一条性质,即空集是任意集合 的子集。按照子集的定义,这条性质是说 的每个元素x都属于 。若这条性质不为,那{}中至少有一个元素不在 中。由于 中没有元素,也就没有 的元素不属于 了,得到 的每个元素都属于 ,即  的子集。

空集的运算

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空集(作为集合)上的运算也可能使人迷惑。(这是一种「运算」。) 例如:空集元素的0(「空和」),而它们的1(见空积)。这可能看上去非常奇怪,空集中没有元素,他们是怎么相加和相乘的呢? 最终,这些运算的结果更多被看成是运算的问题,而不是空集的。比如,可以注意到0是加法的单位元,而1是乘法的单位元。

公理化集合论

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在诸如策梅洛-弗兰克尔集合论公理化集合论中,空集的存在性是由空集公理确定的。空集的唯一性由外延公理得出。

使用分類公理,任何陈述集合存在性的公理将隐含空集公理。例如:若 是集合,则分离公理允许构造集合 ,它就可以被定义为空集。

范畴论

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A为集合,则恰好存在一個从  函数 ,即空函数。故此,空集是集合和函数的范畴的唯一初始对象

空集只能通过一种方式转变为拓扑空间,即通过定义空集为开集;这个空拓扑空间是有连续映射的拓扑空间的范畴的唯一初始对象。

哲學層面

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尽管空集在数学中是一个标准,并被广泛接受,仍然有人对它表示怀疑。

Jonathan Lowe认为,这一概念「无疑是数学历史上的里程碑,……;不需要假设其在计算时的有效性要基于其确实表达了某些对象」,但在另一方面,「我们所知的空集只是它 (1)是个集合,(2)没有元素,(3)在没有元素的集合中唯一。然而,有很多东西『没有元素』,在集合论角度而言,叫做非集合。为什么它们没有元素是显而易见的,因为它们不是集合。不清楚的是,为什么在集合中,没有元素的集合是唯一的。仅仅通过约束是不可能将这么一个实体变出来的。」[3]

"To be is to be the value of a variable…"Journal of Philosophy,1984(在书Logic, Logic and Logic中再次发表)中,小George Boolos认为許多集合論中的結論,也可以透過對个体进行复数量化英语Plural quantification來得到,所以無需把集合具体化為包含其他实体作为元素的实体。[4]

參考資料

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  1. ^ André Weil: Souvenirs d'apprentissage, Birkhäuser Verlag, Basel, 1991, p. 119. ISBN 978-3-7643-2500-8
  2. ^ Scott Pakin. The Comprehensive LaTeX Symbol List (PDF): p. 65. 2009-11-09 [2014-09-16]. (原始内容 (PDF)存档于2015-03-28). 
  3. ^ E. J. Lowe. Locke. Routledge. 2005: 87. 
  4. ^ George Boolos, 1984, "To be is to be the value of a variable," The Journal of Philosophy 91: 430–49. Reprinted in his 1998 Logic, Logic and Logic (Richard Jeffrey, and Burgess, J., eds.) Harvard Univ. Press: 54–72.