流形

喺數學入面，流形（粵拼：lau4 jing4）係一種拓撲空間，佢喺每一點附近局部嚟睇都好似一個歐幾里得空間。準確啲嚟講，一個 n-維流形，或者 n-流形，係一個拓撲空間，入面每一點都有一個鄰域係同歐幾里得空間同胚嘅。

流形係曲線、曲面嘅推廣，喺拓樸學入邊，流形係一種拓樸空間，每點嘅附近都好似（同胚）歐幾里得空間。喺微分幾何入邊，可微流形上邊更加要有一個微分結構，等幾何學家可以喺上邊做微積分。

喺物理學入邊都經常會用到流形，例如係研究相對論、弦論等等。

一維流形嘅例子有直線同埋圓，但係「8 字」就唔係流形，因爲個「8」字中間交叉嗰度附近無一個鄰域同一維嘅歐幾里得空間同胚。二維流形又叫做曲面，例子包括平面、球面、環面呢啲可以無自我相交嵌入三維空間嘅曲面，亦都有克萊恩樽同埋投射平面呢啲無法嵌入三維空間嘅曲面（一定有自我相交）。

雖然流形局部嚟睇同歐幾里得空間一樣，但係全局嚟睇可以好唔同，例如球面係一個曲面，但係佢係緊緻嘅，而歐幾里得空間唔係緊緻嘅，所以球面同歐幾里得空間係唔同胚嘅。雖然係咁，局部上一個流形入面嘅區域係同歐幾里得空間同胚嘅，展示同胚嗰個映射叫做圖表（chart），當一點同時喺唔同嘅區域嗰陣，佢喺唔同圖表入面嘅座標係唔同嘅，我哋需要一啲映射去對應返兩個圖表入面嘅同一點，呢啲映射叫做過渡映射（transition map）。

流形呢個概念對現代幾何學同埋數學物理好重要，因爲佢提供咗一套語言去描述幾何物體嘅局部性質，聯立方程同埋函數嘅圖像（graph of function）都提供咗好多流形嘅例子。

流形可以附上更多嘅結構，其中一種好重要嘅就係可微流形，佢嘅微分結構容許我哋喺流形上面做微積分，另外，黎曼流形上面嘅黎曼度量容許計算兩點之間嘅距離同埋兩條線之間嘅角度，相對論入面好多嘅數學計算都係建基於流形嘅概念。

繼直線之後，圓形喺最簡單嘅拓撲流形例子。圓形嘅一部分（即係弦）同直線嘅一部分係一樣嘅，所以可以考慮例如圓形上面嘅部分，佢嘅 y-座標係正嘅（右圖黃色嘅部分）。呢個弦嘅任何一點都可以用佢嘅 x-座標嚟描述，所以向第一個座標嘅投影函數係一個弦去 (-1, 1) 開區間嘅同胚：${\displaystyle \chi _{\text{top}}(x,y)=x}$。黃色嗰條弦再加埋呢個函數就形成咗一個圖表。相似地，我哋可以寫埋另外三個圖表：

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{\mathrm {bottom} }(x,y)&=x\\\chi _{\mathrm {left} }(x,y)&=y\\\chi _{\mathrm {right} }(x,y)&=y\end{aligned}}}$

呢四個函數覆蓋咗成個圓形，所以係圓形嘅一個圖集。

上邊同右邊嘅圖表嘅定義域有重疊嘅部分，就係圓嘅右上角，呢啲點嘅 x- 同 y-座標都係正數。佢哋喺 ${\displaystyle \chi _{\text{top}}}$ 同 ${\displaystyle \chi _{\text{right}}}$ 之下都打咗去 (0, 1) 開區間上面。所以我哋可以定義一個函數 ${\displaystyle T:(0,1)\to (0,1)=\chi _{\text{right}}\circ \chi _{\text{top}}^{-1}}$，佢首先將一個數經 ${\displaystyle \chi _{\text{top}}}$ 打去圓形嘅右上角，再經 ${\displaystyle \chi _{\text{right}}}$ 打返去 (0, 1) 開區間。設 a 係 0 同 1 之間嘅數，咁：

${\displaystyle {\begin{aligned}T(a)&=\chi _{\mathrm {right} }\left(\chi _{\mathrm {top} }^{-1}\left[a\right]\right)\\&=\chi _{\mathrm {right} }\left(a,{\sqrt {1-a^{2}}}\right)\\&={\sqrt {1-a^{2}}}\end{aligned}}}$

呢個函數 T 被稱爲過渡函數。

呢四個函數組成嘅圖冊展示出圓形係一個流形，但係佢唔係唯一嘅圖冊，圖表亦都唔一定係由投射函數組成，一個圖冊入面圖表嘅數量亦都係唔定嘅，例如考慮圖表：

${\displaystyle \chi _{\mathrm {minus} }(x,y)=s={\frac {y}{1+x}}}$

同埋

${\displaystyle \chi _{\mathrm {plus} }(x,y)=t={\frac {y}{1-x}}}$

呢到 s 係由 (-1, 0) 呢點去 (x, y) 嘅直線嘅斜率，相似地，t 就係用 (+1, 0) 呢點。由 s 打返去 (x, y) 嘅反函數係：

${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {1-s^{2}}{1+s^{2}}}\\[5pt]y&={\frac {2s}{1+s^{2}}}\end{aligned}}}$

可以睇得出任何 s 同 t 計出嚟嘅 x 同 y 都符合 x² + y² = 1。呢兩個圖表組成咗圓形嘅另一個圖冊，而過渡函數係 ${\displaystyle t={\dfrac {1}{s}}}$。

呢兩個圖表都差一點先覆蓋到成個圓形，事實上，可以證明無方法用一個圖表覆蓋成個圓形，例如雖然可以用一個開區間覆蓋個圓形，但係咁樣就會有啲圓形上面嘅點對應開區間上面多過一點，咁就唔係同胚喇。

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