2の冪とは？わかりやすく解説

2の冪 $2 n$ の直方体による図示。
左上 $1 (=2 0)$ から右下 $1024 (=2 10)$ まで。

2の冪（にのべき、（英: power of two）は、 $2$ を底とし整数の指数を持つ冪である。2の冪は、指数を $n$ として一般に、 $2 n$ の形で表される（例えば $n = 0, 1, 2, 3, \dots$ に対してそれぞれ $20 = 1$ , $21 = 2$ , $22 = 4$ , $23 = 8$ , …）。

概説

1に2倍のみを繰り返すことによって得られる数であり、ごく基本的な数量操作で得られる数であることから、様々な場面で用いられる。

指数に負の整数を許すならば、2の冪乗（この場合、それらは自然数ではなく有理数である）の中には「半分」の概念も含まれてくる。実際、1 (2⁰), 1/2 (2⁻¹), 1/4 (2⁻²), 1/8 (2⁻³), 1/16 (2⁻⁴) … というようなものも、2の冪乗として表すことができる有理数である。

トーナメント制のスポーツ大会で、試合の回戦が進むごとにチーム数が単純に半減していくように試合を組むとすれば、出場チーム数を2の累乗数にする必要がある。但し、実際にはシードや敗者復活などのルールを利用して試合を組むので、2の累乗数に近ければ支障が無い。

100乗までの2の冪（正の冪）^[1]

オンライン整数列大辞典の数列 A79

2⁰	1	2³²	4,294,967,296	2⁶⁴	18,446,744,073,709,551,616
2¹	2	2³³	8,589,934,592	2⁶⁵	36,893,488,147,419,103,232
2²	4	2³⁴	17,179,869,184	2⁶⁶	73,786,976,294,838,206,464
2³	8	2³⁵	34,359,738,368	2⁶⁷	147,573,952,589,676,412,928
2⁴	16	2³⁶	68,719,476,736	2⁶⁸	295,147,905,179,352,825,856
2⁵	32	2³⁷	137,438,953,472	2⁶⁹	590,295,810,358,705,651,712
2⁶	64	2³⁸	274,877,906,944	2⁷⁰	1,180,591,620,717,411,303,424
2⁷	128	2³⁹	549,755,813,888	2⁷¹	2,361,183,241,434,822,606,848
2⁸	256	2⁴⁰	1,099,511,627,776	2⁷²	4,722,366,482,869,645,213,696
2⁹	512	2⁴¹	2,199,023,255,552	2⁷³	9,444,732,965,739,290,427,392
2¹⁰	1,024	2⁴²	4,398,046,511,104	2⁷⁴	18,889,465,931,478,580,854,784
2¹¹	2,048	2⁴³	8,796,093,022,208	2⁷⁵	37,778,931,862,957,161,709,568
2¹²	4,096	2⁴⁴	17,592,186,044,416	2⁷⁶	75,557,863,725,914,323,419,136
2¹³	8,192	2⁴⁵	35,184,372,088,832	2⁷⁷	151,115,727,451,828,646,838,272
2¹⁴	16,384	2⁴⁶	70,368,744,177,664	2⁷⁸	302,231,454,903,657,293,676,544
2¹⁵	32,768	2⁴⁷	140,737,488,355,328	2⁷⁹	604,462,909,807,314,587,353,088
2¹⁶	65,536	2⁴⁸	281,474,976,710,656	2⁸⁰	1,208,925,819,614,629,174,706,176
2¹⁷	131,072	2⁴⁹	562,949,953,421,312	2⁸¹	2,417,851,639,229,258,349,412,352
2¹⁸	262,144	2⁵⁰	1,125,899,906,842,624	2⁸²	4,835,703,278,458,516,698,824,704
2¹⁹	524,288	2⁵¹	2,251,799,813,685,248	2⁸³	9,671,406,556,917,033,397,649,408
2²⁰	1,048,576	2⁵²	4,503,599,627,370,496	2⁸⁴	19,342,813,113,834,066,795,298,816
2²¹	2,097,152	2⁵³	9,007,199,254,740,992	2⁸⁵	38,685,626,227,668,133,590,597,632
2²²	4,194,304	2⁵⁴	18,014,398,509,481,984	2⁸⁶	77,371,252,455,336,267,181,195,264
2²³	8,388,608	2⁵⁵	36,028,797,018,963,968	2⁸⁷	154,742,504,910,672,534,362,390,528
2²⁴	16,777,216	2⁵⁶	72,057,594,037,927,936	2⁸⁸	309,485,009,821,345,068,724,781,056
2²⁵	33,554,432	2⁵⁷	144,115,188,075,855,872	2⁸⁹	618,970,019,642,690,137,449,562,112
2²⁶	67,108,864	2⁵⁸	288,230,376,151,711,744	2⁹⁰	1,237,940,039,285,380,274,899,124,224
2²⁷	134,217,728	2⁵⁹	576,460,752,303,423,488	2⁹¹	2,475,880,078,570,760,549,798,248,448
2²⁸	268,435,456	2⁶⁰	1,152,921,504,606,846,976	2⁹²	4,951,760,157,141,521,099,596,496,896
2²⁹	536,870,912	2⁶¹	2,305,843,009,213,693,952	2⁹³	9,903,520,314,283,042,199,192,993,792
2³⁰	1,073,741,824	2⁶²	4,611,686,018,427,387,904	2⁹⁴	19,807,040,628,566,084,398,385,987,584
2³¹	2,147,483,648	2⁶³	9,223,372,036,854,775,808	2⁹⁵	39,614,081,257,132,168,796,771,975,168
				2⁹⁶	79,228,162,514,264,337,593,543,950,336
				2⁹⁷	158,456,325,028,528,675,187,087,900,672
				2⁹⁸	316,912,650,057,057,350,374,175,801,344
				2⁹⁹	633,825,300,114,114,700,748,351,602,688
				2¹⁰⁰	1,267,650,600,228,229,401,496,703,205,376

大きな数の話

当初の増え方から見ると、とても想像できないような大きな数を導き出すことができる点から、古くから様々な話に登場する。

例えば、「新聞紙を26回2つ折りにすると、富士山より高くなる」という話^[2]がある。計算上は 2²⁶ = 67,108,864 であるから、厚さ0.1mmの紙を26回折り曲げると約6710mとなり、富士山の標高（約3776m）を超える。当然ながら、実際には8回ほど折り曲げたところで限界となるため、紙を何度も折り曲げるのは物理的に実行不可能であるが、「新聞紙を2等分に切り、それを重ねる」を繰り返すことはある程度可能である。

別の例に、「将棋盤問題（英語版）」というものがある。古代のインドのセーラムという王の家来、セッサ・イブン・ダヘルがチャトランガ（将棋やチェスの原型となったとされるゲーム）を発明した時、王はこれを喜び、望むだけの褒美を取らせる、と言った。この時の彼の希望は、「盤の最初の升目に一粒の小麦を置き、二升目には二粒、三升目には四粒と増やしていって、最後の升目の分だけを頂きたい」というものであった。この数は、2の63乗であるが、実際の小麦として計算すると、世界の小麦生産高の2500年分を越えるという。日本においては曽呂利新左衛門（初代）が豊臣秀吉から褒美を何にするか問われ、今日は米1粒、翌日には倍の2粒、その翌日には更に倍の4粒と、日ごとに倍の量の米を100日間もらう事を希望したという逸話がある。また、漫画『ドラえもん』に登場する「バイバイン」は、物体を5分ごとに2の累乗数に増やす架空の薬品で、作中では、栗饅頭に対し使われた。このバイバインに対する考察を山本弘が行っており、エッセイ集『宇宙はくりまんじゅうで滅びるか?』（2007年、河出書房新社、ISBN 978-4309018294）を上梓している。

コンピュータにおける2の冪

コンピュータの演算には二進法が使われる。^[3]そのため、コンピュータに絡む数値に2の累乗数（ただし、桁を十進数に直す）が見られる。例えば、1 キビバイトは 1024 バイト（=2¹⁰ バイト）であり、家庭用ゲーム機のNINTENDO64やパソコン用CPUブランドのAthlon 64の「64」は、64 ビット（=2⁶ ビット）に因んだ名称である。近年のパソコンやスマートフォンの普及によって、2の累乗数が家庭内にまで見かけられるようになった。