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- En mathématiques, la multiplication par un scalaire est l'une des lois externes de base définissant un espace vectoriel en algèbre linéaire (ou plus généralement, un module en algèbre générale). Si K est un corps commutatif, la définition d'un espace vectoriel E sur K prescrit l'existence d'une loi de composition externe, une application de K × E dans E. L'image d'un couple (λ, v), pouvant être notée λv ou λ∙v, est la multiplication du vecteur v par le scalaire λ. Comme cas particulier, E peut être pris égal à K lui-même, et la multiplication par un scalaire peut être tout simplement la multiplication du corps. Quand E est égal à Kn, alors la multiplication par un scalaire est usuellement celle définie composante par composante. Par définition d'un espace vectoriel, la multiplication par un scalaire vérifie les propriétés suivantes :
* La multiplication par 1 ne change pas un vecteur : ;
* distributivité à droite : ;
* distributivité à gauche : ;
* associativité : ;
* la multiplication par 0 donne le vecteur nul : ;
* la multiplication par –1 donne l'opposé : Ici, + représente ou bien l'addition du corps ou celle de l'espace vectoriel comme il convient et 0 est l'élément neutre du corps K, tandis que 0E est le vecteur nul.La juxtaposition ou le point correspondent à la multiplication par un scalaire ou la multiplication interne du corps. La multiplication par le scalaire non nul λ définit une application linéaire de E dans E, appelée homothétie de rapport λ. Lorsque E est un espace vectoriel euclidien (avec K = R), alors les homothéties peuvent être interprétées comme des contractions ou des étirements. (fr)
- En mathématiques, la multiplication par un scalaire est l'une des lois externes de base définissant un espace vectoriel en algèbre linéaire (ou plus généralement, un module en algèbre générale). Si K est un corps commutatif, la définition d'un espace vectoriel E sur K prescrit l'existence d'une loi de composition externe, une application de K × E dans E. L'image d'un couple (λ, v), pouvant être notée λv ou λ∙v, est la multiplication du vecteur v par le scalaire λ. Comme cas particulier, E peut être pris égal à K lui-même, et la multiplication par un scalaire peut être tout simplement la multiplication du corps. Quand E est égal à Kn, alors la multiplication par un scalaire est usuellement celle définie composante par composante. Par définition d'un espace vectoriel, la multiplication par un scalaire vérifie les propriétés suivantes :
* La multiplication par 1 ne change pas un vecteur : ;
* distributivité à droite : ;
* distributivité à gauche : ;
* associativité : ;
* la multiplication par 0 donne le vecteur nul : ;
* la multiplication par –1 donne l'opposé : Ici, + représente ou bien l'addition du corps ou celle de l'espace vectoriel comme il convient et 0 est l'élément neutre du corps K, tandis que 0E est le vecteur nul.La juxtaposition ou le point correspondent à la multiplication par un scalaire ou la multiplication interne du corps. La multiplication par le scalaire non nul λ définit une application linéaire de E dans E, appelée homothétie de rapport λ. Lorsque E est un espace vectoriel euclidien (avec K = R), alors les homothéties peuvent être interprétées comme des contractions ou des étirements. (fr)
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| rdfs:comment
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- En mathématiques, la multiplication par un scalaire est l'une des lois externes de base définissant un espace vectoriel en algèbre linéaire (ou plus généralement, un module en algèbre générale). Si K est un corps commutatif, la définition d'un espace vectoriel E sur K prescrit l'existence d'une loi de composition externe, une application de K × E dans E. L'image d'un couple (λ, v), pouvant être notée λv ou λ∙v, est la multiplication du vecteur v par le scalaire λ. Comme cas particulier, E peut être pris égal à K lui-même, et la multiplication par un scalaire peut être tout simplement la multiplication du corps. Quand E est égal à Kn, alors la multiplication par un scalaire est usuellement celle définie composante par composante. (fr)
- En mathématiques, la multiplication par un scalaire est l'une des lois externes de base définissant un espace vectoriel en algèbre linéaire (ou plus généralement, un module en algèbre générale). Si K est un corps commutatif, la définition d'un espace vectoriel E sur K prescrit l'existence d'une loi de composition externe, une application de K × E dans E. L'image d'un couple (λ, v), pouvant être notée λv ou λ∙v, est la multiplication du vecteur v par le scalaire λ. Comme cas particulier, E peut être pris égal à K lui-même, et la multiplication par un scalaire peut être tout simplement la multiplication du corps. Quand E est égal à Kn, alors la multiplication par un scalaire est usuellement celle définie composante par composante. (fr)
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