| dbo:abstract
|
- Die Hodge-Zerlegung beziehungsweise der Satz von Hodge ist eine zentrale Aussage der Hodge-Theorie. Diese Theorie verbindet die mathematischen Teilgebiete Analysis, Differentialgeometrie und algebraische Topologie. Benannt sind die Hodge-Zerlegung und die Hodge-Theorie nach dem Mathematiker William Vallance Douglas Hodge, der diese in den 1930er-Jahren als Erweiterung zur De-Rham-Kohomologie entwickelte. (de)
- In mathematics, Hodge theory, named after W. V. D. Hodge, is a method for studying the cohomology groups of a smooth manifold M using partial differential equations. The key observation is that, given a Riemannian metric on M, every cohomology class has a canonical representative, a differential form that vanishes under the Laplacian operator of the metric. Such forms are called harmonic. The theory was developed by Hodge in the 1930s to study algebraic geometry, and it built on the work of Georges de Rham on de Rham cohomology. It has major applications in two settings: Riemannian manifolds and Kähler manifolds. Hodge's primary motivation, the study of complex projective varieties, is encompassed by the latter case. Hodge theory has become an important tool in algebraic geometry, particularly through its connection to the study of algebraic cycles. While Hodge theory is intrinsically dependent upon the real and complex numbers, it can be applied to questions in number theory. In arithmetic situations, the tools of p-adic Hodge theory have given alternative proofs of, or analogous results to, classical Hodge theory. (en)
- La théorie de Hodge est l'étude, avec l'apport notamment de la topologie algébrique, des formes différentielles sur une variété lisse. En conséquence elle éclaire l'étude des variétés riemanniennes et kählériennes, ainsi que l'étude géométrique des motifs. Elle tient son nom du mathématicien écossais William Hodge. Un des problèmes du prix du millénaire a trait à cette théorie : la conjecture de Hodge. Essentiellement, la théorie permet d'associer, à certaines variétés, une (en) qui se révèle un outil très puissant d'analyse des propriétés de la variété d'origine, tout en étant d'une manipulation éventuellement plus aisée car relevant de l'algèbre linéaire. La théorie se trouve au cœur de nombreux problèmes mathématiques et apparaît notamment en mathématiques appliquées, en physique mathématique et en physique théorique, dans les théories de jauges en particulier, par exemple l'électromagnétisme. (fr)
- En matemáticas, la teoría de Hodge es una herramienta útil en el estudio de las en una variedad diferenciable M. Con mayor precisión, se utiliza para el estudio del grupo de cohomología de M, con coeficientes reales, mediante el uso del operador laplaciano asociado a una métrica de Riemann definida en M. La teoría fue desarrollada por W. V. D. Hodge en los años 1930 como una extensión de la cohomología de De Rham, aplicándose principalmente para:
* el estudio de una variedad de Riemann
* el estudio de una variedad de Kähler
* en geometría algebraica, el estudio de una compleja o incluso, de forma más general, en un . En el desarrollo original, M se suponía una (es decir, compacta y sin frontera). En los tres puntos de aplicación mencionados, la teoría fue de gran influencia en trabajos posteriores, siendo continuada, entre otros, por Kunihiko Kodaira (en Japón y después en Princeton, bajo la influencia parcial de Hermann Weyl). (es)
- 数学におけるホッジ理論（ホッジりろん、英: Hodge theory ）とは可微分多様体 M 上の微分形式に関する理論である。特に、M 上のリーマン計量に付随する（一般化された）ラプラス作用素に関する偏微分方程式論をもちいて得られる M 上の実係数コホモロジー群の性質のことをいう。 1930年代にウィリアム・ホッジによってド・ラームコホモロジーの拡張として開発され、3つのレベルで大きな応用を持っている。
* リーマン多様体
* ケーラー多様体
* 複素射影多様体の代数幾何学、より広くはモチーフ はじめ、M が閉多様体（つまり、境界を持たないコンパクトな多様体）の場合に研究された。その後、上記の3つのレベルでホッジ理論は以降の研究に大きな影響を与えた。たとば小平邦彦によって研究された（日本で、さらにプリンストンでヘルマン・ワイルの影響の下で）。 (ja)
- 호지 이론(Hodge理論, 영어: Hodge theory)은 리만 다양체의 라플라스 연산자의 코호몰로지를 다루는 이론이다. (ko)
- In matematica, la teoria di Hodge, che prende il nome da William Hodge, è un modo di studiare le forme differenziali su una varietà liscia . In termini più specifici, cerca di comprendere le conseguenze sui gruppi di coomologia di , a coefficienti reali, a seguito di una teoria di equazioni alle derivate parziali su operatori laplaciani generalizzati associata a una metrica riemanniana su . La teoria fu sviluppata da Hodge negli anni trenta come estensione della coomologia di de Rham, e trova applicazione soprattutto in tre campi:
* varietà riemanniane;
* varietà kähleriane;
* geometria algebrica delle varietà proiettive complesse, e, più genericamente, . Inizialmente, si richiedeva che fosse una varietà senza bordo compatta. In tutti e tre i campi la teoria di Hodge si è dimostrata assai feconda, perfezionata e arricchita da Kunihiko Kodaira (sia in Giappone sia all'Institute for Advanced Study di Princeton, sotto l'influenza di Hermann Weyl) e da molti altri in seguito. (it)
- In de wiskunde is de Hodge-theorie, vernoemd naar W.V.D. Hodge, een aspect van de bestudering van de algebraïsche topologie van een gladde variëteit M. Meer in het bijzonder houdt de Hodge-theorie zich bezig met de gevolgen voor de cohomologiegroepen van M (met reële coëfficiënten) van de partiële differentiaalvergelijkingtheorie van veralgemeende Laplaciaanse operatoren geassocieerd met een Riemann-metriek op M. De Hodge-theorie werd in de jaren 1930 door W.V.D. Hodge ontwikkeld als een uitbreiding van de Rham-cohomologie, en heeft op drie niveaus belangrijke toepassingen:
* Riemann-variëteiten
* Kähler-variëteiten
* Algebraïsche meetkunde van complexe projectieve variëteiten, en zelfs meer in het algemeen, motieven. In de initiële ontwikkeling werd M als een gesloten variëteit genomen (dat wil zeggen, compacte en zonder begrenzing). Op alle drie de niveaus was de Hodge-theorie zeer invloedrijk op later uitgevoerd werk. onder andere door Kunihiko Kodaira (in Japan en later, mede onder invloed van de Hermann Weyl, aan de Universiteit van Princeton) en later vele anderen. (nl)
- Em matemática, teoria de Hodge, nomeada em referência a William Vallance Douglas Hodge, é um aspecto do estudo da topologia algébrica de uma variedade diferenciável M. Mais especificamente, funciona com as consequências das cohomologias de grupos de M, com coeficientes reais, da teoria das equações diferenciais parciais de operadores Laplacianos generalizados associados a uma métrica Riemanniana sobre M. (pt)
- Теория Ходжа занимается изучением дифференциальных форм на гладких многообразиях. Более конкретно, эта теория изучает, каким образом обобщённый лапласиан, ассоциированный с римановой метрикой на многообразии M, влияет на его группы когомологий с вещественными коэффициентами. Эта теория была разработана Вильямом Ходжем в 1930-х годах как обобщение когомологий де Рама. Теория Ходжа имеет основные приложения на трёх уровнях:
* Римановы многообразия
* Кэлеровы многообразия
* Комплексные проективные многообразия. В ранних работах многообразие M предполагалось замкнутым (то есть компактным и без края). На всех трёх уровнях теория оказала большое влияние на последующие работы, будучи использована Кунихико Кодайрой, и, позднее, многими другими. (ru)
- Теорія Годжа займається вивченням диференціальних форм на гладких многовидах. Більш конкретно, ця теорія вивчає, яким чином узагальнений лапласіан, асоційований з ріманової метрикою на многовиді M, впливає на його групи когомологій з дійсними коефіцієнтами. Ця теорія була розроблена Вільямом Годжем в 1930-х роках як узагальнення когомологій де Рама. У ранніх роботах многовид M передбачався замкнутим (тобто компактним і без краю). (uk)
- 数学上，霍奇理论是光滑流形M的代数拓扑的研究的一个方面。更精确的讲，它寻找M的实系数上同调群在和M上的黎曼度量相关的一般化的拉普拉斯算子的偏微分方程理论中的应用。 它由霍奇于1930年代作为德拉姆上同调的扩展而发展出来，并在三个层次上有重要应用：
* 黎曼流形
* 凯勒流形
* 的代数几何 最初的发展过程中，M 取作紧致并且流形。在所有三个层次上，该理论的后续工作很有影响，作出贡献的有小平邦彦（可能部分受到在普林斯顿的赫尔曼·外尔的影响）和后来的很多人。 (zh)
|
| rdfs:comment
|
- Die Hodge-Zerlegung beziehungsweise der Satz von Hodge ist eine zentrale Aussage der Hodge-Theorie. Diese Theorie verbindet die mathematischen Teilgebiete Analysis, Differentialgeometrie und algebraische Topologie. Benannt sind die Hodge-Zerlegung und die Hodge-Theorie nach dem Mathematiker William Vallance Douglas Hodge, der diese in den 1930er-Jahren als Erweiterung zur De-Rham-Kohomologie entwickelte. (de)
- 数学におけるホッジ理論（ホッジりろん、英: Hodge theory ）とは可微分多様体 M 上の微分形式に関する理論である。特に、M 上のリーマン計量に付随する（一般化された）ラプラス作用素に関する偏微分方程式論をもちいて得られる M 上の実係数コホモロジー群の性質のことをいう。 1930年代にウィリアム・ホッジによってド・ラームコホモロジーの拡張として開発され、3つのレベルで大きな応用を持っている。
* リーマン多様体
* ケーラー多様体
* 複素射影多様体の代数幾何学、より広くはモチーフ はじめ、M が閉多様体（つまり、境界を持たないコンパクトな多様体）の場合に研究された。その後、上記の3つのレベルでホッジ理論は以降の研究に大きな影響を与えた。たとば小平邦彦によって研究された（日本で、さらにプリンストンでヘルマン・ワイルの影響の下で）。 (ja)
- 호지 이론(Hodge理論, 영어: Hodge theory)은 리만 다양체의 라플라스 연산자의 코호몰로지를 다루는 이론이다. (ko)
- Em matemática, teoria de Hodge, nomeada em referência a William Vallance Douglas Hodge, é um aspecto do estudo da topologia algébrica de uma variedade diferenciável M. Mais especificamente, funciona com as consequências das cohomologias de grupos de M, com coeficientes reais, da teoria das equações diferenciais parciais de operadores Laplacianos generalizados associados a uma métrica Riemanniana sobre M. (pt)
- Теорія Годжа займається вивченням диференціальних форм на гладких многовидах. Більш конкретно, ця теорія вивчає, яким чином узагальнений лапласіан, асоційований з ріманової метрикою на многовиді M, впливає на його групи когомологій з дійсними коефіцієнтами. Ця теорія була розроблена Вільямом Годжем в 1930-х роках як узагальнення когомологій де Рама. У ранніх роботах многовид M передбачався замкнутим (тобто компактним і без краю). (uk)
- 数学上，霍奇理论是光滑流形M的代数拓扑的研究的一个方面。更精确的讲，它寻找M的实系数上同调群在和M上的黎曼度量相关的一般化的拉普拉斯算子的偏微分方程理论中的应用。 它由霍奇于1930年代作为德拉姆上同调的扩展而发展出来，并在三个层次上有重要应用：
* 黎曼流形
* 凯勒流形
* 的代数几何 最初的发展过程中，M 取作紧致并且流形。在所有三个层次上，该理论的后续工作很有影响，作出贡献的有小平邦彦（可能部分受到在普林斯顿的赫尔曼·外尔的影响）和后来的很多人。 (zh)
- En matemáticas, la teoría de Hodge es una herramienta útil en el estudio de las en una variedad diferenciable M. Con mayor precisión, se utiliza para el estudio del grupo de cohomología de M, con coeficientes reales, mediante el uso del operador laplaciano asociado a una métrica de Riemann definida en M. La teoría fue desarrollada por W. V. D. Hodge en los años 1930 como una extensión de la cohomología de De Rham, aplicándose principalmente para: (es)
- In mathematics, Hodge theory, named after W. V. D. Hodge, is a method for studying the cohomology groups of a smooth manifold M using partial differential equations. The key observation is that, given a Riemannian metric on M, every cohomology class has a canonical representative, a differential form that vanishes under the Laplacian operator of the metric. Such forms are called harmonic. (en)
- La théorie de Hodge est l'étude, avec l'apport notamment de la topologie algébrique, des formes différentielles sur une variété lisse. En conséquence elle éclaire l'étude des variétés riemanniennes et kählériennes, ainsi que l'étude géométrique des motifs. Elle tient son nom du mathématicien écossais William Hodge. Un des problèmes du prix du millénaire a trait à cette théorie : la conjecture de Hodge. (fr)
- In matematica, la teoria di Hodge, che prende il nome da William Hodge, è un modo di studiare le forme differenziali su una varietà liscia . In termini più specifici, cerca di comprendere le conseguenze sui gruppi di coomologia di , a coefficienti reali, a seguito di una teoria di equazioni alle derivate parziali su operatori laplaciani generalizzati associata a una metrica riemanniana su . La teoria fu sviluppata da Hodge negli anni trenta come estensione della coomologia di de Rham, e trova applicazione soprattutto in tre campi: (it)
- In de wiskunde is de Hodge-theorie, vernoemd naar W.V.D. Hodge, een aspect van de bestudering van de algebraïsche topologie van een gladde variëteit M. Meer in het bijzonder houdt de Hodge-theorie zich bezig met de gevolgen voor de cohomologiegroepen van M (met reële coëfficiënten) van de partiële differentiaalvergelijkingtheorie van veralgemeende Laplaciaanse operatoren geassocieerd met een Riemann-metriek op M. De Hodge-theorie werd in de jaren 1930 door W.V.D. Hodge ontwikkeld als een uitbreiding van de Rham-cohomologie, en heeft op drie niveaus belangrijke toepassingen: (nl)
- Теория Ходжа занимается изучением дифференциальных форм на гладких многообразиях. Более конкретно, эта теория изучает, каким образом обобщённый лапласиан, ассоциированный с римановой метрикой на многообразии M, влияет на его группы когомологий с вещественными коэффициентами. Эта теория была разработана Вильямом Ходжем в 1930-х годах как обобщение когомологий де Рама. Теория Ходжа имеет основные приложения на трёх уровнях:
* Римановы многообразия
* Кэлеровы многообразия
* Комплексные проективные многообразия. (ru)
|