| dbo:abstract
|
- In mathematics, the Gibbs measure, named after Josiah Willard Gibbs, is a probability measure frequently seen in many problems of probability theory and statistical mechanics. It is a generalization of the canonical ensemble to infinite systems. The canonical ensemble gives the probability of the system X being in state x (equivalently, of the random variable X having value x) as Here, E is a function from the space of states to the real numbers; in physics applications, E(x) is interpreted as the energy of the configuration x. The parameter β is a free parameter; in physics, it is the inverse temperature. The normalizing constant Z(β) is the partition function. However, in infinite systems, the total energy is no longer a finite number and cannot be used in the traditional construction of the probability distribution of a canonical ensemble. Traditional approaches in statistical physics studied the limit of intensive properties as the size of a finite system approaches infinity (the thermodynamic limit). When the energy function can be written as a sum of terms that each involve only variables from a finite subsystem, the notion of a Gibbs measure provides an alternative approach. Gibbs measures were proposed by probability theorists such as Dobrushin, Lanford, and Ruelle and provided a framework to directly study infinite systems, instead of taking the limit of finite systems. A measure is a Gibbs measure if the conditional probabilities it induces on each finite subsystem satisfy a consistency condition: if all degrees of freedom outside the finite subsystem are frozen, the canonical ensemble for the subsystem subject to these boundary conditions matches the probabilities in the Gibbs measure conditional on the frozen degrees of freedom. The Hammersley–Clifford theorem implies that any probability measure that satisfies a Markov property is a Gibbs measure for an appropriate choice of (locally defined) energy function. Therefore, the Gibbs measure applies to widespread problems outside of physics, such as Hopfield networks, Markov networks, Markov logic networks, and boundedly rational potential games in game theory and economics. A Gibbs measure in a system with local (finite-range) interactions maximizes the entropy density for a given expected energy density; or, equivalently, it minimizes the free energy density. The Gibbs measure of an infinite system is not necessarily unique, in contrast to the canonical ensemble of a finite system, which is unique. The existence of more than one Gibbs measure is associated with statistical phenomena such as symmetry breaking and phase coexistence. (en)
- Распределение (каноническое) Гиббса — распределение состояний макроскопической термодинамической системы частиц, находящейся в тепловом равновесии с термостатом (окружающей средой). В классическом случае плотность распределения равна где — совокупность канонических переменных частиц ( координат и импульсов), — совокупность внешних параметров, — гамильтониан системы, — параметр распределения. Величину называют модулем распределения. Можно показать, что модуль распределения , где — абсолютная температура, — постоянная Больцмана. — параметр, определяемый исходя из условия нормировки , откуда следует, что называют интегралом состояний. Часто используют следующую параметризацию распределения Гиббса: где — так называемая свободная энергия системы. В квантовом случае предполагается счётное множество энергетических уровней, и вместо плотности распределения рассматривается вероятность нахождения системы в том или ином состоянии: Условие нормировки имеет вид , следовательно что является аналогом интеграла состояний и называется суммой состояний или статистической суммой. Распределение Гиббса представляет наиболее общую и удобную основу для построения равновесной статистической механики. Знание распределения частиц системы позволяет найти средние значения различных характеристик термодинамической системы по формуле математического ожидания. С учётом большого количества частиц в макроскопических системах, эти математические ожидания в силу закона больших чисел совпадают с реально наблюдаемыми значениями термодинамических параметров. (ru)
- Em matemática, a medida de Gibbs, em homenagem a Josiah Willard Gibbs, é uma medida de probabilidade vista com freqüência em muitos problemas de teoria da probabilidade e mecânica estatística. É uma generalização do conjunto canônico para sistemas infinitos. O conjunto canônico dá a probabilidade do sistema estar no estado (equivalentemente, da variável aleatória ter valor ) como: . Aqui, E(x) é uma função a partir dos espaços de estados para os números reais; em aplicações da física, E(x) é interpretada como a energia da configuração x. O parâmetro β é um parâmetro livre; na física, é a temperatura inversa. A constante de normalização Z(β) é a função de partição. No entanto, em sistemas infinitos, a energia total não é mais um número finito e não pode ser usado na construção tradicional da distribuição de probabilidade de um conjunto canônico. As abordagens tradicionais em física estatística estudaram o limite de propriedades intensivas conforme o tamanho de um sistema finito se aproxima do infinito (o limite termodinâmico). Quando a função energética pode ser escrita como uma soma de termos, cada um envolvendo apenas as variáveis de um subsistema finito, a noção de medida de Gibbs fornece uma abordagem alternativa. Medidas de Gibbs foram propostas por teóricos de probabilidade como Dobrushin, Lanford, e Ruelle e forneceu uma base para estudar diretamente sistemas infinitos, em vez de usar o limite de sistemas finitos. Uma medida é uma medida de Gibbs se as probabilidades condicionais que ela induz em cada subsistema finito satisfaçam uma condição de consistência: se todos os graus de liberdade fora do subsistema finito são congelados, o conjunto canônico para o subsistema sujeito a estas condições de contorno corresponde à probabilidades na medida de Gibbs condicional aos graus de liberdade congelados. O teorema de Hammersley–Clifford implica que qualquer medida da probabilidade que satisfaça a propriedade de Markov é uma medida de Gibbs para uma escolha apropriada (definidas localmente) de função energética. Portanto, a medida de Gibbs aplica-se a um grande número de problemas de física, tais como redes de Hopfield, redes de Markov, lógica de redes de Markov, e jogos potenciais racionais em teoria dos jogos e economia.Uma medida de Gibbs em um sistema com interações locais (gama finito) maximiza a densidade de entropia para uma dada densidade de energia esperada; ou, equivalentemente, minimiza a densidade de energia livre. A medida de Gibbs de um sistema finito não é necessariamente única, em contraste com o conjunto canônico de um sistema finito, que é único. A existência de mais de uma medida de Gibbs está associada a fenômenos estatísticos, tais como quebra de simetria e a coexistência de fase. (pt)
- Розподіл Ґіббса — розподіл, що визначає кількості частинок в різних квантових станах. Ґрунтується на таких постулатах статистики: 1.
* Всі доступні системи рівноймовірні. 2.
* Рівновазі відповідає найімовірніший розподіл (підсистем за станами). 3.
* Ймовірність перебування підсистеми в деякому стані визначається лише енергією стану. Розподіл Ґіббса являє собою найзагальнішу і зручну основу для побудови рівноважної статистичної механіки. (uk)
|
| rdfs:comment
|
- Розподіл Ґіббса — розподіл, що визначає кількості частинок в різних квантових станах. Ґрунтується на таких постулатах статистики: 1.
* Всі доступні системи рівноймовірні. 2.
* Рівновазі відповідає найімовірніший розподіл (підсистем за станами). 3.
* Ймовірність перебування підсистеми в деякому стані визначається лише енергією стану. Розподіл Ґіббса являє собою найзагальнішу і зручну основу для побудови рівноважної статистичної механіки. (uk)
- In mathematics, the Gibbs measure, named after Josiah Willard Gibbs, is a probability measure frequently seen in many problems of probability theory and statistical mechanics. It is a generalization of the canonical ensemble to infinite systems. The canonical ensemble gives the probability of the system X being in state x (equivalently, of the random variable X having value x) as (en)
- Em matemática, a medida de Gibbs, em homenagem a Josiah Willard Gibbs, é uma medida de probabilidade vista com freqüência em muitos problemas de teoria da probabilidade e mecânica estatística. É uma generalização do conjunto canônico para sistemas infinitos. O conjunto canônico dá a probabilidade do sistema estar no estado (equivalentemente, da variável aleatória ter valor ) como: . (pt)
- Распределение (каноническое) Гиббса — распределение состояний макроскопической термодинамической системы частиц, находящейся в тепловом равновесии с термостатом (окружающей средой). В классическом случае плотность распределения равна называют интегралом состояний. Часто используют следующую параметризацию распределения Гиббса: где — так называемая свободная энергия системы. В квантовом случае предполагается счётное множество энергетических уровней, и вместо плотности распределения рассматривается вероятность нахождения системы в том или ином состоянии: Условие нормировки имеет вид , следовательно (ru)
|