Sebaran béta

Dina tiori probabiliti jeung statistik, sebaran beta nyaéta probability distribution kontinyu dina probability density function nu dihartikeun dina interval [0, 1]:

${\displaystyle f(x)=[{\mbox{constant}}]\cdot x^{a-1}(1-x)^{b-1}.}$

nu mana a jeung b mangrupa paraméter nu kudu leuwih gedé ti nol.

Lamun "angger" kaasup sacara eksplisit, densiti ditempokeun saperti:

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{a-1}(1-x)^{b-1}}{\int _{0}^{1}u^{a-1}(1-u)^{b-1}\,du}}={\frac {\Gamma (a+b)}{\Gamma (a)\Gamma (b)}}\,x^{a-1}(1-x)^{b-1}={\frac {1}{B(a,b)}}\,x^{a-1}(1-x)^{b-1}}$

nu mana Γ jeung B nyaéta fungsi gamma jeung fungsi beta.

Kasus husus sebaran beta, lamun a = 1 jeung b = 1, nyaéta sebaran seragam standar.

Nilai ekspektasi jeung varian beta variabel random X nu mibanda paraméter a jeung b dirumuskeun ku:

${\displaystyle {\mbox{E}}(X)={\frac {a}{a+b}},}$

${\displaystyle {\mbox{var}}(X)={\frac {ab}{(a+b)^{2}(a+b+1)}}.}$

Di bagéan séjén, lamun nilai ekspektasi jeung varian beta variabel random X dipikanyaho, paraméter a jeung b diitung maké rumus,k.:

${\displaystyle a={\mbox{E}}(X)\left({\frac {{\mbox{E}}(X)}{{\mbox{var}}(X)}}[1-{\mbox{E}}(X)]-1\right),}$

${\displaystyle b=a{\frac {1-{\mbox{E}}(X)}{{\mbox{E}}(X)}}}$

nu mana 0 < E(X) < 1 jeung 0 < var(X) < E(X) (1 − E(X)).